PENYELESAIAN VEHICLE ROUTING PROBLEM MENGGUNAKAN BEBERAPA METODE HEURISTIK KONSTRUKTIF

Transkripsi

1 i PENYELESAIAN VEHICLE ROUTING PROBLEM MENGGUNAKAN BEBERAPA METODE HEURISTIK KONSTRUKTIF DEIBY TINEKE SALAKI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

2 iii PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Penyelesaian Vehicle Routing Problem Menggunakan Beberapa Metode Heuristik Konstruktif adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Juli 2009 Deiby Tineke Salaki NRP G

3 iv ABSTRACT DEIBY TINEKE SALAKI. The Solution of Vehicle Routing Problem Using Some Constructive Heuristic Methods. Under supervision of AMRIL AMAN and FARIDA HANUM. The distribution of commodities or services can be viewed as a combinatorial optimization and application of graph theory named vehicle routing problem (VRP). The VRP, which is generalization of traveling salesman problem, can be described as the problem of designing least cost routes from depot to a set of costumers. The routes must be designed in such a way, that each costumer is visited only once by exactly one vehicle, started and ended at the depot. The VRP can be further complicated by associating time windows on visits, which is called VRP time windows (VRPTW). Because of the high complexity of the VRP and its wide applicability to various circumstances, heuristic method is more powerful to solve the problem than the exact one. The method is capable in performing a solution in a relatively limited running time, although it does not guarantee that the solution will be optimal. Most heuristic methods strategies involve finding an initial feasible solution by constructing a given route and then improving that solution. The aims of this research are (1) formulating model for the distribution of commodities as a VRPTW, (2) implementing the model on the delivery of Sari Roti bread to some stores, (3) solving the delivery problem using some heuristic methods, (4) comparing the output of each method based on running time and total of distribution distance. The distribution problem is modeled as VRPTW. The model is solved using heuristic method by means of ILOG Dispatcher software. In finding the solution, route construction method is applied by doing each saving, sweeping, nearest-to-depot, nearest addition, and insertion methods; and simultaneously performing route improvement using 2-opt, Or-opt, relocate, exchange and cross methods. Comparison of these methods, which is based on running time and distance on delivery of Sari Roti bread, shows that, the least route distance is given by the output of insertion method, the fastest running time is given by saving method. In contrast, the saving method yields the biggest route distance and the nearest-todepot produces the longest running time. Keywords: graph, combinatorial optimization, traveling salesman problem, vehicle routing problem, heuristic method

4 v RINGKASAN DEIBY TINEKE SALAKI. Penyelesaian Vehicle Routing Problem Menggunakan Beberapa Metode Heuristik Konstruktif. Dibimbing oleh AMRIL AMAN dan FARIDA HANUM. Pendistribusian barang atau jasa merupakan salah satu bagian penting dari kegiatan sebuah instansi pemerintah ataupun perusahaan tertentu, yang sering mengadakan pengambilan keputusan mengenai rute yang dapat mengoptimalkan biaya, waktu dan sumberdaya lain yang tersedia. Masalah ini dapat diformulasikan secara matematis sebagai sebuah Vehicle Routing Problem (VRP). VRP merupakan salah satu aplikasi dari teori graf dan optimasi kombinatorial yang mencakup penentuan sejumlah rute angkutan yang diawali dan diakhiri di suatu tempat yang disebut depot untuk mengantarkan barang kepada sekumpulan pelanggan sesuai permintaannya masing-masing. Rute yang terbentuk harus mengunjungi setiap pelanggan tepat satu kali dan menghabiskan biaya atau jarak tempuh seminimal mungkin. Salah satu variasi dari VRP adalah VRP time windows (VRPTW) yang menambahkan kendala batasan selang waktu tertentu (time windows) dalam melayani pelanggan. Selain dengan metode eksak, penyelesaian VRP, terutama yang berukuran besar dapat dilakukan dengan metode heuristik yang menentukan solusi secara cepat dari segi waktu komputasi meskipun solusi yang diperoleh belum tentu optimal. Metode heuristik dapat dibagi dalam tiga kelompok yaitu metode heuristik konstruktif (constructive heuristic), metode dua fase, dan metode perbaikan (improvement). Pada umumnya metode heuristik konstruktif dan metode perbaikan dilakukan secara bersamaan. Pada penelitian ini dilakukan formulasi masalah pendistribusian barang dalam bentuk VRPTW dan diimplementasikan pada masalah distribusi roti Sari Roti. Masalah tersebut selanjutnya diselesaikan dengan beberapa metode heuristik konstruktif. Rute yang diperoleh pada tahap konstruksi diperbaiki dengan metode perbaikan. Hasil masing-masing rute setelah perbaikan, selanjutnya dibandingkan berdasarkan waktu tempuh dan total jarak tempuh. Penelitian ini menggunakan software ILOG. Tahapan-tahapan metode heuristik yang digunakan adalah (1) penentuan rute fisibel awal dengan menggunakan 5 metode konstruksi yaitu saving, sweeping, nearest-to-depot, nearest addition, dan insertion, (2) memperbaiki rute yang diperoleh dari setiap metode konstruksi dengan menerapkan secara simultan 5 metode perbaikan rute yaitu metode 2-opt, metode Or-opt, metode relocate, metode exchange dan metode cross, (3) membandingkan hasil akhir perbaikan rute dari kelima metode berdasarkan total jarak tempuh dan waktu eksekusi. Hasil perbandingan lima metode heuristik konstruktif yang diterapkan pada data distribusi roti Sari Roti menunjukkan bahwa, jarak terkecil dari kegiatan distribusi diperoleh dari metode insertion dan jarak terbesar diperoleh dari metode saving, sebaliknya waktu eksekusi tercepat diperoleh dari metode saving dan paling lama pada metode nearest-to-depot.

5 vi Total jarak tempuh distribusi dapat menjadi masukan bagi PT NIC (produsen Sari Roti ) untuk memilih rute kendaraan guna meningkatkan efisiensi perusahaan sedangkan waktu eksekusi dapat menjadi masukan bagi pengembangan metode heuristik untuk masalah yang berukuran besar. Kata Kunci : graf, optimasi kombinatorial, traveling salesman problem, vehicle routing problem, metode heuristik

6 Hak Cipta milik IPB, tahun 2009 Hak Cipta dilindungi Undang-Undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah. b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB.

