SISTEM BILANGAN REAL Purnmi E. Soewrdi Direktort Peminn Tendik Dikdsmen Ditjen GTK Kementerin Pendidikn dn Keudyn
Himpunn Bilngn Asli (N) Bilngn sli dlh ilngn yng pertm kli dikenl dn digunkn oleh mnusi dlm keutuhnny untuk memilng Himpunn ilngn Asli N = 1,,, 4,...
Himpunn Bilngn Cch Himpunn ilngn cch dlh himpunn ilngn sli digung dengn nol Himpunn ilngn cch = 0, 1,,,...
Himpunn Bilngn Bult (Z) Himpunn ilngn ult dlh gungn ntr himpunn ilngn sli dn negtif ilngn sli, dn nol Himpunn ilngn ult Z =..., -, -, -1, 0, 1,,,...
Himpunn Bilngn Rsionl Bilngn rsionl tu ilngn pechn dlh ilngn yng didefinisikn segi /; dinmkn pemilng, dinmkn penyeut;, Z; 0. Himpunn ilngn pechn = 1 1 1 4,,0,,,, 5
Bilngn Irrsionl Bilngn irrsionl dlh ilngn yng tidk dpt dinytkn dlm entuk /, dengn, Z, dn 0 Himpunn ilngn irrsionl = 1,,0,,log15, 8,
Himpunn Bilngn Rel (R) Himpunn ilngn rel dlh gungn dri himpunn ilngn rsionl dn irrsionl. Bilngn rel isny direpresentsikn segi seuh gris ilngn
Himpunn Bilngn Rel (R) - -1 4 0 log7 1
Himpunn Bilngn Rel dlh Medn Himpunn ilngn rel dlh sutu medn (field). Hl ini errti: Himpunn ilngn rel dengn opersi penjumlhn mementuk grup komuttif. Himpunn ilngn rel tnp elemen nol, dengn opersi perklin mementuk grup komuttif. Berlku hukum distriutif.
Grup Himpunn A dengn sutu opersi # dlh sutu grup pil dipenuhi ksiom-ksiom: 1. A Ø.Tertutup terhdp opersi #.Berlku sift sositif terhdp opersi # 4.Mempunyi identits terhdp opersi # 5.Setip elemen di A mempunyi invers terhdp opersi #
; Grup Komuttif: 1. se 0.. Tertutup terhdp opersi penjumlhn (+): Mislkn, serng, mk.. Berlku sift sositif terhdp opersi penjumlhn: Mislkn,, c serng, mk c c. 4. Mempunyi elemen identits terhdp opersi penjumlhn, yitu nol (0): Mislkn serng, mk 0 0.
; Grup Komuttif: 5. Setip elemen di mempunyi likn (invers) terhdp opersi penjumlhn: Mislkn serng, mk terdpt. edemikin sehingg 0. Selnjutny, ; dlh grup komuttif, kren: Mislkn, serng, mk.
0 ; x \ Grup Komuttif: 1. se 1.. Tertutup terhdp opersi perklin (x): Mislkn, serng, mk x.. Berlku sift sositif terhdp opersi perklin: Mislkn,, c serng, mk x c x c. 4. Mempunyi elemen identits terhdp opersi perklin, yitu stu (1): Mislkn serng, mk x 1 1 x.
0 ; x \ Grup Komuttif: 5. Setip elemen di mempunyi likn (invers) terhdp opersi perklin: Mislkn serng, mk terdpt sedemikin 1 1 x x. sehingg 1 1 6. Selnjutny, ; x dlh grup komuttif, kren: Mislkn, serng, mk x x.
Hukum Distriutif: Mislkn,, c serng, mk dipenuhi: c c dn c c
Ltihn Grup 1. Pndng : M A c d,, c, d R Buktikn hw (M; + ) dlh sutu grup!
Ltihn Grup. Pndng : P m n m, n Z Buktikn hw (P; x ) dlh sutu grup!
Ltihn Grup. Lengkpilh Tel Cyley erikut ini : * c c
Ltihn Grup * c c c c c
Ltihn Grup 4. Pndng pemetn : α, : R R x x + S = { α,, Є R } Definisikn opersi komposisi ( o ) dengn : (α, o α c,d )(x) = α, (α c,d (x)) = α, (cx+d) = (cx+d)+ = cx+(d+) = α c,(d+) (x) untuk setip x Є R dn setip α,, α c,d Є S Buktikn hw (S; o ) dlh sutu grup!
