NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN >> DEFINISI NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Jika A adalah sebuah matriks n n, maka sebuah vektor taknol x pada R n disebut vektor eigen (vektor karakteristik) dari A jika Ax adalah sebuah kelipatan skalar dari x; jelasnya: Ax λx untuk skalar sebarang λ. Skalar λ ini disebut nilai eigen (nilai karakteristik) dari A, dan x disebut sebagai vektor eigen (vektor karakteristik) dari A yang terkait dengan λ. Diberikan vektor x Maka, vektor x nilai eigen λ. dan matriks A 8. Ax 8 6 x disebut vektor eigen dari matriks A 8 yang terkait dengan Untuk memperoleh nilai eigen dari sebuah matriks A berukuran n n, persamaan Ax λx dapat dituliskan kembali menjadi Ax λix Ax λix A λi x Agar λ dapat menjadi nilai eigen, harus terdapat satu solusi taknol dari persamaan ini. Persamaan ini memiliki solusi taknol jika dan hanya jika det A λi Persamaan di atas disebut sebagai persamaan karakteristik dari matriks A; skalar-skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai-nilai eigen dari matriks A. Persamaan karakteristik di atas juga bisa dituliskan: det λi A Apabila diperluas lagi, det(a λi) atau det(λi A) adalah sebuah polinomial p dalam variabel λ yang disebut sebagai polinomial karakteristik dari matriks A. Tentukan nilai-nilai eigen dari Pertama, cari dahulu matriks A λi. A λi A λi 4 7 8 A λ λ λ 4 7 8 λ 4 7 8 4 7 8 λ λ λ
Selanjutnya, cari det( A I). d et ( A I) 8 4 7 4 7 (8 ) (8 ) 4 7 8 4 7 8 7 4 Dengan menggunakan persamaan karakteristik, diperoleh det( AI) 8 7 4 8 7 4 ( 4)( 4 ) Dengan menggunakan rumus kuadratik, maka solusi untuk dan TEOREMA adalah ( 4 ), sehingga didapatlah nilai-nilai eigen dari matriks A, yaitu: λ 4, λ +, λ Jika A adalah sebuah matriks segitiga (atas/bawah) atau matriks diagonal, maka nilai-nilai eigen dari A adalah entri-entri yang terletak pada diagonal utama matriks A. Tentukan nilai-nilai eigen dari matriks 7 4 8 9 B 6 Berdasarkan Teorema, maka nilai-nilai eigen dari matriks B adalah TEOREMA λ 4, λ. λ, λ 6 Jika A adalah suatu matriks n n dan λ adalah suatu bilangan riil, maka pernyataanpernyataan berikut ini adalah ekuivalen. () λ adalah suatu nilai eigen dari A. () Sistem persamaan A λi x memiliki solusi nontrivial. () Terdapat suatu vektor taknol x pada R n sedemikian rupa sehingga Ax λx. (4) λ adalah suatu solusi dari persamaan karakteristik det(a λi). >> MENENTUKAN BASIS UNTUK RUANG EIGEN Setelah mengetahui bagaimana cara mencari nilai eigen, selanjutnya adalah mempelajari bagaimana cara mencari vektor eigen. Vektor-vektor eigen matriks A yang terkait dengan suatu nilai eigen λ adalah vektor-vektor taknol x yang memenuhi persamaan
Ax λx. Dengan kata lain, vektor-vektor eigen yang terkait dengan λ adalah vektor-vektor di dalam ruang solusi A λi x. Ruang solusi ini disebut sebagai ruang eigen dari matriks A yang terkati dengan λ. Tentukanlah basis-basis untuk ruang eigen dari matriks A Persamaan karakteristik dari matriks A adalah: Atau λ + 5λ 8λ + 4 λ 5λ + 8λ 4 Dengan menggunakan pemfaktoran, didapatlah: sehingga, nilai-nilai eigen dari A adalah: λ λ λ & λ Berdasarkan definisi, x x x x adalah suatu vektor eigen dari matriks A yang terkait dengan λ jika dan hanya jika Ax λx. Hal ini berarti bahwa x dikatakan sebagai suatu vektor eigen dari matriks A jika dan hanya jika x merupakan suatu solusi nontrivial dari persamaan A λi x, yaitu: x x x Jika λ, maka diperoleh λ λ λ x x x Dengan menggunakan operasi baris elementer, didapatlah x + x x x Karena dari hasil yang didapat, tidak terdapat keterangan mengenai x, maka x dapat dianggap sebagai suatu parameter; misalkan x t. Dan, misalkan pula x s, maka: x s, x t, x s sehingga, vektor eigen dari A yang terkait dengan λ adalah vektor-vektor taknol yang berbentuk x s s x x t + t s + t x s s Karena &