7 viii PENYELESAIAN VEHICLE ROUTING PROBLEM MENGGUNAKAN BEBERAPA METODE HEURISTIK KONSTRUKTIF DEIBY TINEKE SALAKI Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

8 ix Judul Tesis Nama NRP : Penyelesaian Vehicle Routing Problem Menggunakan Beberapa Metode Heuristik Konstruktif : Deiby Tineke Salaki : G Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Ir. Amril Aman, M.Sc. Ketua Dra. Farida Hanum, M.Si. Anggota Diketahui Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana Matematika Terapan Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S. Tanggal Ujian: 6 Juli 2009 Tanggal Lulus:

9 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom. x

10 xi PRAKATA Eben Haezer. Ya, (lagi dan lagi) sampai di sini, Tuhan menolong saya melewati satu tahapan penting dalam perjuangan hidup. Thanks God, for showing me Thy way and teaching me how to walk aright, more by faith and less by sight. Diawali dengan pemilihan topik pada bulan Januari 2009 sampai penyelesaian tesis ini yang diberi judul Penyelesaian Vehicle Routing Problem Menggunakan Beberapa Metode Heuristik Konstruktif, saya sangat didukung oleh sejumlah pihak. Bapak Amril Aman, Ph.D dan Ibu Farida Hanum, M.Si., pembimbing saya; serta Bapak Prapto Tri Supriyo, M.Kom. selaku penguji, terima kasih atas semua arahan, masukan, dan pengertiannya yang tak ternilai. Segenap civitas akademika Departemen Matematika IPB di almamater saya yang tak pernah terlupakan, terima kasih atas semua ilmu, teladan dan keramahannya. Terima kasih kepada teman-teman kuliah, kak Asmara teman seperjuangan, kepada Aji Raditya yang bersedia meminjamkan datanya dan bersama Fariz yang memberi banyak masukan kepada saya; kepada keluarga saya di Bogor: teman-teman kost (Deli, Yona, dan Alina) dan keluarga besar Bapak Rahmat di RM Palem Merah. Kepada GKI Pengadilan Bogor yang selalu menjadi rumah bagi saya untuk pulang, terimakasih atas persekutuannya. Ucapan terimakasih juga disampaikan kepada pimpinan dan staf Yayasan Toyota & Astra atas kepercayaannya memberikan beasiswa. Last but not least, terima kasih kepada harta saya yang paling berharga: suami tercinta, Obrin Sualang atas pengertian, kasih sayang dan dukungannya; anakanak tersayang, Riemann, Ednayra dan my future daughter, yang selalu menyemangati saya dalam berjuang; orang tua dan keluarga besar di Pakuure dan Wioi yang selalu mendoakan saya. Terima kasih untuk semua pihak yang selama ini mendukung saya yang tidak dapat disebutkan satu per satu. Saya menerima segala kritik dan saran dari pembaca, karena saya sangat menyadari tulisan ini masih banyak kekurangan. Semoga tulisan ini bermanfaat dan menjadi inspirasi untuk penelitian selanjutnya. Bogor, Juli 2009 Deiby Tineke Salaki

11 xii RIWAYAT HIDUP Deiby Tineke Salaki, dilahirkan sebagai anak bungsu dari dua bersaudara di Amurang, Minahasa Selatan, Sulawesi Utara pada tanggal 17 Desember 1972 dari pasangan Liem Hou Ing dan Altje Fredika Wowor. Lulusan SMA Katolik Aquino Amurang tahun 1991 ini, diterima pada tahun yang sama di Program Studi Ilmu Kelautan, Fakultas Perikanan Unsrat Manado. Setahun kemudian penulis mendapat tugas belajar dari Universitas Sam Ratulangi Manado di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB dengan beasiswa EIUDP-CIDA dan TID dan lulus pada tahun Pada tahun 2007, diterima di Program Studi Matematika pada Sekolah Pascasarjana IPB. Selama menempuh jenjang S2, penulis menerima beasiswa dari Yayasan Toyota & Astra Indonesia dan bantuan penelitian dari Lembaga Penelitian Unsrat Manado. Penulis merupakan dosen pada Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Sam Ratulangi Manado sejak tahun 2000 sampai sekarang. Pada tahun 2001, penulis menikah dengan Obrin Sualang dan dikaruniai seorang putra Riemann Janson Sualang (6 tahun), seorang putri Ednayra Marqliem Sualang (3 tahun) dan seorang calon bayi.

12 xiii DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR LAMPIRAN... xv xvi xvii 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Graf Optimasi Kombinatorial Traveling Salesman Problem Vehicle Routing Problem Vehicle Routing Problem with Time Windows METODE HEURISTIK UNTUK VRPTW 3.1 Metode Heuristik Metode Heuristik Konstruktif Metode Saving Metode Sweeping Metode Nearest-to-depot Metode Nearest Addition Metode Insertion Metode Perbaikan Perbaikan dalam Rute Metode 2-opt Metode Or-opt Perbaikan Antarrute Metode Relocate Metode Exchange Metode Cross PENYELESAIAN MASALAH DISTRIBUSI ROTI SARI ROTI 4.1 Data Deskripsi Masalah Formulasi Masalah Hasil dan Pembahasan Rute Kendaraan dengan Metode Saving Rute Kendaraan dengan Metode Sweeping Rute Kendaraan dengan Metode Nearest-to-depot... 32

13 xiv Rute Kendaraan dengan Metode Nearest Addition Rute Kendaraan dengan Metode Insertion Pembandingan Kelima Metode Heuristik Konstruktif SIMPULAN DAN SARAN 5.1 Simpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN... 42

14 xv DAFTAR TABEL Halaman 1 Data pelanggan PT NIC Rute kendaraan dengan metode saving Rute kendaraan dengan metode sweeping Rute kendaraan dengan metode nearest-to-depot Rute kendaraan dengan metode nearest addition Rute kendaraan dengan metode insertion Perbandingan hasil kelima metode konstruksi Perbandingan jarak dan waktu eksekusi kelima metode konstruksi... 37

15 xvi DAFTAR GAMBAR Halaman 2.1 Contoh penyelesaian TSP Contoh penyelesaian VRP 3 rute Contoh metode saving Contoh metode sweeping Contoh metode nearest-to-depot Contoh metode nearest addition Contoh metode insertion Contoh metode 2-opt Contoh metode Or-opt Contoh metode relocate Contoh metode exchange Contoh metode cross Rute kendaraan dengan metode saving Rute kendaraan dengan metode sweeping Rute kendaraan dengan metode nearest-to-depot Rute kendaraan dengan metode nearest addition Rute kendaraan dengan metode insertion Perbandingan waktu eksekusi dan total jarak tempuh kelima metode konstruksi... 38

16 xvii DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Matriks jarak antarlokasi Program penentuan rute dengan metode saving menggunakan software ILOG Hasil penentuan rute dengan metode saving Program penentuan rute dengan metode sweeping menggunakan software ILOG Hasil penentuan rute dengan metode sweeping Program penentuan rute dengan metode nearest-to-depot menggunakan software ILOG Hasil penentuan rute dengan metode nearest-to-depot Program penentuan rute dengan metode nearest addition menggunakan software ILOG Hasil penentuan rute dengan metode nearest addition Program penentuan rute dengan metode insertion menggunakan software ILOG Hasil penentuan rute dengan metode insertion... 67

