BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Matematika adalah salah satu ilmu pengetahuan yang mempunyai peranan sangat besar dalam kehidupan nyata. Salah satu bagian dari matematika adalah persamaan differensial, yang dapat diaplikasikan dalam berbagai bidang. Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat derivatif dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas. Persamaan Diferensial terdiri dari dua jenis, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial khususnya persamaan diferensial parsial terus berkembang secara teori maupun aplikasi. Persamaan diferensial parsial banyak digunakan dalam pemodelan fenomena-fenomena yang ada dalam bidang fisika, kimia, biologi maupun bidang-bidang lainnya. Dalam perkembangan matematika ada banyak matematikawan yang berkontribusi, salah satunya adalah matematikawan asal Prancis, Baro Jean Baptise Joseph Fourier (1768-1830). Fourier memberikan kontribusi pada aplikasi persamaan diferensial, salah satunya yaitu mengenai persamaan diferensial parsial tentang persamaan konduksi (persamaan panas). Pada kehidupan nyata banyak ditemui aplikasi persamaan diferensial parsial yang dilengkapi dengan syarat awal dan syarat batas atau masalah syarat awal dan masalah syarat batas. Persamaan konduksi panas juga tak luput dengan matematikawan yang ikut berkontribusi di dalamnya, yaitu Jean Baptiste Biot (1774-1862), Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) dan Ernst Schmidt. Persamaan panas dapat diterapkan pada berbagai macam bentuk benda, salah satunya benda berbentuk silinder. Dalam kehidupan sehari-hari banyak ditemui masalah yang terkait dengan persamaan panas pada silinder karena banyak benda-benda yang berbentuk tabung/silinder yang berkaitan dengan panas, seperti kabel, panci, pipa uap, alat pemanas air, pipa 1
2 air dan sebagainya. Persamaan panas ini sering digunakan dalam industri otomotif, industri perminyakkan, reaktor nuklir, dan industri lainnya. Pada tugas akhir ini, penulis akan membahas persamaan diferensial Bessel, fungsi Bessel, deret Fourier, deret Fourier-Bessel, pembentukkan persamaan panas pada sistem koordinat silinder, syarat awal dan syarat batas pada masalah konduksi panas, model penyelesaian serta beberapa contoh MSAB konduksi panas pada silinder terbatas, baik MSAB homogen maupun MSAB non homgen masalah steady state yang disebut Persamaan Laplace. 1.2. Maksud dan Tujuan Selain untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-1 (S-1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan skripsi ini bertujuan untuk 1. Membahas fungsi Bessel dan deret Fourier-Bessel. 2. Menjelaskan pemodelan persamaan persamaan panas pada sistem koordinat silinder. 3. Menjelaskan syarat awal dan syarat batas yang ada pada masalah konduksi panas pada silinder terbatas. 4. Menjelaskan metode penyelesaian MSAB konduksi panas pada silinder terbatas homogen dan Persamaan Lapalce serta mengevaluasi penyelesaian MSAB. 1.3. Tinjauan Pustaka Dalam penulisan skripsi ini, penulis mengacu pada literatur-literatur yang ada dalam daftar pustaka. Definisi dan teorema-teorema mengenai persamaan diferensial dipaparkan dalam Ross (1984). Penjelasan mengenai syarat awal dan syarat batas dipaparkan dalam Humi dan Miller (1992). Definisi dan sifat-sifat fungsi Gamma diambil dari Asmar (2004) dan Zill dan Cullen (2005). Definisi mengenai fungsi periodik, fungsi kontinu sepotong-sepotong, fungsi ganjil dan fungsi genap
3 diambil dari Humi dan Miller (1992). Berikutnya penjelasan mengenai deret Fourier untuk menyelesaikan persamaan diferensial mengacu pada penjelasan Powers (2005) dan Asmar (2004). Konsep mengenai masalah nilai eigen Sturm-Liouville mengacu pada penjelasan Asmar (2004). Berikutnya penjelasan mengenai Separasi Variabel mengacu pada penjelasan Zill dan Cullen (2005) dan Nagle (2012). Selanjutnya penjelasan mengenai metode Frobenius untuk menyelesaikan persamaan diferensial mengacu pada penjelasan Asmar (2004) dan Nagle (2012). Penjelasan mengenai persamaan Bessel, fungsi Bessel serta sifat-sifat fungsi Bessel mengacu pada penjelasan yang dipaparkan dalam Asmar (2002) dan Nagle dkk (2012). Selanjutnya penjelasan deret Fourier-Bessel mengacu pada Asmar (2004) dan Pinsky (2011), dan ide solusi koefisien Fourier-Bessel mengacu pada Asmar (2004) dan Ozisik (2002) yang selanjutnya dikembangkan penulis. Pada bahasan utama, pembentukan persamaan panas pada koordinat silinder mengacu pada pembahasan Nagle (2012) dan Latif (2009). Selanjutnya masalah syarat awal dan syarat batas yang terdapat pada masalah konduksi panas diambil dari pembahasan Cengel (2007). Selanjutnya pembahasan modifikasi fungsi BEssel mengacu pada Haberman (2004). Untuk solusi MSAB homogen, yaitu yang di selesaikan dengan metode separasi variabel dan fungsi Fourier-Bessel mengacu pada Pinsky (2011), sedangkan untuk MSAB non homogen penulis mengacu pada penjelasan Haberman (2004), Pinsky (2011), dan Neta (2012). 