GEOMETRI PADA BIDANG: VEKTOR

GEOMETRI PADA BIDANG: VEKTOR A. Kurv Bidng: Representsi Prmetrik Sutu kurv bidng ditentukn oleh sepsng persmn prmetrik: x f () t, y f () t t dlm intervl I dengn f dn g kontinu pd intervl I. Secr umum, kurv dengn persmn prmetrik di ts mempunyi titik wl ( f ( ), g( )) dn titik khir ( f ( b), g( b )) dengn t b. Untuk mengenli sutu kurv jik dikethui persmn prmetrikny, hl yng dpt dilkukn dlh dengn mengeliminsi prmeterny. Perhtikn contoh berikut. >> Contoh Kurv pkh yng dinytkn oleh persmn prmetrik berikut x t t, y t t b y t t y x t t y y y y ( ) ( ) 8 5 Persmn x y 8y 5 merupkn persmn prbol dengn titik punck (, 4) dn terbuk ke knn. >> Contoh Kurv pkh yng dinytkn oleh persmn prmetrik berikut x cos t, y sin t 0 t Perhtikn bhw x y cos t sin t Jdi, titik ( xy, ) bergerk pd lingkrn stun x y. Perhtikn pul bhw prmeter t dpt ditfsirkn sebgi sudut (dlm rdin). Bil t bergerk dri 0 ke, titik ( x, y) (cos t,sin t) bergerk sekli mengelilingi lingkrn dengn rh yng berlwnn rh jrum jm dn muli dri titik (,0). Teorem Mislkn f dn g dlh fungsi yng terdiferensilkn secr kontinu dengn f '( t) 0 pd t b. Mk, persmn prmetrik x f () t, y f () t dpt didefinisikn dengn y sebgi sutu fungsi yng terdiferensilkn terhdp x, dn dy dy / dt dx dx / dt KALKULUS Srv Chrisdes

>> Contoh Tentukn turunn pertm dri fungsi yng memiliki persmn prmetrik: x 5cos t, y 4sin t 0 t dn hitunglh niliny st t /6. dy dy / dt 4cos t 4 cot t dx dx / dt 5sin t 5 St t /6, >> Contoh 4 Hitunglh y dx jik x t dn y dy 4 4 4 cot dx 5 6 5 5 t. Dri x t, didpt dx dt. St x : x t t t t St x : x t t t 4 t 8 6 y dx ( t ) dt ( t ) dt t 4 t B. Vektor pd Bidng: Pendektn Secr Geometri Vektor dpt dinytkn secr geometri sebgi rus gris terrh tu nk pnh pd rung berdimensi n. Arh nk pnh menunjukkn rh vektor, sementr pnjng nk pnh menggmbrkn besrnny. Ekor nk pnh disebut titik wl, dn ujung nk pnh disebut titik khir. Secr simbolis, vektor dinytkn dengn huruf kecil tebl (mislny, b, v, w) tu dengn huruf kecil yng diserti setengh nk nh pd bgin tsny (mislny, b, v, w ). Jik titik wl sutu vektor dlh P dn titik khirny dlh Q, mk vektor dpt ditulis sebgi berikut: = PQ. Vektor-vektor dengn ukurn dn rh yng sm disebut ekuivlen. Jik dn b ekuivlen, mk dpt ditulis sebgi berikut: = b. Penjumlhn vektor dengn hukum jjrgenjng: Jik v dn w dlh vektor dimensi-du sehingg posisi dri titik-titik wl merek seletk, mk kedu vektor tersebut membentuk sisi yng berdektn dri sutu jjrgenjng, dn jumlh v + w dlh vektor yng diwkili oleh nk pnh dri titik wl v dn w menuju titik yng d di seberngny. Penjumlhn vektor dengn hukum segitig: Jik v dn w dlh vektor dimensi-du sehingg titik wl w merupkn titik khir v, mk jumlh v + w dlh vektor yng diwkili oleh nk pnh dri titik wl v menuju titik khir w. KALKULUS Srv Chrisdes

