BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Aplikasi geometri fraktal tersebar di berbagai bidang, beberapa di antaranya adalah pada teori bilangan (number theory), pertumbuhan fraktal (fractal growth), singularitas dari elektrostatik dan potensial gravitasi, antena fraktal, dan aplikasi bidang finansial. Salah satu alat ukur kuantitatif yang digunakan dalam aplikasi tersebut adalah dimensi fraktal. Misalnya pada bidang finansial, dimensi Hausdorff digunakan untuk menganalisa pergerakan harga saham maupun nilai tukar mata uang. Dua buah himpunan fraktal dengan struktur geometris yang berbeda dapat memiliki dimensi yang sama, dalam hal ini maka keduanya tidak dapat dibedakan melalui analisis dimensi. Apabila himpunan himpunan tersebut merepresentasikan suatu proses atau objek maka proses atau objek tersebut adalah sama dari sudut pandang analisis dimensi, padahal bisa jadi keduanya merupakan proses atau objek yang memiliki perbedaan signifikan. Dalam kondisi demikian maka diperlukan alat ukur kuantitatif lain yang dapat membedakan himpunan himpunan tersebut. Selain dari konsep dimensi yang berbeda beda (dimensi Hausdorff, dimensi hitung kotak/minkowski, dimensi lokal), dalam geometri fraktal hanya terdapat sedikit konsep pengukuran kuantitatif yang telah diterima secara umum, yang mampu memberikan informasi tambahan mengenai struktur geometris dari himpunan fraktal. Salah satu di antaranya adalah kandungan Minkowski (Minkowski content). Untuk dan, himpunan paralel dari didefinisikan sebagai { ( ) } 1
2 dengan merupakan metrik Euclid. Selanjutnya untuk sebarang himpunan kompak, kandungan Minkowski berdimensi dari didefinisikan sebagai ( ) ( ) apabila limit tersebut ada (kandungan Minkowski atas dan bawah juga dapat didefinisikan nilai limit supremum dan infimum, untuk lebih jelas lihat Bagian 2.6). Di sini merupakan ukuran Lebesgue. Kandungan Minkowski diperkenalkan oleh Mandelbrot pada [20] sebagai measure of lacunarity. Untuk himpunan kompak berlaku ( ) ( ) sehingga untuk himpunan kompak dengan ukuran Lebesgue nol (misalnya himpunan fraktal) akan selalu didapatkan nilai limit trivial. Oleh karena itu pada definisi di atas ditambahkan suatu faktor pengali yang diharapkan akan menghasilkan nilai limit non trivial untuk suatu nilai. Pada [31], Steffen Winter memperkenalkan konsep kurvatur fraktal (fractal curvatures) melalui ukuran kurvatur (curvature measures) yang dicetuskan oleh Federer pada [9]. Jika untuk suatu himpunan kompak, untuk setiap ukuran ukuran kurvatur ( ) ( ) ( ) terdefinisi maka kurvatur kurvatur total ( ) ( ), terdefinisi untuk himpunan paralel (lihat Bagian 2.7). Selanjutnya kurvatur fraktal ke k (k th fractal curvature) dari himpunan didefinisikan melalui cara yang serupa dengan definisi kandungan Minkowski dengan mengganti ukuran Lebesgue dengan kurvatur total yaitu sebagai limit ( ) ( ) dengan merupakan suatu eksponen penskalaan yang dipilih dengan cara tertentu. Motivasi dari pendefinisian kurvatur total dengan cara tersebut adalah diharapkan bahwa untuk suatu tertentu (dalah hal ini untuk ) kurvatur total ( ) akan memberikan nilai yang sama dengan kandungan Minkowski ( ). Pemikiran ini
3 didasari atas fakta bahwa ( ) tidak lain merupakan ukuran Lebesgue yang dibatasi pada himpunan, yaitu ( ) ( ) sehingga diperoleh ( ) ( ) ( ) ( ). Selanjutnya agar definisi kurvatur total tersebut memiliki makna, tiga buah pertanyaan harus dijawab: 1. Apakah untuk sebarang himpunan kompak, ukuran kurvatur ( ) dari himpunan paralelnya terdefinisi? 2. Bagaimana cara untuk menentukan eksponen penskalaan agar didapatkan hubungan ( ) ( )? 3. Apakah limit tersebut ada untuk setiap? Jika ketiga pertanyaan memiliki jawaban positif (setidaknya dalam kondisi tertentu) maka diperoleh suatu alat ukur kuantitatif yang baru bagi himpunan fraktal dan diharapkan dapat menggali lebih banyak informasi mengenai struktur geometris dari himpunan tersebut sehingga membuka peluang lebih luas bagi aplikasi geometri fraktal. 1.2 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah mempelajari konsep dari kurvatur fraktal (rata rata) dan ukuran kurvatur fraktal (rata rata) dari himpunan serupa diri, ide ide yang melandasi konsep tersebut, konstruksi serta sifat sifatnya, termasuk konsistensi terhadap definisi klasik tentang kurvatur dan ukuran kurvatur. Penelitian ini juga dimaksudkan untuk mempelajari teknik perhitungan dari kurvatur fraktal (rata rata) untuk himpunan serupa diri baik yang aritmatik maupun yang non aritmatik. 1.3 Manfaat Penelitian Secara umum penelitian ini diharapkan akan dapat memberikan sumbangan terhadap perkembangan ilmu pengetahuan serta menambah wawasan pengetahuan dalam bidang matematika terapan terutama dalam bidang geometri fraktal. Secara khusus penelitian ini diharapkan memberikan pemahaman atas konstruksi kurvatur fraktal dan ukuran kurvatur fraktal.
