PENAKSIR RASIO UNTUK VARIANSI POPULASI MENGGUNAKAN KOEFISIEN VARIASI DAN KURTOSIS PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA

PENAKSIR RASIO UNTUK VARIANSI POPULASI MENGGUNAKAN KOEFISIEN VARIASI DAN KURTOSIS PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA Erpan Gusnawan 1, Arisman Adnan 2, Haposan Sirait 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya Pekanbaru 28293, Indonesia ragus nara@yahoocom ABSTRACT This paper is a review of Kadilar and Chingi Journal of Modern Applied Statistical Method, 35 (2006), 111 115 which discusses three estimators of ratio population variances Ŝ2 KC1, Ŝ2 KC2 and Ŝ2 KC3 of the population of variables Y using known auxiliary variables X on simple random sampling The three estimators Ŝ2 KC1, Ŝ2 KC2 and Ŝ2 KC3 are the modified of ratio variances estimator using coefficien of variation and kurtosis Bias and mean square error (M SE) of the three estimators are obtained by MacLaurin series approximation Furthermore, the M SE of each estimator is compared This comparison shows that the estimator having the smallest MSE is the most efficient estimator Keywords: Simple random sampling, ratio estimator, coef f icien of variation, kurtosis ABSTRAK Artikel ini merupakan tinjauan ulang artikel Kadilar dan Chingi Journal of Modern Applied Statistical Method, 35 (2006), 111 115 yang membahas tiga penaksir untuk rasio variansi populasi yaitu Ŝ2 KC1, Ŝ2 KC2 dan Ŝ2 KC3 dari populasi yang mempunyai variabel Y dengan variabel bantu X yang diketahui pada sampling acak sederhana Ketiga penaksir ŜKC1 2, Ŝ2 KC2 dan Ŝ2 KC3 merupakan modifikasi dari penaksir rasio variansi ŜR 2 menggunakan koefisien variasi dan kurtosis Bias dan mean square error (M SE) dari ketiga penaksir ditunjukkan melalui pendekatan deret MacLaurin Selanjutnya, masing-masing penaksir akan dibandingkan M SE Perbandingan ini dapat menunjukkan bahwa penaksir yang memiliki M SE paling kecil adalah penaksir yang efisien Kata kunci: Sampling acak sederhana, penaksir rasio, koefisien variasi, kurtosis 1

1 PENDAHULUAN Sampling probabilitas merupakan pengambilan sampel dari populasi dimana setiap anggota populasi memiliki kesempatan yang sama untuk terambil menjadi anggota sampel Pengambilan sampel berguna untuk menaksir nilai parameter dari populasi, yang dikenal dengan penaksir parameter populasi Penaksir dari parameter populasi ada yang dikenal dengan penaksir bias dan penaksir tak bias Variansi pada populasi Y akan ditaksir dengan menggunakan informasi tambahan populasi X yang telah diketahui Pemanfaatan informasi tambahan populasi X tersebut dilakukan dengan metode rasio Tujuan dari metode rasio adalah untuk meningkatkan ketelitian dengan mengambil manfaat hubungan antara y i dan x i, dimana y i adalah unit dari populasi Y dan x i adalah unit dari populasi X Pada tahun 1983 Isaki 3 mengajukan penaksir untuk variansi populasi yaitu ŜR 2, Kadilar dan Cingi 4 memodifikasi penaksir yang diajukan oleh Isaki dengan menggunakan koefisien variasi dan kurtosis Pada skripsi ini, dibahas ketiga penaksir tersebut yaitu Ŝ2 KC1, Ŝ2 KC2 dan Ŝ2 KC3 Selanjutnya, ditunjukkan bahwa ketiga penaksir tersebut bersifat takbias sehingga dibandingkan rata-rata kesalahan kuadrat atau (M SE) Semakin kecil MSE yang diperoleh maka penaksir semakin efisien Hal inilah yang mendasari untuk menggunakan penaksir rasio yang diajukan guna memilih M SE terkecil 2 PENAKSIR PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA Pada bagian ini dibahas beberapa penaksir untuk variansi populasi pada sampling acak sederhana serta beberapa definisi dan teorema yang merupakan teori pendukung untuk menyelesaikan permasalahan Penarikan sampel acak sederhana adalah suatu metode untuk mengambil unit dari populasi berukuran N, dimana setiap elemen mempunyai kesempatan yang sama untuk terpilih menjadi anggota sampel Pemilihan sampel dapat dilakukan dengan pengembalian atau tanpa pengembalian Dalam analisis data, terdapat ukuran untuk menjelaskan suatu distribusi data, diantaranya ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran Ukuran pemusatan merupakan ukuran yang menyatakan pusat dari sebaran data, beberapa diantaranya adalah rata-rata dan modus Terdapat beberapa ukuran penyebaran diantaranya variansi, simpangan baku dan koefisien variasi Koefisien variasi merupakan rasio dari standar deviasi terhadap nilai rata-ratanya, dinotasikan dengan C x didefinisikan sebagai 7, h 101 C x = S X Terdapat ukuran lain yang bisa diturunkan dari momen, diantaranya adalah koefisien kurtosis Koefisien kurtosis dinotasikan dengan β 2 dan didefinisikan 2

