PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN LINEAR BONNO ANDRI WIBOWO DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Majemuk dengan Tren Linear adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Februari 2014 Bonno Andri Wibowo NIM G54100033
ABSTRAK BONNO ANDRI WIBOWO. Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Linear. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan SISWADI. Karya ilmiah ini membahas penyusunan penduga konsisten bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear. Komponen periodik fungsi intensitas tersebut tidak diasumsikan memiliki bentuk parametrik tertentu, namun periodenya diasumsikan diketahui. Sedangkan Slope dari tren linear diasumsikan memiliki nilai positif, namun nilainya tidak diketahui. Masalah utama karya ilmiah ini adalah menyusun penduga fungsi nilai harapan, membuktikan kekonsistenan penduga, dan membuktikan bias, ragam, dan Mean Square Error (MSE) penduga konvergen menuju nol untuk panjang interval pengamatan proses menuju takhingga. Kata kunci: Fungsi intensitas periodik, fungsi nilai harapan, kekonsistenan penduga, proses Poisson periodik majemuk, tren linear. ABSTRACT BONNO ANDRI WIBOWO. Estimating the Mean Function of a Compound Cyclic Poisson Process with Linear Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU and SISWADI. This manuscript is concerned with consistent estimation of the mean function of a compound cyclic Poisson process with linear trend. The cyclic component of intensity function of this process is not assumed to have any parametric form, but it period is assumed to be known. The slope of linear trend is assumed to be positif, but it value is unknown. The main problem of this manuscript are constructing an estimator of this mean function, proving consistency of this estimator, and proving that the bias, variance, and meansquared error of this estimator converge to zero as the length of the observation time interval indefinitely expands. Key word: Compound cyclic Poisson process, consistency, cyclic intensity function, linear trend, the mean function.
PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN LINEAR BONNO ANDRI WIBOWO Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2014
Judul Skripsi : Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Majemuk dengan Tren Linear Nama Mahasiswa : Bonno Andri Wibowo NIM : G54100033 Disetujui oleh Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc Pembimbing I Prof Dr Ir Siswadi, MSc Pembimbing II Diketahui oleh Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen Tanggal Lulus:
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunianya sehingga karya ilmiah yang berjudul Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Majemuk dengan Tren Linear ini berhasil diselesaikan. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Prof Dr Ir I Wayang Mangku, MSc selaku pembimbing I dan Bapak Prof Dr Ir Siswadi, MSc selaku dosen pembimbing II atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada Ruhiyat, MSi selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ibu, lukman, adi, widi atas segala dukungan, semangat, dan doa serta kasih sayangnya. Selain itu, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada teman teman math 47, adik adik math 48 49, DPM FMIPA IPB, Gumatika, Matematika Terapan angkatan 8 dan IKAHIMATIKA INDONESIA Wilayah III, serta tentor tentor katalis IPB atas segala dukungan dan doa yang diberikan. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat. Bogor, Februari 2014 Bonno Andri Wibowo
DAFTAR ISI DAFTAR LAMPIRAN VI PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Rumusan Masalah 2 Tujuan Penelitian 2 LANDASAN TEORI 2 Nilai Harapan, dan Ragam 2 Kekonvergenan 3 Penduga dan Sifat sifatnya 4 Proses Stokastik dan Proses Poisson 5 Beberapa Lema Teknis 6 KARYA TERKAIT PADA PENDUGAAN PARAMETER PADA PROSES 7 POISSON TAK-HOMOGEN Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk 7 Pendugaan Parameter pada Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear 9 PERUMUSAN PENDUGA DAN KEKONSISTENANNYA 11 Pengantar dan Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan 11 Kekonsistenan Penduga dan Laju Kekonvergenannya 12 Beberapa Lema Teknis dan Buktinya 13 BUKTI KEKONSISTENAN PENDUGA DAN LAJU 18 KEKONVERGENANNYA Bukti Kekonsistenan Penduga 18 Bukti Laju Kekonvergenan Penduga 18 SIMPULAN 26 DAFTAR PUSTAKA 27 LAMPIRAN 29 RIWAYAT HIDUP 33