17 1 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pendistribusian barang atau jasa merupakan salah satu bagian penting dari kegiatan sebuah instansi pemerintah ataupun perusahaan tertentu. Masalah yang sering dihadapi terkait distribusi adalah membuat keputusan-keputusan mengenai rute yang dapat mengoptimalkan jarak tempuh atau biaya perjalanan, waktu tempuh, banyaknya kendaraan yang dioperasikan dan sumberdaya lain yang tersedia. Masalah optimasi pendistribusian barang tersebut dapat diformulasikan secara matematis sebagai sebuah Vehicle Routing Problem (VRP). VRP yang diperkenalkan oleh Dantzig dan Ramster pada tahun 1959, merupakan masalah optimasi kombinatorial yaitu optimasi yang melibatkan fungsi dengan banyak peubah. Terapan VRP sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, antara lain pendistribusian hasil produksi oleh produsen ke pelanggan, pengiriman surat atau barang oleh perusahaan ekspedisi dan pengumpulan sampah di suatu perkotaan. Formulasi VRP ditujukan untuk membentuk sejumlah rute dengan biaya atau jarak seminimal mungkin, sedemikian sehingga (1) setiap rute berawal dan berakhir di suatu tempat yang disebut depot, (2) setiap pelanggan dikunjungi tepat satu kali oleh satu kendaraan tertentu, (3) total permintaan setiap rute tidak melebihi kapasitas kendaraan, (4) total durasi setiap rute (termasuk waktu tempuh dan waktu pelayanan) tidak melebihi batas waktu tertentu. Kondisi permasalahan yang berbeda-beda pada setiap penerapannya membuat VRP dalam prakteknya sangat bervariasi. Variasi VRP disebabkan oleh variasi kendala antara lain: kapasitas kendaraan yang digunakan heterogen atau homogen, kendaraan melakukan kegiatan pengantaran atau pengantaran dan pengumpulan barang sekaligus dalam satu rute yang sama, terdapat satu atau lebih dari satu depot, adanya selang waktu tertentu bagi pelanggan untuk menerima layanan, dan lain-lain. Pada kasus adanya batasan bahwa kapasitas muatan semua kendaraan yang digunakan adalah sama, maka VRP tersebut dinamakan capacitated VRP (CVRP). Suatu VRP dengan tambahan kendala berupa adanya selang waktu

18 2 pelayanan (time windows) pada setiap pelanggan, dinamakan VRP time windows (VRPTW). VRPTW terdiri atas dua tipe yaitu soft time windows dan hard time windows. Pada tipe hard time windows, pelayanan tidak dapat dilakukan apabila melewati waktu yang telah ditentukan oleh pelanggan (time windows); sedangkan pada kasus soft time windows, konsumen akan tetap dapat dilayani di luar time windows namun dengan tambahan biaya yang disebut penalti. Penelitian tentang VRP umumnya diarahkan pada pengembangan metode penentuan solusi optimal secara lebih efisien dari segi komputasi. VRP merupakan masalah optimasi kombinatorial yang sulit diselesaikan. Salah satu metode penyelesaian yaitu metode eksak, seperti metode branch and bound dan pemrograman dinamik, umumnya tidak mampu menyelesaikan VRP yang melibatkan banyaknya pelanggan yang berukuran besar dalam waktu yang singkat. Penelitian tentang metode ini dilakukan antara lain oleh Larsen (2001) dan Rich (1999). Metode lain yang merupakan metode pendekatan adalah metode heuristik dan metaheuristik. Metode ini lebih menekankan perolehan solusi fisibel secara cepat dari segi waktu komputasi meskipun tidak dijamin solusi tersebut optimal. Metode metaheuristik yang banyak dikembangkan pada dekade terakhir, menghasilkan kualitas solusi yang lebih baik dari metode heuristik namun biaya komputasinya relatif mahal. Beberapa penelitian tentang metode heuristik untuk penyelesaian VRPTW telah dilakukan antara lain oleh Laporte dan Semet (2002), Cordeau et al. (2002) dan Bräysy dan Gendreau (2005). Dalam penelitiannya mereka membandingkan beberapa variasi metode heuristik, antara lain berdasarkan nilai fungsi objektif, banyaknya kendaraan dan waktu eksekusi. Pembandingan yang dimaksud, menggunakan hasil yang dilakukan oleh peneliti lain dalam menerapkan beberapa metode heuristik pada sejumlah variasi masalah dengan banyaknya pelanggan atau simpul yang berbeda. Penelitian lain dilakukan oleh Raditya (2009) pada kasus distribusi roti yang penyelesaiannya menggunakan metode heuristik yaitu metode nearest addition pada tahap konstruksi rute fisibel awal dan pada tahap perbaikan rute

19 3 menggunakan metode 2-opt, metode Or-opt, metode relocate, metode exchange, dan metode cross. Pada penelitian ini akan dilakukan formulasi masalah pendistribusian barang ke dalam VRPTW dan menerapkannya pada permasalahan distribusi roti Sari Roti. Pada tahap awal dilakukan konstruksi rute fisibel dengan menggunakan 5 macam metode konstruksi yaitu saving, sweep, nearest-to-depot, nearest addition, dan insertion. Hasil konstruksi rute dari tiap-tiap metode tersebut selanjutnya diperbaiki dengan menggunakan 5 metode secara berturut-turut, yaitu metode 2- opt, metode Or-opt, metode relocate, metode exchange, dan metode cross. Data diolah dengan menggunakan software ILOG Dispatcher dan ILOG Solver. 1.2 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah: 1. membuat formulasi masalah distribusi dalam model VRPTW, 2. mengimplementasikan model pada kasus distribusi roti Sari Roti untuk membandingkan solusi beberapa metode heuristik konstruktif dengan bantuan software ILOG Dispatcher dan ILOG Solver versi Manfaat Penelitian Penelitian ini diharapkan dapat memberikan informasi tentang formulasi VRPTW dan metode penyelesaiannya dengan menggunakan metode heuristik, yang dapat bermanfaat bagi penelitian lanjutan dan dapat diterapkan dalam dunia nyata.

20 4 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Graf Definisi 1 (Graf dan Jaringan Berarah) Suatu graf berarah (directed graph/digraf) G=(N,A) terdiri dari suatu himpunan simpul (node) N dan himpunan sisi berarah (arc) A, yang elemen-elemennya merupakan pasangan terurut dari sisi-sisi yang berbeda. Jaringan atau network berarah merupakan digraf dengan simpul dan atau sisi berarah yang berkaitan dengan nilai numerik tertentu, misalnya jarak/biaya dan kapasitas (Ahuja et al. 1993). Dalam sebagian literatur, graf dan jaringan memiliki pengertian yang sama, sedangkan menurut Foulds (1992), jaringan adalah graf yang memiliki tepat satu simpul sumber dan satu simpul tujuan. Definisi 2 (Simpul Suksesor dan Predesesor, Sisi Berarah Menjauh dan Mendekat) Misalkan diberikan suatu digraf G=(V,A) dengan (i, j) œ A. Simpul i dikatakan predesesor bagi simpul j dan simpul j disebut suksesor bagi simpul i. Sisi (i, j) dikatakan mendekati simpul j dan menjauhi simpul i (Foulds 1992). Definisi (Simpul Sumber dan Simpul Tujuan) Simpul sumber (source) adalah suatu simpul yang padanya tidak terdapat sisi yang mendekati dan sebaliknya simpul tujuan (sink) adalah simpul yang padanya tidak terdapat sisi yang menjauhi (Foulds 1992). 2.2 Optimasi Kombinatorial Suatu masalah optimasi dapat dinyatakan sebagai minimumkan f(x) terhadap x œ S (2.1) dengan f(x) merupakan fungsi objektif, x = (x 1, x 2,,x k ) disebut peubah keputusan dan S Õ R k disebut ruang solusi.