bebas linier (mengapa?), vektor-vektor ini membentuk suatu basis untuk ruang eigen yang terkait dengan λ. Jika λ, maka diperoleh x x x Dengan menggunakan operasi baris elementer, didapatlah Misalkan x s, maka x + x x x x x x x x s, x s, x s sehingga, vektor eigen dari A yang terkait dengan λ adalah vektor-vektor taknol yang berbentuk x s x x s s x s Karena bebas linier (mengapa?), vektor di atas membentuk suatu basis yang terkait dengan λ. Untuk menentukan vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen (λ), harus ditentukan terlebih dahulu basis-basis untuk ruang eigennya. Perhatikan kembali contoh di atas. Untuk vektor eigen dari A yang terkait dengan λ adalah vektor-vektor taknol yang berbentuk x s + t Misalkan s dan t, maka didapatlah vektor eigen yang terkait dengan λ adalah: x + Sementara, untuk vektor eigen dari A yang terkait dengan λ adalah vektor-vektor taknol yang berbentuk x s Misalkan s, maka didapatlah vektor eigen yang terkait dengan λ adalah: x + 4 4
TEOREMA Jika k adalah bilangan bulat positif, λ adalah nilai eigen dari suatu matriks A, dan x adalah vektor eigen yang terkait dengan λ, maka λ k adalah nilai eigen dari A k dan x adalah vektor eigen yang terkait dengannya. Pada contoh sebelumnya telah ditunjukkan bahwa nilai-nilai eigen dari matriks A adalah λ dan λ, sehingga berdasarkan Teorema, nilai-nilai eigen dari matriks A 7 adalah: λ 7 8 & λ 7 Selain itu, telah ditunjukkan juga bahwa vektor eigen dari A yang terkait dengan λ adalah vektor-vektor taknol yang berbentuk x s Maka, berdasarkan Teorema, vektor-vektor eigen dari matriks A yang terkait dengan λ akan sama dengan vektor-vektor eigen dari matriks A 7 yang terkait dengan λ 7 8. Begitu pula untuk λ 7. Telah ditunjukkan bahwa vektor eigen dari A yang terkait dengan λ adalah vektor-vektor taknol yang berbentuk x s Maka, berdasarkan Teorema, vektor-vektor eigen dari matriks A yang terkait dengan λ akan sama dengan vektor-vektor eigen dari matriks A 7 yang terkait dengan λ 7. Soal A:. Tentukan nilai-nilai eigen dari + t 9 S jika diketahui 7 S. Tentukan nilai eigen dan basis untuk ruang eigen T 5 T jika diketahui 5
>> DIAGONALISASI Sebuah matriks persegi A dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat suatu matriks P yang dapat dibalik sedemikian rupa sehingga P AP adalah suatu matriks diagonal. Matriks P dikatakan mendiagonalisasi matriks A. Berikut ini adalah prosedur untuk mendiagonalisasi suatu matriks. ) Tentukan n vektor eigen dari A yang bebas linier; misalkan p, p,, p n. ) Bentuklah suatu matriks P dengan p, p,, p n sebagai vektor-vektor kolomnya. ) Matriks P AP kemudian akan menjadi diagonal dengan λ, λ,, λ n sebagai entri-entri diagonalnya secara berurutan, dengan λ i adalah nilai-nilai eigen yang terkait dengan p i untuk i,,, n. Tentukan suatu matriks P yang mendiagonalisasi matriks A Dari contoh sebelumnya, telah didapat nilai-nilai eigen dari A adalah λ dan λ, serta basis-basis berikut untuk ruang eigen λ p & p λ p Terdapat tiga vektor basis secara keseluruhan sehingga matriks A dapat didiagonalisasi dan P Mendiagonalisasi A. Untuk memastikan kebenarannya, carilah P AP. P AP Tidak terdapat urutan yang khusus untuk kolom-kolom matriks P. Karena entri ke-i matriks P AP adalah suatu nilai eigen untuk vektor kolom ke-i matriks P, maka jika urutan dari kolom-kolom matriks P diubah, hal ini hanya akan mengubah urutan dari nilai-nilai eigen pada diagonal matriks P AP. Jadi, sebagai contoh, dengan menuliskan matriks P untuk contoh yang di atas maka, P P AP. 6
TEOREMA 4 Jika suatu matriks A n n memiliki n nilai eigen yang berbeda, maka A dapat didiagonalisasi. >> MENGHITUNG PANGKAT SUATU MATRIKS Jika diketahui matriks persegi A dapat didiagonalisasi oleh matriks P sedemikian rupa sehingga P AP D, maka: A k PD k P Tentukan A jika A Pada contoh sebelumnya, matriks A di atas dapat didiagonalisasi oleh dan Maka, Soal B: A PD P A PD P P P AP D 89 68 89 89 89 89 68 Diberikan matriks A sebagai berikut. Tentukan matriks A. 8 A 7