PENDAHULUAN Latar Belakang Proses stokastik merupakan proses yang menggambarkan suatu kejadian atau fenomena yang bersifat tidak pasti. Proses ini berguna untuk memodelkan fenomena yang berkaitan dengan aturan peluang seperti pergerakan harga saham, proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat layanan (customer service), dan banyaknya klaim yang datang ke suatu perusahaan asuransi. Oleh sebab itu, untuk memprediksi bagaimana fenomena-fenomena tersebut terjadi di masa yang akan datang diperlukan suatu peramalan atau pendugaan. Peramalan tersebut berguna untuk memperoleh informasi mengenai perubahan di masa yang akan datang. Proses stokastik dapat diklasifikasikan menjadi proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Pada karya ilmiah ini pembahasan hanya difokuskan pada salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu, yaitu proses Poisson majemuk. Proses Poisson majemuk dapat digunakan untuk memodelkan besarnya klaim agregat, sehingga perusahaan asuransi dapat menduga besarnya keuntungan yang akan diperoleh pada masa yang akan datang. Sebelumnya, Byrne (1969) telah menggunakan proses Poisson majemuk pada beberapa permasalahan fisika. Selain itu, proses Poisson majemuk telah diterapkan pada bidang demografi (Kegler 2007), geologi ( dan 2008) dan biologi (Puig dan Barquinero 2011). Selama ini, kajian terhadap proses Poisson majemuk dilakukan dengan menggunakan proses Poisson homogen, yaitu proses Poisson yang fungsi intensitasnya konstan (tidak bergantung pada waktu). Apabila suatu kejadian memiliki peluang lebih besar untuk terjadi pada interval waktu tertentu dibandingkan pada interval waktu yang lain, maka asumsi ini tidak sesuai. Oleh karena itu, untuk memperluas cakupan permasalahan yang dapat dimodelkan, asumsi tersebut harus diubah. Waktu dapat dianggap berpengaruh dan digunakan proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson yang fungsi intensitasnya merupakan fungsi dari waktu. Proses Poisson takhomogen ini merupakan perumuman dari proses Poisson homogen. Kajian terhadap proses Poisson majemuk dengan menggunakan proses Poisson takhomogen sangatlah luas. Oleh karena itu, kajian dimulai dengan salah satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson periodik majemuk (Ruhiyat 2013). Setelah itu kajian ditingkatkan menjadi proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear. Proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear ini cocok dalam menggambarkan fenomena yang terjadi secara periodik namun meningkat mengikuti tren linear, seperti proses kedatangan wisatawan ke suatu pusat rekreasi dengan periode satu tahun. Sebaran dari peubah acak Poisson periodik majemuk dengan tren linear sulit ditentukan, sehingga salah satu hal yang penting yang dapat diusahakan untuk ditentukan adalah nilai harapan dari peubah acak tersebut. Nilai harapan ini merupakan fungsi dari waktu karena peubah acak Poisson periodik majemuk dengan tren linear merupakan fungsi dari waktu. Oleh karena itu, nilai harapan ini disebut sebagai fungsi nilai harapan.
2 Rumusan Masalah Pada karya ilmiah ini fungsi intensitas dari proses Poisson periodik dengan tren linear diasumsikan tidak diketahui karena apabila fungsi intensitas tersebut diketahui, fungsi nilai harapan dapat dengan mudah diketahui. Dengan asumsi ini, diperlukan pendugaan terhadap fungsi nilai harapan. Pendugaan diawali dengan mengkaji perumusan penduga bagi fungsi nilai harapan proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear. Selanjutnya kita menganalisis kekonsistenan penduga yang diperoleh. Kekonsistenan yang dianalisis adalah kekonsistenan lemah ketika interval waktu pengamatan memanjang. Selain itu, kita melakukan analisis terhadap bias, ragam, dan mean squared error (MSE) dari penduga untuk melihat perbedaan antara penduga dengan fungsi nilai harapan yang sebenarnya. Tujuan Penelitian 1. Merumuskan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear, 2. Menganalisis kekonsistenan penduga, dan 3. Menganalisis laju kekonvergenan ke nol dari bias, ragam, dan mean squared error (MSE) penduga. LANDASAN TEORI Nilai Harapan, dan Ragam Definisi 1 (Nilai harapan) 1. Jika adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang, maka nilai harapan dari didefinisikan sebagai, - jika jumlah di atas konvergen mutlak (Hogg et al. 2005). 2. Jika adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang, maka nilai harapan dari didefinisikan sebagai, - jika integral di atas konvergen mutlak (Hogg et al. 2005). Definisi 2 (Ragam) Jika adalah peubah acak, maka ragam dari didefinisikan sebagai (Ghahramani 2003). var,( ) -