Sift-sift Urutn 1. Trikotomi: Mislkn,, mk psti erlku stu dintr yng erikut ini: tu tu.. Ketrnsitifn: Mislkn,, c. Jik dn c, mk c.. Penmhn: Mislkn,, c. Mk: c c. 4. Perklin: Mislkn,, c. Jik c 0, mk c c. Jik c 0, mk c c. ( Ket: Sift-sift,, dn 4 jug erlku untuk lmng dn ).
Himpunn Penyelesin Pertidksmn Himpunn penyelesin dri sutu pertidksmn dlh himpunn yng elemenny terdiri dri semu elemen di himpunn ilngn rel yng memenuhi pertidksmn terseut.
Nili Mutlk Nilimutlk sutuilngnrel x dinytkn oleh x, didefinisikn segi : x x x jik x jik x 0 0
Sift-sift Nili Mutlk 1... ( ketksmn segitig) 4.
Sift-sift Nili Mutlk 1...
Dengn menggunkn ketksmn segitig, uktikn:
Pertidksmn yng Menyngkut Nili Mutlk x x x x tu x
Ltihn Crilh himpunn penyelesin pertidksmn - pertidksmn erikut dn perlihtkn grfik himpunn penyelesinny! 1. x x 0. x 1 0 x. x 5 1 x 4. x 1 x 1 x 0 5. x 6 6. 5 x 1 7. x 5 x 4 8. x 1 x 6
Opersi-opersi pd Bilngn Rel Opersi Penjumlhn Opersi Pengurngn Opersi Perklin Opersi Pemgin
Opersi Penjumlhn & Pengurngn Pd Bilngn Bult 1 19 15 11 4 410 6
Opersi Penjumlhn & Pengurngn Pd Bilngn Pechn i) Jik penyeutny sm, mk c d,,, serng erlku: c c c c c c Contoh: 5 4 5 1 5 5 1 6 4 6 1 5 6 1 6 5
Opersi Penjumlhn & Pengurngn Pd Bilngn Pechn ii) Jik penyeutny tidk sm, mk,, c, d serng erlku : Contoh: 5 c d c d 5 7 9 d c d d c d 7 5 14 15 9 7 1 1 9 5 7 10 17 5 9 45 45
Opersi Penjumlhn & Pengurngn Pd Bilngn Irrsionl i) Menyederhnkn entuk kr x Contoh: 4 8 8
Opersi Penjumlhn & Pengurngn Pd Bilngn Irrsionl ii) Menjumlhkn dn mengurngkn entuk kr c c c c c c Contoh: 6 6 6 6 5 4 5 4 5 7 5 5
Opersi Perklin Pd Bilngn Bult Mislkn, x x x x
Opersi Pemgin Pd Bilngn Bult Mislkn, ; 0 : : : x
Opersi Perklin & Pemgin Mislkn 1 x,, c, d 1 1, dengn Pd Pechn 0 dn 0 c c x, dengn 0 dn d 0 d d c d d : x, dengn 0, c 0, dn d 0 d c c Contoh: 1 4 x x 1 5 4 5 5 : 4 6 1 4 5 1 0 4 8 5 15 6 6 18 x 5 4 5 0 4
Opersi Perklin Pd Bilngn Irrsionl i) Perklin entuk kr Mislkn,, c, d x c d x c d x Contoh: 7 x 5 6 x 5 7 6 10 4 x
Opersi Perklin Pd Bilngn Irrsionl ii) Mersionlkn penyeut sutu pechn Mislkn k,, = x = = k = k x = k ) ( k = k x = k ) (
Opersi Perklin Pd Bilngn Irrsionl Contoh: 7 7 7 7 7 7 7 7 5 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5
Opersi Perklin Pd Bilngn Berpngkt Mislkn :,, m, n ; 0; 0; m 0; n 0; m n n n n m m n n mn 0 1 mn n m m n
Opersi Pemgin Pd Bilngn Berpngkt Mislkn n m n m m n ; 0 0; 0; 0; ;,,, m m 1 n m n m n n n
Persmn Eksponen Bentuk umum persmn eksponen: x g x f x g x f dengn 0 ;. Contoh: Sederhnkn entuk erikut: o 4 5 14 10 0 1 6 4 6 0 1 6 4 6 4 5 4 4 4 5
Logritm Mislkn,, c, d ; 0 c log c log1 0 log 1 log n n n log n log log c log log c
Logritm log c log logc log t log log, t ilngn semrng t log log 1 log c log d log d c d c log
Persmn Logritm Bentuk umum: log f x log gx f x gx Contoh: Sederhnkn entuk erikut: log0 o log6 log15 log7... log log6 log15 log7 log0 log log 4 0 log 5 log log4 5 log 4 log5 1 log 4 log5
Menguh Bentuk Pechn Menjdi Bentuk Desiml Menguh Bentuk Pechn Menjdi Bentuk Desiml Contoh : 0,4 = 5 5 0 0 0 0