21 5 Masalah optimasi dapat diformulasikan dalam beberapa cara yang berbeda sesuai dengan fungsi objektif, peubah keputusan dan gambaran dari ruang solusi. Masalah optimasi kombinatorial adalah masalah optimasi yang melibatkan fungsi dengan himpunan solusi terbatas namun berukuran besar sehingga hanya dapat diselesaikan dengan metode yang memerlukan waktu komputasi yang sangat lama (Larsen 2001). 2.3 Traveling Salesman Problem Menurut Garfinkel dan Nemhauser (1972), traveling salesman problem (TSP) merupakan salah satu terapan dari teori graf yang diilhami oleh permasalahan seorang pedagang yang mengunjungi sejumlah kota dengan berawal dan berakhir di tempat asalnya. Permasalahan intinya adalah menemukan rute terpendek jika harus mengunjungi semua kota tepat satu kali. Tujuannya tidak hanya terbatas pada penentuan jarak terpendek tetapi dapat dikembangkan untuk menentukan waktu tercepat yang dibutuhkan. Variasi lain dari TSP juga dapat berupa adanya selang waktu tertentu atau time windows untuk mengunjungi lokasi yang hendak dituju. Masalah ini dinamakan TSP time windows atau TSPTW. Secara formal TSP dideskripsikan sebagai berikut. Berawal dari kota asalnya, seorang salesman hendak mengunjungi sejumlah kota tepat satu kali lalu kembali ke kota asalnya. Salesman tersebut menginginkan rute yang fisibel dengan biaya atau jarak minimal. Secara matematis, TSP dapat dinyatakan sebagai suatu graf berarah G=(V,A) dengan V={1,..., n} menyatakan himpunan simpul yang menunjukkan lokasi kota dan A={(i, j) i, j V, i j} merupakan himpunan sisi berarah (arc) yang menyatakan jalan penghubung antarkota. Simpul 1 menyatakan kota asal/depot. Misalkan c ij adalah jarak tempuh (biaya perjalanan) dari kota i ke kota j dan didefinisikan peubah: x ij 1, jika sisi berarah ( i,j) A = 0, jika selainnya dilalui oleh rute maka formulasi matematis dari TSP adalah sebagai berikut: minimumkan z= c ij x ij n n i= 1 j= 1 (2.2)

22 6 dengan kendala: n i= 1 n j= 1 xij = 1; i= 1,.., n xij = 1; j= 1,.., n (2.3) (2.4) i Q j Q x 1 ; Q V Q (2.5) ij, x ij œ {0, 1} ; i, j = 1,.., n (2.6) Persamaan (2.2) merupakan fungsi tujuannya yaitu meminimumkan total jarak tempuh (biaya perjalanan). Kendala (2.3) dan (2.4) menggambarkan bahwa salesman mendatangi dan meninggalkan setiap kota tepat satu kali, sedangkan kendala (2.5) memastikan bahwa tidak terdapat subrute dan kendala (2.6) menjamin bahwa x ij merupakan peubah biner (Garfinkel & Nemhauser 1972). Contoh solusi dari TSP dapat dilihat pada Gambar 2.1. Kota Depot Rute Gambar 2.1 Contoh penyelesaian TSP. 2.4 Vehicle Routing Problem VRP merupakan perumuman dari TSP atau disebut juga m-tsp dengan m menunjukkan banyaknya salesman yang mengunjungi sejumlah kota. Jadi VRP berkaitan dengan penentuan rute optimal untuk permasalahan lebih dari satu kendaraan (vehicle) dengan kapasitas tertentu untuk mengunjungi sejumlah pelanggan dengan permintaannya masing-masing. Rute yang dibentuk harus

23 7 dimulai dan diakhiri di suatu tempat yang disebut depot. Setiap pelanggan dikunjungi hanya satu kali dan total permintaan semua pelanggan dalam satu rute tidak melebihi kapasitas kendaraan yang melayani rute tersebut. Contoh penyelesaian VRP diberikan pada Gambar 2.2. Pelanggan Rute Depot Gambar 2.2 Contoh penyelesaian VRP dengan 3 rute. Menurut Toth dan Vigo (2002), secara matematis VRP dapat dinyatakan sebagai suatu digraf G=(V, A) dengan V={0, 1,..., n} adalah himpunan simpul yang menunjukkan lokasi pelanggan dan A={(i, j) i, j V, i j} yaitu himpunan sisi berarah yang menyatakan jalan penghubung lokasi pelanggan. Simpul 0 menunjukkan depot, yaitu tempat menyimpan kendaraan yang digunakan untuk distribusi dan merupakan tempat dimulai dan diakhirinya suatu rute kendaraan. Banyaknya kendaraan yang tersedia di depot adalah K dengan kapasitas kendaraan ke-k adalah Q k. Setiap pelanggan i memiliki permintaan sebanyak q i. Dengan tujuan meminimumkan biaya perjalanan atau jarak tempuh maka VRP dimodelkan dalam bentuk pemrograman linear integer sebagai berikut (Toth & Vigo 2002): minimumkan z= i V j V K c ij x k= 1 ijk (2.7) dengan kendala:

24 8 1. setiap pelanggan hanya dikunjungi satu kali: K k= 1 y ik = 1 ; i V \ {0} (2.8) 2. terdapat K kendaraan yang beroperasi yang berawal dari depot: K k=1 y0 K (2.9) k = 3. kendaraan yang sama akan mengunjungi dan meninggalkan setiap pelanggan: ijk = j V x x = y ; i V, k = 1,2,..., K (2.10) j V jik ik 4. total angkutan setiap kendaraan tidak melebihi kapasitasnya: i V q y Q ; k = 1,..., K (2.11) i ik 5. tidak terdapat subrute: k i S j S xijk S 1 ; S V \{0}, S 2, k = 1,2,..., K (2.12) dengan S menyatakan kardinalitas S 6. peubah y ik merupakan peubah biner: y ik œ {0,1} i œ V, k = 1,,K (2.13) 7. peubah x ijk merupakan peubah biner: x ijk œ {0,1} i, j œ V, k = 1,,K (2.14) dengan x ijk y ik 1, jika sisi berarah ( i,j) A dilalui kendaraan k = 0, jika selainnya 1, jika simpul i dilalui kendaraan k = 0, jika selainnya