Definisi 3 (Koragam) Misalkan dan adalah peubah acak dan misalkan pula dan masingmasing menyatakan nilai harapan dari dan. Koragam dari dan didefinisikan sebagai (Ghahramani 2003). cov,- Lema 1 (Sifat ragam) 1. Misalkan dan adalah peubah acak dan misalkan pula c dan d adalah dua buah konstanta sembarang, maka var cov(x,y) Bukti dapat dilihat di Ghahramani (2003). 2. Misalkan dan adalah peubah acak saling bebas dan misalkan pula c dan d adalah dua buah konstanta sembarang, maka Bukti dapat dilihat di Ghahramani (2003). 3. Misalkan adalah peubah acak dengan ragam yang berhingga, maka untuk sembarang konstanta c dan d, berlaku Bukti dapat dilihat pada Ghahramani (2003). Kekonvergenan Definisi 4 (Konvergen dalam peluang) Misalkan adalah peubah acak pada suatu ruang peluang Suatu barisan peubah acak, dikatakan konvergen dalam peluang ke peubah acak, ditulis jika untuk setiap berlaku untuk (Ghahramani 2003). ( ) Definisi 5 (Konvergen hampir pasti) Misalkan adalah peubah acak pada suatu ruang peluang Suatu barisan peubah acak, dikatakan konvergen hampir pasti ke peubah acak, ditulis jika untuk setiap berlaku untuk (Ghahramani 2003). ( ) Lema 2 (Sifat kekonvergenan dalam peluang) Misalkan dan, maka dan. untuk. Bukti dapat dilihat pada Hogg et al. (2005). 3
4 Penduga dan Sifat sifatnya Definisi 6 (Statistik) Misalkan adalah contoh acak dari peubah acak. Kemudian setiap fungsi dari contoh acak tersebut disebut statistik (Hogg et al. 2005). Definisi 7 (Penduga) Misalkan adalah contoh acak. Suatu statistik yang digunakan untuk menduga suatu parameter, katakanlah, disebut sebagai penduga (estimator) bagi (Hogg et al. 2005). Definisi 8 (Penduga tak-bias) 1. Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter yang diduga, yaitu E, -, disebut penduga takbias bagi parameter tersebut. Jika tidak, penduga tersebut disebut berbias. 2. Jika, - maka disebut sebagai penduga takbias asimtotik bagi (Hogg et al. 2005). Definisi 9 (Penduga konsisten lemah) Suatu penduga ( ) yang konvergen dalam peluang ke parameter yaitu untuk, disebut penduga konsisten lemah bagi (Hogg et al. 2005). Definsi 10 (Penduga konsisten kuat) Suatu penduga ( ) yang konvergen dalam sebaran ke parameter yaitu untuk, disebut penduga konsisten kuat bagi (Hogg et al. 2005). Definisi 11 ( dan ) Simbol-simbol dan merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi dan dengan menuju suatu limit L. (i) Notasi ( ), menyatakan bahwa terbatas, untuk. (ii) Notasi ( ), menyatakan bahwa (Serfling 1980).
5 Proses Stokastik dan Proses Poisson Definisi 12 (Proses stokastik) Proses stokastik = * + adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang state (state space) S (Ross 2007). Definisi 13 (Proses stokastik dengan waktu kontinu) Suatu proses stokastik disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika adalah suatu interval (Ross 2007). Definisi 14 (Inkremen bebas) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu * + disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua peubah acak adalah bebas (Ross 2007). Definisi 15 (Inkremen stasioner) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu * + disebut memiliki inkremen stasioner jika memiliki sebaran yang sama untuk semua (Ross 2007). Definisi 16 (Proses pencacahan) Suatu proses stokastik * + disebut proses pencacahan jika menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu (Ross 2007). Definisi 17 (Proses Poisson) Suatu proses pencacahan * + disebut proses Poisson dengan laju,, jika memenuhi tiga syarat berikut 1. (0) = 0. 2. Proses tersebut memiliki inkremen bebas. 3. Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan. Jadi, untuk semua t,s, (Ross 2007). ( ) Definisi 18 (Proses Poisson homogen) Suatu proses Poisson * + disebut proses Poisson homogen jika laju merupakan konstanta untuk semua t (Ross 2007). Definisi 19 (Proses Poisson takhomogen) Suatu proses Poisson * + disebut proses Poisson tak-homogen jika laju merupakan fungsi dari waktu, yaitu (Ross 2007).
6 Lema 3 (Sebaran jumlah peubah acak Poisson) Misalkan dan adalah peubah acak saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter berturut-turut u dan v. Maka + memiliki sebaran Poisson dengan parameter u+v. Bukti dapat dilihat pada Ghahramani (2005). Definisi 20 (Terintegralkan lokal) Fungsi intensitas disebut terintegralkan lokal jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas, memenuhi persamaan berikut (Dudley 1989). Definisi 21 (Intensitas lokal) Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak-homogen dengan fungsi intensitas pada titik s adalah, yaitu fungsi di s (Cressie 1993). Definisi 22 (Fungsi periodik) Suatu fungsi disebut periodik jika untuk setiap s dan k serta merupakan periode dari fungsi tersebut (Browder 1996). Definisi 23 (Proses Poisson periodik) Proses Poisson periodik adalah proses Poisson takhomogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik (Mangku 2001). Beberapa Lema Teknis Lema 4 (Ketaksamaan Markov) Jika adalah peubah acak taknegatif, maka untuk setiap t > 0 berlaku Bukti dapat dilihat pada Ghahramani (2003). Lema 5 (Ketaksamaan Chebyshev) Jika adalah peubah acak dengan nilai harapan dan ragam terbatas, maka untuk setiap berlaku ( ) Bukti dapat dilihat pada Ghahramani (2003).