1.4. Metodologi Penelitian Pada skripsi ini penulis membahas mengenai MSAB untuk konduksi panas dalam silinder terbatas. Penelitian dimulai dari konsep dasar matematika yang akan digunakan, yaitu definisi-definisi dan teorema-teorema mengenai syarat awal dan syarat batas, persamaan diferensial, fungsi Gamma, definisi-definisi dan teoremateorema mengenai fungsi periodik, fungsi kontinu sepotong-sepotong, fungsi ganjil dan fungsi genap, metode pencarian solusi persamaan diferensial khususnya metode Frobenius,separasi variabel,dan deret Fourier yang akan digunakan untuk mencari solusi persamaan Bessel, dan definisi dan teorema masalah nilai eigen Sturm-
4 Liouville yang digunakan untuk bahasan utama skripsi ini. Untuk pembahasan selanjutnya dipelajari mengenai persamaan Bessel dan solusi persamaan Bessel yaitu fungsi Bessel yang diperoleh dengan menggunakan metode Frobenius. Kemudian dipelajari sifat-sifat fungsi Bessel yang akan digunakan untuk menyelesaikan masalah MSAB. Kemudian dipelajari mengenai modifikasi fungsi Bessel yang digunakan untuk menyelesaikan masalah Persamaan Laplace.Selanjutnya dipelajari mengenai deret Fourier-Bessel dan koefisien Fourier- Bessel yang diperoleh dengan memanfaatkansifat orthogonalitas fungsi eigen dalam hal ini fungsi Bessel. Untuk pembahasan utama dipelajari mengenai pembentukan pada koordinat silinder, serta syarat awal dan syarat batas pada masalah konduksi panas. Selanjutnya dipelajari metode separasi variabel untuk menyelesaikan MSAB konduksi panas homogen, dan metode untuk menyelesaikan MSB pada persamaan Laplace dengan sumber panas dan syarat batas tidak tergantung pada waktu. Beberapa pembahasan dalam skripsi ini menggunakan program Matlab untuk menyelesaikan masalah. Pada bahasan fungsi Bessel digunakan fungsi tersebut untuk mencari pendekatan pembuat nol dari fungsi Bessel. Selain itu, pada bahasan fungsi Bessel dan modifikasi fungsi Bessel rogram Matlab digunakan untuk membuat visualisasi dari fungsi tersebut. Pada MSAB koduksi panas, program Matlab digunakan untuk membuat visualisasi dari solusi MSAB tersebut. 1.5. Sistematika Penulisan Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut. BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah, perumusan dan batasan masalah, maksud dan tujuan penulisan, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, dan sistematika penulisan skripsi.
5 BAB II DASAR TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang konsep yang menjadi dasar pada pembahasan di bab-bab selanjutnya. Konsep dasar yang dibahas pada bab ini antara lain adalah: persamaan diferensial,syarat awal dan syarat batas,fungsi Gamma,fungsi kontinu sepotong-potong,fungsi ganjil,fungsi genap,deret Fourier,masalah nilai eigen Sturm-Lioville (MS-L),separasi variabel, dan metode Frobenius. BAB III FUNGSI BESSEL DAN DERET FOURIER-BESSEL Pada bab ini dibahas fungsi Bessel yang merupakan solusi dari persamaan Bessel,fungsi bessel jenis pertama, fungsi bessel jenis kedua,fungsi bessel jenis ketiga, sifat-sifat fungsi bessel, modifikiasi persamaan Bessel, serta Fourier-Bessel yang digunakan untuk menyelesaikan MSAB Homogen dan persamaan Laplace pada siinder terbatas, yaitu pada interval 0 r < a,0 < θ < 2π,0 < z < H dan t > 0. BAB IV MASALAH SYARAT AWAL DAN SYARAT BATAS (MSAB) UN- TUK ARUS PANAS DI SILINDER TERBATAS Pada bab ini akan dibahas hal-hal yang terkait dengan MSB untuk arus panas di silinder terbatas : pembentukan persamaan panas di koordinat Silinder,syarat batas dan syarat awal pada masalah arus panas, persamaan Laplace di koordinat Silinder, persamaan panas dengan syarat batas nol dan beberapa contoh. BAB V PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan dari apa yang telah dibahas dari bab-bab sebelumnya.