BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II.A.1 Matriks didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Contoh II.A.1: 9 5 6 6 3 4 3 8 5 8 4 12 Bilangan-bilangan yang terdapat dalam suatu matriks disebut elemen matriks. Elemen- elemen mendatar membentuk baris dan elemen- elemen vertikal membentuk kolom. Banyaknya baris dan kolom suatu matriks menyatakan ukuran matriks tersebut. Apabila dalam suatu matriks terdapat m baris dan n kolom maka ukuran matriks tersebut adalah m x n. Notasi indeks rangkap digunakan untuk menyatakan elemen suatu matriks. Simbol a ij menyatakan elemen yang muncul pada baris ke-i dan kolom ke-j, dimana 1 i m dan 1 j n. Simbol i dinamakan indeks baris sedangkan simbol j dinamakan indeks kolom. Sebuah matriks A mxn dituliskan sebagai berikut : 4 Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214

a11 a 21 A =... a m1 a a a 12 22... m2............ a1n a 2n... a mn 2. Operasi pada Matriks 1) Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Definisi II.A.2 Misalkan A dan B adalah matriks-matriks berukuran sama, maka jumlah A+B adalah matriks C yaitu matriks yang diperoleh dengan menambahkan elemen-elemen B dengan elemen-elemen A yang berpadanan, dan selisih A-B adalah matriks D yaitu matriks yang diperoleh dengan mengurangkan elemen-elemen A dengan elemen-elemen B yang berpadanan. Matriks-matriks berukuran berbeda tidak bisa ditambahkan atau dikurangkan. Dalam notasi matriks, apabila A= [a ij ] dan B= [b ij ] mempunyai ukuran yang sama maka A + B = C dimana cc iiii = aa iiii + bb iiii A - B = D dimana dd iiii = aa iiii bb iiii 2) Perkalian Matriks dengan Skalar Definisi II.A.3 Misalkan A adalah sebarang matriks dan c adalah sebuah skalar,maka hasil kali skalar c dengan matriks A adalah Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214

matriks B yaitu matriks yang diperoleh dengan mengalikan c dengan setiap elemen A. [b ij Dalam notasi matriks, apabila A=[ a ij ] maka : ca = B dimana ij ] = [ca ]. Contoh II.A.3 1 2 A = 3 4 B = 4 3 2 1 1 1 2 maka A B = 3 4 4 3 2 1 1 8 5 = 2 13 2 1 3) Perkalian Matriks dengan Matriks Definisi II.A.4 Misalkan A adalah sebuah matriks berukuran m x n dan B adalah sebuah matriks berukuran n x r, maka hasil kali A dan B adalah matriks C berukuran m x r yang elemen-elemennya didefinisikan sebagai berikut: untuk mencari elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks C caranya adalah dengan memilih baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kemudian mengalikan elemen-elemen yang berpadanan dari baris dan kolom secara bersama-sama dan menjumlahkan hasil kalinya. Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214

Dalam notasi matriks, apabila A= [a ij ] dan B= [b ij ] maka n A x B = C, dimana [c ] = a b i = 1,...,m j = 1,..., r. ij k= 1 ik 4) Perpangkatan Matriks Definisi II.A.5 Misalkan A adalah suatu matriks persegi orde n maka pangkat dari A didefinisikan sebagai berikut: AA 2 = AA AA, AA 3 = AA 2 AA,..., AA nn+1 = AA nn AA,... dan AA = II Contoh II.A.5: kj Misalkan A adalah matriks Penyelesaian : 1 2 3 4 maka hitunglah AA 2 dan AA 3. 1 A = 3 2 4 maka AA 2 = AA AA dan AA 3 = AA 2 AA = 1 2 1 2 3 4 3 4 5 1 = 15 1 5 1 1 2 = 15 1 3 4 35 3 = 45 1 Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214

3. Macam- Macam Matriks 1) Matriks Persegi Definisi II.A.6 Matriks persegi adalah suatu matriks dimana banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom (m = n). Disebut juga matriks persegi berordo n. Contoh II.A.6 : 5 6 a) Matriks A= 1 2 adalah matriks persegi orde 2. 7 b) Matriks B= 9 2 1 1 5 2 5 adalah matriks persegi orde 3. Pada matriks persegi elemen-elemen yang terletak pada garis penghubung a 11 dengan a nn dinamakan diagonal utama. 2) Matriks Identitas Definisi II.A.7 Matriks identitas adalah suatu matriks persegi dimana elemen-elemennya 1 pada diagonal utamanya dan pada tempat-tempat lain diluar diagonal utama. Matriks tersebut dinyatakan dengan simbol I. Contoh II.A.7 : 1 I = 1 1 Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214