7 Lema 6 (Ketaksamaan segitiga) Jika dan adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas, maka Bukti dapat dilihat pada Helms (1996). Lema 7 (Hukum lemah bilangan besar) Misalkan * + adalah peubah acak i.i.d dengan nilai harapan dan ragam, maka untuk. Bukti dapat dilihat pada Capiński dan Kopp (2007). Lema 8 Misalkan k, adalah konstanta maka berlaku 1. (, -) (1) 2. (, -) ( ) (2) 3. (, -) (3) untuk. Bukti dapat dilihat pada Titchmarsh (1960). KARYA TERKAIT PADA PENDUGAAN PARAMETER PADA PROSES POISSON TAKHOMOGEN Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk Misalkan * + adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan fungsi intensitas terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas (s) diasumsikan berupa fungsi periodik, yakni memenuhi untuk setiap 0 dan, dengan menyatakan himpunan bilangan asli. Nilai harapan dari proses * + adalah dengan, -
8 di mana untuk setiap bilangan real, menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan, dan yaitu fungsi intensitas global dari proses * + Diasumsikan bahwa Selanjutnya, misalkan * + adalah suatu proses dengan di mana * + adalah barisan peubah acak yang independent and identically distributed dengan nilai harapan dan ragam, yang juga bebas terhadap proses * +. Proses * + disebut dengan proses Poisson periodik majemuk. Secara matematis, fungsi nilai harapan dari proses Poisson periodik majemuk dapat dituliskan sebagai berikut:, -, -, -. / Pendugaan fungsi nilai harapan dapat dibagi menjadi beberapa pendugaan, yaitu pendugaan fungsi intensitas global, pendugaan yang merupakan nilai harapan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu, - dan pendugaan. Pendugaan bagi fungsi intensitas global dirumuskan sebagai berikut: (, -) Penduga ini merupakan rata-rata banyaknya kejadian yang terjadi pada interval, - Penduga bagi telah dikaji pada Ruhiyat (2013) dan dirumuskan sebagai berikut: (, -, -) Penduga ini didapatkan dari rata-rata banyaknya kejadian yang terjadi pada setiap interval waktu, -, yang termasuk dalam interval pengamatan, -. Masing-masing interval waktu ini memiliki panjang yang sama dengan panjang interval waktu banyaknya kejadian yang diduga, yaitu kecuali mungkin untuk satu interval. Selain itu, masing-masing interval waktu tersebut memiliki fungsi intensitas yang sama dengan interval waktu banyaknya
kejadian yang diduga, kecuali mungkin untuk satu interval. Hal ini merupakan akibat dari sifat keperiodikan fungsi intensitas. Penduga bagi dirumuskan sebagai berikut: (, -) (, -) dengan saat (, -). Penduga ini diperoleh dari rata rata nilai peubah acak yang bersesuaian untuk setiap titik data pada interval pengamatan, -. Dengan menggunakan ketiga rumusan tersebut, penduga bagi fungsi nilai harapan dirumuskan sebagai berikut:. / dengan saat (, -). Penduga nilai harapan tersebut telah dibuktikan kekonsistenannya baik kekonsistenan lemah maupun kekonsistenan kuat pada Ruhiyat et al. (2013). Laju kekonvergenan bias, ragam, dan MSE penduga berturut-turut ialah [ ] 9 [ ] untuk. [ ] Pendugaan Parameter pada Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear Pengantar proses Poisson periodik dengan tren linear Misalkan * + adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan fungsi intensitas terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas (s) diasumsikan berupa fungsi periodik dengan tren linear, yakni memenuhi (4) konstanta merupakan kemiringan dari tren dengan > 0. (5) Kondisi fungsi intensitas ini juga digunakan pada Mangku (2005). Pendugaan komponen-komponen parameter pada proses Poisson periodik dengan tren linear Penduga bagi slope dari tren linear, yaitu dirumuskan sebagai berikut: (, -) (6)
10 Pendugaan ini juga dilakukan pada Helmers dan Mangku (2009) untuk tujuan yang berbeda. Penduga bagi fungsi intensitas global telah dikaji pada Mangku (2005) dan dirumuskan sebagai berikut: ( ) (, -, -) ( ( ) ) (7) Penduga bagi fungsi intensitas sebagian telah dikaji pada Mangku (2010) dan dirumuskan sebagai berikut: ( ) (, -, -) ( ( ) ) (8) Beberapa lema dalam pendugaan parameter pada proses Poisson periodik dengan tren linear Lema 9: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (4) dan terintegralkan lokal, maka (9), - untuk. Dengan kata lain merupakan penduga yang takbias asimtotik bagi. Bukti dapat dilihat pada Helmers dan Mangku (2009). Lema 10: Misalkan fungsi intensitas terintegralkan lokal, maka memenuhi persamaan (4) dan (10), - untuk. Bukti dapat dilihat pada Helmers dan Mangku (2009). Lema 11: Misalkan fungsi intensitas terintegralkan lokal, maka memenuhi persamaan (4) dan untuk. Bukti dapat dilihat pada Helmers dan Mangku (2009). Lema 12: Misalkan fungsi intensitas terintegralkan lokal, maka memenuhi persamaan (4) dan [ ] (11) untuk. Dengan kata lain merupakan penduga yang takbias asimtotik bagi. Bukti dapat dilihat pada Mangku (2005).