4 1.4 Tinjauan Pustaka Pada tahun 1959 Herbert Federer melakukan publikasi [9] yang dipandang sebagai awal kelahiran konsep ukuran kurvatur meskipun pada paper tesebut Federer menggabungkan dan melakukan generalisasi dari konsep konsep yang telah ada mulai dari geometri konveks dan geometri diferensial menjadi suatu teori dari karya karya di antaranya W. Blaschke [3], W. Fenchel [10, 11], H. Hadwiger [15], L.A. Santaló [23], dan H. Weyl [30]. Definisi dari ukuran kurvatur didasarkan pada himpunan paralel. Himpunan tertutup dikatakan memiliki jangkauan positif (positive reach) jika terdapat suatu sehingga untuk setiap terdapat dengan tunggal suatu titik di dengan jarak terdekat terhadap. Jangkauan (reach) dari adalah supremum dari para tersebut. Federer memperkenalkan ukuran kurvatur untuk himpunan dengan jangkauan positif menggunakan formula yang disebut sebagai formula Steiner lokal (local Steiner formula). Dinyatakan bahwa volume (lokal) dari himpunan paralel memiliki ekspansi polinomial dalam berderajad tertinggi dengan koefisien koefisien ( ) ( ) ( ) yang merupakan ukuran ukuran bertanda berhingga lokal (locally finite signed measures) yang disebut sebagai ukuran ukuran kurvatur (curvature measures) dari. Pendekatan ini memiliki keistimewaan yaitu himpunan tidak harus terdeferensial maupun konveks. Untuk himpunan kompak dengan jangkauan positif, ukuran kurvatur ( ) merupakan ukuran berhingga dan massa totalnya yaitu ( ) ( ) disebut sebagai kurvatur total (total curvatures). Dalam geometri konveks, kurvatur total dikenal sebagai volume intrinsik (intrinsic volumes) atau fungsional Minkowski (Minkowski functionals). Kurvatur total dan ukuran kurvatur memiliki sifat sifat menarik, di antaranya adalah additivity, continuity, motion invariance, dan homogeneity. Kurvatur total dan ukuran kurvatur dapat dikarakterisasi secara aksiomatik dengan menggunakan sifat
5 sifat tersebut, misalkan Schneider [27] untuk kasus himpunan kompak konveks tak kosong (convex body) dan Zähle [34] untuk himpunan dengan jangkauan positif. Ukuran ( ) terkonsentrasi pada kecuali untuk kasus, di mana ( ) merupakan volume (ukuran) Lebesgue yang dibatasi pada, yaitu ( ). Dari sudut pandang teoretis maupun aplikasi, keluarga dari himpunan dengan jangkauan positif tidaklah besar. Sebagai contoh, gabungan dari dua bola tertutup (berjari jari sama) yang beririsan atau politop (polytope) tak konveks tidak memiliki jangkauan positif. Oleh karena itu, telah banyak usaha dilakukan untuk menggeneralisasi konsep ukuran kurvatur untuk himpunan himpunan yang lebih umum. Salah satu usaha ini adalah dengan pendekatan aditif. Dalam hal ini sifat aditif dari ukuran kurvatur untuk himpunan dengan jangkauan positif digunakan untuk mendefinisikan ukuran kurvatur bagi himpunan yang dapat direpresentasikan sebagai gabungan himpunan himpunan dengan jangkauan positif. Generalisasi dengan pendekatan ini pertama dilakukan oleh Groemer [14] untuk keluarga himpunan himpunan kompak konveks tak kosong. Groemer memperkenalkan ukuran kurvatur untuk himpunan polikonveks (polyconvex), yaitu gabungan dari sebanyak berhingga himpunan himpunan konveks. Generalisasi aditif untuk keluarga himpunan yang merupakan gabungan dari himpunan dengan jangkauan positif juga telah dilakukan oleh Rataj dan Zähle [21, 33]. Dalam paper yang ditulis oleh Hug, Last, dan Weil [16], ukuran penyangga (support measures) untuk himpunan tertutup didefinisikan melalui formula berjenis Steiner (Steiner type formula). Ukuran kurvatur juga dapat diperkenalkan melalui pendekatan himpunan melalui himpunan paralelnya. Untuk himpunan dengan jangkauan, himpunan paralel dengan memiliki jangkauan positif dan ukuran kurvatur ( ) dari himpunan konvergen secara lemah ke ukuran kurvatur ( ) dari himpunan, ( ) ( ) seiring dengan. Hal ini dapat diturunkan langsung dari formula Steiner. Kekonvergenan lemah tersebut juga berlaku untuk