>> Contoh 5 ) b) C. Vektor pd Bidng: Pendektn Secr Aljbr Vektor dimensi-du dlh psngn terurut bilngn riil =,. Bilngn dn merupkn komponen-komponen dri. C. Diberikn titik P ( x, y) dn Q ( x, y) vektor dengn representsi PQ dlh: = x x, y y >> Contoh 6 Crilh vektor yng dinytkn oleh rus gris lurus dengn titik wl A(, ) dn B(,). = AB =, ( ) = 4,4 C. Pnjng Vektor Pnjng vektor dimensi-du =, dlh: = C. Vektor nol (dlm hl ini vektor nol dimensi-du 0 = 0,0 ) merupkn stu-stuny vektor yng pnjngny nol. Selin itu, vektor ini jug merupkn stu-stuny vektor yng tidk memiliki rh yng tertentu. Jik dlh vektor tknol sebrng, mk dlh bentuk negtif dri yng didefinisikn sebgi vektor yng besrny sm dengn, tetpi memiliki rh yng berlwnn. C.4 Penjumlhn Vektor Jik =, dn b = b, b, mk: + b = b, b C.5 Perklin Vektor dengn Sklr Jik c dlh sklr dn =,, mk: c = c, c KALKULUS Srv Chrisdes

C.6 Vektor Stun Vektor stun dlh vektor yng pnjngny. Jik dlh vektor dimensi-du tknol sebrng dengn =, u =, mk: C.7 Vektor Bsis Bku Vektor bsis bku dimensi-du dlh: i =,0 dn j = 0, Vektor bsis bku memiliki pnjng sm dengn. Sebrng vektor =, dpt dinytkn secr unik dlm bentuk i dn j, yitu: =, =,0 0, = i + j Teorem Sift-Sift Vektor Jik, b, dn c dlh vektor di V n, dn d sert e dlh sklr, mk: ) + b = b + 5) d ( + b) = d + d b ) + (b + c) = ( + b) + c 6) (d + e) = d + e ) + 0 = 7) (de) = d (e ) 4) + ( ) = 0 8) = >> Contoh 7 Jik = i j dn b = i + 5j, crilh, b, dn + 4b. = ( ) 4 9 b = ( ) i + ( 5) j = i + ( 8) j = i 8j + 4b.= (i j) + 4(i + 5j) = (6i 9j) + (4i + 0j) = (6 + 4) i + ( 9 + 0) j = 0i + j C.8 Hsil Kli Titik (Dot Product) Jik =, dn b = b, b, mk: b = b b Hsil dri hsil kli titik ini buknlh vektor, melinkn berup bilngn riil, ykni sklr. Oleh kren itu, hsil kli titik kdng-kdng disebut hsil kli sklr tu hsil kli dlm. Teorem Sift Hsil Kli Titik Jik, b, dn c dlh vektor di V n, dn d dlh sklr, mk: ) = 4) (c ) b = c ( b) = (c b) ) b = b 5) 0 = 0 ) (b + c) = b + c KALKULUS Srv Chrisdes 4

Teorem 4 Jik θ dlh sudut ntr vektor dn b, mk: b = b cos θ Akibtny, b cos θ = b dengn syrt dn b buknlh vektor nol. Teorem 5 Mislkn dn b dlh vektor-vektor tknol pd V n. 0 < θ < π jik dn hny jik b > 0. π < θ < π jik dn hny jik b < 0. θ = π jik dn hny jik b = 0. Dengn kt lin, dn b ortogonl. >> Contoh 8 Jik vektor dn b mempunyi pnjng 4 dn 6, sert sudut kedu vektor tersebut dlh /6, crilh b. b = 4 6 cos = 4 6 = 6 D. Fungsi (Bernili) Vektor dn Gerk Sepnjng Kurv Fungsi (bernili) vektor dlh fungsi yng derh slny berup himpunn bilngn riil dn derh hsilny berup himpunn vektor. Jik f() t dn gt () dlh komponen dri fungsi vektor r (t) = f ( t), g( t ), mk f() t dn gt () dlh fungsi bernili riil yng disebut fungsi komponen dri r (t), dn dpt dituliskn sebgi berikut: r (t) = f ( t), g( t ) = f() t i + gt () j >> Contoh 9 Jik r (t) = ln( t), t, tentuknlh derh sl dri r. Fungsi komponenny dlh: f ( t) ln( t), g() t t Derh sl dri r terdiri ts semu nili t sedemikin rup sehingg r (t) terdefinisi. f ( t) ln( t) terdefinisi st t 0 sedemikin sehingg didpt t. g() t t terdefinisi st t 0. Jdi, derh slny dlh: t t t { } { 0} 0 [0,) KALKULUS Srv Chrisdes 5