Menguh Bentuk Desiml Menjdi Bentuk Pechn Contoh : 0, = 10 = 5 1
Menguh Bentuk Desiml Menjdi Bentuk Persen Penguhn entuk desiml menjdi entuk persen dilkukn dengn cr menglikn ilngn terseut dengn 100 %. Contoh : 0,05 = 0,05 x 100 % = (0,05 x 100 %) = 5 %
Menguh Bentuk Persen Menjdi Bentuk Desiml Penguhn entuk persen menjdi entuk desiml dilkukn dengn cr menggnti tnd persen (%) menjdi persertus, kemudin menjdi desiml. Contoh : 10 1 10 % = = = 0,1 100 10
Menguh Bentuk Pechn menjdi Bentuk Persen Penguhn entuk pechn menjdi entuk persen dilkukn dengn cr menglikn ilngn itu dengn 100 %. Contoh : 1 1 100 = x 100 % = % = 50 %
Menguh Bentuk Persen Menjdi Bentuk Pechn Penguhn entuk persen menjdi entuk pechn dpt dilkukn dengn menggnti tnd % menjdi persertus. Contoh : 10 1 10 % = = 100 10
Apliksi Persen pd Bidng Bisnis Contoh: Seorng pedgng menjul rng dengn hrg Rp. 500.000,00 dn memperoleh keuntungn 5 %. Berp esr modl yng diutuhkn pedgng terseut?
Apliksi Persen pd Bidng Bisnis Jw: Untung = penjuln pemelin Mislkn : Pemelin = x % untung = penjuln pemelin pemelin x 100 % 5 % = ( 500.000 x) x x 100 % 5 x = (500.000 x) 100 5 x = 50.000.000 100x 15 x = 50.000.000 x = 400.000 Jdi esr modl yng diutuhkn pedgng terseut seesr Rp 400.000,00.
Perndingn (Skl) Perndingn du esrn dpt dilkukn pil keduny sejenis, rtiny kedu esrn itu mempunyi stun ukurn yng sm, mislny cm, dm, m, km, mg, g, kg, dll.
Perndingn (Skl) Volume (liter) Hrg (rupih) 1 (misl = ) 4 (misl = ) 5 700 (misl = c) 1.400.100.800 (misl = d).500
Pet dn model erskl Penyelesin sol-sol mengeni pet dn model erskl dpt diselesikn dengn menggunkn perndingn senili. Contoh: 1. Jrk ntr Jkrt dn Solo dlm pet dlh 5 cm. Pet terseut memiliki perndingn 1 : 1.000.000. Berpkh jrk ntr Jkrt dengn Solo yng seenrny? Jw: Jrk 1 cm pet = 1.000.000 cm jrk seenrny (js). Jrk 5 cm pet = 5 x 1.000.000 = 60.000.000 cm js. Jdi, jrk ntr Jkrt dengn Solo yng seenrny dlh 600 km.
Desiml Setip ilngn rsionl dpt ditulis dlm entuk desiml. 1 8 0,5 0,75 1 11 1, 181818 7 0,485714857148571
Desiml Bilngn-ilngn rsionl jug dpt ditulis dlm entuk desiml. 1,414156 1,70508075, 14159655 log 6 0,778151508644
Desiml Jdi, ilngn rsionl dpt dituliskn segi sutu desiml erulng. Kelikn dri pernytn ini jug enr, yitu setip desiml yng erulng menytkn sutu ilngn rsionl. x 0, 161616 1000x 16, 1616 1000x x 16, 1616 0, 1616 999x 16 16 x. 999
Desiml dn Kerptn Secr umum, pertm-tm kit klikn sutu desiml erulng x dengn m 10 jik desiml terseut erulng dlm sutu pol yng terdiri dri m ngk. Bilngn irrsionl ditulis dlm entuk desiml yng tidk erulng menurut sutu pol. Sutu desiml yng tidk erulng psti menytkn sutu ilngn irrsionl.
Kerptn Dintr du ilngn rel serng yng erlinn x dn y, terdpt sutu ilngn rel lin (mislny z x y, dlh ilngn pertenghn ntr x dn y ). Kren di ntr setip du ilngn rel yng erlinn terdpt ilngn rel lin, mk dintr setip du ilngn rel yng ered terdpt tk erhingg nykny ilngn rel linny.
Kerptn Segi contoh, kit kn mencri ilngn rsionl dn irrsionl di ntr: x 0,14158 dn y 0,1400 : Mislkn ilngn itu dlh ilngn rsionl z 0,14160000 dn ilngn irrsionl Dpt kit liht hw: w 0,1416010010001. x z w y.