dengan 7, h 109 β 2 = µ rs µ r 2 20 µ r 2 02 Definisi 1 5, h 223 Penaksir ˆθ dikatakan penaksir takbias untuk parameter θ jika E(θ) ˆ = θ Jika penaksir tersebut bias, maka selisih dari E ˆ (θ) θ, dikatakan bias untuk penaksir θ untuk E ˆ (θ) θ Definisi 2 5, h 18 Misalkan ˆθ adalah penaksir bias untuk θ, untuk setiap θ Ω, Ω ruang parameter Rata-rata kesalahan kuadrat dari penaksir θ yang dinotasikan dengan MSE(ˆθ) = E(ˆθ θ) 2 Definisi 3 5, h 184 Misalkan ˆθ 1 dan ˆθ 2 adalah penaksir bias untuk θ, selanjutnya misalkan MSE(ˆθ 1 ) dan MSE(ˆθ 1 ) adalah MSE dari ˆθ 1 dan ˆθ 2, maka efisiensi relatif ˆθ 1 terhadap ˆθ 2 dinotasikan dengan RE(ˆθ 1, ˆθ 2 ) dan didefinisikan dengan RE(ˆθ 1, ˆθ) = MSE(ˆθ 1 ) MSE(ˆθ 2 ) Jika RE(ˆθ 1, ˆθ 2 ) < 1, artinya MSE(ˆθ 1 ) lebih kecil dari MSE(ˆθ 2 ) Sehingga dapat disimpulkan bahwa penaksir ˆθ1 lebih efisien dari penaksir ˆθ2 Berdasarkan Definisi (3) dapat ditulis sebagai berikut: dapat juga ditulis MSE(ˆθ 1 ) MSE(ˆθ 2 ) < 1, MSE(ˆθ 1 ) MSE(ˆθ 2 ) < 0, sehingga penaksir yang efisien antara penaksir ˆθ1 dan penaksir ˆθ2 dapat ditentukan berdasarkan selisih MSE(ˆθ 1 ) dengan MSE(ˆθ 2 ) Teorema 4 (Deret Taylor) 1, h 189 Misalkan k A dan I = a, b, misalkan f : I R dan f, f, f,, f (k) adalah kontinu pada I dan f k+1 ada pada (a, b) Jika x 0 I maka untuk sembarang x I terdapat suatu titik c (x, x 0 ) sehingga f(x) =f(x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ) + (x x 0) 2 f (x 0 ) + + (x x 0) k f k (x 0 ) 2! k! + (x x 0) k+1 f k+1 (c) k + 1! 3

Bukti lihat 1, h 189 Teorema 5 2 Jika s 2 y merupakan variansi sampel yang diperoleh dari sampel acak sederhana, maka variansi s 2 y yang dinotasikan dengan V (s 2 y) didefinisikan dengan V (s 2 y) = γsy(β 4 2(y) 1), dengan γ = 1 n, β 2(y) = 1 N 1 N n (y i Ȳ )4 i=1 n (y i Ȳ )2 i=1 2 Kovariansi dari variansi sampel acak sederhana s 2 y dan variansi dari sampel acak sederhana s 2 x adalah cov ( s 2 y, s 2 x) = γs 2 y S 2 x(λ 22 1) Bukti lihat 6, h 35 3 PENAKSIR RASIO UNTUK VARIANSI POPULASI MENGGUNAKAN KOEFISIEN VARIASI DAN KURTOSIS PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA Pada bagian ini dibahas bias, mean square error, serta perbandingan mean square error dari penaksir rasio yang diajukan oleh Kadilar dan Chingi 4 yaitu ŜKC1 2 = s 2 Sx 2 + C x y, s 2 x + C x S ŜKC2 2 = s 2 2 x + β 2(x) y, s 2 x + β 2(x) S ŜKC3 2 = s 2 2 x β 2(x) + C x y s 2 xβ 2(x) + C x Ketiga penaksir tersebut dapat ditentukan efisiensinya dengan membandingkan M SE dari masing-masing penaksir Semakin kecil M SE yang diperoleh dari masingmasing penaksir maka penaksir tersbut akan lebih efisien 31 BIAS DARI PENAKSIR RASIO UNTUK VARIANSI POPULASI 1 Bias dan MSE dari penaksir rasio untuk variansi populasi Ŝ2 KC1 ) B = γs 2yA 1 A 1 (β 2(x) 1) (λ 22 1), (Ŝ2 KC1 adalah 3 4

