MODEL OPTIMASI VEHICLE ROUTING PROBLEM DAN IMPLEMENTASINYA ISKANDAR

MODEL OPTIMASI VEHICLE ROUTING PROBLEM DAN IMPLEMENTASINYA ISKANDAR SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2010

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Model Optimasi Vehicle Routing Problem dan Implementasinya adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Juni 2010 Iskandar NIM G551070531

ABSTRACT ISKANDAR. Optimization Model of Vehicle Routing Problem and Its Implementation. Supervised by AMRIL AMAN and FARIDA HANUM. A class of distribution of commodities problem can be modeled mathematically as a combinatorial optimization in the form of application of graph theory, namely Vehicle Routing Problem (VRP). VRP is a generalization of Travelling Salesman Problem (TSP), which can be described as the problem of designing routes of vehicles from a depot to a set of customers that minimized the total travel distance of vehicles. The routes must be started and ended at the depot, visited each customer only once by exactly one vehicle. VRP can be extended further by associating capacity of the vehicles, this class of problem is called Capacitated Vehicle Routing Problem (CVRP). The aims of this research are to formulate the model for distribution of commodities as a CVRP and to implement it for the distribution problem of Serambi Indonesia news paper in the area of Banda Aceh. This problem is solved by branch and bound method using LINGO 8.0 software. The results show that, optimal routes are shorter than the existing routes. Keywords: optimization, distribution, vehicle routing problem, branch and bound method, news paper

RINGKASAN ISKANDAR. Model Optimasi Vehicle Routing Problem dan Implementasinya. Dibimbing oleh AMRIL AMAN dan FARIDA HANUM. Masalah distribusi barang merupakan salah satu aspek penting yang perlu diperhatikan oleh setiap perusahaan. Hal ini berkaitan dengan masalah optimasi rute distribusi barang dari tempat produksi ke sejumlah konsumen. Keputusan tentang rute kendaraan dibuat untuk mengoptimalkan total jarak tempuh, waktu tempuh, jumlah kendaraan yang harus dioperasikan dan sumber daya lain yang tersedia supaya diperoleh keuntungan yang optimal sekaligus dapat mengurangi biaya logistik. Secara matematis, masalah penentuan rute kendaraan dalam mendistribusikan barang dari tempat produksi yang disebut dengan depot ke sejumlah pelanggan yang tersebar di sejumlah tempat disebut dengan Vehicle Routing Problem (VRP). VRP bertujuan meminimumkan total jarak tempuh kendaraan sehingga dapat meminimumkan biaya logistik perusahaan dengan memperhatikan beberapa kendala atau batasan-batasan (1) setiap pelanggan dikunjungi tepat satu kali oleh satu kendaraan, (2) setiap rute berawal dan berakhir di depot, dan (3) total permintaan pelanggan dalam satu rute tidak melebihi kapasitas kendaraan. Salah satu variasi VRP adalah Capacitated Vehicle Routing Problem (CVRP) yaitu dengan menambahkan kendala kapasitas kendaraan yang identik, sehingga panjang rute kendaraan dibatasi oleh kapasitas angkut kendaraan yang digunakan. Masalah penentuan rute kendaraan dalam mendistribusikan barang dapat dimodelkan sebagai integer linear programming (ILP). Model yang dibuat diharapkan dapat meminimumkan total jarak tempuh rute perjalanan kendaraan dan memenuhi kendala-kendala berikut: (1) setiap konsumen hanya dapat dikunjungi tepat satu kali oleh satu kendaraan, (2) total jumlah permintaan konsumen dalam satu rute tidak melebihi kapasitas kendaraan yang melayani rute tersebut, (3) setiap rute perjalanan kendaraan berawal dari depot, (4) setiap rute perjalanan kendaraan berakhir di depot, (5) kekontinuan rute, artinya setiap kendaraan yang mengunjungi suatu konsumen, setelah selesai melayani akan meninggalkan konsumen tersebut, (6) tidak terdapat subtour pada formulasi yang dibuat. Penentuan solusi model dilakukan dengan metode branch and bound dengan bantuan software LINGO 8.0. Solusi yang diperoleh merupakan solusi optimal yang meminimumkan fungsi tujuan dan memenuhi semua kendala atau batasan-batasan yang dibuat. Implementasi model dilakukan dengan cara menyimulasikan model pada data distribusi koran Serambi Indonesia pada depot percetakan Banda Aceh. Datadata yang digunakan adalah jarak antara depot dengan pelanggan dan jarak antar pelanggan, jumlah permintaan masing-masing pelanggan, jumlah kendaraan yang dioperasikan dan kapasitas masing-masing kendaraan. Penentuan rute distribusi koran Serambi Indonesia selama ini hanya berdasarkan pengalaman pengemudi, di mana pengemudi terlebih dahulu memilih rute yang terdekat dengan depot

percetakan sehingga total jarak yang ditempuh dari seluruh rute perjalanan belum tentu menghasilkan rute yang optimal. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa model yang dibuat menghasilkan rute distribusi koran Serambi Indonesia depot percetakan Banda Aceh dengan total jarak yang minimum. Hal tersebut dapat dilihat dari perbandingan antara rute optimal yang diperoleh dengan rute distribusi koran saat ini. Kata kunci: optimasi, distribusi, masalah rute kendaraan, metode branch and bound, koran.

Hak cipta milik IPB, tahun 2010 Hak cipta dilindungi Undang-Undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah. b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB. 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.

MODEL OPTIMASI VEHICLE ROUTING PROBLEM DAN IMPLEMENTASINYA ISKANDAR Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2010

Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom.

Judul Tesis : Model Optimasi Vehicle Routing Problem dan Implementasinya Nama : Iskandar NIM : G551070531 Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Ir.Amril Aman, M.Sc. Ketua Dra. Farida Hanum, M.Si. Anggota Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S. Tanggal Ujian: 21 Mei 2010 Tanggal Lulus:

PRAKATA Segala puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT yang telah memberikan segala rahmat dan karunia-nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul Model Optimasi Vehicle Routing Problem dan Implementasinya. Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan tesis ini masih banyak terdapat kekurangan, hal ini disebabkan karena pengetahuan yang dimiliki oleh penulis sangat terbatas. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada: 1. Bapak Dr. Ir.Amril Aman, M.Sc. dan Ibu Dra. Farida Hanum, M.Si. selaku pembimbing, pendidik dan pengajar yang dengan penuh kesabaran memberikan bimbingan, arahan, nasihat serta motivasi kepada penulis. 2. Bapak Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom. selaku penguji, pendidik dan pengajar yang telah memberikan saran dan kritikannya kepada penulis. 3. Departemen Agama RI yang telah memberikan beasiswa kepada penulis untuk melanjutkan pendidikan Sekolah Pascasarjana pada Institut Pertanian Bogor. 4. Ketua Departemen, ketua Program Studi dan seluruh staf pengajar, serta staf administrasi Departemen Matematika yang turut membantu proses penyelesaian tesis ini. 5. Harian Serambi Indonesia Nanggroe Aceh Darussalam khususnya kepada Bapak Muhammad Jafar selaku manager sirkulasi dan Bapak Firdaus D, SE.Ak selaku manager umum yang telah berkenan memberikan data distribusi koran Serambi Indonesia yang digunakan dalam penelitian ini. 6. Kepala sekolah dan seluruh staf pengajar MTs Negeri Matangglumpang Dua Kabupaten Bireuen Nanggroe Aceh Darussalam yang turut mendoakan dan memotivasi penulis dalam menyelesaikan tesis ini. 7. Isteri tercinta Sufriana, S.Pd, anak tersayang Rifka Dara Febriana dan Alfarabi, Ayahanda M.Yusuf BB, Alm. Ibunda Zaimah, Ayah dan Ibu mertua, kakak, adik serta seluruh keluarga yang selalu mendoakan, memberikan semangat, dorongan dan memotivasi kepada penulis di setiap waktu dalam menyelesaikan tesis ini. 8. Bapak Djajuli dan keluarga di Bogor, yang telah memberikan bantuan, dukungan dan doa kepada penulis dalam penyelesaian tesis ini. 9. Seluruh teman-teman yang turut membantu dalam penyelesaian tesis ini. Penulis mendoakan semoga segala bantuan, bimbingan dan pengarahan yang diberikan mendapat ganjaran yang berlipat ganda dari Allah SWT, dan semoga tesis ini bermanfaat bagi kita semua. Amiin. Bogor, Juni 2010 Iskandar

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bireuen Nanggroe Aceh Darussalam pada tanggal 30 Mei 1971 dari Ayah M.Yusuf dan Ibu (Almarhumah) Zaimah. Penulis adalah putra ke empat dari sepuluh bersaudara. Tahun 1990 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Bireuen NAD dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk pada Jurusan Matematika Fakultas Tarbiyah IAIN Ar-Raniry Banda Aceh dan lulus pada tahun 1996. Pada tahun 1997 penulis diterima sebagai Pegawai Negeri Sipil dan bertugas sebagai guru Matematika di Madrasah Tsanawiyah Negeri Peudada sampai tahun 2005. Tahun 2005 penulis dimutasi ke Madrasah Tsanawiyah Negeri Matangglumpang Dua dan sampai sekarang masih bertugas di sekolah tersebut. Pada tahun 2007 penulis mendapat kesempatan untuk melanjutkan pendidikan Program Magister pada program studi Matematika Terapan di Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor melalui beasiswa dari Departemen Agama Republik Indonesia.

DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL... xii DAFTAR GAMBAR... xii DAFTAR LAMPIRAN... xii I PENDAHULUAN... 1 1.1 Latar Belakang... 1 1.2 Tujuan Penelitian... 3 1.3 Manfaat Penelitian... 3 II TINJAUAN PUSTAKA... 4 2.1 Graf... 4 2.2 Linear Programming... 4 2.2.1 Solusi Suatu Linear Programming... 5 2.3 Integer Linear Programming... 6 2.4 Metode Branch and Bound... 7 2.5 Traveling Salesman Problem (TSP)... 11 2.6 Vehicle Routing Problem (VRP)... 13 2.7 Capacitated Vehicle Routing Problem (CVRP)... 18 III ALUR PENELITIAN... 22 3.1 Pendeskripsian dan Formulasi Masalah... 22 3.2 Pemodelan... 22 3.3 Penentuan Solusi Model... 22 3.4 Implementasi Model... 23 IV DESKRIPSI DAN PEMODELAN MASALAH VEHICLE ROUTING PROBLEM DISTRIBUSI KORAN... 24 4.1 Data... 24 4.2 Deskripsi Masalah... 24 4.3 Formulasi Masalah... 26 4.4 Model... 27 V HASIL DAN PEMBAHASAN... 30 5.1 Implementasi Model... 30 5.2 Hasil Penentuan Rute Kendaraan... 31 5.3 Perbandingan Rute Solusi Optimal dengan Rute Ini... 35 VI SIMPULAN DAN SARAN... 37 6.1 Simpulan... 37 6.2 Saran... 37 DAFTAR PUSTAKA... 38 LAMPIRAN... 39 xi

DAFTAR TABEL Halaman 1 Data agen pelanggan PT Harian Serambi Indonesia untuk percetakan di Banda Aceh... 27 2 Rute solusi optimal untuk kendaraan pertama... 32 3 Rute solusi optimal untuk kendaraan kedua... 32 4 Rute saat ini untuk kendaraan pertama... 33 5 Rute saat ini untuk kendaraan kedua... 34 6 Perbandingan rute solusi optimal dan rute saat ini berdasarkan muatan dan jarak tempuh kendaraan... 35 DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Daerah fisibel LP... 9 2 Grafik ruang LP 1 dan LP 2...... 9 3 Pencabangan dengan metode branch and bound untuk menemukan sulosi IP....... 11 4 Contoh penyelesaian TSP 12 5 Contoh penyelesaian VRP satu depot dengan 3 rute... 13 6 Rute solusi optimal.... 33 7 Rute kendaraan saat ini.. 35 8 Rute solusi optimal dan rute saat ini... 36 DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Pemecahan masalah pencabangan pada contoh dengan menggunakan software LINGO 8.0... 40 2 Matriks jarak antarlokasi... 44 3 Program penyelesaian masalah penentuan rute kendaraan distribusi koran Serambi Indonesia depot percetakan Banda Aceh dengan menggunakan software LINGO 8.0... 45 4 Hasil solusi LINGO 8.0 masalah penentuan rute kendaraan distribusi koran Serambi Indonesia depot percetakan Banda Aceh... 47 xii

1 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Salah satu aspek penting yang harus diperhatikan oleh perusahaan dalam mendistribusikan barang hasil produksi adalah masalah penentuan rute kendaraan. Keputusan tentang rute kendaraan dibuat untuk mengoptimalkan jarak tempuh, biaya perjalanan, waktu tempuh, jumlah kendaraan yang harus dioperasikan dan sumber daya lain yang tersedia supaya diperoleh keuntungan yang optimal sekaligus dapat mengurangi biaya logistik. Secara umum permasalahan optimasi pendistribusian produk dari suatu perusahaan ke beberapa agen atau pelanggan yang saling terpisah secara matematis termasuk dalam kelas permasalahan yang disebut Vehicle Routing Problem (VRP). VRP pertama kali diperkenalkan oleh Dantzig dan Ramser pada tahun 1959 yang berorientasi pada masalah optimasi kombinatorial yaitu optimasi yang melibatkan banyak variabel (peubah). Bentuk dasar VRP secara umum berkaitan dengan masalah penentuan suatu himpunan rute kendaraan (vehicle) yang melayani satu himpunan pelanggan yang diasosiasikan dengan node dengan demand atau permintaan yang diketahui dan rute yang menghubungkan depot dengan konsumen dan satu konsumen dengan konsumen yang lain dinamakan dengan arc (Toth & Vigo 2002). Dalam kehidupan sehari-hari banyak dijumpai terapan VRP antara lain pendistribusian barang hasil produksi oleh produsen ke konsumen, pengambilan surat dari kotak-kotak pos yang tersebar di seluruh kota, pengantaran dan penjemputan anak sekolah dengan bis sekolah dan lain-lain. VRP merupakan masalah penentuan rute kendaraan yang melayani beberapa pelanggan. Setiap kendaraan memiliki kapasitas angkut dan setiap pelanggan memiliki permintaan (demand). Tiap pelanggan dikunjungi tepat satu kali oleh satu kendaraan dan total demand tiap rute tidak boleh melebihi kapasitas angkut kendaraan. Dalam VRP sendiri dikenal pula istilah depot, tempat kendaraan harus berangkat dan kembali ke depot itu. Hal tersebut menyebabkan VRP sering disebut sebagai permasalahan m-tsp. VRP merupakan masalah optimasi kombinatorial dari dua masalah yaitu masalah penentuan rute atau Traveling Salesman Problem (TSP) dan masalah kapasitas atau Bin Packing Problem (BPP).