3) Matriks Diagonal Definisi II.A.8 Matriks diagonal adalah suatu matriks persegi dimana semua elemen di luar diagonal utamanya mempunyai nilai nol dan paling tidak satu elemen pada diagonal utamanya tidak sama dengan nol. Biasanya diberi simbol D. Contoh II.A.8 : 1 1) 2 2) 1 2 3 4) Matriks Transpose Definisi II.A.9 Jika A = aa iiii berukuran mm nn maka transpose dari A adalah matriks AA TT berukuran nn mm dengan AA TT = aa jjjj. Contoh II.A.9 : 1 2 1) Matriks A = 4 5 maka AA TT = 1 4 8 2 5 9 8 9 1 3 5 6 1 3 7 6 3 8 4 2 2) Matriks B = maka BB TT 3 8 1 = 7 9 2 5 4 9 8 6 1 8 3 6 2 2 3 Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214

5) Matriks Nilpoten Definisi II.A.1 Jika N adalah matriks persegi dan berlaku NN qq = untuk q bilangan bulat positif maka N disebut matriks nilpoten. Contoh II.A.1 3 4 18 N = 6 kemudian NN 2 = dan NN 3 = Maka matriks N disebut matriks nilpoten dengan q = 3. B. Determinan Matriks, Invers Matriks dan Rank Matriks 1. Determinan Matriks Determinan matriks merupakan suatu fungsi dengan aturan det (A) = ± aa 1jj1 aa 2jj2 aa nnnn nn dengan A adalah matriks persegi berukuran nn nn. Definisi II.B.1 Jika A matriks persegi, maka minor elemen aa iiii dinyatakan oleh MM iiii dan didefinisikan menjadi determinan sub matriks yang tetap setelah baris ke i dan kolom ke j dihilangkan dari A. Bilangan ( 1) ii+jj MM iiii dinyatakan oleh CC iiii dan dinamakan kofaktor elemen aa iiii. Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214

Contoh II.B.1 3 1 4 A = 2 5 6 1 4 8 minor elemen aa 11 adalah MM 11, yaitu 3 1 4 MM 11 = 2 5 6 = 5 6 = 16 4 8 1 4 8 kofaktor elemen aa 11 adalah CC 11, yaitu CC 11 = ( 1) 1+1 MM 11 = ( 1) 2 (16) = 16 Definisi II.B.2 Determinan matriks persegi A yang berukuran n n dapat dihitung dengan mengalikan elemen-elemen dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil kali yang dihasilkan, maka det (A) = aa 1jj CC 1jj + aa 2jj CC 2jj +.... + aa nnnn CC nnnn, untuk 1 j n (ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke j) dan det (A) = aa ii1 CC ii1 + aa ii2 CC ii2 +.... + aa iiii CC iiii, untuk 1 i n (ekspansi kofaktor sepanjang baris ke i) Misalkan terdapat matriks A berordo 3 x 3, yaitu : aa 11 aa 12 aa 13 A = aa 21 aa 31 aa 22 aa 32 aa 23 aa 33 Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214

Dengan menggunakan definisi determinan ditunjukkan bahwa det (A) = aa 11 aa 22 aa 33 + aa 12 aa 23 aa 31 + aa 13 aa 21 aa 32 aa 13 aa 22 aa 31 aa 12 aa 21 aa 33 aa 11 aa 23 aa 32 = aa 11 (aa 22 aa 33 aa 23 aa 32 ) + aa 21 (aa 13 aa 32 aa 12 aa 33 ) + aa 31 (aa 12 aa 23 aa 13 aa 22 ) Pernyataan yang ada dalam tanda kurung di atas tidak lain berturut-turut adalah CC 11, CC 21, CC 31 sehingga det(a) = aa 11 CC 11 + aa 21 CC 21 + aa 31 CC 31. Persamaan ini memperlihatkan bahwa determinan A dapat dihitung dengan mengalikan elemen-elemen dalam kolom pertama A dengan kofaktor-kofaktorya dan menambahkan hasil kalinya. Metode ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama A. Contoh II.B.2 : Tentukan determinan matriks berikut : a) 1 A = 3 2 2 1 6 3 4 7 1 2 3 4 2 1 3 b) B = 3 2 1 2 4 1 Penyelesaian : a) 1 A = 3 2 2 1 6 3 4 7 det(a) = aa 11 CC 11 + aa 21 CC 21 + aa 31 CC 31 Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214

