4 BAB II LANDASAN TEORI Teori yang ditulis dalam bab ini merupakan beberapa landasan yang digunakan untuk menganalisis sebaran besarnya klaim yang berekor kurus (thin tailed) dan yang berekor gemuk (fat tailed) untuk menentukan besarnya premi. 2.1. Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak dapat diprediksi dengan tepat tetapi bisa diketahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak. Definisi 1 (Ruang contoh) Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan Ω. Definisi 2 (Kejadian) Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω. Definisi 3 (Medan-) Medan- adalah himpunan yang anggotanya merupakan himpunan bagian dari Ω yang memenuhi syarat-syarat berikut: a.. b. Jika maka. c. Jika,, maka. Definisi 4 (Ukuran peluang) Ukuran peluang P pada ruang ukuran Ω, adalah fungsi P 0,1 yang memenuhi:
5 a. P 0,PΩ 1. b. Jika,, adalah himpunan anggota-anggota yang saling lepas, yaitu, untuk setiap, dengan maka: P P. Tripel Ω,, P disebut dengan ruang peluang. Definisi 5 (Kejadian saling bebas) Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika: P PP. Secara umum, himpunan kejadian ; dikatakan saling bebas jika: P P. untuk setiap himpunan bagian J dari I. 2.2. Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 6 (Peubah acak) Misalkan Ω adalah ruang contoh pada sebuah percobaan acak. Fungsi bernilai real Ω adalah peubah acak jika untuk setiap interval Ι, Ω: Ω I adalah sebuah kejadian. Definisi 7 (Fungsi sebaran) Jika X adalah peubah acak maka fungsi F yang terdefinisi dalam sebagai P disebut fungsi sebaran (distribution function) dari X.
6 Definisi 8 (Peubah acak diskret) Peubah acak X disebut peubah acak diskret jika himpunan semua kemungkinan nilai,, dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah. Teorema 2.1 (Sifat-sifat fungsi sebaran peubah acak diskret) Misalkan X adalah peubah acak diskret dan F adalah fungsi sebarannya. Maka F memenuhi sifat: (i) F fungsi takturun, jika maka. ii lim 1. iii lim 0. (iv) F adalah kontinu kanan, untuk setiap,. Jika adalah suatu barisan menurun pada yang konvergen ke-t, maka lim. Bukti: lihat Ghahramani 2005 halaman 144. Definisi 9 (Fungsi massa peluang peubah acak diskret) Fungsi massa peluang p pada peubah acak diskret X dengan himpunan nilai yang mungkin,,, adalah suatu fungsi dari ke yang memenuhi: (i) 0,jik,,,. (ii) P dan 0, 1,2,3,. iii 1. Definisi 10 (Peubah acak kontinu) Peubah acak X dikatakan kontinu jika terdapat fungsi sehingga fungsi sebaran P dapat dinyatakan sebagai:,
7 dengan : 0, adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi disebut fungsi kepekatan peluang (probability density function) dari X. Teorema 2.2 (Hubungan fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang pada peubah acak kontinu) Jika f adalah fungsi kepekatan peluang dari peubah acak X yang kontinu dengan fungsi sebaran F, maka f harus memenuhi: i 1. ii. iii P 0. iv P P P P. Bukti: lihat Ghahramani 2005 halaman 232. Definisi 11 (Sebaran Poisson) Suatu peubah acak X dikatakan menyebar Poisson dengan parameter λ, jika memiliki fungsi kerapatan peluang: ; λ, 0,1,2,! dengan λ 0. (Hogg et al. 2005) Definisi 12 (Sebaran eksponensial) Suatu peubah acak X dikatakan menyebar eksponensial dengan parameter, jika X memiliki fungsi kepekatan peluang: ;, 0 dan 0.
8 Definsi 13 (Sebaran Beta) Suatu peubah acak X dikatakan menyebar beta dengan parameter,, jika memiliki fungsi kepekatan peluang: dengan ;, 1, 0, 0,, 1, adalah sebuah fungsi yang kaitannya dengan fungsi gamma sebagai berikut:, ΓΓ Γ.. Definsi 14 (Sebaran Gamma) Suatu peubah acak X dikatakan menyebar gamma dengan parameter,, jika memiliki fungsi kepekatan peluang: ;,, 0, 0 Γ dengan sebuah fungsi yang digunakan dalam sebaran gamma adalah fungsi gamma yang didefinisikan sebagai berikut: Γ. 2.3. Momen dan Momen Pusat Definisi 15 (Momen) (i) Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang, maka momen ke-k dari X didefinisikan sebagai:, 1,2,
9 asalkan jumlah di atas konvergen. Jika jumlah di atas divergen, maka momen ke-k dari peubah acak X tidak ada. (ii) Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang, maka momen ke-k dari X didefinisikan sebagai: asalkan integral di atas konvergen. Jika integral di atas divergen, maka momen ke-k dari peubah acak X tidak ada. (Ross 2007) Momen pertama dari suatu peubah acak X disebut nilai harapan (expected value) dari X, dan dilambangkan dengan E(X). Definisi 16 (Momen pusat) Momen pusat ke-k dari suatu peubah acak X didefinisikan sebagai momen ke-k dari peubah acak, yaitu. (Ross 2007) Momen pusat pertama adalah nol. Momen pusat ke-2 dari X disebut ragam (variance) dari X, dan dinotasikan dengan atau. Definisi 17 (Fungsi pembangkit momen) Fungsi pembangkit momen (moment generating function) dari suatu peubah acak X didefinisikan sebagai: 2.1 untuk t sehingga nilai harapan di atas ada. (Ross 2007) Teorema 2.3 (Sifat dari fungsi pembangkit momen) Jika fungsi pembangkit momen, maka momen ke-k dari peubah acak X dapat diperoleh dengan cara menentukan turunan ke-k dari fungsi pembangkit momen untuk nilai t = 0. Jadi, 0.