11 Lema 13: Misalkan fungsi intensitas terintegralkan lokal, maka memenuhi persamaan (4) dan untuk. Bukti dapat dilihat pada Mangku (2005). [ ] ( ) (12) Lema 14: Misalkan fungsi intensitas terintegralkan lokal, maka memenuhi persamaan (4) dan untuk. Bukti dapat dilihat pada Mangku (2005). Lema 15: Misalkan fungsi intensitas terintegralkan lokal, maka memenuhi persamaan (4) dan [ ] ( ( ) ) (13) untuk. Dengan kata lain merupakan penduga yang takbias asimtotik bagi. Bukti dapat dilihat pada Adawiyah (2011). Lema 16: Misalkan fungsi intensitas terintegralkan lokal, maka memenuhi persamaan (4) dan untuk. Bukti dapat dilihat pada Mangku (2010). PERUMUSAN PENDUGA DAN KEKONSISTENANNYA Pengantar dan Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan Misalkan * + adalah suatu proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear, dan misalkan * + adalah suatu proses dengan di mana * + adalah barisan peubah acak yang independent and identically distributed dengan nilai harapan dan ragam, yang juga bebas terhadap * +. Proses * + disebut dengan proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear. Nilai harapan dari, dinotasikan dengan ialah, -, - (15) dengan (14)
12 (16) Bukti persamaan (15) dapat dilihat pada Lampiran 1, maka untuk setiap yang diberikan, Misalkan (17) yaitu fungsi intesitas global dari komponen periodik pada proses * +. Bukti persamaan (17) dapat dilihat pada Lampiran 1. Diasumsikan (18) Akhirnya, berdasarkan persamaan (15) dan (17), fungsi nilai harapan dari dapat dituliskan menjadi ( ) (19) Pendugaan fungsi nilai harapan pada persamaan (19) dapat dibagi menjadi beberapa pendugaan, yaitu pendugaan, pendugaan yang merupakan slope pada fungsi intensitas, pendugaan fungsi intensitas global, dan pendugaan yang merupakan nilai harapan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu, -. Penduga bagi dirumuskan sebagai berikut: (, -) (, -) (20) dengan saat (, -). Penduga ini diperoleh dari rata rata nilai peubah acak yang bersesuaian untuk setiap titik data pada interval pengamatan, -. Dengan menggunakan penduga pada persamaan (6)-(8) dan (20), penduga bagi fungsi nilai harapan dirumuskan sebagai berikut: ( ) (21) dengan saat (, -). Kekonsistenan Penduga dan Laju Kekonvergenannya Teorema 1 (Kekonsistenan lemah) Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (4) dan terintegralkan lokal. Jika memenuhi persamaan (14), maka (22) untuk. Jadi merupakan penduga yang konsisten lemah bagi.
Teorema 2 (Laju kekonvergenan bias) Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (4) dan terintegralkan lokal. Jika memenuhi persamaan (14), maka [ ] [ ] ( ( ) ) untuk. Artinya, Bias konvergen ke nol dengan laju. ( ) / jika. Teorema 3 (Laju kekonvergenan ragam) Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (4) dan terintegralkan lokal. Jika memenuhi persamaan (14), maka [ ] ( ( ) ) untuk. Artinya, ragam konvergen ke nol dengan laju. ( ) / jika. Akibat 4 (Laju kekonvergenan MSE) Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (4) dan terintegralkan lokal. Jika memenuhi persamaan (14), maka [ ] ( ( ) ) untuk. Artinya, [ ] konvergen ke nol dengan laju. ( ) / jika. Beberapa Lema Teknis dan Buktinya Beberapa lema berikut digunakan dalam mengkaji kekonsistenan penduga bagi fungsi nilai harapan. Berdasarkan Lema 9 dan 10, diperoleh akibat berikut. Akibat 1: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (4) dan terintegralkan lokal, maka (23) (( ) ) untuk. Bukti: Momen kedua dari dapat ditentukan seperti berikut: (( ) ) ( ), ( )-. / (. /). /. /. / 13
14. / untuk. Bukti Lengkap. Berdasarkan Lema 12 dan 13, diperoleh akibat berikut. Akibat 2: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (4) dan terintegralkan lokal, maka.( ) / ( ( ) ) untuk. Bukti: Momen kedua dari dapat ditentukan seperti berikut:.( ) / ( ) [ ( )] (24) =. ( ) / (. ( ) /) =. ( ) / O. ( ( )) / =. ( ) / untuk. Bukti lengkap. Lema 17: Misalkan fungsi intensitas terintegralkan lokal, maka memenuhi persamaan (4) dan [ ] untuk. Bukti: Nilai ragam dari penduga [ ] 0 ( ) (25) ( ) ( ) adalah (, -, -). ( ) /1. Misalkan (, -, -) ( ) dan. Sehingga dengan menerapkan Lema 1 diperoleh [ ], -, - ( ) /. (26) Catatan, untuk setiap j k, j,k= 1,2,..., maka (, -, -) dan (, -, -) tidak saling tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga (, -, -) dan (, -, -) adalah bebas, untuk k j., - 0 ( ) (, -, -) 1 = ( ( )), (, -, -)-, karena N peubah acak Poisson, maka Var(N)= E(N) = ( ( )), (, -, -)-