Dengn demikin, derh sl dri r dlh: D t 0 t ; t Selnjutny, kn dipeljri bentuk limit, turunn, dn integrl dri sutu fungsi vektor. D. Limit Fungsi Vektor Jik r (t) = f ( t), g( t ) = f() t i + gt () j, mk: lim t r (t) = lim f ( t), lim g( t) t t = lim f( t) t slkn limit dri msing-msing fungsi komponen d. i + lim gt ( ) t j >> Contoh 0 Crilh lim t 0 r (t) dengn r (t) = lim t 0 r (t) = t te i + sin t t lim te j. t t 0 i + t 0 sin t lim t j = 0 i + j = j Teorem 6 Sift Limit Mislkn u dn v dlh fungsi vektor yng mempunyi limit pd st t, dn mislkn pul c dlh konstnt. ) lim [u (t) + v (t)] = lim u (t) + lim v (t) t ) lim t ) lim t c. u (t) = c. lim t t [u (t) v (t)] = lim t D. Turunn Fungsi Vektor u (t) t u (t). lim t v (t) Turunn r dri fungsi vektor didefinisikn sebgi berikut: dr dr = r r t + r t t = lim 0 D. Vektor Singgung Stun T t = r t r t Teorem berikut memberikn sebuh metode yng tept untuk menghitung turunn dri sutu fungsi vektor r ; diferensilkn sj msing-msing fungsi komponen dri r. Teorem 7 Sift Turunn Jik r (t) = f ( t), g( t) = f() t i + gt () j, dengn f dn g dlh fungsi-fungsi yng terdiferensilkn, mk: r (t) = f ( t), g ( t) = f () t i + g () t j KALKULUS Srv Chrisdes 6

Teorem selnjutny memperlihtkn bhw rumus diferensii untuk fungsi bernili riil mempunyi rumus-rumus reknnny untuk fungsi bernili vektor. Teorem 8 Aturn Diferensisi Mislkn u dn v dlh fungsi vektor yng terdiferensilkn, c dlh sutu sklr, dn f dlh fungsi bernili riil, mk: ) d dt [u (t) + v (t)] = u (t) + v (t) ) d dt [ c. u (t)] = c. u (t) ) d [f (t). u (t)] = dt f () (t) 4) d dt [u (t) v (t)] = u (t) v (t) + v (t) u (t) 5) d dt [ u f() t ] = f () t D.4 Integrl Fungsi Vektor Jik r (t) = f() t i + gt () j, mk:. u () f t (turn rnti) r t dt = f t dt i + g t dt j + c dengn c merupkn konstnt pengintegrln vektor. Integrl tentu dri sutu fungsi vektor kontinu r(t) dpt didefinisikn dengn cr yng sm seperti untuk fungsi bernili riil, keculi bhw integrlny berup vektor. Integrl dri r dpt dinytkn dlm bentuk integrl dri fungsi-fungsi komponenny. Teorem 9 Integrl Tentu Jik r(t) = f() t i + gt () j, mk: b b b r t dt = f t dt i + g(t)dt j >> Contoh Jik r(t) = t i + t e j, tentuknlh:. D t [ b. t.r(t)] r(t) dt 0. Dengn menggunkn Teorem 8 nomor, mk didpt: D t t. r t = t t i + e t j + t t i e t j = 5t 4 i + t t e t j b. Dengn menggunkn Teorem 9, mk didpt: 0 r t dt = t dt 0 i + 0 e t dt j = i + e t j KALKULUS Srv Chrisdes 7