2 Kedua masalah tersebut termasuk dalam kategori NP-Hard Problem, yang berarti waktu komputasi yang digunakan akan semakin sulit dan lama seiring dengan meningkatnya ruang lingkup masalah. Tujuan yang ingin dicapai adalah meminimalkan total jarak tempuh dan meminimalkan jumlah kendaraan yang digunakan. VRP sendiri memiliki beberapa faktor penentu dalam implementasinya pada dunia nyata. Formulasi VRP diharapkan dapat membentuk sejumlah rute yang dapat meminimumkan total jarak tempuh atau total biaya yang memenuhi batasan: (1) setiap rute harus dimulai dan berakhir di depot, (2) total permintaan pelanggan pada setiap rute tidak melebihi kapasitas kendaraan, (3) setiap pelanggan dikunjungi tepat satu kali oleh satu kendaraan. Berbagai jenis kendala yang dihadapi pada permasalahan VRP, dapat menghasilkan banyak variasi dari VRP itu sendiri antara lain: kendaraan yang digunakan dapat mempunyai kapasitas yang sama (homogen) atau tidak sama (heterogen), jika kapasitas semua kendaraan yang digunakan adalah sama, misalnya C maka VRP ini dinamakan Capacitated Vehicle Routing Problem (CVRP), kendaraan melakukan kegiatan pengantaran dan penjemputan sekaligus maka dikenal dengan masalah Vehicle Routing Problem with Pickup and Delivery (VRPDP), adanya selang waktu tertentu bagi konsumen untuk menerima pelayanan maka masalahnya menjadi Vehicle Routing Problem with Time Window (VRPTW) dan lain-lain. Penentuan solusi optimal dari permasalahan VRP dapat diselesaikan dengan metode eksak yaitu metode branch and bound. Penelitian tentang VRP dengan metode ini antara lain dilakukan oleh Larsen (2001) dan Rich (1999). Untuk masalah dalam ruang lingkup yang besar dan kompleks, metode ini membutuhkan waktu yang relatif lama untuk menentukan solusi yang optimal karena metode tersebut mengakomodasi semua solusi yang mungkin dari suatu permasalahan, baru kemudian ditentukan solusi optimalnya. Penyelesaian masalah VRP dengan jumlah pelanggan yang berukuran besar dan kompleks dapat diselesaikan dengan metode pendekatan yaitu metode heuristik dan metaheuristik. Metode eksak menjamin solusi yang diperoleh merupakan solusi optimal sedangkan metode heuristik lebih menekankan pada perolehan solusi fisibel secara cepat dari segi waktu komputasi meskipun tidak menjamin solusi tersebut akan optimal.

3 Pada penelitian ini dibuat formulasi masalah pendistribusian barang ke dalam model optimasi Capacitated Vehicle Routing Problem (CVRP) dan di implimentasikan pada permasalahan distribusi koran dari pusat distribusi ke agen pelanggannya dengan menggunakan metode branch and bound dengan bantuan software LINGO 8.0. 1.2 Tujuan Penelitian Berdasarkan latar belakang masalah di atas, maka tujuan penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. memformulasikan masalah distribusi barang kedalam model CVRP, 2. mengimplementasikan model pada kasus distribusi koran harian Serambi Indonesia dan menentukan solusinya dengan metode branch and bound. 1.3 Manfaat Penelitian Penelitian ini diharapkan dapat memberikan informasi tentang model CVRP dan metode penyelesaiannya sehingga penerapannya dapat bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari.

4 II TINJAUAN PUSTAKA Untuk memahami permasalahan yang berhubungan dengan penentuan rute optimal kendaraan dalam mendistribusikan barang serta menentukan solusinya maka diperlukan beberapa konsep teori berikut: 2.1 Graf Definisi 1 (Graf, Graf Berarah dan Graf Takberarah) Suatu graf G adalah pasangan terurut (V,A) dengan V merupakan himpunan takkosong dan berhingga yang anggota-anggotanya disebut simpul (node/vertex) dan A merupakan himpunan berhingga garis yang menghubungkan simpul-simpul anggota V yang disebut dengan sisi (arc atau edge). Sisi yang menghubungkan simpul i dengan simpul j dinyatakan dengan {i,j}. Dalam suatu graf, jika sisi yang menghubungkan simpul-simpulnya berarah maka graf tersebut dinamakan graf berarah (directed graph/digraf). Jika semua sisi yang menghubungkan simpulsimpulnya tidak berarah maka dinamakan graf takberarah (undirected graph) (Foulds 1992). 2.2 Linear Programming Linear programming (LP) atau pemrograman linear adalah suatu masalah optimasi yang memenuhi ketentuan-ketentuan: 1) tujuan dari masalah tersebut adalah untuk memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi linear dari sejumlah variabel keputusan. Fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan itu disebut fungsi objektif, 2) nilai-nilai variabel keputusannya harus memenuhi semua himpunan kendala; setiap kendala harus berupa persamaan linear atau pertidaksamaan linear, 3) ada pembatasan tanda untuk setiap variabel. Untuk sembarang variabel, pembatasan tanda menentukan harus taknegatif atau tandanya tidak dibatasi. (Winston 2004)

5 Definisi 2 (Bentuk standar suatu LP) Suatu linear programming didefinisikan mempunyai bentuk standar sebagai berikut: Minimumkan terhadap (2.1) dengan x dan c merupakan vektor yang berukuran n, vektor b berukuran m; sedangkan A merupakan matriks yang berukuran m n yang disebut juga dengan matriks kendala. ( Nash & Sofer 1996) Model linear programming (LP) menyajikan bentuk matematis dari fungsi objektif dan pembatasnya yang berupa fungsi linear. Pada tulisan ini suatu linear programming (LP) memiliki bentuk standar sebagai berikut (Taha 2003): dengan c j, a ij dan b i merupakan konstanta yang nilainya diketahui. 2.2.1 Solusi Suatu Linear Programming (LP) Untuk menyelesaikan suatu masalah linear programming (LP) agar diperoleh solusi yang optimum dapat dilakukan dengan banyak metode. Salah

6 satu metode yang paling umum digunakan adalah metode simpleks yang mulai dikembangkan oleh Dantzig tahun 1947. Metode ini merupakan metode iteratif untuk menyelesaikan masalah linear programming dalam bentuk standar. Pada linear programming (2.1), vektor x yang memenuhi kendala Ax = b disebut sebagai solusi dari linear programming (2.1). Misalkan matriks A dapat dinyatakan sebagai A = (B N), dengan B adalah matriks berukuran m m yang merupakan matriks yang elemennya berupa koefisien variabel basis dan N merupakan matriks yang elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Matriks B disebut matriks basis untuk linear programming. 2.3 Integer Linear Programming Sebuah model pengoptimalan disebut model integer linear programming (ILP) atau disebut juga integer programming (IP) jika variabel-variabel keputusan yang digunakan berupa bilangan bulat (integer). Jika semua variabel keputusan harus berupa integer maka model tersebut dinamakan pure integer programming, tetapi jika hanya sebagian yang harus integer maka disebut mixed integer programming. Sedangkan integer programming yang semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 integer programming. (Rardin 1998) Secara sederhana model linear programming (LP) dengan pembatas tambahan berupa variabelnya bernilai integer disebut sebagai integer programming (IP). Dalam tulisan ini suatu integer programming (IP) memiliki bentuk standar sebagai berikut: dengan c j, a ij dan b i merupakan konstanta yang nilainya diketahui (Taha 1975).

7 Definisi 3 (Linear Programming Relaksasi) Linear programming relaksasi dari suatu integer programming merupakan linear programming yang diperoleh dari integer programming tersebut dengan menghilangkan kendala bilangan bulat atau kendala 0-1 pada variabelnya. (Winston 1995) 2.4 Metode Branch and Bound Untuk memperoleh solusi optimal dari masalah integer programming dapat dipecahkan dengan metode branch and bound. Prinsip dasar dari metode branch and bound adalah memecah daerah fisibel dari masalah LP-relaksasi dengan cara membuat subproblem baru sehingga masalah IP dapat terpecahkan. Daerah fisibel suatu LP adalah daerah yang memuat titik-titik yang dapat memenuhi semua kendala linear masalah LP (Taha 2003). Setiap subproblem diukur dengan tiga cara sebagai berikut: 1. Batas dari subproblem solusi optimum yang didapat saat ini (z * ) 2. LP-relaksasi tidak memiliki solusi fisibel. 3. Solusi optimum dari LP-relaksasi berupa integer. Jika solusi ini lebih baik dari solusi optimum yang didapat sebelumnya maka solusi ini menjadi solusi optimum yang baru dan cara pertama digunakan kembali untuk semua subproblem dengan nilai z* baru yang lebih besar. Adapun langkah-langkah metode branch and bound untuk masalah pemaksimuman, menurut Taha (2003) adalah sebagai berikut: Ditetapkan batas bawah awal z = untuk nilai optimum dari fungsi objektif ILP dan tetapkan i = 0. Langkah 1 (pem-fathom-an dan pembatasan) Dipilih LP i sebagai subproblem untuk diteliti. Kemudian LP i diselesaikan dan LP i di-fathom-kan jika memenuhi salah satu dari ketiga kondisi berikut: 1. Nilai optimum z dari LP i tidak dapat menghasilkan nilai objektif yang lebih baik daripada batas bawah sekarang. 2. LP i menghasilkan solusi integer fisibel yang lebih baik daripada batas bawah sekarang. 3. LP i tidak memiliki solusi yang fisibel.

8 Dalam hal ini akan muncul dua kasus yaitu: 1. Jika LP i di-fathom-kan dan solusi yang diperoleh lebih baik daripada batas bawah sekarang, maka batas bawah z diperbaharui. Jika semua subproblem di-fathom-kan maka proses dihentikan. ILP optimum dihubungkan dengan batas bawah sekarang, bila ada. Jika sebaliknya, dipilih i = i + 1, dan ulangi Langkah 1. 2. Jika LP i tidak di-fathom-kan, proses dilanjutkan ke Langkah 2 untuk melakukan pencabangan pada LP i. Langkah 2 (pencabangan) Dipilih sebarang variabel x j yang nilai optimumnya adalah x * j yang tidak memenuhi batasan integer dalam solusi LP i. Bidang [x * j ] < x j < [x * j ] + 1 (dengan [v] sebagai integer terbesar yang v) dieliminasi dengan membuat dua subproblem LP yang sesuai dengan x j [x * j ] dan x j [x * j ] + 1. Kemudian ditentukan i = i + 1, dan kembali pada Langkah 1. Untuk memudahkan pemahaman tentang metode branch and bound diberikan contoh sebagai berikut: Contoh: Misalkan diberikan masalah integer sebagai berikut: Solusi optimum dari LP-relaksasi contoh tersebut (LP 0 ) adalah z = 4.85, x 1 = 2.75, dan x 2 = 2.1 (lihat Lampiran 1a). Daerah fisibel LP-relaksasi dari masalah di atas dapat dilihat pada Gambar 1. Menurut metode branch and bound, karena solusi optimum LP-relaksasi tersebut tidak memenuhi syarat integer, maka harus dibuat subproblem baru. Dipilih sembarang variabel x i optimum yang tidak memenuhi syarat integer, misalnya x 1 = 2.75, sehingga bidang 2 < x 1 < 3 bukan daerah fisibel bagi masalah IP dan harus dipisahkan. Ruang LP 0 semula diganti dengan dua ruang LP yakni LP 1 dan LP 2 dengan ruang solusi yang didefinisikan sebagai berikut: - Ruang LP 1 = ruang LP 0 + kendala (x 1 2)

9 - Ruang LP 2 = ruang LP 0 + kendala (x 1 3) Ruang solusi dari LP 1 dan LP 2 dapat dilihat pada Gambar 2. X 2 5 4 3 Solusi optimum LP 0 z=4.85, x 1 =2.75, x 2 =2.1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 X 1-2 -1 2 1 1 Gambar 1 Daerah fisibel LP. X 2 5 4 3 2 1 LP 1 LP 2-2 -1 0 1 2 X 1 3 4 5 6 7 8 Gambar 2 Grafik ruang LP 1 dan LP 2. Dari gambar di atas terlihat bahwa batasan baru LP 1 dan LP 2 tidak dapat dipenuhi secara bersamaan, sehingga LP 1 dan LP 2 harus dibuat menjadi dua buah LP yang berbeda. Kemudian masalah LP 1 dan LP 2 diselesaikan satu per satu. Misalkan LP 1 dipilih pertama kali untuk diselesaikan, sehingga permasalahannya menjadi:

10 Diperoleh solusi optimum untuk masalah LP di atas, yaitu z = 4.4, x 1 = 2, dan x 2 = 2.4 (lihat Lampiran 1b). Karena solusi optimum LP 1 bukan solusi optimum integer, maka LP 1 tidak di-fathom-kan, sehingga dilakukan pencabangan di LP 1 menjadi 2 subproblem, yakni LP 3 dan LP 4. Ruang solusi LP 3 dan LP 4 didefinisikan sebagai berikut: - Ruang LP 3 = ruang LP 0 + kendala (x 1 2) + kendala (x 2 2) = ruang LP 1 + kendala (x 2 2) - Ruang LP 4 = ruang LP 0 + kendala (x 1 2) + kendala (x 2 3) = ruang LP 1 + kendala (x 2 3) Solusi optimum dari LP 3 adalah z = 4 dengan x 1 = 2 dan x 2 = 2 (lihat Lampiran 1d). Karena solusi LP 3 integer, maka LP 3 di-fathom-kan. Nilai z = 4 sebagai calon batas bawah solusi optimum IP. Solusi optimum dari LP 4 adalah z = 3.5 dengan x 1 = 0.5 dan x 2 = 3 (lihat Lampiran 1e). Karena solusi LP 4 (z = 3.5 dengan x 1 = 0.5 dan x 2 = 3) tidak memenuhi syarat integer maka semestinya LP 4 tidak di-fathom-kan. Namun karena nilai z = 3.5 tidak lebih baik dari batas bawah sebelumnya (z = 4 dengan x 1 = 2 dan x 2 = 2) maka LP 4 di-fathom-kan, sehingga solusi LP 4 bukan solusi optimum IP. Calon batas bawah untuk solusi optimum IP adalah z = 4. Selanjutnya diselesaikan LP 2, dan dari penghitungan diperoleh solusi optimum LP 2 adalah z = 4.80 dengan x 1 = 3 dan x 2 = 1.8 (lihat Lampiran 1c). Seperti yang diketahui bahwa dari penyelesaian LP 0 sudah diperoleh nilai optimum yaitu z = 4.85 artinya nilai z tidak mungkin akan lebih besar dari 4.85 dan tidak mungkin akan lebih baik dari calon batas bawah sebelumnya (z = 4). Karena semua variabel dari fungsi objektif pada LP 3 telah memenuhi syarat integer yaitu z = 4 dengan x 1 = 2 dan x 2 = 2 maka tidak mungkin LP 2 akan menghasilkan solusi integer yang lebih baik, sehingga LP 2 di-fathom-kan dan tidak perlu dilakukan pencabangan. Karena semua subproblem sudah di-fathomkan, maka pencabangan berhenti, sehingga diperoleh solusi optimumnya dari penyelesaian LP 3 yaitu z = 4 dengan x 1 = 2 dan x 2 = 2.