25 9 c ij = jarak atau biaya perjalanan antara pelanggan i dan pelanggan j q i = jumlah permintaan pelanggan i Q k = kapasitas kendaraan ke k K = banyaknya kendaraan yang tersedia. 2.5 Vehicle Routing Problem with Time Windows Vehicle Routing Problem with Time Windows (VRPTW) merupakan sebutan bagi VRP dengan kendala tambahan berupa adanya time windows pada masingmasing pelanggan. Time windows pada masing-masing pelanggan dapat berbeda satu sama lain dan dinyatakan dalam selang waktu berupa batas waktu awal sampai akhir pelayanan pada pelanggan tersebut. VRPTW terdiri dari dua tipe yaitu soft time windows dan hard time windows. Pada tipe hard time windows, pelayanan tidak dapat dilakukan apabila melewati waktu yang telah ditentukan oleh pelanggan (time windows), sedangkan pada kasus soft time windows, pelanggan akan tetap dapat dilayani di luar time windows namun dengan tambahan biaya yang disebut penalti. Secara formal VRPTW dapat didefinisikan sebagai suatu digraf G=(N,A). Himpunan simpul N terdiri atas gabungan himpunan pelanggan C dan depot. Himpunan C berupa simpul 1 sampai dengan n dan simpul depot dinyatakan dengan simpul 0 dan n+1. Jaringan jalan yang digunakan oleh kendaraan dinyatakan sebagai himpunan sisi berarah A yaitu penghubung antarsimpul. Semua rute berawal dari simpul 0 dan berakhir di n+1. Himpunan kendaraan V merupakan kumpulan kendaraan yang homogen dengan kapasitas q. Setiap pelanggan atau simpul i untuk setiap i œ C memiliki pemintaan d i sehingga panjang rute dibatasi oleh kapasitas kendaraan. Setiap sisi (i, j) pada graf memiliki jarak tempuh atau biaya perjalanan dan waktu tempuh yang masingmasing adalah c ij dan t ij. Waktu tempuh t ij dapat diasumsikan termasuk lama pelayanan pada pelanggan i. Pelayanan pada pelanggan i harus berlangsung pada selang waktu time windows [a i, b i ], dengan a i dan b i berturut-turut adalah waktu awal dan akhir pelayanan pada pelanggan i. Jika kendaraan tiba di pelanggan i sebelum time windows maka harus menunggu sampai waktu pelayanan dimulai tanpa biaya tambahan.

26 10 Kendaraan yang tiba di lokasi pelanggan setelah time windows, tidak dapat melayani pelanggan tersebut. Depot diasumsikan memiliki time windows yang sama yaitu [a 0, b 0 ]. Kendaraan tidak dapat meninggalkan depot sebelum a 0 dan akan kembali ke depot sebelum atau pada saat b n+1. Bilangan q, d i diasumsikan integer taknegatif, sedangkan a i, b i, t ij, dan c ij diasumsikan taknegatif. Selain itu, diasumsikan juga bahwa i, j œ N memenuhi pertaksamaan c ij + c jk c ik dan t ij + t jk t ik. Tujuan VRPTW adalah menentukan himpunan rute dengan jarak tempuh atau biaya perjalanan minimal dengan syarat setiap pelanggan dilayani tepat satu kali, setiap rute berawal dari simpul 0 dan berakhir di simpul n+1 serta memenuhi kendala kapasitas kendaraan dan time windows. Formulasi matematis VRPTW menurut Kallehauge et al. (2002) adalah sebagai berikut: minimumkan z = ij x ijk k V i N j N c (2.15) dengan kendala: 1. setiap pelanggan dikunjungi tepat satu kali oleh suatu kendaraan: k V j N x = 1, i C (2.16) ijk 2. total permintaan semua pelanggan dalam satu rute tidak melebihi kapasitas kendaraan: di x i C j N ijk q, k V (2.17) 3. setiap rute berawal dari depot 0: j N x 0 jk= 1, k V (2.18) 4. setiap kendaraan yang mengunjungi suatu pelanggan pasti akan meninggalkan pelanggan tersebut: ihk i N x x = 0, h C, k V (2.19) j N hjk 5. setiap rute berakhir di depot n+1: i N x i, n+ 1, k = 1, k V (2.20) 6. suatu kendaraan k yang menuju j dari i, tidak dapat tiba di j sebelum s ik + t ij. Jadi jika x ijk > 0 maka s ik + t ij s jk. Bentuk linearnya adalah:

27 11 s ik + t M ( 1 x ) s, i, j N, k V (2.21) ij ij ijk jk dengan M ij adalah konstanta besar yang tidak kurang dari nilai maksimum dari b i + t ij a j ; (i, j) œ A. 7. waktu pelayanan di setiap pelanggan memenuhi time windows: a s b, i N, k V (2.22) i ik i 8. peubah x ijk merupakan peubah biner: x ijk œ {0,1}, i, j œ N, k œ V (2.23) dengan V = himpunan kendaraan dengan kapasitas yang sama C = himpunan pelanggan atau konsumen = {1,...,n} A = himpunan sisi berarah = {(i, j) i, j œ N, i j} N = himpunan simpul = {0,1,...,n+1} c ij t ij d i q = jarak/biaya dari simpul i ke simpul j = waktu tempuh dari simpul i ke simpul j = jumlah permintaan pelanggan i = kapasitas kendaraan [a i, b i ] = time windows dari simpul i. Untuk setiap (i, j) œ A, i n+1, j 0 dan untuk setiap kendaraan k didefinisikan peubah: x ijk s ik 1, jika kendaraan k melaluii dan langsung ke j = 0, selainnya = waktu bagi kendaraan k mulai melayani pelanggan i dengan q dan d i adalah bilangan integer taknegatif dan a i, b i, c ij, dan t ij adalah bilangan taknegatif. Pada simpul depot diasumsikan a 0 = b 0 = a n+1 = 0 dan s 0k = 0 untuk setiap k.

28 12 3 METODE HEURISTIK UNTUK VRPTW 3.1 Metode Heuristik Metode heuristik merupakan salah satu metode penentuan solusi optimal dari permasalahan optimasi kombinatorial. Berbeda dengan solusi eksak yang menentukan nilai solusi secara tepat, metode ini menghampiri solusi permasalahan utama dengan cara mencari nilai optimal suatu bagian tertentu atau irisan dari masalah utamanya. Dalam hal ini, perolehan solusi fisibel secara cepat dari segi komputasi lebih ditekankan meskipun tidak dijamin solusi tersebut optimal. Menurut Laporte dan Semet (2002), metode heuristik untuk menyelesaikan VRP dapat dikategorikan dalam tiga kelompok, yaitu metode heuristik konstruktif (constructive heuristic), metode dua fase, dan metode perbaikan (improvement). Pada umumnya metode heuristik konstruktif dan metode perbaikan dilakukan secara bersamaan. Metode heuristik konstruktif, secara bertahap memilih simpul atau sisi untuk membangun suatu solusi atau rute fisibel awal dengan memperhatikan batasanbatasan seperti kapasitas atau time windows. Metode perbaikan atau local search selanjutnya melakukan perbaikan solusi sebelumnya untuk mengurangi biaya dengan melakukan serangkaian pertukaran simpul atau sisi baik di dalam rute (intra route) maupun antarrute (inter route). 3.2 Metode Heuristik Konstruktif Menurut Bräysy dan Gendreau (2005), metode heuristik konstruktif atau konstruksi rute, melakukan pemilihan simpul atau sisi secara berurutan hingga terbentuk suatu solusi fisibel awal Metode Saving Metode saving disebut juga metode Clarke-Wright karena diperkenalkan oleh Clarke dan Wright pada tahun Metode ini merupakan metode heuristik yang paling banyak digunakan untuk mengonstruksi rute. Metode ini diawali