CC 11 = ( 1) 1+1 MM 11 = ( 1) 2 1 4 6 7 = ( 1) 2 ( 17) = 17 CC 21 = ( 1) 2+1 MM 21 = ( 1) 3 2 3 6 7 = ( 1) 3 ( 4) = 4 CC 31 = ( 1) 3+1 MM 31 = ( 1) 4 2 3 1 4 = ( 1) 4 (5) = 5 maka det(a) = aa 11 CC 11 + aa 21 CC 21 + aa 31 CC 31 = 1 ( 17) + 3 (4) + 2 (5) = 5 1 2 3 4 2 1 3 b) B = 3 2 1 2 4 1 det(b) = aa 11 CC 11 + aa 12 CC 12 + aa 13 CC 13 + aa 14 CC 14 Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214

CC 11 = ( 1) 1+1 MM 11 1 3 = ( 1) 2 2 1 4 1 = ( 1) 2 ( 11) = 11 CC 12 = ( 1) 1+2 MM 12 2 3 = ( 1) 3 3 1 2 1 = ( 1) 3 ( 4) = 4 CC 13 = ( 1) 1+3 MM 13 2 1 3 = ( 1) 4 3 2 2 4 1 = ( 1) 4 (25) = 25 CC 14 = ( 1) 1+4 MM 14 2 1 = ( 1) 5 3 2 1 2 4 = ( 1) 5 ( 6) = 6 maka det(b) = aa 11 CC 11 + aa 12 CC 12 + aa 13 CC 13 + aa 14 CC 14 = 1 ( 11) + 2 (4) + 3 (25) + 4 (6) = 96 Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214

2. Invers Matriks Definisi II.B.3 Jika A adalah suatu matriks persegi dengan n baris dan n kolom serta II nn adalah matriks identitas berukuran n n maka terdapat matriks persegi AA 1 sehingga berlaku AAA 1 = AA 1 A = I, maka AA 1 disebut invers matriks A. Teorema II.B.1 Jika P adalah matriks nonsingular (det (P) ), maka PP 1 = 1 det (PP) adj (P) dengan adj (P) adalah transpose dari kofaktor matriks P. Contoh Teorema II.B.1 A = 1 2 1 3 AA 1 = 1 det (AA) adj (A) det(aa) = 3 2 = 1 Adj (A) = 3 1 2 1 AA 1 = 1 3 2 3 2 = 1 1 1 1 1 Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214

3. Rank Matriks Definisi II.B.4 Jika matriks A paling sedikit terdapat satu minor determinan yang tidak sama dengan nol dan ternyata terdiri dari r baris, akan tetapi untuk minor yang determinannya sama dengan nol apabila minor matriksnya terdiri dari (r+1) baris, maka matriks A dikatakan mempunyai rank sebesar r. Biasanya diberi simbol rank(a) = r(a). Untuk mempermudah di dalam mencari nilai rank suatu matriks, dapat menggunakan transformasi elementer yang menunjukkan kepada baris dan kolom dari matriks yang bersangkutan. Besarnya nilai rank suatu matriks dapat dilihat secara langsung dengan cara melihat determinan yang tidak sama dengan nol dari minor matriks dengan jumlah baris dan kolom tertentu. Jumlah baris (kolom) itulah yang menunjukkan besarnya nilai rank atau banyaknya baris yang masih mengandung elemen tidak sama dengan nol setelah transformasi elementer baik terhadap baris maupun kolom. Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214

Contoh II.B.4 1 2 3 A = 2 3 4 maka rank (A) adalah : 3 5 7 1 2 3 A = 2 3 4 3 5 7 2bb 1 3bb 1 1 2 3 AA 1 = 1 2 1 2 bb 2 1 2 3 AA 2 = 1 2 Maka nilai rank (A) adalah 2. C. Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Persamaan Karakteristik Definisi II.C.1 Jika A adalah matriks n x n maka vektor taknol x di dalam R n dinamakan vektor eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x yaitu Ax = λx untuk suatu skalar. Skalar λ dinamakan nilai eigen Contoh : dari A dan x dinamakan vektor eigen yang bersesuaian dengan λ. Vektor 1 3 x = adalah vektor eigen dari A = 2 yang bersesuaian 8 1 3 1 3 dengan nilai eigen λ = 3 karena Ax = = = 3x 8 1 2 6. Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran n x n maka dituliskan kembali AAAA = λλ xx sebagai AAAA = λλ II xx atau secara ekuivalen (AA λλ II)xx =. Supaya λ menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan taknol dari persamaan (AA λλ II)xx =. Dan persamaan ini akan mempunyai Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214