( ) MSE(Ŝ2 KC1) γsy 4 (β 2(y) 1) + A 2 1(β 2(x) 1) 2A 1 (λ 22 1), (1) ( ) S 2 dengan A 1 = x Sx 2 + C x 2 Bias dan MSE dari penaksir rasio untuk variansi populasi Ŝ2 KC2 adalah 3 B(Ŝ2 KC2) = γsya 2 2 A 2 (β 2(x) 1) (λ 22 1), ( ) MSE(Ŝ2 KC2) γsy 4 (β 2(y) 1) + A 2 2(β 2(x) 1) 2A 2 (λ 22 1), (2) ( ) Sx 2 dengan A 2 = Sx 2 + β 2(x) 3 Bias dan MSE dari penaksir rasio untuk variansi populasi Ŝ2 KC3 adalah 3 B(Ŝ2 KC3) = γsya 2 3 A 3 (β 2(x) 1) (λ 22 1), MSE(Ŝ2 KC3) γs 4 y ( S 2 ) dengan A 3 = xβ 2(x) SxC 2 x + β 2(x) ( ) (β 2(y) 1) + A 2 3(β 2(x) 1) 2A 3 (λ 22 1), (3) 32 PENAKSIR YANG EFISIEN UNTUK VARIANSI POPULASI Perbandingan MSE dari penaksir Ŝ2 KC1 dengan penaksir Ŝ2 KC2 Untuk mendapatkan penaksir yang lebih efisien antara penaksir ŜKC1 2 dan penaksir Ŝ2 KC2, dapat ditunjukkan dengan menentukan selisih antara MSE Ŝ2 KC1 pada persamaan (1) dan MSE Ŝ2 KC2 pada persamaan (2) berdasarkan Definisi (3) yaitu MSE(Ŝ2 KC1 Ŝ2 KC2) =γsy(a 4 1 A 2 ) ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) (4) Dari persamaan (4) terdapat dua kemungkinan, yaitu A Kemungkinan pertama adalah γs 4 y(a 1 A 2 ) ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) < 0 Karena γsy 4 0 maka akan ditunjukkan (A 1 A 2 ) ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) < 0 (5) 5

Dari persamaan (5) terdapat dua kemungkinan, yaitu a (A 1 A 2 ) < 0 dan ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) > 0 Pertidaksamaan (A 1 A 2 ) < 0 dapat diperoleh jika β 2(x) < C x, (6) dan untuk ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) > 0 diperoleh jika persamaan (6) dan (7) dapat juga ditulis β 2(x) > 2(λ 22 1) + ( ), (7) 2(λ 22 1) + ( ) < β 2(x) < C x (8) b (A 1 A 2 ) > 0 dan ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) < 0 Pertidaksamaan (A 1 A 2 ) > 0 diperoleh jika β 2(x) > C x, (9) dan untuk ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) < 0 dapat diperoleh jika persamaan (9) dan (10) dapat juga ditulis β 2(x) < 2(λ 22 1) + ( ), (10) C x < β 2(x) < 2(λ 22 1) + ( ) (11) Dari persamaan (8) dan persamaan (11) dapat disimpulkan MSE(Ŝ2 KC1 ) lebih efisien dari pada MSE(Ŝ2 KC2 ) jika syarat 2(λ 22 1) + ( ) < β 2(x) < C x terpenuhi atau memenuhi syarat C x < β 2(x) < 2(λ 22 1) + ( ) B Kemungkinan kedua adalah γs 4 y(a 1 A 2 ) ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) > 0 Karena γsy 4 0 maka akan ditunjukkan (A 1 A 2 ) ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) > 0 (12) Dari persamaan (12) terdapat dua kemungkinan, yaitu a (A 1 A 2 ) > 0 dan ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) > 0 Pertidaksamaan (A 1 A 2 ) < 0 diperoleh jika 6

