Buletin Ilmih Mth. Stt. dn Terpnny (Bimster) Volume 06, No. 3(2017), hl 193 202. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2 Ilhmsyh, Helmi, Frnsiskus Frn INTISARI Mtriks blok merupkn mtriks persegi yng diblok dengn memberi gris vertikl dn horizontl sehingg menjdi submtriks dengn ukurn yng lebih kecil. Mtriks blok dpt dipliksikn dlm mencri determinn dn invers dri sutu mtriks persegi. Jik sutu mtriks persegi yng determinnny tidk sm dengn nol dn memenuhi = =, dengn merupkn mtriks tk singulr mk merupkn invers dri. Penelitin ini bertujun untuk mencri determinn dn invers mtriks persegi dengn menggunkn mtriks blok. Lngkh pertm untuk mencri invers mtriks persegi yitu dengn memblok mtriks tersebut menjdi mtriks berukurn dengn submtriks,, dn. Dengn memislkn submtriks dn dri mtiks merupkn mtriks persegi. Selnjutny mencri determinn dri submtriks dn tu determinn dri submtriks dn. Jik determinn dri mtriks dn sm dengn nol mk mtriks diblok ulng dengn submtriks dn merupkn mtriks persegi. Kemudin dicri determinn dn invers dri submtriks tu determinn dri submtriks. Setelh didpt invers dri mtriks,, tu dicri invers dri mtriks dengn menggunkn teorem Komplemen Schur sehingg didpt. Hsil penelitin ini menunjukn bhw mtriks tksingulr dpt dicri determinn dn inversny dengn cr memblok mtriks tersebut menjdi mtriks yng lebih kecil dengn slh stu dri submtriks memiliki determinn yng tidk sm dengn nol. Kt kunci: determinn mtriks, invers mtriks dn komplemen schur PENDAHULUAN Teori mtriks merupkn slh stu cbng ilmu Aljbr Liner yng menjdi pembhsn penting dlm ilmu Mtemtik. Mtriks dlh susunn bilngn-bilngn (rel tu kompleks) yng berbentuk persegi pnjng dn disusun berdsrkn turn bris dn kolom. Selnjutny bilngn tersebut dinmkn entri dlm mtriks. Entri dri mtriks A yng berd pd bris ke-i dn kolom ke-j dinotsikn dengn []. Jenis-jenis mtriks dintrny mtriks persegi, mtriks nol, mtriks identits, mtriks segitig, mtriks digonl, mtriks bris, mtriks kolom dn lin sebginy. Mtriks-mtriks tersebut d yng dpt dicri inversy dn d jug yng tidk dpt dicri inversny. Mtriks yng dpt dicri inversny dlh mtriks persegi yng memiliki determinn tidk sm dengn nol dn memenuhi = =, dengn yng memiliki invers dn disebut sebgi invers dri. Sedngkn mtriks yng tidk memiliki invers yitu mtriks yng memiliki determinn sm dengn nol[]. Mtriks blok merupkn mtriks yng diperoleh dengn membgi mtriks menjdi beberp submtriks yng ukurnny lebih kecil dengn cr memsukkn gris horizontl dintr bris-bris dn vertikl dintr kolom-kolom mtriks. Mtriks blok digunkn untuk menyederhnkn mtriks yng ukurnny besr menjdi kecil sehingg lebih mudh diopersikn untuk tujun tertentu, slh stuny yitu untuk mencri determinn dn invers mtriks. Untuk menentukn determinn dri sutu mtriks dpt menggunkn beberp metode seperti Metode Kofktor, Metode Srrus dn Komplemen Schur. Sedngkn untuk menentukn invers dri sutu mtriks dpt menggunkn 193