11 Penggunaan metode branch and bound untuk menyelesaikan masalah IP pada contoh di atas dapat dilihat pada Gambar 3. Penghitungan nilai-nilai variabel dilakukan dengan bantuan software LINGO 8.0. LP 0 z = 4.85, x 1 =2.75, dan x 2 =2.1 x 1 2 x 1 3 LP 1 LP 2 z = 4.4, x 1 =2, dan x 2 =2.4 z = 4.8, x 1 =3, dan x 2 =1.8 x 2 2 x 2 3 LP 3 LP 4 z = 4, x 1 =2, dan x 2 =2 batas bawah (optimal) z = 3.5, x 1 =0.5, dan x 2 =3 Gambar 3 Pencabangan dengan metode branch and bound untuk menemukan solusi IP. 2.5 Traveling Salesman Problem (TSP) Traveling Salesman Problem (TSP) merupakan suatu masalah optimasi untuk mencari rute terpendek bagi seorang salesman yang menjajakan produknya dengan melakukan tour yang dimulai dari tempat asalnya menuju n kota tepat satu kali kemudian kembali ke tempat asalnya. Tujuannya adalah untuk meminimumkan biaya operasional salesman yang dikeluarkan oleh perusahaan. Rute kendaraan pada masalah TSP merupakan cycle Hamilton yaitu path tertutup yang memuat semua node pada graf yang mempresentasikan jaringan jalan yang menghubungkan tiap kota. Tujuannya adalah menentukan rute perjalanan yang fisibel sedemikian sehingga jarak tempuh yang melalui rute tersebut minimum. Menurut Garfinkel dan Nemhauser (1972) secara matematis TSP dapat dinyatakan sebagai suatu graf berarah G=(V,A) dengan V={0,1,..., n} menyatakan himpunan node yang menunjukkan lokasi kota dan A={(i, j) i, j V, i j} merupakan himpunan sisi berarah (arc) yang menyatakan jalan penghubung tiap kota. Node 0 menyatakan kota asal/depot yang merupakan tempat seorang

12 salesman memulai perjalanan. Misalkan adalah jarak tempuh (biaya perjalanan) dari kota i ke kota j dan jika variabel keputusannya adalah: maka TSP dapat diformulasikan secara matematis sebagai berikut: dengan kendala: Persamaan (2.21) merupakan fungsi tujuannya yaitu meminimumkan total jarak tempuh (biaya perjalanan). Kendala (2.22) dan (2.23) menggambarkan bahwa salesman mendatangi dan meninggalkan setiap kota tepat satu kali, sedangkan kendala (2.24) memastikan bahwa tidak terdapat subrute dan kendala (2.25) menjamin bahwa x ij merupakan integer biner. Contoh solusi dari TSP dapat dilihat pada Gambar 4. Rute Kota Depot Gambar 4 Contoh penyelesaian TSP.

13 2.6 Vehicle Routing Problem (VRP) Kallehauge et al. (2001) mendefinisikan permasalahan m-tsp sebagai salah satu variasi dari TSP, di mana terdapat m salesman yang mengunjungi sejumlah kota dan tiap kota hanya dapat dikunjungi oleh tepat satu salesman saja. Tiap salesman berawal dari suatu depot dan pada akhir perjalanannya juga harus kembali ke depot tersebut. Permasalahan m-tsp ini dikenal sebagai Vehicle Routing Problem (VRP). Jadi VRP berkaitan dengan penentuan rute optimal untuk permasalahan yang melibatkan lebih dari satu kendaraan (vehicle) dengan kapasitas tertentu untuk melayani sejumlah konsumen sesuai dengan permintaannya masing-masing. Dalam masalah VRP ini, setiap kota diasosiasikan sebagai lokasi konsumen dan tiap kendaraan yang digunakan untuk mengunjungi sejumlah konsumen memiliki kapasitas tertentu. Total jumlah permintaan pelanggan dalam suatu rute tidak melebihi kapasitas kendaraan yang ditugasi melayani rute tersebut dan setiap pelanggan dikunjungi hanya satu kali oleh satu kendaraan. Pada masalah VRP juga terdapat suatu depot di mana tiap kendaraan harus berangkat dan kembali ke depot itu. Permasalahan VRP bertujuan meminimalkan total jarak tempuh kendaraan atau total biaya dari setiap rute perjalanan, selain itu bisa juga bertujuan meminimalkan banyaknya kendaraan yang digunakan (m). Sebagai contoh, penyelesaian masalah VRP dengan satu depot ditunjukkan dalam gambar berikut: Pelanggan Depot Rute Gambar 5 Contoh penyelesaian VRP satu depot dengan 3 rute.

14 Permasalahan VRP yang dituliskan oleh Toth and Vigo (2002) menjelaskan bahwa VRP adalah masalah penentuan rute kendaraan dalam mendistribusikan barang dari tempat produksi yang dinamakan depot ke konsumen dengan tujuan meminimumkankan total jarak tempuh kendaraan. Untuk mencapai tujuan tersebut perlu diperhatikan beberapa batasan yang harus dipenuhi yaitu setiap kendaraan yang akan mendistribusikan barang ke konsumen harus memulai rute perjalanan dari tempat produksi (depot), setiap pelanggan hanya boleh dilayani satu kali oleh satu kendaraan, setiap pelanggan mempunyai permintaan yang harus dipenuhi dan diasumsikan permintaaan tersebut sudah diketahui sebelumnya. Setiap kendaraan memiliki batasan kapasitas tertentu artinya setiap kendaraan akan melayani pelanggan sesuai dengan kapasitasnya. Selanjutnya juga harus dipenuhi bahwa tidak terdapat subrute untuk setiap kendaraan. Menurut Toth and Vigo (2002), secara matematis VRP dapat dinyatakan sebagai suatu digraf G=(V, A) dengan V={0,1,..., n} adalah himpunan simpul yang menunjukkan lokasi pelanggan dan A={(i, j) i, j V, i j} yaitu himpunan sisi berarah yang menyatakan jalan penghubung antarlokasi pelanggan. Simpul 0 menunjukkan depot, yaitu tempat menyimpan kendaraan yang digunakan untuk distribusi dan merupakan tempat dimulainya suatu rute kendaraan. Banyaknya kendaraan yang tersedia di depot adalah K dengan kapasitas kendaraan ke-k adalah C k. Setiap pelanggan i memiliki permintaan sebanyak d i. Toth and Vigo (2002) memformulasikan VRP dalam bentuk pemrograman linear integer dengan tujuan meminimalkan total biaya atau total jarak tempuh dari rute perjalanan pendistribusian barang/jasa adalah sebagai berikut: dengan kendala: Kendala ini untuk memastikan bahwa setiap konsumen dikunjungi tepat satu kali oleh satu kendaraan.

15 Batasan tersebut untuk menjamin bahwa terdapat K kendaraan yang beroperasi yang memulai rute dari depot. Batasan ini memastikan bahwa setiap konsumen akan dikunjungi oleh kendaraan yang sudah dijadwalkan untuk konsumen tersebut. Kendala tersebut menjamin bahwa total permintaan konsumen dalam setiap rute tidak melebihi kapasitas kendaraan. Kendala ini memastikan bahwa tidak terdapat subrute pada formulasi yang ada. Batasan ini memastikan bahwa variabel keputusan biner. merupakan integer Batasan ini menjamin variabel keputusan Dengan variabel keputusan: merupakan integer biner. dengan: V = himpunan node A = himpunan sisi berarah (arc), c ij = jarak/biaya perjalanan dari konsumen i ke konsumen j d i = jumlah permintaan konsumen i C k = kapasitas kendaraan ke- k K = banyaknya kendaraan yang tersedia

16 Permasalahan VRP yang dikemukakan oleh Kallehauge et al. (2001) adalah menyangkut masalah distribusi barang dari tempat produksi (depot) ke sejumlah konsumen yang tersebar di sejumlah tempat. Tujuannya adalah untuk meminimalkan total jarak tempuh (total biaya) dari rute perjalanan kendaraan dalam mendistribusikan barang. Rute yang dibentuk harus memenuhi batasanbatasan yaitu setiap pelanggan hanya dikunjungi satu kali oleh satu kendaraan, semua pelanggan harus dilayani sesuai dengan permintaannya masing-masing yang diketahui sebelumnya. Kendaraan yang digunakan adalah homogen dan memiliki batasan kapasitas tertentu sehingga rute yang dilalui tidak melebihi kapasitasnya. Setiap rute kendaraan berawal dari depot dan pada akhirnya juga harus kembali ke depot. Secara matematis Kallehauge et al. (2001) mendefinisikan VRP sebagai suatu digraf G=(N,A), dengan N merupakan simpul yang terdiri atas gabungan himpunan pelanggan C dan depot. Himpunan C berupa simpul 1 sampai n sedangkan simpul depot adalah 0 dan n+1. A adalah himpunan sisi berarah yaitu penghubung antarsimpul yang merupakan jaringan jalan yang digunakan oleh kendaraan. Semua rute berawal dari simpul 0 dan berakhir di impul n+1. Himpunan kendaraan V merupakan kumpulan kendaraan yang homogen dengan kapasitas q. Setiap pelanggan atau simpul i untuk setiap i anggota C memiliki permintaan sebesar d i, sehingga panjang rute yang dilalui oleh setiap kendaraan dibatasi oleh kapasitas kendaraan. Setiap sisi (i,j) pada graf memiliki jarak tempuh c ij yaitu jarak dari simpul i ke simpul j dan diasumsikan jarak tempuh c ij =c ji. Tujuannya adalah menentukan himpunan rute dengan total jarak tempuh atau biaya perjalanan yang minimum dengan syarat setiap rute berawal di simpul 0 dan berakhir di simpul n+1, setiap pelanggan dilayani tepat satu kali oleh satu kendaraan dan memenuhi kendala kapasitas kendaraan. Kallehauge et al. (2001) memodelkan masalah VRP tersebut ke dalam model matematis sebagai berikut: dengan kendala-kendala:

17 Batasan ini menjamin bahwa tiap pelanggan hanya dapat dikunjungi tepat satu kali oleh satu kendaraan. Batasan tersebut untuk memastikan bahwa total jumlah permintaan pelanggan dalam satu rute tidak melebihi kapasitas kendaraan. Batasan tersebut menjamin bahwa setiap kendaraan memulai rute perjalanan dari depot. Batasan ini memastikan bahwa setiap kendaraan yang mengunjungi suatu pelanggan, setelah selesai melayani akan meninggalkan pelanggan tersebut. Kendala tersebut memastikan bahwa setiap rute perjalanan kendaraan berakhir di depot. Batasan variabel keputusan Dengan variabel keputusan: merupakan integer biner dengan: V = himpunan kendaraan dengan kapasitas yang identik C = himpunan konsumen/pelanggan N = himpunan node/vertex (simpul), {0,1,...,n+1} A = himpunan sisi berarah (arc), c ij = jarak/biaya perjalanan dari konsumen i ke konsumen j d i = total jumlah permintaan konsumen i q = kapasitas kendaraan Formulasi model matematis yang dibuat oleh Kallehauge et al. dan Toth &Vigo mempunyai tujuan yang sama yaitu meminimumkan total jarak

18 tempuh/biaya dari setiap rute perjalanan. Perbedaannya adalah Toth &Vigo hanya memperhitungkan biaya perjalanan untuk perjalanan awal dari depot, kemudian mengunjungi semua konsumen, tanpa memperhitungkan perjalanan kembali ke depot pada akhir perjalanan tersebut; sedangkan Kallehauge et al. memperhitungkan biaya perjalanan untuk perjalanan awal dari depot, kemudian mengunjungi semua konsumen dan perjalanan kembali ke depot. 2.7 Capacitated Vehicle Routing Problem (CVRP) Capacitated Vehicle Routing Problem (CVRP) merupakan salah satu variasi dari masalah VRP dengan penambahan kendala kapasitas kendaraan yang identik. Setiap kendaraan yang melayani konsumen disyaratkan memiliki batasan kapasitas sehingga banyaknya konsumen yang dilayani oleh setiap kendaraan dalam satu rute bergantung pada kapasitas kendaraan. Permasalahan CVRP bertujuan meminimumkan total jarak tempuh rute perjalanan kendaraan dalam mendistribusikan barang dari tempat produksi yang dinamakan dengan depot ke sejumlah konsumen. Menurut Kara et al. (2004) masalah CVRP adalah masalah pengoptimalan jarak tempuh perjalanan kendaraan dalam pendistribusian barang dari tempat poduksi (depot) ke sejumlah agen pelanggan sehingga menghasilkan rute dengan total jarak tempuh yang minimum. Penentuan rute kendaraan tersebut harus memperhatikan beberapa batasan yaitu setiap kendaraan harus memulai rute perjalanan dari depot dan setelah melayani sejumlah konsumen juga harus kembali ke depot. Setiap konsumen hanya dilayani tepat satu kali oleh satu kendaraan. Terdapat sejumlah kendaraan di depot dengan kapasitas yang identik yang digunakan untuk melayani konsumen. Kendaraan-kendaraan tersebut memiliki kapasitas tertentu sehingga panjang rute yang dilalui oleh setiap kendaraan dalam melayani setiap konsumen sesuai dengan kapasitasnya. Setiap rute kendaraan tidak memiliki subrute sehingga rute yang terbentuk adalah sebanyak kendaraan yang dioperasikan. Kara et al. (2004) mendefinisikan Capacitated Vehicle Routing Problem (CVRP) sebagai suatu graf berarah G=(N,A) dengan adalah himpunan simpul (vertex), menyatakan depot yaitu tempat kendaraan memulai dan mengakhiri rute perjalanan dan menyatakan konsumen (C).