15 = ( ( )) (, -). Misalkan y= s-k maka persamaan di atas menjadi = ( ( )) ( ) (, -) karena merupakan fungsi periodik, maka = ( ( )) ( ) (, -) (, -). (27) ( ( )) Substitusi (1) pada bagian pertama persamaan (27) menjadi = ( ( )) ( ). / = ( ( ( )). ( ) /) ( ) = ( ( ). ( ( )) /). / = ( ) ( ( )). ( ( )) / (28) untuk. Substitusi persamaan (2) bagian kedua persamaan (27) = ( ( )) ( ( ) ) untuk = ( ). ( ( )) / (29). Dari persamaan (28) dan (29) maka persamaan (27) menjadi, - ( ) ( ) ( ( )). ( ( )) /. (30), - 0. ( ) /1 =. /, - Substitusi persamaan (10) maka persamaan di atas menjadi =. ( ( )) ( ) / (. /) = ( ( )) ( ). / untuk. = ( ( )). ( ( )) / (31)
16 ( (, -, -). ( ) /) =. ( ) /. ( ) / ( (, -, -) (, -)) =. / ( (, -, -)) ( ) ( ( )) =. / ( (, -, -)) ( ) ( ( )) =. / (, -) ( ) ( ( )) =. / ( ) ( ( )) (, -) =. / ( ) ( ( )) ( ) ( k, n-)d =. / ( ) ( ( )) ( ) (, -). / ( ) ( ( )) (, -) (32) Substitusi persamaan (2) pada bagian pertama persamaan (32). / ( ) ( ( )) ( )( ( ) ) = ( ( ). ( ( )) /). ( ) / = ( = ( ) ( ). ( ( )) /). /. ( ( )) / =. ( ( )) / (33) untuk. Substitusi persamaan (3) pada bagian kedua persamaan (32). ( ) ( ( )) /. / = ( ) ( ( )). /
17 =. ( ) / (34) untuk. Dari persamaan (33) dan (34) dapat diperoleh ( ( ) ) (35) untuk. Dari persamaan (30), (31), dan (35) dapat diperoleh [ ] ( ) ( ) ( ( )). ( ( )) / ( ( )) =. ( ( )) /. ( ( )) / ( ). ( ) / untuk. Bukti lengkap. Berdasarkan Lema 15 dan 17, diperoleh akibat berikut. Akibat 3: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (4) dan terintegralkan lokal, maka (. / ) ( ) ( ( ) ) (36) untuk. Bukti: Momen kedua dari dapat ditentukan seperti berikut: (. / ). / 0. /1 = = ( ) ( ). ( ) / (. ( ) /). ( ) /. ( ) / = ( ). ( ) / untuk. Bukti lengkap. Lema 18: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (4) dan terintegralkan lokal. Jika kondisi (5) dan (18) dipenuhi, maka dengan peluang 1, (, -) untuk. Bukti:, (, -)- = ( ) = untuk. Bukti lengkap.
BUKTI KEKONSISTENAN PENDUGA DAN LAJU KEKONVERGENANNYA Bukti Kekonsistenan Penduga Bukti Teorema 1: Perhatikan kembali persamaan (21). Dengan menerapkan Lema 2, untuk membuktikan Teorema 1, cukup diperiksa bahwa (37) dan untuk n. Dengan Lema 11 diperoleh (37), dengan Lema 14 diperoleh (38), dengan Lema 16 diperoleh (39). Dengan Lema 18 dan Lema 7 (hukum lemah bilangan besar) diperoleh (40). Bukti Lengkap. Bukti Teorema 2: [ ] 0 [ (, -)]1 Bukti Laju Kekovergenan Penduga = [ (, -) ] ( (, -) ) = [ (, -) ] ( (, -) ) [ (, -) ] ( (, -) ). Untuk (, -) maka. Sedangkan (, -) (38) (39) (40). Sehingga untuk m, (, -) - (, -) / (, -) (, -) = 0. / 1 =. ( ). / /. /. Dari Lema 10, Lema 12 diperoleh. ( ). / /. /
19 = ( (. ( ) /) (. ( ) /) ) = (. ( ) /) = (. ( ) /) = (. ( ) /) untuk. Jadi, [ ] (. ( ) /) ( (, -) ) = (. ( ) /) ( (, -) ) ( (, -) ) = (. ( ) /) ( (, -) ) ( (, -) ) = (. ( ) /) ( ( (, -) )) ( (, -) ) = (. ( ) /) ( ( ) ) ( (, -)) = (. ( ) /) ( ) ( (, -)) = (. ( ) /) ( ) ( (, -)) = (. ( ) /). ( )/ ( (, -)) =. /. ( ) /. ( ) /. (, -) / =. /. ( ) / ( ) =. / (. /). ( ) / =. /. ( ) /
20 =. ( ) / untuk. Sehingga [ ]. ( ) / (41) untuk. Jadi, [ ] [ ] untuk. =. ( ) / =. ( ) / Bukti Teorema 3: Berdasarkan sifat dari ragam, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan dapat diperoleh dari rumusan berikut: (42) [ ] [. / ] ( [ ]) Bagian kedua dari ruas kanan persamaan (42) telah diperoleh pada persamaan (41), sehingga tersisa bagian pertamanya yang perlu dihitung. Momen kedua dari penduga bagi fungsi nilai harapan dapat ditentukan melalui nilai harapan bersyarat berikut: [. / ] * [. / (, -)]+ = [. / (, -) ] ( (, -) ) = [. / (, -) ] ( (, -) ) [. / (, -) ] ( (, -) ). Untuk (, -) maka. Sedangkan untuk (, -). (, -) / (, -) (, -). Sehingga untuk m 0( ) (, -) 1 = *(. / ) + = [. /. / ]
21 = [. / ] [. / ] Pertama, dihitung [. / ] = [( ). /. / ]+ 0 1 = 0( ) 1 [. / ]. / [ ] [ ] [ ] Dari Lema 10, Lema 12, Akibat 2, dan Akibat 3 diperoleh 0( ) 1 [. / ]. / [ ] [ ] [ ] = (. ( ) /) (( ) ( ). ( ) /). / (. ( ) /) (. ( ) /) (. ( ) /) (. ( ) /) =. ( ) / ( ). ( ) /. /. ( ) /. /. / ( ( )) ( ). / ( ) = ( ). /. ( ) / untuk. Kedua, dihitung [. / ] =,( ) - = [ ] = ( )
