BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Analisis merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari antara lain barisan, limit, deret, kekontinuan, kekonvergenan, integral, dan yang lainnya. Salah satu yang menarik untuk dipelajari adalah integral karena dalam integral suatu fungsi memiliki beberapa hubungan dengan karakteristik dan sifat-sifat dari berbagai macam fungsi seperti fungsi kontinu, fungsi bervariasi terbatas dan yang lainnya. Oleh para ahli matematika, salah satu teori integral yang menarik untuk dikembangkan adalah integral Riemann. Apostol (1974) dan Protter (2000) kemudian mengembangkan integral Riemann menjadi integral Riemann-Stieltjes. Integral Riemann-Stieltjes merupakan generalisasi dari integral Riemann dengan mengambil integratornya berupa fungsi bervariasi terbatas. Fungsi bervariasi terbatas merupakan salah satu topik yang banyak dipelajari dalam matematika analisis terkait dengan teori integral. Fungsi bervariasi terbatas kemudian dikembangkan lebih luas yaitu fungsi bervariasi-p terbatas dengan p > 0. Setiap fungsi bervariasi terbatas merupakan fungsi bervariasi-p terbatas tetapi tidak setiap fungsi bervariasi-p terbatas merupakan fungsi bervariasi terbatas. Salah satu karakteristik dari fungsi bervariasi-p terbatas adalah limit kiri dan limit kanannya ada. Fungsi bervariasi-p terbatas memiliki suatu sifat terkait osilasi dari fungsinya. Menurut Young (1936) dan Chia (2004), setiap nilai variasi dari fungsi bervariasi terbatas selalu lebih besar dari nilai osilasi fungsinya pada interval [a, b]. Fungsi bervariasi-p terbatas kemudian dijadikan salah satu topik yang menarik untuk diteliti dalam teori integral. Young (1936) menjelaskan, bahwa suatu fungsi f dapat terintegral terhadap fungsi bervariasi-p terbatas dengan p 1. Integral ini kemudian dikenal dengan nama integral Young-Stieltjes. Kemudian, dengan mengem- 1
2 bangkan teorema-teorema dari pertidaksamaan Holder dan pertidaksamaan Young, Young (1936) meneliti dan mengkonstruksi bahwa fungsi bervariasi-p terbatas dapat terintegral secara Young-Stieltjes terhadap fungsi bervariasi-q terbatas dengan p, q > 0 dengan sifat 1 p + 1 q > 1. Dalam hal ini, penulis tertarik untuk meneliti tentang sifat-sifat integral Riemann-Stieltjes yang masih berlaku pada integral Young-Stieltjes dan membuktikan salah satu eksistensi yang menarik dari integral Young-Stieltjes, yaitu integral Young-Stieltjes fungsi bervariasi-p terbatas terhadap fungsi bervariasi-q terbatas untuk p, q > 0 dengan 1 p + 1 q > 1. 1.2. Perumusan Masalah Rumusan masalah yang dibahas dalam skripsi ini adalah: 1. Pengertian dan sifat-sifat karakteristik dari fungsi bervariasi terbatas 2. Pengertian dan sifat-sifat karakteristik dari fungsi bervariasi-p terbatas serta hubungannya dengan fungsi bervariasi terbatas. 3. Menyelidiki sifat-sifat yang berlaku pada integral Young-Stieltjes. 4. Menyelidiki eksistensi dari integral Young-Stieltjes fungsi bervariasi-p terbatas terhadap fungsi bervariasi-q terbatas. 1.3. Batasan Masalah Pada penyusunan tugas akhir ini, penulis membatasi masalah pada sifatsifat dalam integral Young-Stieltjes serta proses pembuktian eksistensi dari integral Young-Stieltjes fungsi bervariasi-p terbatas terhadap fungsi bervariasi-q terbatas. Dimulai dengan pertidaksamaan Young, pertidaksamaan Holder, pertidaksamaan Minkowski, pengertian dan sifat-sifat dari fungsi bervariasi-p terbatas serta hubungannya dengan fungsi bervariasi terbatas.