10 Bukti: Dengan menggunakan fungsi pembangkit momen pada persamaan (2.1), yaitu:. 2.2 Turunan pertama dari persamaan (2.2), yaitu: dengan mengambil t = 0 maka persamaan (2.3), diperoleh: 0. Turunan kedua dari persamaan (2.2), yaitu: 2.3 2.4 2.5 subsitusi persamaan (2.3) ke persamaan (2.5), diperoleh: dengan mengambil t = 0 maka persamaan (2.6), diperoleh: 0. Secara umum untuk turunan ke-k dari persamaan (2.2), yaitu: 2.6 2.7 dengan mengambil t = 0 maka persamaan (2.6), menjadi: 0. 2.8
11 2.4. Nilai Harapan dan Ragam Peubah Acak Definisi 18 (Nilai harapan peubah acak diskret) Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan himpunan nilai yang mungkin adalah A. Jika adalah fungsi massa peluang dari X, maka nilai harapan (expected value) dari peubah acak X didefinisikan sebagai: dan dikatakan ada jika konvergen mutlak. Definisi 19 (Simpangan baku dan ragam peubah acak diskret) Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan himpunan nilai yang mungkin adalah A, adalah fungsi massa peluang dari X dan adalah nilai harapan dari X, maka dan masing-masing adalah simpangan baku (standard deviation) dan ragam (variance) dari X dan didefinisikan sebagai: dan. Definisi 20 (Nilai harapan pada peubah acak kontinu) Jika X adalah peubah acak kontinu dengan f sebagai fungsi kepekatan peluang, maka nilai harapan dari X didefinisikan sebagai:.
12 Definisi 21 (Simpangan baku dan ragam dari peubah acak kontinu) Jika X adalah peubah acak kontinu, maka dan masingmasing adalah simpangan baku dan ragam dari X yang didefinisikan sebagai: dan. 2.5. Fungsi Utilitas (Utility Function) Menurut Dickson (2005) fungsi utilitas yang dinotasikan dengan U(w) adalah sebuah fungsi yang nilainya terukur dengan w adalah nilai kekayaan. Definisi 22 (Fungsi utilitas eksponensial (Exponential Utility Function)) Misalkan w adalah nilai kekayaan. Fungsi kekayaan eksponensial didefinisikan sebagai:, 0 dan s 0 2.9 dengan 0 2.10 dan " 0 2.11 (Bowers et al. 1997) Teorema 2.4 (Prinsip kesetimbangan (Zero Utility Principle)) Misalkan U(w) adalah fungsi utilitas dengan 0 dan " 0. X adalah besarnya klaim. Fungsi prinsip kesetimbangan dari besarnya premi minimum P adalah: 2.12 (Dickson 2005) Bukti: lihat Dickson halaman 42.
13 2.6. Ukuran Risiko Definisi 23 (Risiko absolut yang dihindari (Absolute Risk Aversion)) Misalkan U(w) adalah fungsi utilitas dengan 0 dan " 0. Dan w ada adalah nilai kekayaan. Risiko absolut yang dihindari dinotasikan sebagai, didefinisikan sebagai: ". (Arrow 1971) Definisi 24 (Risiko relatif yang dihindari (Relative Risk Aversion)) Misalkan U(w) adalah fungsi utilitas dengan 0 dan " 0. Dan w ada adalah nilai kekayaan. Risiko relatif yang dihindari dinotasikan sebagai, didefinisikan sebagai: ". (Arrow 1971) 2.7. Akumulasi Klaim Tahunan Definisi 25 (Akumulasi klaim tahunan (Annual Aggregate Klaim)) Misalkan adalah besarnya klaim ke-i, yang merupakan peubah acak kontinu yang saling bebas dan identik untuk 1, dan N adalah banyaknya klaim yang bebas dari. Akumulasi klaim tahunan didefinisikan sebagai:. 2.13 (Bowers et al. 1997) Dalam aplikasi asuransi, diasumsikan mengikuti sebaran Poisson atau sebaran binomial negatif. Untuk menentukan fungsi pembangkit momen dari akumulasi klaim adalah sebagai berikut:... 2.14
14 Dengan. 2.15 karena saling bebas, sehingga persamaan (2.15) menjadi 2.16 dan memiliki sebaran yang identik sehingga persamaan (2.16) menjadi:. dari Definisi 17 di ketahui bahwa adalah fungsi pembangkit momen dari X sehingga:.. Jadi fungsi pembangkit momen dari adalah: E 2.17. 2.8. Statistik Tataan (Order Statistics) Definisi 26 (Statistik Tataan (Order Statistics)) Misalkan,,, adalah peubah acak kontinu yang saling bebas dan sebarannya identik. Fungsi sebaran dan fungsi kepekatannya dinotasikan dengan F dan f. Misalkan adalah nilai yang paling kecil pada,,,, adalah nilai yang paling kecil kedua, adalah nilai yang paling kecil ketiga, dan secara umum 1 adalah nilai yang paling kecil ke- k pada,,,. Maka disebut statistik tataan ke k, dan,,, adalah statistik tataan dari,,,.
15 Teorema 2.5 (Hubungan fungsi sebaran dan fungsi kepekatan pada statistik tataan) Misalkan,,, adalah statistik tataan dari peubah acak kontinu,,, yang yang saling bebas dan sebarannya identik dengan fungsi sebaran dan fungsi kepekatan dinotasikan dengan F dan f. Maka dan adalah fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang dari, yaitu: 1, dan! 1!! 1,. dengan k = 1, 2, 3, n Bukti: Lihat Ghahramani 2005, hal 388.