pemecahan taknol jika dan hanya jika det( A λi) =. Ini dinamakan persamaan karakteristik A, skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen dari A. Bila diperluas, maka det( A λi) adalah polinom λ yang dinamakan polinom karakteristik dari A. Jika A adalah matriks n x n, maka polinom karakteristik A harus memenuhi n dan koefisien λ n adalah 1. Jadi, polinom karakteristik dari matriks n x n mempunyai bentuk n n 1 det(a - λι) = λ + c1λ +... + c n. Contoh II.C.1 : Diketahui matriks 3 2 A = maka tentukan nilai eigen matriks A. 1 Penyelesaian : det (AA λλλλ) = det 3 2 λλ 1 1 1 = 3 2 λλ 1 λλ = 3 λλ 2 1 λλ = (3 λλ) ( λλ) ( 2) = λλ 2 3λλ + 2 = Jadi persamaan karakteristik dari A adalah λ 2 3λ + 2 =. Penyelesaian persamaan ini adalah λ = 1 dan λ = 2. Selanjutnya disebut nilai-nilai eigen dari A. Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214

D. Ruang Eigen Suatu Matriks Dan Basisnya Definisi II.D.1 Vektor eigen A yang bersesuaian dengan nilai eigen λ adalah vektor taknol dalam ruang pemecahan dari (λi-a)x =. Selanjutnya ruang pemecahan ini dikatakan sebagai ruang eigen dari A yang bersesuaian dengan λ. Contoh : Carilah vektor eigen matriks berikut 3 A = 2 2 3 5 Pemecahan : Ax = λx ( λi - A)x = det( λi - A) = λ - 3 2 det 2 λ - 3 = λ - 5 (λ 3) ((λ 3)(λ 5) ) ( 2) (( 2)(λ 5) ) + ( ( 2) (λ 3) ) = (λ 3)(λ 2 8λ + 15) + 2( 2λ + 1) + = 3 2 2 λ 3λ 8λ + 24λ + 15λ 45 4λ + 2 = λ 3 11λ 2 + 35λ - 25 = (λ -1)(λ - 5)(λ - 5) = Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214

Persamaan karakterisrik dari A adalah (λ 1)(λ 5) 2 = sehingga nilai-nilai eigen dari A adalah λ = 1 dan λ = 5. Jadi diperoleh dua ruang eigen dari A. x1 x = x 2 adalah vektor eigen A yang bersesuaian dengan λ jika dan hanya x 3 jika x adalah ruang pemecahan tak trivial dari (λi-a)x =, yaitu: λ - 3 2 2 λ - 3 x x λ - 5 x 1 2 3 = Jika λ = 5 maka menjadi xx 1 2 2 2 2 xx 2 = xx 3 2 2 2 2 bb 2 + bb 1 2 2 xx 1 2 2 xx 2 = xx 3 2xx 1 2xx 2 + xx 3 = 2xx 1 2xx 2 = 2xx 1 = 2xx 2 Diambil xx 1 = xx 2 x 1 = s maka x 2 = s dan x 3 = t. Jadi vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 5 adalah vektor-vektor taknol yang berbentuk: Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214

s s 1 x = = + s = s + s 1 t t t 1 Karena 1 1 dan 1 adalah vektor-vektor bebas linier, maka vektorvektor tersebut akan membentuk basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ = 5. Banyakya vektor dalam basis disebut dimensi. Kemudian untuk λ = 1 caranya sama seperti mencari vektor eigen pada λ = 5. E. Matriks Matriks Serupa Matriks A serupa (similar) dengan matriks T jika terdapat suatu matriks nonsingular P sehingga A = PP 1 T P. Teorema II.E.1 Diberikan matriks T dan A yang berukuran n x n. Jika T serupa dengan A, maka kedua matriks mempunyai persamaan karakteristik yang sama dan oleh sebab itu keduanya mempunyai nilai-nilai eigen yang sama. Contoh II.E.I : 4 4 11 11 3 12 42 42 T = 2 12 37 34 1 7 2 17 3 1 3 1 A = 3 3 Dari matriks T didapat persamaan karakteristikya det(t λλλλ) = (λλ 3) 4 sehingga nilai eigen dari T adalah λλ = 3. Jika didefinisikan A = PP 1 TT PP, maka nilai eigen A akan menjadi sama dengan nilai eigen T. Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214