19 Sedangkan adalah himpunan sisi berarah (arc) yang merupakan himpunan sisi yang menghubungkan antarsimpul. Setiap simpul memiliki permintaan (demand) sebesar dengan adalah integer positif. Himpunan V={1,2,...,K} merupakan kumpulan kendaraan yang homogen dengan kapasitas yang identik yaitu Q, sehingga panjang setiap rute dibatasi oleh kapasitas kendaraan. Setiap arc memiliki jarak tempuh yaitu jarak dari simpul i ke simpul j. Jarak perjalanan ini diasumsikan simetrik yaitu dan. Permasalahan dari CVRP adalah menentukan himpunan dari K rute kendaraan yang memenuhi kondisi berikut: (1) setiap rute berawal dan berakhir di depot, (2) setiap konsumen harus dilayani tepat satu kali oleh satu kendaraan, (3) total permintaan konsumen dari setip rute tidak melebihi kapasitas kendaraan, dan (4) total jarak dari semua rute diminimumkan. Permasalahan tersebut kemudian diformulasikan ke dalam model matematika dengan tujuan meminimumkan total jarak tempuh perjalanan kendaraan. Variabel adalah variabel keputusan yang bernilai 1 jika arc merupakan solusi dari masalah CVRP dan bernilai 0 jika bukan solusi, dan variabel merupakan integer yang dihubungkan dengan setiap konsumen. Variabel keputusan hanya akan terdefinisi jika. Adapun formulasinya adalah sebagai berikut: dengan kendala Batasan ini memastikan bahwa tiap pelanggan hanya dikunjungi tepat satu kali oleh satu kendaraan. Batasan tersebut menjamin bahwa setiap rute perjalanan kendaraan berawal dari depot.

20 Batasan bahwa setiap rute perjalanan kendaraan berakhir di depot. Batasan ini memastikan bahwa tidak terdapat subrute pada setiap rute yang terbentuk. Variabel keputusan hanya akan terdefinisi jika Jika maka kendala (2.46) tidak mengikat, sehingga dan Sedangkan jika maka kendala tersebut menunjukkan bahwa sehingga batasan subtour elimination terpenuhi. Variabel keputusan merupakan integer biner Variabel keputusannya adalah: dengan: V = {1,...,K} = himpunan kendaraan dengan kapasitas yang identik K = banyaknya kendaraan yang digunakan N = himpunan node (simpul) C = himpunan konsumen/pelanggan A = himpunan sisi berarah (arc), c ij = jarak/biaya perjalanan dari konsumen i ke konsumen j d i = total jumlah permintaan konsumen i = kapasitas kendaraan u ik = muatan kendaraan ke- k setelah mengunjungi konsumen ke- i Formulasi model matematis CVRP Kara et al. (2004) tersebut pada intinya menekankan pada batasan subtour elimination yaitu mengeliminasi subtour supaya tidak terdapat subrute pada rute-rute yang terbentuk yang dikaitkan

21 dengan batasan kapasitas kendaraan. Variabel keputusan hanya akan terdefinisi jika jumlah permintaan konsumen i dan konsumen j tidak melebihi kapasitas kendaraan.

22 III ALUR PENELITIAN Penelitian ini dibagi menjadi empat tahap yaitu (1) pendeskripsian dan formulasi masalah, (2) pemodelan, (3) penentuan solusi model, dan (4) implementasi model. 3.1 Pendeskripsian dan Formulasi Masalah Tahap pertama dalam pemodelan adalah menentukan tujuan penentuan rute kendaraan dalam mendistribusikan barang. Secara umum tujuan masalah penentuan rute kendaraan dalam mendistribusikan barang adalah meminimumkan total jarak tempuh kendaraan dengan mempertimbangkan kapasitas kendaraan, jumlah permintaan setiap pelanggan dan jarak antarpelanggan. Dalam masalah penentuan rute kendaraan ini, variabel keputusan akan dibatasi oleh beberapa batasan. Batasan tersebut terdiri atas beberapa batasan umum yang mencakup permasalahan penentuan rute kendaraan dalam mendistribusikan barang dari depot ke setiap pelanggannya. 3.2 Pemodelan Setelah tahapan formulasi masalah, selanjutnya formulasi masalah tersebut dipresentasikan ke dalam model matematik. Model ini mendeskripsikan masalah menjadi suatu sistem persamaan atau pertidaksamaan atau ekspresi matematik lainnya. Masalah penetuan rute kendaraan dapat dimodelkan sebagai model Integer Linear Programming (ILP). 3.3 Penentuan Solusi Model Penyelesaian model matematik yang sederhana dapat diselesaikan secara manual, namun untuk model matematik yang lebih kompleks menyangkut dengan masalah nyata akan membutuhkan bantuan komputer. Penentuan solusi model masalah rute kendaraan digunakan metode branch and bound dengan bantuan software LINGO 8.0. Selanjutnya solusi yang diperoleh merupakan solusi yang memenuhi semua batasan dan meminimumkan fungsi tujuan.

23 3.4 Implementasi Model Implementasi model dilakukan dengan cara menyimulasikan model dengan menggunakan data pendistribusian koran harian Serambi Indonesia Nanggroe Aceh Darussalam depot percetakan Banda Aceh.

24 IV DESKRIPSI DAN PEMODELAN MASALAH VEHICLE ROUTING PROBLEM DISTRIBUSI KORAN 4.1 Data Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data kegiatan distribusi koran harian Serambi Indonesia Nanggroe Aceh Darussalam pada depot percetakan Banda Aceh. Data yang diambil adalah jarak antara depot dengan agen pelanggan dan jarak antaragen pelanggan yang dibuat dalam bentuk matriks jarak antarlokasi (Lampiran 2), jumlah permintaan untuk setiap agen pelanggan dan jumlah kendaraan yang digunakan. Data diperoleh dari wawancara dengan pihak terkait dan pencatatan dari dokumen di kantor harian Serambi Indonesia Banda Aceh. Pengambilan data dilakukan pada bulan April 2009. 4.2 Deskripsi Masalah Koran harian Serambi Indonesia merupakan salah satu harian pagi yang terbit tiap hari di Nanggroe Aceh Darussalam. Koran harian ini mulai diterbitkan pertama kali pada tanggal 17 Pebruari 1989 oleh PT Aceh Media Grafika yang merupakan induk perusahaan dari harian Serambi Indonesia. Pada saat didirikan, perusahaan ini hanya mempunyai satu buah percetakan yaitu percetakan di Banda Aceh yang melayani pengiriman koran ke seluruh Aceh bahkan sampai ke Sumatera Utara. Namun seiring dengan perkembangan dan persaingan bisnis surat kabar yang semakin ketat, maka pada bulan Juni tahun 2003 dioperasikan lagi sebuah percetakan di Lhokseumawe untuk melayani konsumen di wilayah timur Aceh dan terakhir pada bulan Maret 2007 dioperasikan lagi percetakan di Blang Pidie untuk melayani konsumen yang berada di wilayah barat dan selatan Aceh. Penambahan percetakan ini dilakukan untuk memenuhi permintaan konsumen agar koran sampai ke tangan pembaca tepat pada waktunya. Terlebih lagi pada industri surat kabar yang mengharuskan produk bisa sampai ke pelanggan dengan tepat waktu, karena surat kabar merupakan produk yang menjual informasi tentang kejadian-kejadian yang terjadi di berbagai negara. Hal ini sangat penting karena mengingat media surat kabar memuat berita-berita yang

25 terbaru dan menarik sehingga kedatangan barang tepat waktu sangat diperlukan. Oleh karena itu kemampuan untuk mengelola jaringan distribusi dalam penyaluran hasil produksi saat ini merupakan salah satu komponen yang sangat penting agar semua permintaan pelanggan dapat terlayani dengan baik dan pada akhirnya keuntungan yang diperoleh akan optimal. Masalah pendistribusian surat kabar Harian Serambi Indonesia ke seluruh agen pelanggan merupakan tanggung jawab bagian sirkulasi yang dikepalai oleh seorang manajer. Dalam pelaksanaan distribusi ini bagian sirkulasi didukung oleh 6 unit kendaraan roda empat yang tersebar pada masing-masing tempat percetakan sesuai dengan kebutuhannya dalam melayani konsumen. Di percetakan Banda Aceh terdapat 2 unit kendaraan, percetakan Lhokseumawe 2 unit kendaraan dan percetakan Blang Pidie mempunyai 2 unit kendaraan. Setiap kendaraan mempunyai kapasitas yang sama yaitu 10000 eksemplar koran. Mengingat bisnis surat kabar ini ada hubungannya dengan waktu, maka kedatangan barang tepat waktu menjadi salah satu pilar utama pemasaran. Agar ketepatan waktu dapat dicapai maka koran yang telah dicetak sekitar pukul 02.00 pagi langsung didistribusikan kepada konsumen dengan menggunakan jalur yang terbagi dalam beberapa wilayah pengiriman sesuai dengan permintaan dan kapasitas kendaraan kecuali jika ada berita-berita penting yang harus ditunggu. Tujuan distribusi tersebut adalah untuk menjamin koran datang tepat waktu di lokasi konsumen yang berbeda, jumlah koran tidak berkurang atau tidak ada koran yang rusak, serta memudahkan agen pelanggan untuk mendapatkan koran sesuai dengan yang dipesan. Penentuan rute kendaraan dalam mendistribusikan koran Serambi Indonesia ke setiap agen pelanggan, selama ini hanya berdasarkan pengalaman pengemudi. Untuk permasalahan rute, pengemudi terlebih dahulu memilih rute yang terdekat dengan depot/percetakan, sehingga total jarak yang ditempuh dari seluruh rute perjalanan belum tentu menghasilkan rute optimal. Oleh karena itu perlu dibuat suatu model matematis dalam pendistribusian koran Serambi Indonesia yang akan memberikan informasi mengenai urutan rute kendaraan, sehingga menghasilkan rute dengan total jarak yang minimum dengan mempertimbangkan kendala

26 kapasitas kendaraan, setiap rute berawal dan berakhir di depot dan setiap pelanggan dikunjungi tepat satu kali oleh satu kendaraan. Pada penelitian ini sebagai data simulasi model diambil data distribusi koran Serambi Indonesia pada depot/percetakan Banda Aceh, karena pada dasarnya model itu berlaku untuk semua depot/percetakan, hanya saja perlu penyesuaian dengan data-data yang ada pada masing-masing depot/percetakan tersebut. 4.3 Formulasi Masalah Fungsi tujuan dari model penentuan rute kendaraan dalam pendistribusian koran pada penelitian ini adalah meminimumkan total jarak tempuh dari rute perjalanan kendaraan dengan memperhatikan batasan-batasan (kendala-kendala) yang ada sehingga rute-rute yang terbentuk merupakan rute-rute dengan jarak yang minimum yang memenuhi semua kendala-kendala tersebut. Adapun kendala-kendala yang dihadapi adalah: 1. Setiap konsumen hanya dapat dikunjungi tepat satu kali oleh satu kendaraan. 2. Total jumlah permintaan konsumen dalam satu rute tidak melebihi kapasitas kendaraan yang melayani rute tersebut. 3. Setiap rute perjalanan kendaraan berawal dari depot 4. Setiap rute perjalanan kendaraan berakhir di depot. 5. Kekontinuan rute, artinya setiap kendaraan yang mengunjungi suatu konsumen, setelah selesai melayani akan meninggalkan konsumen tersebut 6. Tidak terdapat subtour pada formulasi yang dibuat. Untuk menyederhanakan masalah maka dalam penelitian ini digunakan asumsi-asumsi sebagai berikut: 1. Semua permintaan pelanggan dapat dipenuhi. 2. Jumlah permintaan pelanggan sudah diketahui sebelumnya. 3. Kendaraan yang digunakan mempunyai kapasitas yang sama yaitu 10000 eksemplar koran. 4. Kecepatan kendaraan konstan yaitu 60 km/jam. 5. Jarak antarlokasi adalah simetrik, artinya jarak dari konsumen i ke konsumen j sama dengan jarak dari konsumen j ke konsumen i.

27 Tabel 1 Data agen pelanggan PT Harian Serambi Indonesia untuk percetakan di Banda Aceh No. Nama Pelanggan Jumlah Permintaan (Eksemplar) 0 PT. Harian Serambi Indonesia 0 1 Trimora Agency Banda Aceh 3950 2 Dadang Supriadi Lampriet 1480 3 Darussalam Post 1621 4 Azra Agency Krueng Raya 1892 5 Joni Sukandar Seutui 1175 6 Nila Agency Lhoknga 635 7 Montasik Raya Post Lambaro Kafee 655 8 Abrah Agency Sibreh 612 9 Makmu Beusaree Indrapuri 595 10 Barona Agency Seulimum 493 11 Saree Agency 250 12 Syahril Agency Padang Tiji 520 13 Mulyadi Agency Sigli 1850 14 Sunaryati Agency Beureunun 1610 15 M. Jafar Lueng Putu 325 16 Rusli Ismail Meureudu 367 17 Kios Waspada Ulee Glee 673 Total Permintaan 18703 4.4 Model Tujuan dari model matematik penentuan rute kendaraan yang dibuat adalah meminimumkan total jarak tempuh kendaraan dalam mendistribusikan koran dari tempat percetakan ke sejumlah agen pelanggan yang tersebar di sejumlah tempat. Total jarak yang minimum dari rute-rute kendaraan dapat meminimumkan biaya dan dapat mengurangi biaya operasional namun tetap memenuhi ketentuanketentuan dari manajemen perusahaan. Berdasarkan formulasi masalah penentuan rute pendistribusian koran di atas, maka secara matematis dapat dibuat dalam model berikut: Misalkan didefinisikan: V = {1,...,K} = himpunan kendaraan dengan kapasitas yang identik

28 K = banyaknya kendaraan yang digunakan N = himpunan simpul (node) = {0,1,...,17} C = himpunan konsumen/pelanggan = {1,2,...,17} A = himpunan sisi berarah (arc) = {(i,j) i,j N, i j} = jarak dari konsumen i ke konsumen j = total jumlah permintaan konsumen i = kapasitas kendaraan = 10000 eksemplar = muatan kendaraan ke-k setelah mengunjungi konsumen ke-i Variabel keputusan: Fungsi tujuan dari permasalahan penentuan rute distribusi koran adalah meminimumkan total jarak tempuh/total biaya dari rute perjalanan. Kendala-kendala: 1. Setiap konsumen hanya dapat dikunjungi tepat satu kali oleh satu kendaraan. 2. Total jumlah permintaan konsumen dalam satu rute tidak melebihi kapasitas kendaraan yang melayani rute tersebut. 3. Setiap rute perjalanan kendaraan berawal dari depot. 4. Setiap rute perjalanan kendaraan berakhir di depot.

29 5. Kekontinuan rute, artinya setiap kendaraan yang mengunjungi suatu konsumen, setelah selesai melayani akan meninggalkan konsumen tersebut 6. Tidak terdapat subtour pada semua rute. Variabel keputusan hanya akan terdefinisi jika Jika maka kendala tidak mengikat, sehingga dan Sedangkan jika maka kendala tersebut menunjukkan bahwa sehingga batasan subtour elimination terpenuhi. 7. Variabel keputusan merupakan integer biner.