Selnjutny, kn diperkenlkn mengeni vektor posisi, vektor keceptn, keljun, dn jug vektor perceptn. D.5 Gerk Sepnjng Kurv Diberikn r(t) = f() t i + gt () j. Mislkn r (t) d dn kontinu sert r (t) 0. Mk, vektor keceptn, keljun, dn vektor keljun didefinisikn sebgi berikut: Keceptn : v (t) = r (t) Keljun : dt = r (t) = v (t) Turunn keljun : = d r (t) = d dt dt dt Perceptn : (t) = v (t) = r (t) v (t) >> Contoh Vektor posisi dri sutu bend yng bergerk pd bidng diberikn oleh r(t) = dengn t 0. Crilh keceptn, keljun, dn perceptn ketik t =. Keceptn dn perceptn pd st t dlh: v t = r t = t i + t j t = r t = 6t i + j dn, lju pd st t dlh: dt = v(t) = t + t = 9t 4 + 4t Ketik t =, mk: v = i + j = 6 i + j v() = t i + t j, E. Kelengkungn dn Perceptn Jik C dlh kurv mulus yng didefinisikn oleh fungsi vektor r(t), mk turunnny tidk sm dengn vektor nol [r (t) 0]. Kelengkungn C pd sutu titik yng diberikn dlh ukurn seberp cept kurv berubh rh di titik tersebut. Secr khusus, didefinisikn kelengkungn sebgi besrny lju perubhn vektor singgung stun berrkn pnjng busur. Kelengkungn sebuh kurv dlh: dengn T dlh vektor singgung stun. κ = dt Ingt kembli mengeni vektor singgung stun pd D. dn keljun pd D.5, sehingg kelengkungn sebuh kurv dpt dituliskn sebgi berikut: KALKULUS Srv Chrisdes 8

κ = T (t) r (t) = T (t) v(t) >> Contoh Hitunglh kelengkungn sebuh lingkrn yng berjri-jri. Mislkn sj d sutu lingkrn yng berpust di titik sl (0,0) dn berjri-jri. Mk, persmn vektor posisiny dpt dituliskn sebgi berikut: r t = cos t i + sin t j Mk, v t = sin t i + cos t j T t = Dengn demikin, r t r t v t = sin t + cos t = = v(t) v(t) = sin t i + cos t j T t = cos t i sin t j T (t) = cos t + sin t = κ = T (t) v(t) = = sin t i + cos t j Berrkn Contoh, oleh kren didpt κ dlh keblikn dri jri-jri pd sutu lingkrn, semkin besr lingkrnny, mk semkin kecillh kelengkungn pd lingkrn tersebut. Berikut dlh teorem yng penting mengeni kelengkungn sebuh kurv. Teorem 0 Kelengkungn Kurv pd Bidng ) Mislkn dikethui kurv prmetrik bidng x f () t dn y g() t sedemikin sehingg r (t) = f ( t), g( t ), mk: κ = x y y x x + y / ) Jik kurv bidngny memiliki persmn y f ( x) sehingg r (t) = x, f ( x ), mk: κ = f (x) + f (x) / >> Contoh 4 Hitunglh kelengkungn pd elips x cos t, y sin t pd titik t = 0 dn t = π/. Cri terlebih dhulu turunn pertm dn kedu dri x dn jug y. x' sin t y' cos t x'' cos t y'' sin t KALKULUS Srv Chrisdes 9