3 Selanjutnya diberikan tentang definisi dan beberapa sifat dari integral Young- Stieltjes beserta menyelidiki beberapa eksistensi dari integral Young-Stieltjes. Salah satu eksistensi yang menarik adalah bahwa fungsi bervariasi-p terbatas dapat terintegral Young-Stieltjes terhadap fungsi bervariasi-q terbatas dengan p, q > 0 dan 1 p + 1 > 1. Pada tugas akhir ini akan dibuktikan bahwa integral Young-Stieltjes q masih memiliki sifat-sifat dari integral Riemann serta jika fungsi bervariasi-p terbatas dapat terintegral secara Young-Stieltjes terhadap fungsi bervariasi-q terbatas. 1.4. Maksud dan Tujuan Selain untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan skripsi ini bertujuan untuk mempelajari tentang fungsi bervariasi-p terbatas beserta sifat-sifatnya, integral Young-Stieltjes beserta sifat-sifatnya, dan membuktikan eksistensi integral Young- Stieltjes fungsi bervariasi-p terbatas terhadap fungsi bervariasi-q terbatas. 1.5. Tinjauan Pustaka Fungsi bervariasi terbatas merupakan salah satu fungsi yang menarik untuk dipelajari oleh peneliti, diantaranya Apostol (1974), Chae (1995) dan Protter (2000). Fungsi bervariasi terbatas memiliki kaitan dengan fungsi monoton dan fungsi kontinu yang terdiferensiabel. Fungsi bervariasi terbatas dapat digeneralisasikan menjadi fungsi bervariasi-p terbatas dengan p > 0. Menurut Chia (2004) dan Young (1936), fungsi bervariasi-p terbatas memiliki beberapa sifat karakteristik dan juga memiliki hubungan terkait dengan osilasi dari fungsinya. Sifat-sifat karakteristik yang dimaksud adalah bahwa fungsi bervariasi-p terbatas merupakan ruang vektor serta limit kiri dan limit kanannya ada. Hubungan fungsi bervariasi-p terbatas terkait dengan osilasi dari fungsinya ditunjukkan bahwa nilai variasi dari fungsi bervariasi-p terbatas selalu lebih besar dari nilai osilasi fungsinya. Selanjutnya, fungsi bervariasi-p terbatas digunakan dalam salah satu teori integral yaitu integral Young-Stieltjes.
4 Integral Young-Stieltjes merupakan generalisasi dari integral Riemann. Menurut Bartle (2000), integral Riemann merupakan integral suatu fungsi bernilai real terhadap fungsi integrator yang merupakan fungsi identitasnya. Kemudian, Apostol (1974) dan Protter (2000) menjelaskan bahwa integral Riemann dapat digeneralisasikan menjadi integral Riemann-Stieltjes dengan mengambil fungsi integratornya merupakan fungsi bervariasi terbatas. Young (1936) memberikan suatu kondisi dimana fungsi integrator dari integral Riemann diperluas menjadi fungsi bervariasi-p terbatas. Integral Riemann terkait dengan fungsi integrator bervariasi-p terbatas ini dikenal dengan integral Young-Stieltjes. Kemudian, dengan menggunakan beberapa teorema yang dikembangkan dari pertidaksamaan Holder dan pertidaksamaan Young, Young (1936) mengkonstruksikan bahwa fungsi bervariasi-p terbatas terintegral secara Young-Stieltjes terhadap fungsi bervariasi-q terbatas dimana p, q > 0 dengan sifat 1 p + 1 q > 1. 1.6. Metodologi Penelitian Metode yang digunakan dalam pembuatan skripsi ini adalah metode literatur. Pada awalnya dengan mengumpulkan referensi-referensi baik berupa buku, jurnal, maupun berbagai sumber lain seperti internet. Selanjutnya, dilakukan metode penelitian yaitu dengan meneliti dan menggabungkan referensi-referensi yang diacu. Selain itu, penulis juga berkonsultasi dengan dosen pembimbing mengenai materi pembahasan yang didapat. Mulai dari mempelajari definisi dan sifat-sifat dari fungsi bervariasi terbatas dan integral Riemann. Kemudian dengan menggunakan ketkasamaan Holder dan Minkowski, fungsi bervariasi terbatas dikembangkan menjadi fungsi bervariasi-p terbatas dengan p > 0. Selanjutnya, dengan menggunakan fungsi bervariasi-p terbatas dengan p 1 sebagai integratornya, integral Riemann dikembangkan menjadi integral Young-Stieltjes. Dalam integral Young-Stieltjes, dibahas tentang definisi, sifat-sifat dan eksistensinya. Salah satu eksistensi yang menarik adalah integral Young-Stieltjes dari fungsi bervariasi-
5 p terbatas terhadap fungsi bervariasi-q terbatas dengan p, q > 0 dan 1 p + 1 q > 1. Semua materi diperoleh dari berbagai macam buku, jurnal, diktat, dan internet. Berikutnya dibahas dengan dosen pembimbing kemudian disusun menjadi tugas akhir ini. 1.7. Sistematika Penulisan Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut. BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah, perumusan masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penelitian. BAB II DASAR TEORI Pada bab ini dibahas tentang definisi dari definisi fungsi bervariasi terbatas beserta sifatnya dan definisi integral Riemann beserta sifatnya. BAB III INTEGRAL YOUNG-STIELTJES Pada bab ini dibahas tentang pertidaksamaan Holder dan Minkowski, definisi fungsi bervariasi-p terbatas beserta sifatnya, definisi dan sifat-sifat yang berlaku pada integral Young-Stieltjes dan teorema-teorema yang terkait untuk membuktikan eksistensi integral Young-Stieltjes fungsi bervariasi-p terbatas terhadap fungsi bervariasiq terbatas. BAB IV KESIMPULAN Pada bab ini dibahas tentang kesimpulan yang diperoleh dari tugas akhir ini.