30 V HASIL DAN PEMBAHASAN 5.1 Implementasi Model Model yang telah diperoleh kemudian diimplementasikan dengan cara menyimulasikan model. Simulasi tersebut menggunakan data jarak antarlokasi pelanggan, jumlah permintaan pelanggan, dan jumlah kendaraan yang digunakan PT Harian Serambi Indonesia pada percetakan (depot) Banda Aceh. Rute kendaraan yang diharapkan adalah: 1. Setiap agen pelanggan hanya dikunjungi satu kali oleh satu kendaraan. 2. Setiap kendaraan melayani agen pelanggan sesuai dengan batasan kapasitasnya. 3. Setiap rute kendaraan berawal dari depot. 4. Setiap rute kendaraan berakhir di depot. 5. Setelah melayani agen pelanggan, kendaraan akan meninggalkan agen pelanggan tersebut. 6. Tidak terdapat subrute pada setiap rute yang ada. Pemodelan dari permasalahan tersebut adalah sebagai berikut: Fungsi tujuannya adalah meminimumkan total jarak tempuh dari rute perjalanan kendaraan. dengan kendala-kendala: 1. Setiap konsumen dikunjungi tepat satu kali oleh satu kendaraan. 2. Total jumlah permintaan konsumen dalam satu rute tidak melebihi kapasitas kendaraan yang melayani rute tersebut.

31 3. Setiap rute perjalanan kendaraan berawal dari depot. 4. Setiap rute perjalanan kendaraan berakhir di depot. 5. Kekontinuan rute, artinya setiap kendaraan yang mengunjungi suatu konsumen, setelah selesai melayani akan meninggalkan konsumen tersebut. 6. Tidak terdapat subtour pada semua rute Variabel keputusan hanya akan terdefinisi jika Jika maka kendala tidak mengikat, sehingga dan Sedangkan jika maka kendala tersebut menunjukkan bahwa sehingga batasan subtour elimination terpenuhi. 7. Variabel keputusan merupakan integer biner. 5.2 Hasil Penentuan Rute Kendaraan Setelah model matematik diformulasikan dengan bentuk integer linear programming maka selanjutnya diproses dengan menggunakan software LINGO 8.0 dengan metode branch and bound (lihat Lampiran 3), sehingga dihasilkan rute kendaraan untuk percetakan Banda Aceh yang dapat meminimumkan total jarak tempuh kendaraan dalam mendistribusikan koran setiap harinya. Rute kendaraan tersebut memberikan informasi tentang perbandingan rute kendaraan yang ada sekarang dengan rute yang dihasilkan dari pemodelan yang dibuat. Pada Tabel 2 dan Tabel 3 diberikan solusi optimal yang diperoleh dari masalah penentuan rute yang dibuat.

32 Tabel 2 Rute solusi optimal untuk kendaraan pertama No. Nama pelanggan Jumlah permintaan (Eksemplar) 0 PT. Harian Serambi Indonesia 0 5 Joni Sukandar Seutui 1175 6 Nila Agency Lhoknga 635 7 Montasik Raya Post Lambaro Kafee 655 8 Abrah Agency Sibreh 612 9 Makmu Beusaree Indrapuri 595 13 Mulyadi Agency Sigli 1850 16 Rusli Ismail Meureudu 367 17 Kios Waspada Ulee Glee 673 15 M. Jafar Lueng Putu 325 14 Sunaryati Agency Beureunun 1610 12 Syahril Agency Padang Tiji 520 11 Saree Agency 250 10 Barona Agency Seulimum 493 0 PT. Harian Serambi Indonesia 0 Tabel 3 Rute solusi optimal untuk kendaraan kedua No. Nama pelanggan Jumlah permintaan (Eksemplar) 0 PT. Harian Serambi Indonesia 0 2 Dadang Supriadi Lampriet 1480 4 Azra Agency Krueng Raya 1892 3 Darussalam Post 1621 1 Trimora Agency Banda Aceh 3950 0 PT. Harian Serambi Indonesia 0 Berdasarkan kedua tabel di atas, dapat dijelaskan bahwa untuk melayani seluruh agen pelanggan sesuai dengan permintaannya masing-masing maka dibutuhkan dua unit kendaraan. Untuk kendaraan pertama, rute yang dilalui adalah berawal dari depot percetakan, pelanggan 5, pelanggan 6, pelanggan 7, pelanggan 8, pelanggan 9, pelanggan 13, pelanggan 16, pelanggan 17, pelanggan 15, pelanggan 14, pelanggan 12, pelanggan 11, pelanggan 10 kemudian kembali

33 ke depot percetakan. Total jarak tempuh kendaraan pertama adalah 364 km dengan membawa total muatan 9760 eksemplar; sedangkan rute yang dilalui kendaraan kedua adalah meliputi depot percetakan, pelanggan 2, pelanggan 4, pelanggan 3, pelanggan 1 kemudian kembali ke depot percetakan dengan total jarak tempuh 75 km dan membawa total muatan sebanyak 8943 eksemplar. Total jarak yang ditempuh oleh kedua unit kendaraan tersebut dalam melayani seluruh agen pelanggan adalah 439 km dan total permintaan seluruh agen pelanggan adalah 18703 eksemplar. Rute solusi optimal dapat dilihat pada Gambar 6: 4 3 2 0 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 5 6 Kendaraan 1 Kendaraan 2 Gambar 6 Rute solusi optimal. Rute solusi optimal di atas kemudian dibandingkan dengan data di lapangan. Rute kendaraan pada perusahaan dalam melayani 17 agen pelanggan adalah seperti pada Tabel 4 dan Tabel 5 berikut: Tabel 4 Rute saat ini untuk kendaraan pertama No. Nama pelanggan Jumlah permintaan (Eksemplar) 0 PT. Harian Serambi Indonesia 0 2 Dadang Supriadi Lampriet 1480 6 Nila Agency Lhoknga 635 5 9 Joni Sukandar Seutui 1175 Makmu Beusaree Indrapuri 595

34 Tabel 4 Rute saat ini untuk kendaraan pertama (lanjutan) No. Nama pelanggan Jumlah permintaan (Eksemplar) 10 Barona Agency Seulimum 493 11 Saree Agency 250 12 Syahril Agency Padang Tiji 520 13 Mulyadi Agency Sigli 1850 14 Sunaryati Agency Beureunun 1610 15 M. Jafar Lueng Putu 325 16 Rusli Ismail Meureudu 367 17 Kios Waspada Ulee Glee 673 0 PT. Harian Serambi Indonesia 0 Tabel 5 Rute saat ini untuk kendaraan kedua Jumlah permintaan No. Nama pelanggan (Eksemplar) 0 PT. Harian Serambi Indonesia 0 7 Montasik Raya Post Lambaro Kafee 655 8 Abrah Agency Sibreh 612 3 Darussalam Post 1621 4 Azra Agency Krueng Raya 1892 1 Trimora Agency Banda Aceh 3950 0 PT. Harian Serambi Indonesia 0 Tabel 4 dan Tabel 5 di atas memperlihatkan bahwa untuk melayani seluruh agen pelanggan sesuai dengan permintaannya masing-masing maka dibutuhkan dua unit kendaraan. Untuk kendaraan pertama, rute yang dilalui adalah berawal dari depot percetakan, pelanggan 2, pelanggan 6, pelanggan 5, pelanggan 9, pelanggan 10, pelanggan 11, pelanggan 12, pelanggan 13, pelanggan 14, pelanggan 15, pelanggan 16, pelanggan 17 lalu kembali ke depot percetakan dengan total jarak tempuh adalah 369 km dan membawa total muatan 9973 eksemplar koran, sedangkan rute yang dilalui kendaraan kedua adalah meliputi depot percetakan, pelanggan 7, pelanggan 8, pelanggan 3, pelanggan 4, pelanggan

35 1 kemudian kembali ke depot percetakan. Kendaraan kedua menempuh jarak 91 km dan membawa total muatan sebanyak 8730 eksemplar koran. Total jarak yang ditempuh oleh kedua unit kendaraan tersebut dalam melayani seluruh agen pelanggan adalah 460 km dan total permintaan seluruh agen pelanggan adalah 18703 eksemplar. Rute kendaraan saat ini dapat dilihat pada Gambar 7: 4 3 2 0 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 5 6 Kendaraan 1 Kendaraan 2 Gambar 7 Rute kendaraan saat ini. 5.3 Perbandingan Rute Solusi Optimal dengan Rute Saat Ini Perbandingan rute hasil solusi optimal dengan rute saat ini dilakukan dengan membandingkan rute kendaraan solusi optimal dengan rute kendaraan saat ini berdasarkan muatan kendaraan dan total jarak tempuh kendaraan. Hal tersebut dapat dilihat pada Tabel 6. Tabel 6 Perbandingan rute solusi optimal dan rute saat ini berdasarkan muatan dan jarak tempuh kendaraan Muatan (Eksemplar) Kapasitas max (Eksemplar) Jarak Tempuh (kilometer) Keadaan saat ini: Kendaraan ke-1 9973 (99.73 %) 10000 369 (80.2174 %) Kendaraan ke-2 8730 (87.30 %) 10000 91 (19.7826 %) Solusi optimal: Kendaraan ke-1 9760 (97.60 %) 10000 364 (82.9157 %) Kendaraan ke-2 8943 (89.43 %) 10000 75 (17.0843 %)

36 Berdasarkan Tabel 6 dapat disimpulkan bahwa masing-masing rute kendaraan pada solusi optimal memiliki total jarak tempuh yang lebih pendek dibandingkan dengan total jarak tempuh rute kendaraan saat ini. Pada rute solusi optimal, total jarak tempuh untuk kedua kendaraan adalah 439 kilometer, sedangkan total jarak tempuh untuk kedua kendaraan saat ini adalah 460 kilometer, sehingga ada penghematan jarak tempuh 21 kilometer. Dengan kata lain, total jarak tempuh kendaraan pada solusi optimal adalah 95.4348 % dari total jarak tempuh kendaraan saat ini. Total muatan yang dibawa oleh kendaraan pertama pada solusi optimal lebih sedikit dari total muatan yang dibawa kendaraan pertama saat ini yaitu masing-masing 97.60 % dan 99.73 % dari total muatan kendaraan, sedangkan total muatan yang dibawa kendaraan kedua pada solusi optimal lebih banyak dari total muatan yang dibawa oleh kendaraan kedua saat ini yaitu masing-masing 89.43 % dan 87.30 % dari total muatan kendaraan. Perbedaan antara rute kendaraan solusi optimal dengan rute kendaraan saat ini dapat dilihat pada Gambar 8. 4 3 2 0 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 5 6 Rute Optimal Kendaraan 1 Rute Optimal Kendaraan 2 Rute Saat ini Kendaraan 1 Rute Saat ini Kendaraan 2 Gambar 8 Rute solusi optimal dan rute saat ini. Dari hasil perbandingan rute kendaraan solusi optimal dan rute kendaraan saat ini, perbedaan total jarak tempuh semua armada kendaraan dapat menjadi pertimbangan bagi PT Harian Serambi Indonesia untuk memilih rute kendaraan yang dipakai guna meminimalkan biaya distribusi koran.

37 VI SIMPULAN DAN SARAN 6.1 Simpulan Berdasarkan hasil pembahasan yang didapatkan dalam penelitian ini, maka dapat dibuat beberapa simpulan: 1. Masalah distribusi barang dapat diformulasikan dalam model Capacitated Vehicle Routing Problem. 2. Pengembangan model penentuan rute kendaraan dalam mendistribusikan koran harian Serambi Indonesia menghasilkan total jarak tempuh yang lebih pendek daripada rute yang diterapkan saat ini. 3. Total jarak tempuh kendaraan dalam mendistribusikan koran dapat menjadi pertimbangan bagi PT Harian Serambi Indonesia untuk memilih rute kendaraan yang dapat digunakan untuk efisiensi perusahaan. 6.2 Saran 1. Penelitian ini dapat dikembangkan untuk menyelesaikan masalah penentuan rute kendaraan dengan jumlah data yang lebih banyak. 2. Penelitian ini juga dapat dikembangkan untuk menyelesaikan masalah penentuan rute kendaraan dengan mempertimbangkan kendala waktu.

DAFTAR PUSTAKA Foulds LR. 1992. Graph Theory Applications. New York: Springer-Verlag. Garfinkel RS, Nemhauser GL. 1972. Integer Programming. New York: John Wiley & Sons. Kallehauge B, Larsen J, Marsen OBG. 2001. Lagrangean Duality Applied on Vehicle Routing Problem with Time Windows. Technical Report. IMM. Technical University of Denmark. Kara I, Laporte G, Bektas T. 2004. A Note on the lifted Miller-Tucker-Zemlin subtour elimination constraints for the capacitated vehicle routing problem. European Journal of Operational Research 158: 793-795. Larsen J. 2001. Parallelization of the Vehicle Routing with Time Windows [Ph. D Thesis]. Denmark: Department of Mathematical Modelling, University of Denmark. Nash SG, A. Sofer. 1996. Linear and Nonlinear Programming. McGraw-Hill, New York. Rardin RL. 1998. Optimization in Operations Research. Prentice Hall International. New Jersey. Rich JL. 1999. A Computational Study of Vehicle Routing Applications. [Ph. D Thesis]. Texas: Rice University. Taha HA. 1975. Integer Programming: Theory, Applications, and Computations. Academic Press. New York. Taha HA. 2003. Operations Research: An Introduction. Ed. ke-7. Pearson Education International. New Jersey. Toth P, Vigo D. 2002. An overview of vehicle routing problems. Di dalam Toth, P et al., editor. The Vehicle Routing Problem. Philadelphia: Siam. hlm. 1 26. Winston WL. 1995. Introduction to Mathematical Programming. Ed. ke-2. New York: Duxbury. Winston WL. 2004. Operations Research: Applications and Algorithms. Ed ke-4. New York: Duxbury.

40 Lampiran 1 Pemecahan masalah pencabangan pada contoh dengan menggunakan LINGO 8.0 * a. Pemecahan LP 0 Dituliskan dalam LINGO 8.0 sebagai berikut: MODEL: TITLE Persamaan 1; SETS: VARIABEL/1 2/:X; ENDSETS!FUNGSI OBJEKTIF; MAX=(X(1)+X(2));!TERHADAP KENDALA-KENDALA; (2*X(1)+5*X(2))<=16; (6*X(1)+5*X(2))<=27; END Hasil yang diperoleh sebagai berikut: Global optimal solution found at iteration: 2 Objective value: 4.850000 Model Title: Persamaan 1 Variable Value Reduced Cost X( 1) 2.750000 0.000000 X( 2) 2.100000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 4.850000 1.000000 2 0.000000 0.5000000E-01 3 0.000000 0.1500000 b. Pemecahan LP 1 * Dalam program LINGO 8.0, tanda desimal dinyatakan dengan titik.