β 2(x) > C x, (13) dan untuk ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) > 0 diperoleh jika β 2(x) > 2(λ 22 1) + ( ) (14) b (A 1 A 2 ) < 0 dan ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) < 0 Peridaksamaan (A 1 A 2 ) < 0 diperoleh jika β 2(x) < C x, (15) dan untuk ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) < 0 diperoleh jika β 2(x) < 2(λ 22 1) + ( ) (16) Dari persamaan (13), (14), (15) dan (16) dapat disimpulkan MSE(Ŝ2 KC2 ) akan lebih efisien dari pada MSE(Ŝ2 KC1 ) jika memenuhi syarat β 2(x) > C x dan β 2(x) > 2(λ 22 1) + ( ) atau syarat dari β 2(x) < C x dan β 2(x) < 2(λ 22 1) + ( ) terpenuhi Perbandingan MSE dari penaksir Ŝ2 KC1 dengan penaksir Ŝ2 KC3 Untuk mendapatkan penaksir yang lebih efisien antara penaksir ŜKC1 2 dan penaksir Ŝ2 KC3, dapat ditunjukkan dengan menentukan selisih antara MSE Ŝ2 KC1 pada persamaan (1) dan MSE Ŝ2 KC3 pada persamaan (3) berdasarkan Definisi (3) yaitu MSE(Ŝ2 KC1 Ŝ2 KC3) =γsy(a 4 1 A 3 ) ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) (17) Dari persamaan (17) terdapat dua kemungkinan, yaitu A Kemungkinan pertama adalah γs 4 y(a 1 A 3 ) Karena γs 4 y 0 maka akan ditunjukkan (A 1 A 3 ) ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) Dari persamaan (18) terdapat dua kemungkinan, yaitu a (A 1 A 3 ) < 0 dan ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) > 0 Pertidaksamaan (A 1 A 3 ) < 0 diperoleh jika < 0 < 0 (18) β 2(x) > 1, (19) 7

dan untuk ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) > 0 diperoleh jika β 2(x) > 2(λ 22 1) + ( ), (20) b (A 1 A 3 ) > 0 dan ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) < 0 Pertidaksamaan (A 1 A 3 ) > 0 diperoleh jika β 2(x) < 1, (21) dan untuk ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) < 0 diperoleh jika β 2(x) < 2(λ 22 1) + ( ) (22) Dari persamaan (19), (20), (21) dan (22) dapat disimpulkan MSE(Ŝ2 KC1 ) lebih efisien dari pada MSE(Ŝ3 KC2 ) jika memenuhi syarat β 2(x) > 1 danβ 2(x) > 2(λ 22 1) + ( ) atau dapat memenuhi syarat dari β 2(x) < 1 dan β 2(x) < 2(λ 22 1) + ( ) B Kemungkinan kedua adalah γs 4 y(a 1 A 3 ) ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) > 0 Karena γsy 4 0 maka akan ditunjukkan (A 1 A 3 ) ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) > 0 (23) Dari persamaan (23) terdapat dua kemungkinan, yaitu a (A 1 A 3 ) > 0 dan ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) > 0 Pertidaksamaan (A 1 A 3 ) > 0 dapat diperoleh jika β 2(x) < 1, (24) dan untuk ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) > 0 diperoleh jika persamaan (24) dan (25) dapat juga ditulis β 2(x) > 2(λ 22 1) + ( ), (25) 2(λ 22 1) + ( ) < β 2(x) < 1 (26) 8

b (A 1 A 3 ) < 0 dan ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) < 0 Pertidaksamaan (A 1 A 2 ) < 0 diperoleh jika β 2(x) > 1, (27) dan untuk ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) < 0 diperoleh jika persamaan (27) dan (28) dapat juga ditulis β 2(x) < 2(λ 22 1) + ( ), (28) 1 < β 2(x) < 2(λ 22 1) + ( ) (29) Dari persamaan (26) dan persamaan (29) dapat disimpulkan MSE(Ŝ2 KC3 ) lebih efisien dari pada MSE(Ŝ2 KC1 ) jika memenuhi syarat 2(λ 22 1) + ( ) < β 2(x) < 1 atau memenuhi syarat dari persamaan 1 < β 2(x) < 2(λ 22 1) + ( ) Perbandingan MSE dari penaksir Ŝ2 KC2 dengan penaksir Ŝ2 KC3 Untuk mendapatkan penaksir yang lebih efisien antara penaksir ŜKC2 2 dan penaksir Ŝ2 KC3, dapat ditunjukkan dengan menentukan selisih antara MSE Ŝ2 KC2 pada persamaan (2) dan MSE Ŝ2 KC3 pada persamaan (3), berdasarkan Definisi (3) yaitu MSE ) (Ŝ2 KC2 Ŝ2 KC3 =γsy(a 4 2 A 3 ) 2(λ 22 1) Dari persamaan (30) terdapat dua kemungkinan, yaitu A Kemungkinan pertama adalah γs 4 y(a 2 A 3 ) ( )(β 2(x) 1) ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) (30) < 0 Karena γsy 4 0 maka akan ditunjukkan (A 2 A 3 ) ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) < 0 (31) Dari persamaan (31) terdapat dua kemungkinan, yaitu a (A 2 A 3 ) < 0 dan ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) > 0 Pertidaksamaan (A 2 A 3 ) < 0 diperoleh jika β 2(x) > C x, (32) 9