Dimana P adalah matriks nonsingular dan PP 1 adalah invers matriks nonsingular. A = PP 1 TT PP 2.22.85.33.33.11 =.33 1 1 2.33 1 3 1 3 1 = 3 3 Maka nilai eigen matriks A adalah λλ = 3. F. Matriks Bentuk Kanonik Jordan Definisi II.F.1 4 4 11 11 3 12 42 42 2 12 37 34 1 7 2 17 3 11 1 9 42 3 6 34 1 3 2 1 Jika A adalah matriks persegi berukuran n n, maka matriks bentuk Kanonik Jordan dari A adalah suatu matriks persegi dimana BB 1 PP 1 BB AA PP = J = 2 dengan P adalah matriks BB kk nonsingular dan untuk setiap BB ii, i = 1, 2,..., k adalah blok Jordan. Blok Jordan adalah suatu matriks yang berbentuk λλ II 1 xx 1 dengan II 1 xx 1 adalah matriks identitas berukuran 1 1. Definisi II.F.2 Jika A adalah matriks persegi berukuran n n dan det(λλλλ AA) = (λλ rr 1 ) mm 1 (λλ rr 2 ) mm 2... (λλ rr kk ) mm kk, dimana rr 1, rr 2,..., rr kk adalah akar berbeda dari polinom karakteristik A. Jika A serupa dengan Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214

BB 1 BB matriks 2 dengan BB ii adalah blok Jordan yang BB kk berbentuk λλ 1 λλ 1 λλ 1 λλ maka disebut matriks bentuk Kanonik Jordan dari A. Diberikan A adalah matriks persegi n n dan B adalah matriks persegi n n, maka matriks B serupa dengan matriks A jika terdapat matriks nonsingular P sehingga B = P -1 A P. T : RR nn RR nn adalah operator matriks A yang didefinisikan oleh T(xx) = A(xx) dengan A adalah matriks berukuran n x n, maka T dinamakan operator yang dibangun oleh A. T : V W adalah transformasi linear dimana V dan W adalah ruang vektor tidak nol dengan dimensi yang terbatas dari V ke W. Jika A adalah matriks dari T dengan basis αα dari V (A = [TT] αα αα ) dan B adalah matriks dari T dengan basis yang berbeda dari W (B = [TT] ββ ββ ). Hubungan antara operator dan matriks yaitu, misal diberikan operator linear T : V V dan αα = {ee 1, ee 2,..., ee nn } adalah basis untuk V sedangkan ββ = {ff 1, ff 2,..., ff nn } adalah basis yan lain untuk V. Diberikan xx dan yy yang direlasikan oleh T(xx) = yy, karena xx V maka xx dapat dinyatakan dengan xx = cc 1 ee 1 + cc 2 ee 2 +... + cc nn ee nn atau xx = ii=1 cc ii ee ii dan yy = dd 1 ff 1 + dd 2 ff 2 + nn... + dd nn ff nn atau yy = ii=1 dd ii ff ii nn Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214

Dengan demikian koordinat kolom dari xx yang relative terhadap basis αα adalah [xx] αα = (cc 1, cc 2,..., cc nn ) T dan koordinat kolom dari yy adalah [yy] ββ = (dd 1, dd 2,..., dd nn ) T sehingga T(ee jj ) = ii=1 aa iiii ff ii, jj = 1, 2,..., nn. Ekuivalen dengan [T(ee jj )] ββ = (aa iiii, aa 2jj,..., aa mmmm ) T = AA jj dengan A = aa iiii = [AA 1, AA 2,..., AA nn ]. nn Definisi II.F.3 Matriks [T(ee jj )] ββ = (aa iiii, aa 2jj,..., aa mmmm ) T = AA jj dengan A = aa iiii = [AA 1, AA 2,..., AA nn ] maka matriks A dinamakan matriks standar T yang relative terhadap basis αα dan ββ dinotasikan dengan A = [T] = [T] ββ αα. Jika V = W dan αα = ββ maka matriks A= [T] αα αα. Jika T : RR nn RR nn adalah operator matriks T(X) = AX. Kemudian αα adalah basis standar untuk RR nn dan diketahui bahwa [TT] αα αα = A. Jika P adalah matriks nonsingular yang merupakan perubahan basis dari αα ke basis ββ maka diperoleh P -1 A P = P -1 [TT] αα αα P = [TT] ββ ββ = B. Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214

G. Matriks Eksponensial Definisi II.G.1 Jika A adalah matriks n x n, maka matriks eksponensial dari A dinotasikan dengan ee AA atau exp (A) yang merupakan matriks n x n dengan deret pangkat yang didefinisikan : ee AA = I + A + AA2 2! +... + AAkk kk! +.... = AA kk kk= kk! Dengan I adalah matriks identitas berukuran n x n. Sesuai dengan deret maclaurin maka deret tersebut konvergen untuk setiap nilai A sehingga matriks eksponensial dari A selalu terdefinisi. Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214