41 Dituliskan dalam LINGO 8.0 sebagai berikut: MODEL: TITLE Persamaan 2; SETS: VARIABEL/1 2/:X; ENDSETS!FUNGSI OBJEKTIF; MAX=(X(1)+X(2));!TERHADAP KENDALA-KENDALA; (2*X(1)+5*X(2))<=16; (6*X(1)+5*X(2))<=27; X(1)<=2; END Hasil yang diperoleh sebagai berikut: Global optimal solution found at iteration: 0 Objective value: 4.400000 Model Title: Persamaan 2 Variable Value Reduced Cost X( 1) 2.000000 0.000000 X( 2) 2.400000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 4.400000 1.000000 2 0.000000 0.2000000 3 3.000000 0.000000 4 0.000000 0.6000000 c. Pemecahan LP 2 Dituliskan dalam LINGO 8.0 sebagai berikut: MODEL: TITLE Persamaan 3; SETS: VARIABEL/1 2/:X; ENDSETS!FUNGSI OBJEKTIF; MAX=(X(1)+X(2));!TERHADAP KENDALA-KENDALA; (2*X(1)+5*X(2))<=16; (6*X(1)+5*X(2))<=27; X(1)>=3; END

42 Hasil yang diperoleh sebagai berikut: Global optimal solution found at iteration: 3 Objective value: 4.800000 Model Title: Persamaan 3 Variable Value Reduced Cost X( 1) 3.000000 0.000000 X( 2) 1.800000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 4.800000 1.000000 2 1.000000 0.000000 3 0.000000 0.2000000 4 0.000000-0.2000000 d. Pemecahan LP 3 Dituliskan dalam LINGO 8.0 sebagai berikut: MODEL: TITLE Persamaan 4; SETS: VARIABEL/1 2/:X; ENDSETS!FUNGSI OBJEKTIF; MAX=(X(1)+X(2));!TERHADAP KENDALA-KENDALA; (2*X(1)+5*X(2))<=16; (6*X(1)+5*X(2))<=27; X(1)<=2; X(2)<=2; END Hasil yang diperoleh sebagai berikut: Global optimal solution found at iteration: 2 Objective value: 4.000000 Model Title: Persamaan 4 Variable Value Reduced Cost X( 1) 2.000000 0.000000 X( 2) 2.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price

43 1 4.000000 1.000000 2 2.000000 0.000000 3 5.000000 0.000000 4 0.000000 1.000000 5 0.000000 1.000000 e. Pemecahan LP 4 Dituliskan dalam LINGO 8.0 sebagai berikut: MODEL: TITLE Persamaan 5; SETS: VARIABEL/1 2/:X; ENDSETS!FUNGSI OBJEKTIF; MAX=(X(1)+X(2));!TERHADAP KENDALA-KENDALA; (2*X(1)+5*X(2))<=16; (6*X(1)+5*X(2))<=27; X(1)<=2; X(2)>=3; END Hasil yang diperoleh sebagai berikut: Global optimal solution found at iteration: 2 Objective value: 3.500000 Model Title: Persamaan 5 Variable Value Reduced Cost X( 1) 0.5000000 0.000000 X( 2) 3.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3.500000 1.000000 2 0.000000 0.5000000 3 9.000000 0.000000 4 1.500000 0.000000 5 0.000000-1.500000

44 Lampiran 2 Matriks jarak antarlokasi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 0 0 5 7 12 35 7 19 3 8 30 48 75 95 105 119 131 155 163 1 0 3 8 31 2 14 8 13 35 53 80 100 110 124 136 160 168 2 0 5 28 5 17 10 15 37 55 82 102 112 126 138 162 170 3 0 27 10 22 15 20 42 60 87 107 117 131 143 167 175 4 0 33 45 38 43 65 83 110 130 140 154 166 190 198 5 0 12 10 15 37 55 82 102 112 126 138 162 170 6 0 22 27 49 67 94 114 124 138 150 174 182 7 0 5 27 45 72 92 102 116 128 152 160 8 0 22 40 67 87 97 111 123 147 155 9 0 18 45 65 75 89 101 125 133 10 0 27 47 57 71 83 107 115 11 0 20 30 44 56 80 88 12 0 10 24 36 60 68 13 0 14 26 50 58 14 0 12 36 44 15 0 24 32 16 0 8 17 0

45 Lampiran 3 Program penyelesaian masalah penentuan rute kendaraan distribusi koran Serambi Indonesia depot percetakan Banda Aceh dengan menggunakan Software LINGO 8.0 MODEL: TITLE PENENTUAN RUTE KENDARAAN PENDISTRIBUSIAN KORAN SERAMBI INDONESIA DEPOT BANDA ACEH ; SETS: VESSEL/V1,V2/; CUSTOMER/C0..C17/:DEMAND; LOAD(CUSTOMER,VESSEL):U; LINK1(CUSTOMER,CUSTOMER):C; LINK2(CUSTOMER,CUSTOMER,VESSEL):X; ENDSETS DATA: DEMAND= ; 0 3950 1480 1621 1892 1175 635 655 612 595 493 250 520 1850 1610 325 367 673 C= 0 5 7 12 35 7 19 3 8 30 48 75 95 105 119 131 155 163 5 0 3 8 31 2 14 8 13 35 53 80 100 110 124 136 160 168 7 3 0 5 28 5 17 10 15 37 55 82 102 112 126 138 162 170 12 8 5 0 27 10 22 15 20 42 60 87 107 117 131 143 167 175 35 31 28 27 0 33 45 38 43 65 83 110 130 140 154 166 190 198 7 2 5 10 33 0 12 10 15 37 55 82 102 112 126 138 162 170 19 14 17 22 45 12 0 22 27 49 67 94 114 124 138 150 174 182 3 8 10 15 38 10 22 0 5 27 45 72 92 102 116 128 152 160 8 13 15 20 43 15 27 5 0 22 40 67 87 97 111 123 147 155 30 35 37 42 65 37 49 27 22 0 18 45 65 75 89 101 125 133 48 53 55 60 83 55 67 45 40 18 0 27 47 57 71 83 107 115 75 80 82 87 110 82 94 72 67 45 27 0 20 30 44 56 80 88 95 100 102 107 130 102 114 92 87 65 47 20 0 10 24 36 60 68 105 110 112 117 140 112 124 102 97 75 57 30 10 0 14 26 50 58 119 124 126 131 154 126 138 116 111 89 71 44 24 14 0 12 36 44 131 136 138 143 166 138 150 128 123 101 83 56 36 26 12 0 24 32 155 160 162 167 190 162 174 152 147 125 107 80 60 50 36 24 0 8 163 168 170 175 198 170 182 160 155 133 115 88 68 58 44 32 8 0 ; Q=10000; ENDDATA!FUNGSI OBJEKTIF;!MEMINIMUMKAN TOTAL JARAK TEMPUH DARI RUTE PERJALANAN; MIN=@SUM(VESSEL(K):@SUM(CUSTOMER(I):@SUM(CUSTOMER(J) J#NE#I:C(I,J) *X(I,J,K))));

46!KENDALA1;!SETIAP KONSUMEN HANYA DAPAT DIKUNJUNGI TEPAT SATU KALI OLEH SATU KENDARAAN; @FOR(CUSTOMER(I) I#GT#0:@SUM(VESSEL(K):@SUM(CUSTOMER(J) J#NE#I:X(I,J,K)))=1); @FOR(CUSTOMER(J) J#GT#0:@SUM(VESSEL(K):@SUM(CUSTOMER(I) I#NE#J:X(I,J,K)))=1);!KENDALA2;!TOTAL JUMLAH PERMINTAAN KONSUMEN DALAM SATU RUTE TIDAK MELEBIHI KAPASITAS KENDARAAN YANG MELAYANI RUTE TERSEBUT; @FOR(VESSEL(K):@SUM(CUSTOMER(I) I#GT#0:@SUM(CUSTOMER(J) J#NE#I:DEM AND(I)*X(I,J,K)))<=Q);!KENDALA3;!SETIAP RUTE BERAWAL DARI DEPOT; @FOR(VESSEL(K):@FOR(CUSTOMER(I) I#EQ#0:@SUM(CUSTOMER(J) J#GT#0:X(I,J,K))=1));!KENDALA4;!SETIAP RUTE BERAKHIR DI DEPOT; @FOR(VESSEL(K):@FOR(CUSTOMER(J) J#EQ#0:@SUM(CUSTOMER(I) I#GT#0:X(I,J,K))=1));!KENDALA5;!KEKONTINUAN RUTE, ARTINYA SETIAP KENDARAAN YANG MENGUNJUNGI SUATU KONSUMEN,SETELAH SELESAI MELAYANI AKAN MENINGGALKAN KONSUMEN TERSEBUT; @FOR(VESSEL(K):@FOR(CUSTOMER(H) H#GT#0:@SUM(CUSTOMER(I) I#NE#H:X(I,H,K))-@SUM(CUSTOMER(J) J#NE#H:X(H,J,K))=0));!KENDALA6;!TIDAK TERDAPAT SUBTOUR; @FOR(VESSEL(K):@FOR(CUSTOMER(I) I#GT#0:@FOR(CUSTOMER(J) J#GT#0 #AND# J#NE#I:U(I,K)-U(J,K)+Q*X(I,J,K)<=Q-DEMAND(J)))); @FOR(VESSEL(K):@FOR(CUSTOMER(I) I#GT#0:U(I,K)>=DEMAND(I))); @FOR(VESSEL(K):@FOR(CUSTOMER(I) I#GT#0:U(I,K)<=Q));!KENDALA7;!VARIABEL KEPUTUSAN MERUPAKAN INTEGER 0 DAN 1; @FOR(LINK2:@BIN(X)); END

47 Lampiran 4 Hasil Solusi LINGO 8.0 masalah penentuan rute kendaraan distribusi koran Serambi Indonesia pepot percetakan Banda Aceh Global optimal solution found at iteration: 73328520 Objective value: 439.0000 Model Title: PENENTUAN RUTE KENDARAAN PENDISTRIBUSIAN KORAN ACEH SERAMBI INDONESIA DEPOT BANDA Variable Value Reduced Cost X( C0, C0, V1) 0.000000 0.000000 X( C0, C0, V2) 0.000000 0.000000 X( C0, C1, V1) 0.000000 5.000000 X( C0, C1, V2) 0.000000 5.000000 X( C0, C2, V1) 0.000000 7.000000 X( C0, C2, V2) 1.000000 7.000000 X( C0, C3, V1) 0.000000 12.00000 X( C0, C3, V2) 0.000000 12.00000 X( C0, C4, V1) 0.000000 35.00000 X( C0, C4, V2) 0.000000 35.00000 X( C0, C5, V1) 1.000000 7.000000 X( C0, C5, V2) 0.000000 7.000000 X( C0, C6, V1) 0.000000 19.00000 X( C0, C6, V2) 0.00000 19.00000 X( C0, C7, V1) 0.000000 3.000000 X( C0, C7, V2) 0.000000 3.000000 X( C0, C8, V1) 0.000000 8.000000 X( C0, C8, V2) 0.000000 8.000000 X( C0, C9, V1) 0.000000 30.00000 X( C0, C9, V2) 0.000000 30.00000 X( C0, C10, V1) 0.000000 48.00000 X( C0, C10, V2) 0.000000 48.00000 X( C0, C11, V1) 0.000000 75.00000 X( C0, C11, V2) 0.000000 75.00000 X( C0, C12, V1) 0.000000 95.00000 X( C0, C12, V2) 0.000000 95.00000 X( C0, C13, V1) 0.000000 105.0000 X( C0, C13, V2) 0.000000 105.0000 X( C0, C14, V1) 0.000000 119.0000 X( C0, C14, V2) 0.000000 119.0000 X( C0, C15, V1) 0.000000 131.0000 X( C0, C15, V2) 0.000000 131.0000 X( C0, C16, V1) 0.000000 155.0000 X( C0, C16, V2) 0.000000 155.0000 X( C0, C17, V1) 0.000000 163.0000 X( C0, C17, V2) 0.000000 163.0000 X( C1, C0, V1) 0.000000 5.000000 X( C1, C0, V2) 1.000000 5.000000 X( C1, C1, V1) 0.000000 0.000000 X( C1, C1, V2) 0.000000 0.000000 X( C1, C2, V1) 0.000000 3.000000 X( C1, C2, V2) 0.000000 3.000000 X( C1, C3, V1) 0.000000 8.000000 X( C1, C3, V2) 0.000000 8.000000 X( C1, C4, V1) 0.000000 31.00000 X( C1, C4, V2) 0.000000 31.00000 X( C1, C5, V1) 0.000000 2.000000 X( C1, C5, V2) 0.000000 2.000000 X( C1, C6, V1) 0.000000 14.00000 X( C1, C6, V2) 0.000000 14.00000