194 ILHAMSYAH, HELMI, F FRAN Metode Adjoin, Eliminsi Guss dn Guss Jordn, Dekomposisi Crout dn Komplemen Schur. Untuk menentukn determinn dn invers mtriks blok digunkn metode Komplemen Schur[]. Adpun tujun dri penelitin ini dlh mencri determinn dn invers mtriks dengn menggunkn sift-sift blok mtriks. Dlm mencri determinn dn invers mtriks dimuli dri memblok mtriks menjdi mtriks blok sehingg didpt submtriks,, dn. Kemudin mencri determinn dri sub Mtriks, jik det, mk dicri invers dri mtriks. Setelh itu dicri determinn dri submtriks. Jik determinn dri submtriks, mk dicri invers dri submtriks. Kemudin dicri invers dri mtriks dengn menggunkn teorem komplemen schur. MATRIKS BLOK Definisi 1 [] Mtriks blok tu mtriks prtisi dlh mtriks yng diprtisi tu diblok menjdi beberp mtriks yng ukurnny lebih kecil dengn memsukkn gris horizontl dn vertikl ntr bris dn kolom mtriks. Mtriks-mtriks yng ukurnny kecil hsil prtisi mtriks disebut submtriks. Mtriks blok yng dibhs dlh mtriks persegi yng diprtisi ts du bris dn du kolom subsub mtriks yng disebut mtriks blok. Gmbrn secr umum mtriks blok dlh sebgi berikut : mislkn merupkn sutu mtriks 11 1 nk 1 n( k 1) 1n 1 ( 1) mk mk nk mk n k mk n P m ( k 1) 1 m ( k 1) n k m ( k 1) n ( k 1) m( k1) n m 1 mn k mn ( k 1) mn Kemudin diberi gris horizontl dn vertikl sehingg menjdi mtriks seperti berikut : P m 1 mn k mn ( k 1) dengn memislkn 11 1 nk 1 n( k 1) 1n mk 1 mk nk mk n( k1) mk n m( k 1) 1 m( k 1) nk m( k 1) n( k 1) m( k1) n mn = [ ], = [ ], = [ ], = [ ] A B A B P. C D C D (1)
Determinn dn invers mtriks blok 195 Dlm mencri determinn dn invers mtriks blok, digunkn teorem-teorem komplemn Schur. Komplemen Schur merupkn slh stu metode tu cr dlm nlisis mtriks yng bnyk menggunkn pertidksmn mtriks. Dlm teori tentng mtriks, komplemen Schur bisny digunkn pd mtriks dengn lebih besr tu sm dengn tig. DETERMINAN MATRIKS BLOK Berikut ini dipprkn mengeni determinn mtriks persegi dengn menggunkn mtriks blok: Teorem 2 [] Jik dn merupkn mtriks mk (i) det = det det (ii) det [ ] = det det jik dn merupkn mtriks persegi Teorem 3 [] Jik merupkn mtriks dn = [ ] mk determinn dri dlh det = det [ ] = {. memiliki invers. memiliki invers. Lemm 4 Mislkn merupkn mtriks blok dengn entri 1 pd digonl keduny dn 0 untuk yng lin,yitu = [ ], mk det =. Mtriks pd pd Lemm 4 disebut jug dengn mtriks digonl kedu, mtriks memiliki sift = dn T = sehingg = T. Jik submtriks dn pd mtriks tidk memiliki invers mk dengn memnftkn Lemm 4 dpt digunkn teorem berikut dlm mencri determinn dri mtriks. Teorem 5 Jik merupkn mtriks sert tu merupkn mtriks tu mk: (i) det [ ] = det [ ] = ( + + det det (ii) det [ ] = { ( + + det det, ( + + det det v. v. INVERS MATRIKS BLOK Kemudin dibhs mengeni teorem yng digunkn untuk mencri invers dri mtriks persegi dengn menggunkn blok mtriks, sebelum membhs invers mtriks blok persegi, dibhs terlebih dhulu mengeni invers mtriks digonl dn segitig. Teorem 6 [] Jik merupkn mtriks persegi, mk (i) Untuk mtriks = [ ] kn memiliki mtriks invers jik dn hny jik dn memiliki invers dn = [ ]. (ii) Untuk mtriks = [ ] kn memiliki mtriks invers jik dn hny jik dn memiliki invers dn = [ ].