6 himpunan yang lebih umum, misalnya himpunan polikonveks atau gabungan berhingga himpunan dengan jangkauan positif tertentu, dan menjadi dasar untuk generalisasi lebih lanjut dari ukuran kurvatur. 1.5 Metode Penelitian Tesis ini merupakan bedah paper Geometric Measures for Fractals dan Curvature measures and fractals, keduanya oleh Steffen Winter [32, 31]. Secara umum tesis ini tidak memuat sesuatu yang baru mengenai ukuran kurvatur fraktal, hanya merupakan pembahasan ulang disertai dasar dasar teori yang belum dicantumkan sebelumnya dan melengkapi bukti yang kurang. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah kajian pustaka dari beberapa buku dan paper yang terkait. Mempelajari teori tentang himpunan serupa diri, teori ukuran dan integral secara umum, ukuran Lebesgue pada, ukuran dan dimensi Hausdorff, barisan ukuran bertanda, kandungan Minkowski, ukuran kurvatur, dan ukuran kurvatur fraktal. Untuk memberikan pemahaman yang lebih konkret, pada Bab VI diberikan contoh perhitungan kurvatur fraktal (rata rata) dari beberapa himpunan serupa diri yang memenuhi kondisi himpunan terbuka di baik yang aritmatik maupun non aritmatik. Selanjutnya sifat sifat baru yang berkaitan dengan teori geometri fraktal secara umum diberikan pada Bab VII. 1.6 Sistematika Penulisan Sistematika penulisan tesis ini adalah sebagai berikut. BAB I berisikan latar belakang masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, dan sistematika penulisan. BAB II berisikan landasan teori yang dipergunakan sebagai alat untuk membahas bab bab selanjutnya. Landasan teori yang diberikan meliputi definisi, contoh, teorema dan lemma dari himpunan serupa diri, teori ukuran dan integral
7 secara umum, ukuran Lebesgue pada, ukuran dan dimensi Hausdorff, barisan ukuran bertanda, kandungan Minkowski, ukuran kurvatur, dan ukuran kurvatur fraktal (klasik). Bab III berisi konstruksi dari kurvatur fraktal, kurvatur fraktal rata rata, ukuran kurvatur fraktal, dan ukuran kurvatur fraktal rata rata. BAB IV berisikan pembahasan awal dari penelitian ini. Di bab ini dibahas tentang pembuktian eksistensi dan sifat sifat dari kurvatur fraktal (rata rata) pada himpunan serupa diri yang memenuhi kondisi himpunan terbuka dan memiliki himpunan paralel polikonveks. BAB V berisikan pembahasan inti penelitian ini. Di bab ini dibahas tentang pembuktian eksistensi dan sifat sifat dari ukuran kurvatur fraktal (rata rata) pada himpunan serupa diri yang memenuhi kondisi himpunan terbuka dan memiliki himpunan paralel polikonveks. BAB VI berisikan contoh dan hasil perhitungan kurvatur fraktal (rata rata) untuk beberapa kasus himpunan serupa diri pada baik yang aritmatik maupun yang non aritmatik. BAB VII berisikan beberapa pengembangan terkait sifat ruang fraktal, barisan pada ruang fraktal, barisan maju pada ruang fraktal, dan kondisi himpunan terbuka. BAB VIII berisikan kesimpulan dari hasil hasil penelitian ini dan saran serta beberapa hipotesis untuk pengembangan penelitian selanjutnya.