dan untuk ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) > 0 diperoleh jika β 2(x) > 2(λ 22 1) + ( ), (33) b (A 2 A 3 ) > 0 dan ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) < 0 Pertidaksamaan (A 2 A 3 ) > 0 diperoleh jika β 2(x) < C x, (34) dan untuk ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) < 0 diperoleh jika β 2(x) < 2(λ 22 1) + ( ) (35) Dari persamaan (32), (33), (34) dan (35) dapat disimpulkan MSE(Ŝ2 KC2 ) akan lebih efisien dari pada MSE(Ŝ2 KC3 ) jika memenuhi syarat dari β 2(x) > Cx dan β 2(x) > 2(λ 22 1) + ( ) atau memenuhi syarat β 2(x) < C x dan β 2(x) < 2(λ 22 1) + ( ) B Kemungkinan kedua adalah γs 4 y(a 2 A 3 ) ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) > 0, Karena γs 4 y 0 maka akan ditunjukkan (A 2 A 3 ) ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) > 0 (36) Dari persamaan (36) terdapat dua kemungkinan, yaitu a (A 2 A 3 ) > 0 dan ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) > 0 Pertidaksamaan (A 2 A 3 ) > 0 diperoleh jika β 2(x) < C x, (37) dan untuk ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) > 0 diperoleh jika persamaan (37) dan (38) dapat juga ditulis β 2(x) > 2(λ 22 1) + ( ), (38) Cx < β 2(x) < 2(λ 22 1) + ( ) (39) 10

b (A 2 A 3 ) < 0 dan ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) < 0 Pertidaksamaan (A 2 A 3 ) < 0 diperoleh jika β 2(x) > C x, (40) dan untuk ( )(β 2(x) 1) 2(λ 22 1) < 0 diperoleh jika persamaan (40) dan (41) dapat juga ditulis β 2(x) < 2(λ 22 1) + ( ), (41) 2(λ 22 1) + ( ) < β 2(x) < C x (42) Dari persamaan (39) dan (42) dapat disimpulkan MSE(Ŝ2 KC3 ) lebih efisien dari pada MSE(Ŝ2 KC2 ) jika memenuhi syarat C x < β 2(x) < 2(λ 22 1) + ( ) memenuhi syarat 2(λ 22 1) + ( ) < β 2(x) < C x atau 4 KESIMPULAN Pada artikel ini telah ditunjukkan syarat keefisienan suatu penaksir terhadap penaksir lainnya, sehingga akan menjadi rujukan untuk memilih penaksir yang lebih efisien Berdasarkan hasil yang didapat pada pembahasan tersebut maka dapat ditentukan syarat untuk menentukan penaksir yang relatif efisien untuk digunakan tergantung sampel yang dimiliki Berdasarkan syarat-syarat di atas dapat disimpulkan efisiensi dari suatu penaksir terhadap penaksir lainnya tergantung besar atau kecilnya nilai dari koefisien kurtosis (β 2 ) dan koefisien variasinya (C x ) DAFTAR PUSTAKA 1 R G Bartle dan D R Sherbert, Introduction to Real Analysis, 4 th Ed, Jhon Wiley and Sons, New York, 2010 2 S Gupta dan J Shabb, Variance estimation in simple random sampling using auxiliari information, Journal of Modern Applied Statistical Methods, 37 (2008), 57-67 3 C T Isaki,Variance estimation using auxiliary information, Journal of the American Statistical Association, 78 (1983), 117-123 11

4 C Kadilar dan H Cingi, Improvement in variance estimation using auxiliary information, Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 35 (2006), 111-115 5 D C Montgomery dan G C Runger, Applied Statistics and Probability for Engineers, Second Edition, John Willey dan Sons, New York, 1999 6 P V Sukhatme, Sampling Theory of Surveys with Applications, The Indian Council of Agricultural Research, New Delhi, 1976 7 Sudjana, Metoda Statistika, Edisi keenam, Tarsito, Bandung, 2005 12