22 =. / =. / = Jadi, diperoleh untuk m [. / (, -) ] =. / ( ( ). / ). / (. ( ) /) untuk. Oleh karena itu, [. / ] ( (, -) ). / ( ( ). / ) ( (, -) ). / (. ( ) /) = ( (, -) ) ( (, -) ).. / ( (, -) ) / ( (, -) ) ( ( ). ( ) /) ( (, -) ) + ( ( ). ( ) /) ( (, -) ) untuk. Pada bukti Teorema 2 telah diperoleh ( (, -) ), (, -)- (43) dan ( (, -) ) (44) untuk. Dengan cara serupa, dapat diperoleh
23 ( (, -) ) 0( (, -)) 1 (45) Terakhir, ( (, -) ) (46) untuk. Bukti persamaan (46) dapat dilihat pada Lampiran 1. Dengan (43)- (46), diperoleh [. / ] = 0( (, -)) 1, (, -)-.. /, (, -)- / ( ) ( ( ). ( ) /) ( ) ( ( ). ( ) /) (. /) = [. (, -) / ] 0 (, -) 1.. / 0 (, -) 1 / ( ) ( ( ). ( ) /) ( ) ( ( ). ( ) /) (. /) =,( ) -, -. /, -. / ( ) ( ( ). ( ) /) ( )
24 ( ( ). ( ) /) (. /) Dari Lema 9 dan Akibat 1 diperoleh,( ) -, -. /, -. / ( ) ( ( ). ( ) /) ( ) ( ( ). ( ) /) (. /) = (. /) (. /).. / (. /) / ( ) ( ( ). ( ) /) ( ) ( ( ). ( ) /) (. /) =. /. ( ) /. / + ( ( ) ). ( ) /. ( ) / =. ( ). ( ) / / =. /. ( ) / = (. / ). ( ) / = ( ). ( ) / untuk. Sehingga, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan adalah [ ] [. / ] ( [ ])
25 = ( ). ( ) / (. ( ) /) = ( ). ( ) / ( ). ( ( )) / =. ( ) / untuk. Bukti lengkap. Bukti Akibat 4: Berdasarkan Teorema 2 dan 3, [ ] [ ] ( [ ]) =. ( ) / (. ( ) /) =. ( ) /. ( ( )) / =. ( ) / untuk. Bukti lengkap.
SIMPULAN Rumusan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear ialah ( ) dengan (, -) ( ) (, -, -) ( ( ) ) ( ) (, -, -) ( ( ) ) dan (, -) (, -) dengan saat (, -). Penduga bagi fungsi nilai harapan dengan rumusan ini merupakan penduga yang konsisten lemah. Bias, ragam dan MSE dari penduga bagi fungsi nilai harapan konvergen ke nol dengan laju. ( ) /.
DAFTAR PUSTAKA Adawiyah TRA. 2011. Kekonsistenan penduga fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang waktu tunggu proses Poisson periodik dengan tren linear [Skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor. Browder A. 1996. Mathematical Analysis: An Introduction. New York (US): Springer Byrne J. 1969. Properties of compound Poisson processes with applications in statistical physics. Physica 41:575-587. Capiński M Kopp E. 7. Measure, Integral and Probability. Ed. New York (US): Springer. Cressie NAC. 1993. Statistics for Spatial Data. Revised edition. New York (US): John Wiley & Sons. Dudley RM. 1989. Real Analysis and Probability. California (US): Wadsworth & Brooks. Ghahramani S. 2003. Fundamentals of Probability. Ed. New Jersey (US): Prentice Hall. Helmers R, Mangku IW. 2009. Estimating the intensity of a cyclic Poisson process in the presence of linear trend. Annals Institute of Statistical Mathematics 61(2009):599-628. Helms LL. 1996. Introduction to Probability Theory: With Contemporary Application. New York (US): W. H. Freeman & Company Hogg RV, McKean JW, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. Ed. New Jersey (US): Prentice Hall. Kegler SR. 2007. Applying the compound Poisson process model to reporting of injury-related mortality rates. Epidemiologic Perspectives & Innovations 4:1-9. Mangku IW. 2001. Estimating the intensity a cyclic Poisson process [disertasi]. Amsterdam (NL): University of Amsterdam. Mangku IW. 2005. A note on estimation of the global intensity of a cyclic Poisson process in the presence of linear trend. Journal of Mathematics and Its Application. 4(2):1-12 Mangku IW. 2010. Consistent estimation of the distribution function and the density of waiting time of a cyclic Poisson process with linear trend. Far East Journal of Theoretical Statistics. 33(1): 81-91 Özel G İnal C. 8. The probabilit function of the compound oisson process and an application to aftershock sequence in Turkey. Environtmetrics 19:79-85. Puig P, Barquinero JF. 2011. An application of compound Poisson modeling to biological dosimetry. Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. 467(2127):897-910. Ross SM. 2007. Stochastic Process. Ed. New York (US): John Wiley & Sons. Ruhiyat. 2013. Pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk [Tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
28 Ruhiyat, Mangku IW, Purnaba IGP. 2013. Consistent estimation of the mean function of a compound cyclic Poisson process. Far East Journal of Mathematical Sciences 77(2):183-194. Serfling RJ. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New York (US): John Wiley & Sons Titchmarsh EC. 1960. The Theory of Function. London (UK): Oxford University Press.