48 X( C1, C7, V1) 0.000000 8.000000 X( C1, C7, V2) 0.000000 8.000000 X( C1, C8, V1) 0.000000 13.00000 X( C1, C8, V2) 0.000000 13.00000 X( C1, C9, V1) 0.000000 35.00000 X( C1, C9, V2) 0.000000 35.00000 X( C1, C10, V1) 0.000000 53.00000 X( C1, C10, V2) 0.000000 53.00000 X( C1, C11, V1) 0.000000 80.00000 X( C1, C11, V2) 0.000000 80.00000 X( C1, C12, V1) 0.000000 100.0000 X( C1, C12, V2) 0.000000 100.0000 X( C1, C13, 0.000000 110.0000 X( C1, C13, V2) 0.000000 110.0000 X( C1, C14, V1) 0.000000 124.0000 X( C1, C14, V2) 0.000000 124.0000 X( C1, C15, V1) 0.000000 136.0000 X( C1, C15, V2) 0.000000 136.0000 X( C1, C16, V1) 0.000000 160.0000 X( C1, C16, V2) 0.000000 160.0000 X( C1, C17, V1) 0.000000 168.0000 X( C1, C17, V2) 0.000000 168.0000 X( C2, C0, V1) 0.000000 7.000000 X( C2, C0, V2) 0.000000 7.000000 X( C2, C1, V1) 0.000000 3.000000 X( C2, C1, V2) 0.000000 3.000000 X( C2, C2, V1) 0.000000 0.000000 X( C2, C2, V2) 0.000000 0.000000 X( C2, C3, V1) 0.000000 5.000000 X( C2, C3, V2) 0.000000 5.000000 X( C2, C4, V1) 0.000000 28.00000 X( C2, C4, V2) 1.000000 28.00000 X( C2, C5, V1) 0.000000 5.000000 X( C2, C5, V2) 0.000000 5.000000 X( C2, C6, V1) 0.000000 17.00000 X( C2, C6, V2) 0.000000 17.00000 X( C2, C7, V1) 0.000000 10.00000 X( C2, C7, V2) 0.000000 10.00000 X( C2, C8, V1) 0.000000 15.00000 X( C2, C8, V2) 0.000000 15.00000 X( C2, C9, V1) 0.000000 37.00000 X( C2, C9, V2) 0.000000 37.00000 X( C2, C10, V1) 0.000000 55.00000 X( C2, C10, V2) 0.000000 55.00000 X( C2, C11, V1) 0.000000 82.00000 X( C2, C11, V2) 0.000000 82.00000 X( C2, C12, V1) 0.000000 102.0000 X( C2, C12, V2) 0.000000 102.0000 X( C2, C13, V1) 0.000000 112.0000 X( C2, C13, V2) 0.000000 112.0000 X( C2, C14, V1) 0.000000 126.0000 X( C2, C14, V2) 0.000000 126.0000 X( C2, C15, V1) 0.000000 138.0000 X( C2, C15, V2) 0.000000 138.0000 X( C2, C16, V1) 0.000000 162.0000 X( C2, C16, V2) 0.000000 162.0000 X( C2, C17, V1) 0.000000 170.0000 X( C2, C17, V2) 0.000000 170.0000 X( C3, C0, V1) 0.000000 12.00000 X( C3, C0, V2) 0.000000 12.00000 X( C3, C1, V1) 0.000000 8.000000 X( C3, C1, V2) 1.000000 8.000000 X( C3, C2, V1) 0.000000 5.000000 X( C3, C2, V2) 0.000000 5.000000 X( C3, C3, V1) 0.000000 0.000000 X( C3, C3, V2) 0.000000 0.000000 X( C3, C4, V1) 0.000000 27.00000 X( C3, C4, V2) 0.000000 27.00000 X( C3, C5, V1) 0.000000 10.00000 X( C3, C5, V2) 0.000000 10.00000 X( C3, C6, V1) 0.000000 22.00000 X( C3, C6, V2) 0.000000 22.00000 X( C3, C7, V1) 0.000000 15.00000 X( C3, C7, V2) 0.000000 15.00000 X( C3, C8, V1) 0.000000 20.00000 X( C3, C8, V2) 0.000000 20.00000 X( C3, C9, V1) 0.000000 42.00000 X( C3, C9, V2) 0.000000 42.00000 X( C3, C10, V1) 0.000000 60.00000 X( C3, C10, V2) 0.000000 60.00000 X( C3, C11, V1) 0.000000 87.00000 X( C3, C11, V2) 0.000000 87.00000 X( C3, C12, V1) 0.000000 107.0000 X( C3, C12, V2) 0.000000 107.0000 X( C3, C13, V1) 0.000000 117.0000 X( C3, C13, V2) 0.000000 117.0000 X( C3, C14, V1) 0.000000 131.0000 X( C3, C14, V2) 0.000000 131.0000 X( C3, C15, V1) 0.000000 143.0000 X( C3, C15, V2) 0.000000 143.0000 X( C3, C16, V1) 0.000000 167.0000 X( C3, C16, V2) 0.000000 167.0000 X( C3, C17, V1) 0.000000 175.0000 X( C3, C17, V2) 0.000000 175.0000 X( C4, C0, V1) 0.000000 35.00000 X( C4, C0, V2) 0.000000 35.00000 X( C4, C1, V1) 0.000000 31.00000 X( C4, C1, V2) 0.000000 31.00000 X( C4, C2, V1) 0.000000 28.00000 X( C4, C2, V2) 0.000000 28.00000 X( C4, C3, V1) 0.000000 27.00000 X( C4, C3, V2) 1.000000 27.00000 X( C4, C4, V1) 0.000000 0.000000 X( C4, C4, V2) 0.000000 0.000000 X( C4, C5, V1) 0.000000 33.00000 X( C4, C5, V2) 0.000000 33.00000 X( C4, C6, V1) 0.000000 45.00000 X( C4, C6, V2) 0.000000 45.00000 X( C4, C7, V1) 0.000000 38.00000 X( C4, C7, V2) 0.000000 38.00000 X( C4, C8, V1) 0.000000 43.00000 X( C4, C8, V2) 0.000000 43.00000 X( C4, C9, V1) 0.000000 65.00000 X( C4, C9, V2) 0.000000 65.00000 X( C4, C10, V1) 0.000000 83.00000 X( C4, C10, V2) 0.000000 83.00000 X( C4, C11, V1) 0.000000 110.0000 X( C4, C11, V2) 0.000000 110.0000 X( C4, C12, V1) 0.000000 130.0000 X( C4, C12, V2) 0.000000 130.0000 X( C4, C13, V1) 0.000000 140.0000 X( C4, C13, V2) 0.000000 140.0000 X( C4, C14, V1) 0.000000 154.0000 X( C4, C14, V2) 0.000000 154.0000 X( C4, C15, V1) 0.000000 166.0000 X( C4, C15, V2) 0.000000 166.0000 X( C4, C16, V1) 0.000000 190.0000 X( C4, C16, V2) 0.000000 190.0000 X( C4, C17, V1) 0.000000 198.0000 X( C4, C17, V2) 0.000000 198.0000 X( C5, C0, V1) 0.000000 7.000000 X( C5, C0, V2) 0.000000 7.000000 X( C5, C1, V1) 0.000000 2.000000 X( C5, C1, V2) 0.000000 2.000000 X( C5, C2, V1) 0.000000 5.000000 X( C5, C2, V2) 0.000000 5.000000 X( C5, C3, V1) 0.000000 10.00000 X( C5, C3, V2) 0.000000 10.00000 X( C5, C4, V1) 0.000000 33.00000 X( C5, C4, V2) 0.000000 33.00000 X( C5, C5, V1) 0.000000 0.000000 X( C5, C5, V2) 0.000000 0.000000 X( C5, C6, V1) 1.000000 12.00000 X( C5, C6, V2) 0.000000 12.00000 X( C5, C7, V1) 0.000000 10.00000 X( C5, C7, V2) 0.000000 10.00000 X( C5, C8, V1) 0.000000 15.00000 X( C5, C8, V2) 0.000000 15.00000

49 X( C5, C9, V1) 0.000000 37.00000 X( C5, C9, V2) 0.000000 37.00000 X( C5, C10, V1) 0.000000 55.00000 X( C5, C10, V2) 0.000000 55.00000 X( C5, C11, V1) 0.000000 82.00000 X( C5, C11, V2) 0.000000 82.00000 X( C5, C12, V1) 0.000000 102.0000 X( C5, C12, V2) 0.000000 102.0000 X( C5, C13, V1) 0.000000 112.0000 X( C5, C13, V2) 0.000000 112.0000 X( C5, C14, V1) 0.000000 126.0000 X( C5, C14, V2) 0.000000 126.0000 X( C5, C15, V1) 0.000000 138.0000 X( C5, C15, V2) 0.000000 138.0000 X( C5, C16, V1) 0.000000 162.0000 X( C5, C16, V2) 0.000000 162.0000 X( C5, C17, V1) 0.000000 170.0000 X( C5, C17, V2) 0.000000 170.0000 X( C6, C0, V1) 0.000000 19.00000 X( C6, C0, V2) 0.000000 19.00000 X( C6, C1, V1) 0.000000 14.00000 X( C6, C1, V2) 0.000000 14.00000 X( C6, C2, V1) 0.000000 17.00000 X( C6, C2, V2) 0.000000 17.00000 X( C6, C3, V1) 0.000000 22.00000 X( C6, C3, V2) 0.000000 22.00000 X( C6, C4, V1) 0.000000 45.00000 X( C6, C4, V2) 0.000000 45.00000 X( C6, C5, V1) 0.000000 12.00000 X( C6, C5, V2) 0.000000 12.00000 X( C6, C6, V1) 0.000000 0.000000 X( C6, C6, V2) 0.000000 0.000000 X( C6, C7, V1) 1.000000 22.00000 X( C6, C7, V2) 0.000000 22.00000 X( C6, C8, V1) 0.000000 27.00000 X( C6, C8, V2) 0.000000 27.00000 X( C6, C9, V1) 0.000000 49.00000 X( C6, C9, V2) 0.000000 49.00000 X( C6, C10, V1) 0.000000 67.00000 X( C6, C10, V2) 0.000000 67.00000 X( C6, C11, V1) 0.000000 94.00000 X( C6, C11, V2) 0.000000 94.00000 X( C6, C12, V1) 0.000000 114.0000 X( C6, C12, V2) 0.000000 114.0000 X( C6, C13, V1) 0.000000 124.0000 X( C6, C13, V2) 0.000000 124.0000 X( C6, C14, V1) 0.000000 138.0000 X( C6, C14, V2) 0.000000 138.0000 X( C6, C15, V1) 0.000000 150.0000 X( C6, C15, V2) 0.000000 150.0000 X( C6, C16, V1) 0.000000 174.0000 X( C6, C16, V2) 0.000000 174.0000 X( C6, C17, V1) 0.000000 182.0000 X( C6, C17, V2) 0.000000 182.0000 X( C7, C0, V1) 0.000000 3.000000 X( C7, C0, V2) 0.000000 3.000000 X( C7, C1, V1) 0.000000 8.000000 X( C7, C1, V2) 0.000000 8.000000 X( C7, C2, V1) 0.000000 10.00000 X( C7, C2, V2) 0.000000 10.00000 X( C7, C3, V1) 0.000000 15.00000 X( C7, C3, V2) 0.000000 15.00000 X( C7, C4, V1) 0.000000 38.00000 X( C7, C4, V2) 0.000000 38.00000 X( C7, C5, V1) 0.000000 10.00000 X( C7, C5, V2) 0.000000 10.00000 X( C7, C6, V1) 0.000000 22.00000 X( C7, C6, V2) 0.000000 22.00000 X( C7, C7, V1) 0.000000 0.000000 X( C7, C7, V2) 0.000000 0.000000 X( C7, C8, V1) 1.000000 5.000000 X( C7, C8, V2) 0.000000 5.000000 X( C7, C9, V1) 0.000000 27.00000 X( C7, C9, V2) 0.000000 27.00000 X( C7, C10, V1) 0.000000 45.00000 X( C7, C10, V2) 0.000000 45.00000 X( C7, C11, V1) 0.000000 72.00000 X( C7, C11, V2) 0.000000 72.00000 X( C7, C12, V1) 0.000000 92.00000 X( C7, C12, V2) 0.000000 92.00000 X( C7, C13, V1) 0.000000 102.0000 X( C7, C13, V2) 0.000000 102.0000 X( C7, C14, V1) 0.000000 116.0000 X( C7, C14, V2) 0.000000 116.0000 X( C7, C15, V1) 0.000000 128.0000 X( C7, C15, V2) 0.000000 128.0000 X( C7, C16, V1) 0.000000 152.0000 X( C7, C16, V2) 0.000000 152.0000 X( C7, C17, V1) 0.000000 160.0000 X( C7, C17, V2) 0.000000 160.0000 X( C8, C0, V1) 0.000000 8.000000 X( C8, C0, V2) 0.000000 8.000000 X( C8, C1, V1) 0.000000 13.00000 X( C8, C1, V2) 0.000000 13.00000 X( C8, C2, V1) 0.000000 15.00000 X( C8, C2, V2) 0.000000 15.00000 X( C8, C3, V1) 0.000000 20.00000 X( C8, C3, V2) 0.000000 20.00000 X( C8, C4, V1) 0.000000 43.00000 X( C8, C4, V2) 0.000000 43.00000 X( C8, C5, V1) 0.000000 15.00000 X( C8, C5, V2) 0.000000 15.00000 X( C8, C6, V1) 0.000000 27.00000 X( C8, C6, V2) 0.000000 27.00000 X( C8, C7, V1) 0.000000 5.000000 X( C8, C7, V2) 0.000000 5.000000 X( C8, C8, V1) 0.000000 0.000000 X( C8, C8, V2) 0.000000 0.000000 X( C8, C9, V1) 1.000000 22.00000 X( C8, C9, V2) 0.000000 22.00000 X( C8, C10, V1) 0.000000 40.00000 X( C8, C10, V2) 0.000000 40.00000 X( C8, C11, V1) 0.000000 67.00000 X( C8, C11, V2) 0.000000 67.00000 X( C8, C12, V1) 0.000000 87.00000 X( C8, C12, V2) 0.000000 87.00000 X( C8, C13, V1) 0.000000 97.00000 X( C8, C13, V2) 0.000000 97.00000 X( C8, C14, V1) 0.000000 111.0000 X( C8, C14, V2) 0.000000 111.0000 X( C8, C15, V1) 0.000000 123.0000 X( C8, C15, V2) 0.000000 123.0000 X( C8, C16, V1) 0.000000 147.0000 X( C8, C16, V2) 0.000000 147.0000 X( C8, C17, V1) 0.000000 155.0000 X( C8, C17, V2) 0.000000 155.0000 X( C9, C0, V1) 0.000000 30.00000 X( C9, C0, V2) 0.000000 30.00000 X( C9, C1, V1) 0.000000 35.00000 X( C9, C1, V2) 0.000000 35.00000 X( C9, C2, V1) 0.000000 37.00000 X( C9, C2, V2) 0.000000 37.00000 X( C9, C3, V1) 0.000000 42.00000 X( C9, C3, V2) 0.000000 42.00000 X( C9, C4, V1) 0.000000 65.00000 X( C9, C4, V2) 0.000000 65.00000 X( C9, C5, V1) 0.000000 37.00000 X( C9, C5, V2) 0.000000 37.00000 X( C9, C6, V1) 0.000000 49.00000 X( C9, C6, V2) 0.000000 49.00000 X( C9, C7, V1) 0.000000 27.00000 X( C9, C7, V2) 0.000000 27.00000 X( C9, C8, V1) 0.000000 22.00000 X( C9, C8, V2) 0.000000 22.00000 X( C9, C9, V1) 0.000000 0.000000 X( C9, C9, V2) 0.000000 0.000000 X( C9, C10, V1) 0.000000 18.00000 X( C9, C10, V2) 0.000000 18.00000

