DISPERSI
DISPERSI DATA Ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data. - Jangkauan (Range) - Simpangan/deviasi Rata-rata (Mean Deviation) - Variansi (Variance) - Standar Deviasi (Standart Deviation)
Ukuran Penyebaran UKURAN YANG MENYATAKAN HOMOGENITAS / HETEROGENITAS : 1. RENTANG (Range). DEVIASI RATA-RATA (Average Deviation) 3. VARIANS (Variance) 4. DEVIASI STANDAR (Standard Deviation) Rentang (range) : selisih bilangan terbesar dengan bilangan terkecil. Sebaran merupakan ukuran penyebaran yang sangat kasar, sebab hanya bersangkutan dengan bilangan terbesar dan terkecil. Contoh : A : 100 90 80 70 60 50 40 30 0 10 B : 100 100 100 100 100 10 10 10 10 10 C : 100 100 100 90 80 30 0 10 10 10 X = 55 r = 100 10 = 90 Rata-rata
r = nilai maksimum nilai minimum Semakin kecil nilai r maka kualitas data akan semakin baik, sebaliknya semakin besar nilai r, maka kualitasnya semakin tidak baik.
Makin besar simpangan, makin besar nilai deviasi ratarata Deviasi Rata-rata : penyebaran Berdasarkan harga mutlak simpangan bilangan-bilangan terhadap rataratanya. Rata-rata Kelompok A Nilai X X - X X X 100 45 45 90 35 35 80 5 5 70 15 15 60 5 5 50-5 5 40-15 15 30-5 5 0-35 35 10-45 45 Jumlah 0 50 DR = 50 = 5 10 Deviasi rata-rata Kelompok B Nilai X X - X X X 100 45 45 100 45 45 100 45 45 90 35 35 80 5 5 30-5 5 0-35 35 10-45 45 10-45 45 10-45 45 Jumlah 0 390 DR = 390 = 39 10 Rata-rata DR = n Σ i=1 Xi X n
. DEVIASI/SIMPANGAN RATA-RATA Jumlah nilai mutlak dari selisih semua nilai dengan nilai rata-rata dibagi dibagi dengan banyaknya data. Data tidak berkelompok : SR X - n Data berkelompok : X SR f X - f X
SIMPANGAN RATA-RATA (lanjutan) Contoh : Interval Kelas X f X - X f X - X 9-1 15 3 50,9 15,76-34 8 4 37,9 151,68 35-47 41 4 4,9 99,68 48-60 54 8 11,9 95,36 61-73 67 1 1,08 1,96 74-86 80 3 14,08 33,84 87-99 93 6 7,08 16,48 Σf = 60 998,76 X fx f 3955 60 65,9 SR 998,76 60 16,646
4. STANDAR DEVIASI Akar pangkat dua dari Variansi. Disebut juga Simpangan Baku. Data tidak berkelompok : S n f X - X nx - X n -1 Data berkelompok : S f f atau S n n -1 X - X nfx - -1 atau S n fx n -1
STANDAR DEVIASI (lanjutan) Contoh 1 : Interval Kelas 9-1 -34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 S S X 15 8 41 54 67 80 93 614,76 60-1 44,79 f 3 4 4 8 1 3 6 X - X f X - X 59,85 1437,93 61 14,09 1,17 198,5 733,33 7778,55 5751,7 484 1136,7 14,04 4559,75 4399,98 Σf = 60 614,76 44,79 1,04
STANDAR DEVIASI (lanjutan) Menghitung Variansi dan Standar Deviasi juga dapat menggunakan Kode (U). S c nfu n - fu n -1 S c nfu n - fu n -1, n f
STANDAR DEVIASI (lanjutan) Contoh : Interval Kelas 9-1 -34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 S S 13 X U f fu fu 15 8 41 54 67 80 93 60 44,79-3 - -1 0 1 3 3 4 4 8 1 3 6 05-55 6060-1 1,04-9 -8-4 0 1 46 18 7 16 4 0 1 9 54 Σf = 60 ΣfU = 55 05 44,79
Simpangan Baku Data Berkelompok Contoh Modal dari 40 perusahaan (dalam jutaan rupiah) adalah sebagai berikut: 138 164 150 13 144 15 149 157 146 158 140 147 136 148 15 144 168 16 138 176 163 119 154 165 146 173 14 147 135 153 140 135 161 145 135 14 150 156 145 18 Tentukan simpangan baku dari data diatas. 1
Simpangan Baku Data Berkelompok Jawaban Modal (M) Nilai Tengah Frekuensi (f) 118-16 1 3 17-135 131 5 136-144 140 9 145-153 149 1 154-16 158 5 163-171 167 4 17-180 176 Jumlah 40 Kelas interval sama, yaitu 9 (17 118) 13
Simpangan Baku Data Berkelompok Kelas f d d fd fd 118-16 3-3 9-9 7 17-135 5-4 -10 0 136-144 9-1 1-9 9 145-153 1 0 0 0 0 154-16 5 1 1 5 5 163-171 4 4 8 16 17-180 3 9 6 18 Jumlah 40 0 8 f i d i = -9 f i d i = 95 c k i1 f i N d i k i1 f N i d i 9 95 40 9 40 13,7 14
Simpangan Baku Data Berkelompok Contoh Data nilai ujian statistik dasar dari 50 mahasiswa, disusun dalam tabel berikut ini. Tentukan simpangan baku dari data di samping. Kelas M (Nilai Tengah) f 30-39 34,5 4 40-49 44,5 6 50-59 54,5 8 60-69 64,5 1 70-79 74,5 9 80-89 84,5 7 90-100 94,5 4 15