29 Lampiran 1: Bukti beberapa persamaan Bukti persamaan (15):, -, - Berdasarkan persamaan (14),, - * + Dengan sifat nilai harapan, * + * ( )+ Selanjutnya terlebih dahulu ( ) yaitu, ( ) [ ], - karena barisan peubah acak * + bebas terhadap proses * +. Kemudian, karena * + adalah barisan peubah acak i.i.d., maka, -, - Sehingga (, - ), - akhirnya diperoleh, - [, -] Dengan menggunakan kembali asumsi kebebasan antara barisan peubah acak * + dengan proses * +., -, -, -
30 Bukti lengkap. Bukti persamaan (17): ( ) Berdasarkan Ruhiyat (2013): sehingga diperoleh =. Bukti persamaan (46): ( (, -) ). / Dari pembuktian Lema 18, diketahui bahwa, - untuk. Dari Lema 1, dapat diperoleh, - untuk. Oleh karena itu, untuk mendapatkan persamaan (45) seperti berikut ( (, -) ) ( ) cukup dibuktikan bahwa ( ) ( ) untuk, jika untuk n. Pertama, perhatikan bahwa. /. /. /
31 sehingga dan ( ) ( ). / ( ) ( ) ( ) ( ) Selanjutnya, Misalkan k= m+1, maka ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) ). / untuk. Kemudian, karena ( ) maka, ( ) ( ) Perhatikan juga bahwa, sehingga
32 ( ) ( ) Misalkan k= m+2, maka ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ). / untuk. Jadi, ( ) ( ). /. / =. / untuk Bukti lengkap.
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 18 Maret 1992 dari pasangan bapak (alm) Kasiman Prapto Hartono dan ibu I Gusti Ayu Akrini. Penulis merupakan putra pertama dari tiga bersaudara. Tahun 2010 penulis lulus dari SMA Negeri 18 Jakarta dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswa IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih mayor Matematika Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Akhir Agustus 2013 penulis diterima program fast track S-2 Matematika IPB. Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Kalkulus II (S-1) pada semester genap tahun akademik 2011-2012 dan semester ganjil 2012-2013, asisten mata kuliah Pengantar Teori Peluang (S-1) pada semester genap tahun akademik 2012-2013 serta asisten mata kuliah Pengantar Riset Operasi (S- 1) pada semester ganjil 2013-2014. Pada tahun 2012 penulis meraih mendali emas SPIRIT cabang catur, tahun 2013 penulis mewakili IPB pada kegiatan Olimpiade Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Perguruan Tinggi (ONMIPA PT) bidang Matematika yang diselenggarakan oleh DIKTI, penulis mendapatkan beasiswa PPA dari IPB pada semester ganjil tahun akademik 2013-2014. Penulis aktif di berbagai kegiatan kemahasiswaan. Penulis pernah memegang amanah sebagai Ketua RT Lorong 8 C3 Asrama Putra TPB IPB 47, Bendahara 2 kelas B 10 TPB IPB 47, Ketua Ikatan Mahasiswa Jakarta Utara tahun 2010-2011, staf Komisi 1 Dewan Perwakilan Mahasiswa Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (DPM FMIPA) Kabinet Zwitterium 2011-2012, staf Departemen Public Relation Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) Kabinet Semesta 2012-2013, staf Departemen Ekonomi Ikatan Himpunan Mahasiswa Matematika (IKAHIMATIKA) Indonesia Wilayah III tahun 2011-2012, staf Departemen Kaderisasi Ikatan Himpunan Mahasiswa Matematika (IKAHIMATIKA) Indonesia Wilayah III tahun 2012-2013. Penulis aktif di berbagai kegiatan kepanitian, Ketua Panitia Latihan Kepemimpinan Mahasiswa Matematika dan Musyawarah Tahunan IKAHIMATIKA tahun 2013, Ketua Panitia Lokakarya Lembaga Kemahasiswaan FMIPA IPB tahun 2011, Wakil Ketua Panitia Piala Rektor tahun 2011, staf Divisi Konsumsi Pesta Sains Nasional tahun 2011, staf Divisi PJLT MPKMB 48 tahun 2011, staf Divisi SG G-FORCE 48 tahun 2012, dan staf Divisi PJK MPD Matematika tahun 2012 dan 2013.