50 X( C9, C11, V1) 0.000000 45.00000 X( C9, C11, V2) 0.000000 45.00000 X( C9, C12, V1) 0.000000 65.00000 X( C9, C12, V2) 0.000000 65.00000 X( C9, C13, V1) 1.000000 75.00000 X( C9, C13, V2) 0.000000 75.00000 X( C9, C14, V1) 0.000000 89.00000 X( C9, C14, V2) 0.000000 89.00000 X( C9, C15, V1) 0.000000 101.0000 X( C9, C15, V2) 0.000000 101.0000 X( C9, C16, V1) 0.000000 125.0000 X( C9, C16, V2) 0.000000 125.0000 X( C9, C17, V1) 0.000000 133.0000 X( C9, C17, V2) 0.000000 133.0000 X( C10, C0, V1) 1.000000 48.00000 X( C10, C0, V2) 0.000000 48.00000 X( C10, C1, V1) 0.000000 53.00000 X( C10, C1, V2) 0.000000 53.00000 X( C10, C2, V1) 0.000000 55.00000 X( C10, C2, V2) 0.000000 55.00000 X( C10, C3, V1) 0.000000 60.00000 X( C10, C3, V2) 0.000000 60.00000 X( C10, C4, V1) 0.000000 83.00000 X( C10, C4, V2) 0.000000 83.00000 X( C10, C5, V1) 0.000000 55.00000 X( C10, C5, V2) 0.000000 55.00000 X( C10, C6, V1) 0.000000 67.00000 X( C10, C6, V2) 0.000000 67.00000 X( C10, C7, V1) 0.000000 45.00000 X( C10, C7, V2) 0.000000 45.00000 X( C10, C8, V1) 0.000000 40.00000 X( C10, C8, V2) 0.000000 40.00000 X( C10, C9, V1) 0.000000 18.00000 X( C10, C9, V2) 0.000000 18.00000 X( C10, C10, V1) 0.000000 0.000000 X( C10, C10, V2) 0.000000 0.000000 X( C10, C11, V1) 0.000000 27.00000 X( C10, C11, V2) 0.000000 27.00000 X( C10, C12, V1) 0.000000 47.00000 X( C10, C12, V2) 0.000000 47.00000 X( C10, C13, V1) 0.000000 57.00000 X( C10, C13, V2) 0.000000 57.00000 X( C10, C14, V1) 0.000000 71.00000 X( C10, C14, V2) 0.000000 71.00000 X( C10, C15, V1) 0.000000 83.00000 X( C10, C15, V2) 0.000000 83.00000 X( C10, C16, V1) 0.000000 107.0000 X( C10, C16, V2) 0.000000 107.0000 X( C10, C17, V1) 0.000000 115.0000 X( C10, C17, V2) 0.000000 115.0000 X( C11, C0, V1) 0.000000 75.00000 X( C11, C0, V2) 0.000000 75.00000 X( C11, C1, V1) 0.000000 80.00000 X( C11, C1, V2) 0.000000 80.00000 X( C11, C2, V1) 0.000000 82.00000 X( C11, C2, V2) 0.000000 82.00000 X( C11, C3, V1) 0.000000 87.00000 X( C11, C3, V2) 0.000000 87.00000 X( C11, C4, V1) 0.000000 110.0000 X( C11, C4, V2) 0.000000 110.0000 X( C11, C5, V1) 0.000000 82.00000 X( C11, C5, V2) 0.000000 82.00000 X( C11, C6, V1) 0.000000 94.00000 X( C11, C6, V2) 0.000000 94.00000 X( C11, C7, V1) 0.000000 72.00000 X( C11, C7, V2) 0.000000 72.00000 X( C11, C8, V1) 0.000000 67.00000 X( C11, C8, V2) 0.000000 67.00000 X( C11, C9, V1) 0.000000 45.00000 X( C11, C9, V2) 0.000000 45.00000 X( C11, C10, V1) 1.000000 27.00000 X( C11, C10, V2) 0.000000 27.00000 X( C11, C11, V1) 0.000000 0.000000 X( C11, C11, V2) 0.000000 0.000000 X( C11, C12, V1) 0.000000 20.00000 X( C11, C12, V2) 0.000000 20.00000 X( C11, C13, V1) 0.000000 30.00000 X( C11, C13, V2) 0.000000 30.00000 X( C11, C14, V1) 0.000000 44.00000 X( C11, C14, V2) 0.000000 44.00000 X( C11, C15, V1) 0.000000 56.00000 X( C11, C15, V2) 0.000000 56.00000 X( C11, C16, V1) 0.000000 80.00000 X( C11, C16, V2) 0.000000 80.00000 X( C11, C17, V1) 0.000000 88.00000 X( C11, C17, V2) 0.000000 88.00000 X( C12, C0, V1) 0.000000 95.00000 X( C12, C0, V2) 0.000000 95.00000 X( C12, C1, V1) 0.000000 100.0000 X( C12, C1, V2) 0.000000 100.0000 X( C12, C2, V1) 0.000000 102.0000 X( C12, C2, V2) 0.000000 102.0000 X( C12, C3, V1) 0.000000 107.0000 X( C12, C3, V2) 0.000000 107.0000 X( C12, C4, V1) 0.000000 130.0000 X( C12, C4, V2) 0.000000 130.0000 X( C12, C5, V1) 0.000000 102.0000 X( C12, C5, V2) 0.000000 102.0000 X( C12, C6, V1) 0.000000 114.0000 X( C12, C6, V2) 0.000000 114.0000 X( C12, C7, V1) 0.000000 92.00000 X( C12, C7, V2) 0.000000 92.00000 X( C12, C8, V1) 0.000000 87.00000 X( C12, C8, V2) 0.000000 87.00000 X( C12, C9, V1) 0.000000 65.00000 X( C12, C9, V2) 0.000000 65.00000 X( C12, C10, V1) 0.000000 47.00000 X( C12, C10, V2) 0.000000 47.00000 X( C12, C11, V1) 1.000000 20.00000 X( C12, C11, V2) 0.000000 20.00000 X( C12, C12, V1) 0.000000 0.000000 X( C12, C12, V2) 0.000000 0.000000 X( C12, C13, V1) 0.000000 10.00000 X( C12, C13, V2) 0.000000 10.00000 X( C12, C14, V1) 0.000000 24.00000 X( C12, C14, V2) 0.000000 24.00000 X( C12, C15, V1) 0.000000 36.00000 X( C12, C15, V2) 0.000000 36.00000 X( C12, C16, V1) 0.000000 60.00000 X( C12, C16, V2) 0.000000 60.00000 X( C12, C17, V1) 0.000000 68.00000 X( C12, C17, V2) 0.000000 68.00000 X( C13, C0, V1) 0.000000 105.0000 X( C13, C0, V2) 0.000000 105.0000 X( C13, C1, V1) 0.000000 110.0000 X( C13, C1, V2) 0.000000 110.0000 X( C13, C2, V1) 0.000000 112.0000 X( C13, C2, V2) 0.000000 112.0000 X( C13, C3, V1) 0.000000 117.0000 X( C13, C3, V2) 0.000000 117.0000 X( C13, C4, V1) 0.000000 140.0000 X( C13, C4, V2) 0.000000 140.0000 X( C13, C5, V1) 0.000000 112.0000 X( C13, C5, V2) 0.000000 112.0000 X( C13, C6, V1) 0.000000 124.0000 X( C13, C6, V2) 0.000000 124.0000 X( C13, C7, V1) 0.000000 102.0000 X( C13, C7, V2) 0.000000 102.0000 X( C13, C8, V1) 0.000000 97.00000 X( C13, C8, V2) 0.000000 97.00000 X( C13, C9, V1) 0.000000 75.00000 X( C13, C9, V2) 0.000000 75.00000 X( C13, C10, V1) 0.000000 57.00000 X( C13, C10, V2) 0.000000 57.00000 X( C13, C11, V1) 0.000000 30.00000 X( C13, C11, V2) 0.000000 30.00000 X( C13, C12, V1) 0.000000 10.00000 X( C13, C12, V2) 0.000000 10.00000

51 X( C13, C13, V1) 0.000000 0.000000 X( C13, C13, V2) 0.000000 0.000000 X( C13, C14, V1) 0.000000 14.00000 X( C13, C14, V2) 0.000000 14.00000 X( C13, C15, V1 0.000000 26.00000 X( C13, C15, V2) 0.000000 26.00000 X( C13, C16, V1) 1.000000 50.00000 X( C13, C16, V2) 0.000000 50.00000 X( C13, C17, V1) 0.000000 58.00000 X( C13, C17, V2) 0.000000 58.00000 X( C14, C0, V1) 0.000000 119.0000 X( C14, C0, V2) 0.000000 119.0000 X( C14, C1, V1) 0.000000 124.0000 X( C14, C1, V2) 0.000000 124.0000 X( C14, C2, V1) 0.000000 126.0000 X( C14, C2, V2) 0.000000 126.0000 X( C14, C3, V1) 0.000000 131.0000 X( C14, C3, V2) 0.000000 131.0000 X( C14, C4, V1) 0.000000 154.0000 X( C14, C4, V2) 0.000000 154.0000 X( C14, C5, V1) 0.000000 126.0000 X( C14, C5, V2) 0.000000 126.0000 X( C14, C6, V1) 0.000000 138.0000 X( C14, C6, V2) 0.000000 138.0000 X( C14, C7, V1) 0.000000 116.0000 X( C14, C7, V2) 0.000000 116.0000 X( C14, C8, V1) 0.000000 111.0000 X( C14, C8, V2) 0.000000 111.0000 X( C14, C9, V1) 0.000000 89.00000 X( C14, C9, V2) 0.000000 89.00000 X( C14, C10, V1) 0.000000 71.00000 X( C14, C10, V2) 0.000000 71.00000 X( C14, C11, V1) 0.000000 44.00000 X( C14, C11, V2) 0.000000 44.00000 X( C14, C12, V1) 1.000000 24.00000 X( C14, C12, V2) 0.000000 24.00000 X( C14, C13, V1) 0.000000 14.00000 X( C14, C13, V2) 0.000000 14.00000 X( C14, C14, V1) 0.000000 0.000000 X( C14, C14, V2) 0.000000 0.000000 X( C14, C15, V1) 0.000000 12.00000 X( C14, C15, V2) 0.000000 12.00000 X( C14, C16, V1) 0.000000 36.00000 X( C14, C16, V2) 0.000000 36.00000 X( C14, C17, V1) 0.000000 44.00000 X( C14, C17, V2) 0.000000 44.00000 X( C15, C0, V1) 0.000000 131.0000 X( C15, C0, V2) 0.000000 131.0000 X( C15, C1, V1) 0.000000 136.0000 X( C15, C1, V2) 0.000000 136.0000 X( C15, C2, V1) 0.000000 138.0000 X( C15, C2, V2) 0.000000 138.0000 X( C15, C3, V1) 0.000000 143.0000 X( C15, C3, V2) 0.000000 143.0000 X( C15, C4, V1) 0.000000 166.0000 X( C15, C4, V2) 0.000000 166.0000 X( C15, C5, V1) 0.000000 138.0000 X( C15, C5, V2) 0.000000 138.0000 X( C15, C6, V1) 0.000000 150.0000 X( C15, C6, V2) 0.000000 150.0000 X( C15, C7, V1) 0.000000 128.0000 X( C15, C7, V2) 0.000000 128.0000 X( C15, C8, V1) 0.000000 123.0000 X( C15, C8, V2) 0.000000 123.0000 X( C15, C9, V1) 0.000000 101.0000 X( C15, C9, V2) 0.000000 101.0000 X( C15, C10, V1) 0.000000 83.00000 X( C15, C10, V2) 0.000000 83.00000 X( C15, C11, V1) 0.000000 56.00000 X( C15, C11, V2) 0.000000 56.00000 X( C15, C12, V1) 0.000000 36.00000 X( C15, C12, V2) 0.000000 36.00000 X( C15, C13, V1) 0.000000 26.00000 X( C15, C13, V2) 0.000000 26.00000 X( C15, C14, V1) 1.000000 12.00000 X( C15, C14, V2) 0.000000 12.00000 X( C15, C15, V1) 0.000000 0.000000 X( C15, C15, V2) 0.000000 0.000000 X( C15, C16, V1) 0.000000 24.00000 X( C15, C16, V2) 0.000000 24.00000 X( C15, C17, V1) 0.000000 32.00000 X( C15, C17, V2) 0.000000 32.00000 X( C16, C0, V1) 0.000000 155.0000 X( C16, C0, V2) 0.000000 155.0000 X( C16, C1, V1) 0.000000 160.0000 X( C16, C1, V2) 0.000000 160.0000 X( C16, C2, V1) 0.000000 162.0000 X( C16, C2, V2) 0.000000 162.0000 X( C16, C3, V1) 0.000000 167.0000 X( C16, C3, V2) 0.000000 167.0000 X( C16, C4, V1) 0.000000 190.0000 X( C16, C4, V2) 0.000000 190.0000 X( C16, C5, V1) 0.000000 162.0000 X( C16, C5, V2) 0.000000 162.0000 X( C16, C6, V1) 0.000000 174.0000 X( C16, C6, V2) 0.000000 174.0000 X( C16, C7, V1) 0.000000 152.0000 X( C16, C7, V2) 0.000000 152.0000 X( C16, C8, V1) 0.000000 147.0000 X( C16, C8, V2) 0.000000 147.0000 X( C16, C9, V1) 0.000000 125.0000 X( C16, C9, V2) 0.000000 125.0000 X( C16, C10, V1) 0.000000 107.0000 X( C16, C10, V2) 0.000000 107.0000 X( C16, C11, V1) 0.000000 80.00000 X( C16, C11, V2) 0.000000 80.00000 X( C16, C12, V1) 0.000000 60.00000 X( C16, C12, V2) 0.000000 60.00000 X( C16, C13, V1) 0.000000 50.00000 X( C16, C13, V2) 0.000000 50.00000 X( C16, C14, V1) 0.000000 36.00000 X( C16, C14, V2) 0.000000 36.00000 X( C16, C15, V1) 0.000000 24.00000 X( C16, C15, V2) 0.000000 24.00000 X( C16, C16, V1) 0.000000 0.000000 X( C16, C16, V2) 0.000000 0.000000 X( C16, C17, V1) 1.000000 8.000000 X( C16, C17, V2) 0.000000 8.000000 X( C17, C0, V1) 0.000000 163.0000 X( C17, C0, V2) 0.000000 163.0000 X( C17, C1, V1) 0.000000 168.0000 X( C17, C1, V2) 0.000000 168.0000 X( C17, C2, V1) 0.000000 170.0000 X( C17, C2, V2) 0.000000 170.0000 X( C17, C3, V1) 0.000000 175.0000 X( C17, C3, V2) 0.000000 175.0000 X( C17, C4, V1) 0.000000 198.0000 X( C17, C4, V2) 0.000000 198.0000 X( C17, C5, V1) 0.000000 170.0000 X( C17, C5, V2) 0.000000 170.0000 X( C17, C6, V1) 0.000000 182.0000 X( C17, C6, V2) 0.000000 182.0000 X( C17, C7, V1) 0.000000 160.0000 X( C17, C7, V2) 0.000000 160.0000 X( C17, C8, V1) 0.000000 155.0000 X( C17, C8, V2) 0.000000 155.0000 X( C17, C9, V1) 0.000000 133.0000 X( C17, C9, V2) 0.000000 133.0000 X( C17, C10, V1) 0.000000 115.0000 X( C17, C10, V2) 0.000000 115.0000 X( C17, C11, V1) 0.000000 88.00000 X( C17, C11, V2) 0.000000 88.00000 X( C17, C12, V1) 0.000000 68.00000 X( C17, C12, V2) 0.000000 68.00000 X( C17, C13, V1) 0.000000 58.00000 X( C17, C13, V2) 0.000000 58.00000 X( C17, C14, V1) 0.000000 44.00000 X( C17, C14, V2) 0.000000 44.00000

X( C17, C15, V1) 1.000000 32.00000 X( C17, C15, V2) 0.000000 32.00000 X( C17, C16, V2) 0.000000 8.000000 X( C17, C16, V1) 0.000000 8.000000 X( C17, C17, V1) 0.000000 0.000000 X( C17, C17, V2) 0.000000 0.000000 52