Selnjutny, dengn menggunkn Teorem 0 nomor, κ = Dengn demikin, x y y x x + y / = 6 sin t + 6 cos t 9 sin t + 4 cos t / = 6 9 sin t + 4 cos t / κ 0 = 6 4 / = 4 κ π = 6 9 / = 9 Di sutu titik pd sutu kurv yng mulus r (t), terdpt bnyk vektor yng ortogonl terhdp vektor singgung stun T(t), slh stuny dlh vektor norml stun. E. Vektor Norml Stun N t = T t T t Ketik mempeljri gerk prtikel, seringkli bermnft pbil perceptn diurikn ke dlm du komponen; stu dlm rh singgung (perceptn tngensil), dn yng linny dlm rh norml (perceptn norml). E. Vektor perceptn dpt diekspresikn dlm bentuk: = T. T + N. N dengn T dlh vektor singgung stun dn N dlh vektor norml stun. Berrkn E., dpt diliht bhw vektor perceptn dpt diurikn dlm komponen tngensil ( T ) dn komponen norml ( N ). Teorem Perceptn Tngensil dn Perceptn Norml >> Contoh 5 T N = κ = d dt dt r (t) = d dt v (t) dt = κ r (t) = v (t) Sutu prtikel bergerk dengn vektor posisi r (t) = t i + t j, dengn t 0 vektor perceptnny dlm bentuk T dn N. v t = t i + t j dt = v(t) = t + t = 4t + t 4 = t 4 + t T = d s dt = d dt v(t) = d dt t 4 + t = 4 + t 4 + t. Ekspresikn KALKULUS Srv Chrisdes 0

N = κ dt = x y y x x + y /. t 4 + t = 4t t 4t + t 4 /. 4t + t 4 = t 4 + t Kren telh dikethui T dn N, mk: = T. T + N. N = 4 + t 4 + t T + t 4 + t N Perlu diingt kembli bhw vektor norml stun merupkn vektor yng ortogonl dengn vektor singgung stun, sehingg terbentuklh Teorem berikut ini. Teorem Jik merupkn vektor perceptn, mk: = T + N >> Contoh 6 Tnp menghitung κ, ekspresiknlh vektor perceptn dri sutu prtikel dlm bentuk T dn N jik vektor posisiny diberikn seperti pd Contoh 5. v t = t i + t j t = i + t j (t) = + t = 4 + 4t dt = v(t) = t + t = 4t + t 4 = t 4 + t T = d s dt = d dt v(t) = d dt t Dengn menggunkn Teorem, mk: = T + N N = T = 4 + 4t 4 + t 4 + t 4t N = 4 + t = t 4 + t Kren telh dikethui T dn N, mk: = T. T + N. N = 4 + t 4 + t T + t 4 + t N 4 + t = 4 + t 4 + t = 4 + 4t 4 + t 4 + t = 4t 4 + t KALKULUS Srv Chrisdes

L A T I H A N. Tentukn turunn pertm dn turunn kedu dri fungsi yng memiliki persmn prmetrik: x t, y t ; t 0. Hitunglh ( x 4 ) y dx jik x t dn 0 y t 4.. Mislkn:, 5 ; b, ; c 6,0. Tentukn:. b b. (b + c) c. c c b 4. Tentukn besr sudut yng dibentuk oleh dn b jik:. = i +j ; b = i + 4j b. 7, 0 ; b 5, 5. Tentuknlh nili x sehingg 8,6 dn b, x sling tegk lurus. 6. Tentukn r (t) dn r (t) jik r(t) sin t, cost. 7. Hitunglh:. r t dt jik r t cos t, sin t π/4 b. r(t) dt jik r t = cos t i + sin t j 0 8. Sutu prtikel bergerk memuli pergerknny dri posisi wl r (0), 0 dengn keceptn wl v (0) = i j. Perceptnny dlh (t) = 4t i + 6t j. Crilh keceptn dn posisi prtikel tersebut pd st t. 9. Hitunglh kelengkungn κ dri titik P jik:. y x x st P (,0) b. r(t) = ( t t ) i + ( t t ) j st P (,) 0. Hitunglh perceptn tngensil ( T ) dn perceptn norml ( N ) dri sutu gerkn bend dengn:. r(t) = t i + t j st t = b. r(t) = cos t, sin t st t = π 6 KALKULUS Srv Chrisdes