29 13 dengan suatu solusi yang setiap pelanggannya dilayani secara individu oleh satu rute secara terpisah. Selanjutnya dilakukan penggabungan dua rute pelanggan i dan j sehingga menghasilkan penghematan (saving) berupa jarak tempuh sebesar s ij = c i0 + c 0j c ij dengan c ij = jarak dari pelanggan i ke pelanggan j. Secara umum, jika dua rute (0,, i, 0) dan (0, j,, 0) secara fisibel dapat digabungkan menjadi rute tunggal (0,, i, j, 0) maka akan terdapat penghematan jarak sebesar s ij = (c 0i + c i0 + c 0j + c j0 ) (c 0i + c j0 + c ij ) = c i0 + c 0j c ij (Altinel & Öncan 2005). Algoritme metode ini adalah sebagai berikut: 1. Pada awalnya, setiap pelanggan dilayani oleh satu kendaraan secara terpisah. Jadi diperoleh rute (0, i, 0) untuk setiap pelanggan i. 2. Untuk setiap pasang pelanggan i, j; i j, dihitung fungsi penghematan yang didefinisikan sebagai: s ij = c i0 + c 0j c ij yang diperoleh dengan cara menggabungkan dua rute pelanggan tersebut yaitu dengan membuat sisi (i,j). 3. Mengurutkan sisi (i, j) berdasarkan nilai s ij secara takturun dalam sebuah daftar L. 4. Dimulai dari nilai s ij terbesar, perluas setiap rute pada L dengan melakukan penggabungan dengan rute lainnya tanpa melanggar kendala. 5. Langkah (4) diulang sampai daftar L kosong. (ILOG 1999). Contoh metode ini diberikan pada Gambar 3.1. i c i0 c 0j j i c ij j c 0i 0 c j0 Depot Depot (1) (2) c 0i 0 c 0j Gambar 3.1 Contoh metode saving. heuristic

30 14 Pada Gambar 3.1 bagian (1), pelanggan i dan pelanggan j dilayani oleh rute terpisah sedangkan pada bagian (2), kedua rute pelanggan tersebut digabungkan untuk dilayani oleh satu rute dengan cara menyelipkan pelanggan j setelah pelanggan i yaitu dengan membuat sisi berarah baru (i, j) yang fisibel sehingga memperoleh penghematan sebesar s ij = c i0 + c 0j c ij Metode Sweeping Metode ini diperkenalkan oleh Gillet dan Miller tahun Misalkan diasumsikan setiap pelanggan i ditempatkan pada suatu bidang dalam koordinat polar dengan sudut q i dari garis horizon yang berawal dari depot ke arah kanan. Berawal dari pelanggan dengan nilai q i terkecil, ditempatkan sebanyak mungkin pelanggan pada tiap-tiap kendaraan dengan urutan q i yang menaik sampai kapasitas kendaraan terpenuhi (Kyung et al. 2008). Beberapa penulis seperti Laporte dan Semet (2002), mengelompokkan metode ini ke dalam metode dua fase. Fase pertama adalah pengelompokan berdasarkan sudut q i. Pada fase kedua, tiap-tiap kelompok dipandang sebagai TSP yang akan ditentukan rute optimalnya. Pada software ILOG Dispatcher, penentuan rute dengan metode ini mengikuti algoritme sebagai berikut: 1. Misalkan O adalah posisi depot tempat kendaraan berawal dan A merupakan suatu posisi yang lain yang dianggap sebagai starting point. 2. Posisi setiap pelanggan S diurutkan berdasarkan besarnya sudut AOS secara menaik dan ditempatkan dalam daftar L. 3. Pelanggan ditempatkan pada kendaraan berdasarkan urutan tersebut tanpa melanggar kendala kapasitas kendaraan. 4. Jika kapasitas kendaraan telah dipenuhi, maka diambil kendaraan baru. 5. Proses berulang sampai semua pelanggan dalam daftar L ditempatkan pada kendaraan. (ILOG, 1999). Contoh metode ini dapat dilihat pada Gambar 3.2. Pada gambar tersebut bagian (1), dilakukan pengelompokan pelanggan ke dalam n kendaraan

31 15 berdasarkan sudut q i kemudian pada bagian (2), setiap kelompok ditentukan rute fisibelnya. Kelompok... Kelompok n Kelompok 3 Kelompok 1 Kelompok 2 (1) Rute Rute 3 Rute n Rute 1 Rute 2 (2) Gambar 3.2 Contoh metode sweeping Metode Nearest-to-depot Metode ini membangun rute dengan cara menambahkan kunjungan yang terdekat dengan depot. Pada setiap iterasinya, setelah diawali dari depot, dilakukan pencarian pelanggan terdekat dengan depot untuk ditambahkan pada akhir rute tersebut. Rute baru dimulai dengan cara yang sama, jika tidak terdapat posisi

32 16 yang fisibel untuk menempatkan pelanggan baru karena kendala kapasitas atau time windows tidak dipenuhi. Algoritme metode ini adalah sebagai berikut: 1. Misalkan kendaraan yang tersedia dilambangkan dengan w. 2. Mulailah suatu rute yang berawal dari depot. 3. Temukan pelanggan berikutnya v yang terdekat dengan titik awal dari rute w. Jika tidak ada pelanggan yang memungkinkan, tutup rute w dan pilih kendaraan baru lainnya lalu kembali ke langkah 2. Jika tidak ada lagi kendaraan maka proses selesai. 4. Tambahkan v pada akhir dari rute tersebut. 5. Kembali ke langkah 3. (ILOG, 1999). Gambar 3.3 memberikan deskripsi tentang metode ini. Pada gambar tersebut, setelah diawali dari depot, dilakukan pencarian pelanggan yang terdekat dengan depot yaitu pelanggan i. Selanjutnya dari semua pelanggan lainnya yang tersisa, dicari yang terdekat dengan depot yaitu pelanggan j, untuk ditambahkan pada rute yang ada atau setelah pelanggan i. Pelanggan pada kasus VRPTW dipilih yang tidak melanggar kendala kapasitas dan time windows. Jika kapasitas kendaraan telah terpenuhi, mulai dengan rute baru sampai semua pelanggan terlayani. i j n depot Gambar 3.3 Contoh metode nearest-to-depot Metode Nearest Addition Metode nearest addition sangat mirip dengan metode nearest-to-depot. Jika pada setiap iterasinya, metode nearest-to-depot menambahkan pelanggan yang terdekat

33 17 dengan titik awalnya maka pada metode ini ditambahkan pelanggan yang terdekat dengan titik akhir dari rute (ILOG 1999). Metode nearest addition juga dinamakan metode nearest neighbor. Pada setiap iterasinya, dilakukan pencarian pelanggan terdekat dengan pelanggan yang terakhir untuk ditambahkan pada akhir rute tersebut. Rute baru dimulai dengan cara yang sama jika tidak terdapat posisi yang fisibel untuk menempatkan pelanggan baru karena kendala kapasitas atau time windows (Bräysy & Gendreau 2005). Metode ini dimulai dengan menentukan banyaknya kendaraan yang tersedia di depot. Lokasi yang terdekat dengan depot akan dikunjungi pertama kali, kemudian lokasi yang dikunjungi selanjutnya adalah lokasi yang memiliki jarak terdekat dengan lokasi pelanggan sebelumnya, demikian seterusnya hingga kapasitas kendaraan terpenuhi. Jika kapasitas kendaraan telah terpenuhi maka kendaraan tersebut harus kembali ke depot. Selanjutnya kendaraan berikutnya dioperasikan dengan aturan yang sama seperti kendaraan pertama, sampai seluruh lokasi dikunjungi oleh kendaraan yang tersedia di depot. Algoritme metode ini adalah sebagai berikut: 1. Misalkan banyaknya pelanggan adalah n. Rute dimulai dari depot/simpul 0 2. Tetapkan p = 1 dan U = {0}, yaitu himpunan simpul/pelanggan yang telah dilayani. 3. Jika p < n, maka: i. pilih pelanggan i berikutnya untuk dikunjungi sedemikian hingga c 0i = min c 0 j U j dan (0,i) fisibel. ii. update U = U {i}, tetapkan simpul 0 = i dan p = p Jika (0, i) tidak fisibel maka mulai dengan rute baru sampai U = n + 1 Contoh metode ini diberikan pada Gambar 3.4. Pada gambar tersebut, kunjungan berikutnya setelah depot adalah pelanggan yang terdekat dengan depot yaitu pelanggan i; dilanjutkan dengan pelanggan berikutnya yang terdekat dengan pelanggan i, yaitu pelanggan j dengan syarat sisi berarah (i, j) fisibel. Jika