196 ILHAMSYAH, HELMI, F FRAN Mtriks segitig dlh mtriks persegi yng semu entri di ts digonl pertmny dlh nol di sebut mtriks segitig bwh dn seblikny mtriks persegi yng semu entri di bwh digonl pertmny dlh nol di sebut mtriks segitig ts. Untuk menentukn invers dri mtriks blok segitig mk diberikn teorem sebgi berikut. Teorem 7 []Jik merupkn mtriks persegi, mk (i) Untuk mtriks P = [ ]kn memiliki mtriks invers jik dn hny jik dn memiliki invers dn = [ ]. (ii) Untuk mtriks P=[ ]kn memiliki mtriks invers jik dn hny jik dn memiliki invers dn = [ ]. Kemudin kn dibhs mengen invers dri mtriks blok yng mn semu entri dri mtriksny merupkn bilngn rel. Teorem 8 [] Mislkn merupkn mtriks persegi: (i) Disumsikn submtriks A pd mtriks P dlm persmn 1 dlh tk singulr. Mtriks P pd persmn 1 puny invers jik dn hny jik komplemen Schur dri A puny invers dn jug memiliki invers didpt = [ + ]. (ii) Disumsikn submtriks D pd mtriks P dlm persmn 1 dlh tk singulr. Mtriks P pd persmn 1 puny invers jik dn hny jik komplemen Schur dri D puny invers dn jug memiliki invers mk didpt = [ + ]. Setelh didpt invers untuk mtriks dengn submtriks tu yng memiliki invers, mk selnjutny kn diberikn teorem yng untuk mencri dengn tu yng memiliki invers. Teorem 9 [] Mislkn merupkn mtriks persegi: (i) Disumsikn mtriks pd mtriks dlm persmn 1 dlh tk singulr. Mtriks pd persmn 1 puny invers jik dn hny jik komplemen Schur dri puny invers dn jug memiliki invers mk didpt = [ + ] (ii) Disumsikn mtriks pd mtriks dlm persmn 1 dlh tk singulr. Mtriks pd persmn 1 puny invers jik dn hny jik komplemen Schur dri puny invers dn jug memiliki invers mk didpt = [ + ] selnjutny kn dibhs lebih lnjut mengeni mtriks yng berbentuk [ ] tu [ ]
Determinn dn invers mtriks blok 197 Teorem 10 [] Jik merupkn mtriks persegi, mk (i) Untuk mtriks = [ ] kn memiliki invers jik dn hny jik submtiks dn memiliki invers dn invers mtriks = [ ]. (ii) Untuk mtriks = [ ] kn memiliki invers jik dn hny jik submtiks dn memiliki invers dn invers mtriks = [ ] Setelh dikethui teorem mengni invers pd mtriks persegi, selnjutny kn dibhs invers pd mtriks yng berentri kompleks yitu mtriks Hermit dn Mtriks Hermit miring. Sutu mtriks dengn ordo sert memiliki entri-entri kompleks dengn mtriks sm dengn trnspos konjugt dri dn disimbolkn dengn mk mtriks disebut Hermit. Sedngkn Sutu mtriks bujur sngkr A dengn entri-entri kompleks disebut Hermit-miring (skew-hermit) jik A A. Selnjuny kn dibhs mengeni invers dri mtriks blok Hermit dn Hermit miring. Teorem 11 [] Mislkn merupkn mtriks persegi: merupkn mtriks Hermit jik dn hny jik = [ ] dimn dn Hermit, mk inversny dpt ditulis (i) = [ ], tu (ii) = [ + ] Teorem 12 [] Mislkn merupkn mtriks persegi: merupkn mtriks Hermit miring jik dn hny jik = [ dengn memislkn = H, mk inversny dpt ditulis: (i) = [ + H H H ], tu (ii) = [ H H + H ] Contoh 13 Akn dri invers dri mtriks berikut = [ Penyelesin dengn menggunkn Teorem 7 1. Blok mttriks menjdi mtriks blok = ] [ ] ], jik dn Hermit miring