Simpangan Baku Data Berkelompok Jawaban M M f fm fm 34,5 1.190,5 4 138,0 4.761,00 44,5 1.980,5 6 67,0 11.881,50 54,5.970,5 8 436,0 3.76,00 64,5 4.160,5 1 774,0 49.93,00 74,5 5.550,5 9 670,5 49.95,5 84,5 7.140,5 7 591,5 49.981,75 95 9.05,00 4 380,0 36.100,00 Jumlah f 1 = 50 f 1 M i = 3.57 f 1 M i = 6.361,50 1 N k i1 f i M i k i1 f i N M i 1 50 6.361,50 357 50 16 16,85
Varians : penyebaran berdasarkan jumlah kuadrat simpangan bilanganbilangan terhadap rata-ratanya ; melihat ketidaksamaan sekelompok data s = n (Xi X) Σ n-1 i=1 Deviasi Standar : penyebaran berdasarkan akar dari varians ; menunjukkan keragaman kelompok data s = n (Xi X) Σ i=1 n-1 Varians & Deviasi Standar Kelompok A Nilai X X -X (X X) 100 45 05 90 35 15 80 5 65 70 15 5 60 5 5 50-5 5 40-15 5 30-5 65 0-35 15 10-45 05 Jumlah 850 Kelompok B Nilai X X -X (X X) 100 45 05 100 45 05 100 45 05 90 35 15 80 5 65 30-5 65 0-35 15 10-45 05 10-45 05 10-45 05 Jumlah 15850 s = 850 9 = 30.8 s = 15850 9 = 41.97 Kesimpulan : Kelompok A : rata-rata = 55 ; DR = 5 ; s = 30.8 Kelompok B : rata-rata = 55 ; DR = 39 ; s = 41.97 Maka data kelompok B lebih tersebar daripada kelompok A
3. VARIANSI Rata-rata kuadrat selisih dari semua nilai data terhadap nilai rata-rata hitung. Data tidak berkelompok : S X - X nx - X n f n -1 Data berkelompok : S f f atau S n n -1 X - X nfx - fx -1 atau S n n -1
KUARTIL, DESIL, PERSENTIL 1. Kuartil Kelompok data yang sudah diurutkan (membesar atau mengecil) dibagi empat bagian yang sama besar. Ada 3 jenis yaitu kuartil pertama (Q 1 ) atau kuartil bawah, kuartil kedua (Q ) atau kuartil tengah, dan kuartil ketiga (Q 3 ) atau kuartil atas.
KUARTIL Untuk data tidak berkelompok Q i nilai i ke - Untuk data berkelompok n 1 4, i 1,,3 Qi L0 in - c 4 f F, i 1,,3 L 0 = batas bawah kelas kuartil F = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil Q i f = frekuensi kelas kuartil Q i
KUARTIL Contoh : Interval Kelas Nilai Tengah (X) Frekuensi Q 1 membagi data menjadi 5 % Q membagi data menjadi 50 % Q 3 membagi data menjadi 75 % 9-1 15 3-34 35-47 8 41 4 4 Sehingga : 48-60 54 8 61-73 74-86 67 80 1 3 Q 1 terletak pada 48-60 87-99 93 6 Σf = 60 Q terletak pada 61-73 Q 3 terletak pada 74-86
KUARTIL Untuk Q 1, maka : Q 1 1.60-11 47,5 13 4 54 8 Untuk Q, maka : Q 60,5 13.60-19 4 7,4 1 Untuk Q 3, maka : Q 3 3.60-31 73,5 13 4 3 81,41
DESIL. Desil Kelompok data yang sudah diurutkan (membesar atau mengecil) dibagi sepuluh bagian yang sama besar.
DESIL Untuk data tidak berkelompok D i nilai Untuk data berkelompok i ke - n 1 10, i 1,,3,...,9 L 0 = batas bawah kelas desil D i F = jumlah frekuensi semua Di L0 in - c 10 f F, i 1,,3,...,9 kelas sebelum kelas desil D i f = frekuensi kelas desil D i
DESIL Contoh : Interval Kelas Nilai Tengah (X) Frekuensi D 3 membagi data 30% D 7 membagi data 70% 9-1 15 3-34 35-47 8 41 4 4 Sehingga : 48-60 54 8 61-73 67 1 74-86 87-99 80 93 3 6 D 3 berada pada 48-60 Σf = 60 D 7 berada pada 74-86
DESIL 58,875 8-11 10 3.60 13 47,5 D 3 79,7 3-31 10 7.60 13 73,5 D 7
KUARTIL, DESIL, PERSENTIL 3. Persentil Untuk data tidak berkelompok Untuk data berkelompok P i nilai ke - i n 1 100, i 1,,3,...,99 Pi L0 c in 100 f - F, i 1,,3,...,99
KOEFISIEN KECONDONGAN (SKEWNESS) Koefisien kecondongan menunjukkan apakah kurva condong positif, negatif atau normal. Rumus kecondongan adalah : Sk Dimana : Sk : koefisien kecondongan µ : nilai rata-rata hitung Mo : nilai modus Md : nilai median σ : standar deviasi μ Mo σ atau Sk 3(μ Md) σ *) Untuk data dikelompokan rumus tetap sama dan di kalikan dengan (fi) Sk = [µ - Mo ].fi / atau = 3.[µ - Md].fi /
KOEFISIEN KECONDONGAN (SKEWNESS) Nilai Sk (Skewness): Sk = 3 berarti normal, Sk > 3 condong positif Sk < 3 condong negatif.
Ukuran Kecondongan - Skewness Ukuran kecondongan kemencengan Kurva tidak simetris Pada kurva distribusi frekuensi diketahui dari posisi modus, rata-rata dan media Pendekatan : Jika Rata-rata = median = modus : Simetris Rata-rata < median < modus : Menceng ke kiri Rata-rata > median > modus : Menceng ke kanan
KURVA KECONDONGAN