34 18 kapasitas kendaraan telah terpenuhi, mulai dengan rute baru. Proses berlanjut sampai semua pelanggan terlayani. n i j depot Gambar 3.4 Contoh metode nearest addition Metode Insertion Metode ini bekerja dengan menyisipkan setiap kunjungan pada posisi terbaik dari suatu rute berdasarkan biaya minimum. Algoritme metode ini adalah sebagai berikut: 1. Diawali dengan membuat rute T dari depot ke sembarang pelanggan i yang belum dikunjungi. 2. Selama T belum memuat semua pelanggan yang ada, maka i. Temukan dua pelanggan yaitu l œ T dan m T sedemikian hingga biaya c lm minimum. ii. Temukan posisi terbaik antara pelanggan l dan n pada T, untuk menyisipkan pelanggan k sehingga diperoleh sisi (l,k) dan (k,n). Pelanggan k dipilih 3. Ulangi langkah (2) sampai semua pelanggan dikunjungi. (Gambardella 2000) Contoh metode ini diberikan pada Gambar 3.5. Pada gambar tersebut, rute dimulai dari 0 menuju ke m karena biaya c 0m minimum. Karena c km minimum maka dibentuk sisi baru (0,k) dan (k,m) menggantikan sisi (0,m). Pelanggan terakhir n, diselipkan menggantikan sisi (m,0) menjadi sisi (m,n) dan (n,0).

35 19 k m 0 Gambar 3.5 Contoh metode insertion. n 3.3 Metode Perbaikan (improvement) Metode ini memperbaiki solusi fisibel dengan melakukan serangkaian pertukaran sisi dan simpul dalam rute atau antarrute kendaraan dengan tujuan mengurangi biaya solusi. Metode perbaikan antarrute dapat digunakan pada perbaikan dalam rute (Laporte & Semet 2002) Perbaikan Dalam Rute Perbaikan dalam rute (intra-route improvement) adalah perbaikan yang melibatkan serangkaian pertukaran simpul dan sisi dalam satu rute. Metode ini terdiri atas 2-opt dan Or-opt Metode 2-opt Algoritme 2-opt merupakan salah satu algoritme local search yang mengeliminasi arc/jalur yang bersilangan pada suatu rute tunggal dengan cara mengambil 2 jalur lalu menghubungkan kembali keempat vertex/lokasi pelanggan yang berdekatan. Misalkan diberikan suatu rute c 0, c 1, c 2,, c k, c 0. Untuk setiap kombinasi pelanggan c i, c j dengan i<j; i, j œ {1,,k 1} akan diperiksa apakah jalur dari c i 1 ke c j dan dari c i ke c j+1 lebih baik daripada jalur awal dari c i 1 ke c i dan dari c j ke c j+1. Jika demikian, bentuk jalur baru dari c i ke c j dan dilanjutkan untuk kombinasi lainnya yang tersisa. Setelah semua kombinasi diperiksa, maka urutan kunjungan diperbaiki sesuai urutan perbaikan yang diperoleh. Jadi, jika urutan sebelum perbaikan adalah sebagai berikut:

36 20 c 0, c 1, c 2,, c i 1, c i, c i+1, c i+2,, c j 1, c j, c j+1,, c k, c 0 maka setelah perbaikan menjadi c 0, c 1, c 2,, c i 1, c j, c j 1, c j 2,, c i+1, c i, c j+1, c j+2,, c k, c 0 (Konig 2008) Jadi pada dasarnya metode 2-opt memindahkan dua jalur pada rute yang ada, kemudian menghubungkan kembali jalur tersebut dengan pasangan konsumen yang berbeda. Algoritmenya adalah sebagai berikut: 1. Berawal dari rute awal, 2. dua jalur yang menghubungkan 4 konsumen yang berbeda, dihapus kemudian keempat pelanggan dihubungkan kembali dengan pasangan yang berbeda, 3. jika biaya berkurang dan tidak melanggar kendala yang ada maka kembali ke langkah (2), 4. selesai. (ILOG 1999). i j+1 i j+1 j i+1 j i+1 Gambar 3.6 Contoh metode 2-opt. Contoh metode 2-opt dapat dilihat pada Gambar 3.6. Pada gambar tersebut, pelanggan i+1 yang dilayani setelah pelanggan i diubah menjadi pelanggan yang dilayani setelah pelanggan j+1, sedangkan pelanggan setelah j+1 yaitu j dilayani setelah pelanggan i+1. Hal ini dilakukan dengan mengganti sisi (i, i+1) dan (j+1, j) berturut-turut dengan sisi (i, j+1) dan (i+1, j) Metode Or-opt Metode Or-opt identik dengan metode 2-opt, tetapi banyaknya jalur yang dapat dihapus dan ditambahkan lebih dari dua. Metode ini diperkenalkan oleh Or

37 21 pada tahun 1976 untuk menyelesaikan TSP. Ide dasar dari metode ini adalah merelokasi beberapa simpul (pelanggan) yang berdekatan. Contohnya dapat dilihat pada Gambar 3.7. Pada gambar tersebut, relokasi simpul dilakukan dengan cara mengganti tiga sisi pada rute asal dengan 3 sisi yang baru tanpa mengubah arah rute. Pelanggan i dan i+1 yang sebelumnya dilayani setelah i 1 dan sebelum i+2 diubah untuk dilayani setelah pelanggan j dan sebelum j+1. Jadi sisi (i 1, i), (i+1, i+2) dan (j, j+1) diganti berturut-turut dengan (i 1, i+2), (j, i) dan (i+1, j+1) namun tetap mempertahankan arah rute (Bräysy & Gendreau 2005). i 1 i+2 i 1 i+2 i+1 i i+1 i j+1 j j+1 j Gambar 3.7 Contoh metode Or-opt Perbaikan Antarrute Metode perbaikan antarrute (inter-route improvement), merupakan proses pertukaran himpunan pelanggan untuk dilayani oleh tiap-tiap kendaraan. Satu pelanggan atau dua pelanggan yang berdekatan dan terhubung dipilih dari suatu rute dan dipindahkan dari posisi sekarang dengan menyisipkannya pada suatu rute yang lain. Metode ini terdiri atas metode relocate, exchange dan cross (Kyung et al. 2008) Metode Relocate Pada metode relocate, suatu pelanggan dapat dipindahkan dari satu rute dan pelanggan tersebut ditambahkan ke rute lainnya dengan syarat biaya rute berkurang dan tidak melanggar kendala. Contoh metode relocate ini dapat dilihat pada Gambar 3.8. Pada gambar tersebut, sisi (i 1, i), (i, i+1) dan (j, j+1) diganti berturut-turut dengan sisi (i 1, i+1), (j, i) dan (i, j+1) (Bräysy & Gendreau, 2005).