198 ILHAMSYAH, HELMI, F FRAN Mislkn = [ ], = [ ], = [ ], dn = [ ] 2. Dicri determinn dri submtriks mtriks = [ ] blok mtriks menjdi mtriks = [ ] = [ ] = [ ], = [ ], = [ ] dn = [] kemudin dicri determinn dn invers dri submtriks det = det [ ] = dn invers dri = [ Setelh didpt invers dri mtriks kemudin dicri determinn dri mtiks. det = det det det = det [] [ ] [ ] [ ]) = Kren det, mk submtriks memiliki invers. 3. Dicri invers dri submtriks dn determinn dri = [ + ] Mislkn submtriks dri = [ ], didpt = = [] [ ] [ ] [ ]) = [ ] = = = [ ] ] = = = [ ] = + = = [ ]
Determinn dn invers mtriks blok 199 Kren = [ ], mk = [ Setelh didpt, kemudin dicri determinn dri mtriks det = det [ ] [ ] [ ] ( [ ] ) = [ ] dn = [ ] = det = 4. Kren det = rtiny det sehingg memiliki invers. ] = = det = [ 5. Kemudin dicri invers dri mtriks Mislkn = [ ] = [ + ] kren telh didpt = [ ] = [ ], dn = sehingg ] = [ ] (2) = = = [ = = = [ ] (3) = + = = [ Dri (2), (3),(4), dn (5) didpt ] (4) ] (5)
200 ILHAMSYAH, HELMI, F FRAN =, = [ ] [ Sehingg = [ ] = [ Contoh 14 Invers Mtriks Hermit Tertukn invers dri mtriks Hermit berikut, = [ ], dn = [ ] ] 1 i 1 i P i 5 2 i 1 i 2 i 3 Penyelesin menggunkn Teorem 10 1. Blok mtriks menjdi mtriks blok sehingg 1 i 1 i P i 5 2 i 1 i 2 i 3 Mislkn = [ + ], = [ ], = [ + ] dn = [] 2. Mencri invers dri mtriks dengn menggunkn djoin = [ ] sehingg didpt = [ ] 3. Mencri invers dri mtriks dimn = = = [ ] (6) 4. Mencri mtriks dimn = 6 = 7 - i = 1 [ 7 ] 5. Mencri mtriks dimn = = 6 1 = [ i ] (8) 7 7 6. Mencri mtriks dimn =. ] (7)
Determinn dn invers mtriks blok 201 7. = = [ Dri (6), (7), (8), dn (9) didpt 20 1 6 7 7 7 - i 6 1 =, =, = [ i ] dn = [ 1 1 1 7 7 ] [ 7 7 ] [ 7 ] sehingg = [ ] = [ + ]. (9). ] PENUTUP Berdsrkn pembhsn yng telh dipprkn, mk dpt ditrik kesimpuln, yitu: diberikn mtriks berordo, kemudin mtriks diblok menjdi mtirks A B P C D 1. Determinn mtriks dpt dicri dengn lngkh-lngkh sebgi berikut: Mislkn submtriks dn tu dn merupkn mtriks persegi, Jik dn merupkn mtriks persegi, mk dicri determinn dn invers submtriks tu sehingg didpt determinn mtriks yitu det = det det jik det tu det = det det( jik det. Jik dn merupkn mtriks persegi, mk dicri determinn dn invers submtriks tu sehingg didpt determinn mtriks yitu det = ( ( + + ) det det tu det = ( ( + + ) det det( 2. Invers dri mtriks dpt ditentukn dengn memislkn submtriks,, tu memiliki invers tu determinnny tidk sm dengn nol Mislkn = [ ]. Entri dri submtriks,,, dn dpt dicri jik: i) submtriks memiliki invers dn submtriks = memiliki invers mk = [ + ], ii) submtriks memiliki invers dn submtriks = mmiliki invers mk = [ + ], iii) submtriks memiliki invers dn submtriks = memiliki invers, mk = [ + ], dn iv) submtriks memiliki invers dn = memiliki invers mk = [ + ].
202 ILHAMSYAH, HELMI, F FRAN DAFTAR PUSTAKA [1]. Pudjistuti. Mtriks Teori dn Apliksi. Yokykrt:Grh Ilmu; 2006. [2]. Anton, H., dn Rorres, C. Aljbr Liner Elementer Versi Apliksi Jilid 1. Edisi Kedelpn. Jkrt: Erlngg; 2004 [3]. Suprnto, J. Pengntr Mtrix. Jkrt:Fkults Ekonomi Universits Indonesi; 1993 [4]. Meyer, C. D. Mtrix Anlysis nd Applied Liner Algebr. Sim: Phildelphi; 2000 [5]. Lu, T. T nd Shio, S. S. Inverses of Block Mtrices. Computers nd Mthemtics with Applictions, 2002; volume 43, hl 119-129 Ilhmsyh Helmi Frnsiskus Frn : FMIPA Universits Tnjungpur, Pontink, ilhmsyh.2010@gmil.com : FMIPA Universits Tnjungpur, Pontink, helmi132205@yhoo.co.id : FMIPA Universits Tnjungpur, Pontink, frndly88@gmil.com