38 22 i 1 i+1 i 1 i+1 i i j j+1 j j+1 Gambar 3.8 Contoh metode relocate Metode Exchange Pada metode exchange, dua pelanggan dari dua rute yang berbeda saling dipertukarkan tanpa melanggar kendala. Contohnya dapat dilihat pada Gambar 3.9. Pada gambar tersebut, pelanggan i dan j saling dipertukarkan. Hal ini dilakukan dengan cara mengganti sisi (i 1, i), (i, i+1), (j 1, j) dan (j, j+1) berturut-turut dengan (i 1, j), (j, i+1), (j 1, i) dan (i, j+1) (Bräysy & Gendreau 2005). i 1 i+1 i 1 i+1 j j i i j 1 j+1 j 1 j+1 Gambar 3.9 Contoh metode exchange Metode Cross Metode cross saling mempertukarkan pelanggan yang ada pada akhir rute dari dua rute yang berbeda. Contoh dari metode cross terlihat pada Gambar 3.10.

39 23 i 1 k+1 i 1 k+1 j l j l i k i k j 1 l+1 j 1 l+1 Gambar 3.10 Contoh metode cross. Pada Gambar 3.10, sisi (i, k) pada rute pertama diselipkan pada rute kedua dan sisi (j, l) pada rute kedua diselipkan pada rute pertama secara bersamaan. Hal ini dilakukan dengan mengganti sisi (i 1, i), (k, k+1), (j 1, j) dan (l, l+1) dengan sisi (i 1, j), (l, k+1), (j 1, i) dan (k, l+1) (Bräysy & Gendreau 2005).

40 24 4 PENYELESAIAN MASALAH DISTRIBUSI ROTI SARI ROTI 4.1 Data Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data kegiatan distribusi roti Sari Roti di daerah Bekasi dan sekitarnya yang dilakukan setiap harinya oleh PT NIC (Nippon Indosari Corpindo) sebagai produsen roti Sari Roti. Data ini merupakan hasil penelitian Aji Raditya, mahasiswa Departemen Matematika IPB (Raditya 2009) dan terdiri atas matriks jarak antarlokasi (Lampiran 1), posisi koordinat Cartesius dari 23 pelanggan dan 1 depot, jumlah permintaan dan waktu bongkar muat pada masing-masing pelanggan (Tabel 1). Penyajian dan hasil pengolahan data pada penelitian ini, menggunakan tanda titik sebagai pemisah antara satuan dan desimal. 4.2 Deskripsi Masalah Perusahaan PT NIC memproduksi sejumlah roti setiap harinya. Kegiatan distribusi produk roti tersebut terdiri atas lima rute saluran yang memiliki karakteristik yang berbeda satu sama lain. Lima saluran distribusi tersebut, yaitu: agen, stock point (SP), distribution center (DC), retail/outlet (RO) dan institusi. Pada tulisan ini hanya dibatasi pada kegiatan distribusi RO di daerah Bekasi dan sekitarnya. Pada kegiatan distribusi melalui saluran RO, produk dikirim dalam satuan crate (wadah roti) kepada sejumlah pelanggan yang jumlah permintaannya telah diketahui sebelumnya. Pendistribusian dilakukan setiap hari pada pukul dan menggunakan 5 kendaraan yang sama yaitu truk 4-ban. Selain melakukan pengiriman produk, driver dan helper juga melakukan bongkar-muat dan mengatur produk pada tempat yang telah disediakan. Setelah driver dan helper mengunjungi seluruh pelanggan, mereka akan kembali ke pabrik (depot). Masalah yang dihadapi adalah meminimumkan total jarak tempuh dengan mempertimbangkan kendala kapasitas kendaraan dan time windows untuk memenuhi setiap permintaan pelanggan.

41 25 Asumsi yang digunakan dalam penelitian ini adalah: 1. semua pesanan konsumen dapat dipenuhi oleh produsen, 2. jenis roti homogen dan permintaan setiap pelanggan sudah diketahui sebelumnya, 3. kendaraan yang digunakan mempunyai kapasitas yang sama yaitu 200 crate (wadah roti), 4. setiap lokasi terhubung satu sama lain dan jarak antarlokasi simetris, artinya c ij = c ji, 5. karena waktu pengiriman pada setiap pelanggan dapat dilakukan kapan saja pada selang waktu pukul maka time windows dalam satuan menit untuk semua pelanggan adalah [0, 560], 6. kecepatan kendaraan konstan yaitu 60 km/jam, 7. waktu tempuh antara pelanggan i dan j, yaitu t ij, sudah termasuk lama pelayanan di pelanggan i. Tabel 1 Data pelanggan PT NIC No. Nama Pelanggan Jumlah Permintaan (crate) Waktu Bongkar Muat (menit) Koordinat Cartesius x i y i 0 PT NIC Hari-Hari Bekasi Trade Centre Mitra Wisma Asri Lion Superindo Borobudur Bekasi 4 PT Contimas Utama Ind. /Blue Mall Carrefour Bekasi Square Hero Kemang Pratama Giant Hypermarket Bekasi Lion Superindo Metropolitan Mall Makro Bekasi Hari-Hari Bekasi Cyber Park CV Naga Swalayan Pondok Ungu Giant Ujung Menteng Carrefour Cakung

42 26 No. Nama Pelanggan Jumlah Permintaan (crate) 14 Lion Superindo Kalimalang Bekasi Waktu Bongkar Muat (menit) Koordinat Cartesius x i y i Giant Pondok Kopi SPM Giant Jati Bening Star Mart Persada Golf Tip-Top Pondok Gede Giant Pondok Gede CV Naga Swalayan Jatiwaringin Tip-Top Pondok Bambu Giant Kalimalang Super Indo Pondok Bambu Yogya Pondok Bambu Toserba Formulasi Masalah Formulasi masalah distribusi roti pada subbab sebelumnya dituliskan dalam model berikut : minimumkan z = c ij x ijk (4.1) k V i N j N dengan kendala: 9. setiap pelanggan dikunjungi tepat satu kali: k V j N x = 1, i C (4.2) ijk 10. total permintaan semua pelanggan dalam satu rute tidak melebihi kapasitas kendaraan: i C di xijk 200, k= 1,...,5 (4.3) j N 11. setiap rute berawal dari depot 0: j C x0 jk= 1, k= 1,..., 5 (4.4) 12. setiap kendaraan yang mengunjungi suatu pelanggan pasti akan meninggalkan pelanggan tersebut: ihk i N x x = 0, h C, k= 1,..., 5 (4.5) j N hjk