BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Dalam kehidupan sehari-hari banyak permasalahan yang muncul di lingkungan sekitar. Hal tersebut yang memicu kreatifitas berpikir manusia untuk menyelesaikan permasalahan yang muncul sehingga dapat memberikan kontribusi pada perkembangan ilmu pengetahuan sampai saat ini. Salah satu bentuk kreatifitas berpikir manusia adalah pemodelan matematika. Permasalahan-permasalahan sains dan teknik banyak ditransformasi ke dalam persamaan matematika melalui proses pemodelan matematika. Sehingga dengan adanya pemodelan matematika permasalahan yang ada menjadi lebih sederhana dan lebih mudah untuk diselesaikan. OLeh sebab itu, matematika banyak diterapkan di berbagai disiplin ilmu termasuk pada bidang fisika. Salah satu pemodean yang diterapkan pada bidang fisika adalah ppersamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial parsial memegang peranan penting di dalam penggambaran keadaan fisis, dimana besaran-besaran yang terlibat di dalamnya berubah terhadap ruang dan waktu. Dengan kata lain, persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang mengandung satu atau lebih turunan parsial. Persamaan ini haruslah melibatkan paling sedikit dua variabel bebas. Salah satu model matematika yang sering ditemui dalam bidang fisika adalah Persamaan Laplace dan Persamaan Poisson. Persamaan Laplace dan Persamaan Poisson merupakan salah satu bentuk dari persamaan diferensial parsial eliptik yang merupakan salah satu tipe dari persamaan diferensial parsial. Persamaan ini tidak ada nilai awal sebagaimana persamaan diferensial parsial yang berhubungan dengan waktu. Hanya saja persamaan ini diikuti dengan kondisi batas tertentu. Dalam bukunya,(vichnevetsky, 1981) memberikan bentuk umum Persamaan Laplace dua dimensi, sebagai berikut: 1
2 2 u x 2 + 2 u y 2 = 0. Persamaan tersebut sering digunakan untuk menggambarkan fenomena gravitasi, Potensial elektrostatis, dan distribusi suhu. Seperti persamaan diferensal lainnya, kerumitan penyelesaian persamaan diferensial parsial dua dimensi terletak pada bentuk syarat batas yang menyertai persamaan diferensial tersebut. Dalam matematika modern terdapat berbagai aplikasi persamaan diferensial yang dilengkapi dengan syarat awal dan syarat batas atau lebih dikenal sebagai masalah syarat awal dan syarat batas (MSAB). Oleh karena itu, untuk mendapatkan solusi dari persamaan diferensial parsial dua dimensi para ilmuan telah mengembangkan berbagai metode baik secara analitik maupun numerik. Karena tidak semua masalah persamaan diferensial dapat diselesaikan menggunakan metode analitik, maka digunakan metode numerik untuk memperoleh solusi pendekatannya. Salah satu metode numerik yang digunakan penulis untuk menyelesaikan permasalaham persamaan parsial dua dimensi adalah metode elemen hingga. Metode ini dipakai sebagai metode alternatif dalam penyelesaian masalah syarat batas persamaan diferensial parsial dua dimensi. 1.2. Tujuan Penulisan Tujuan akhir penulisan tugas akhir ini adalah: 1. Mendeskripsikan bentuk persamaan diferensial parsial eliptik dimensi dua. 2. Membentuk persamaan diferensial parsial eliptik dimensi dua menjadi bentuk matriks. 3. Mempelajari contoh aplikasi metode elemen hingga dalam masalah perpindahan panas. 4. Mendeskripsikan perbandingan metode elemen hingga dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial eliptik dengan menggunakan metode separasi variabel dan metode beda hingga.
3 5. Mengetahui kelebihan dan kelemahan dari metode elemen hingga dibandingkan dengan metode numerik yang lain, misalnya metode beda hingga. 1.3. Pembatasan Masalah Masalah yang dibahas pada tulisan ini dibatasi pada penyelesaian persamaan diferensial parsial linear orde dua dimensi dua tipe eliptik dalam keadaan stasioner dengan syarat batas Dirichlet, Neumann dan Robin. Pada tugas akhir ini diberikan beberapa contoh yang hasilnya akan dibandingkan dengan hasil yang diperoleh dengan menggunakan metode separasi variabel dan menggunakan metode beda hingga. 1.4. Tinjauan Pustaka Penyelesaian persamaan diferensial parsial eliptik dimensi dua menggunakan metode elemen hingga dalam tugas akhir ini merujuk pada buku karangan Reddy (2006). Pada buku karangan Reddy (2006) tersebut diberikan persamaan diferensial parsial eliptik dimensi dua secara umum, kemudian persamaan tersebut dikembangkan dengan menggunakan metode elemen hingga sehingga diperoleh suatu persamaan matriks. Selanjutnya diberikan beberapa contoh masalah persamaan diferensial parsial eliptik dimensi dua yang diselesaikan menggunakan penyelesaian analitik, yaitu metode separasi variabel yang mengacu pada buku karangan Asmar (2000) dan hasilnya dibandingkan dengan hasil yang diperoleh menggunakan metode elemen hingga. Pada pembentukan model elemen hingga dalam buku karangan Reddy (2006), digunakan beberapa daftar pustaka. Untuk penjelasan mengenai persamaan diferensial parsial mengacu pada karangan Ross (1984). Konsep mengenai metode separasi variabel, deret Fourier, dan beberapa jenis syarat batas, mengacu pada buku karangan Humi dan Miller (1992). Konsep mengenai Teorema Green Gauss mengacu pada buku karangan Katsikalidis (2002).
4 1.5. Metodologi Penelitian Metode yang digunakan dalam pembuatan skripsi ini adalah dengan terlebih dahulu mempelajari materi mengenai integral, persamaan diferensial parsial, matriks, eliminasi Gauss, vektor, teorema Green Gauss, masalah syarat batas, Deret Fourier, dan metode separasi variabel. Pembahasan diawali dengan pembentukan model persamaan diferensial parsial parsial eliptik dimensi dua secara umum, mendiskritkan domain menjadi elemenelemen hingga, menentukan bentuk lemah dari persamaan diferensial parsial eliptik dimensi dua, menentukan model elemen hingga dengan menggunakan bentuk lemah, menentukan fungsi interpolasi pada setiap titik dari elemen hingga, selanjutnya mengumpulkan persamaan elemen-elemen hingga. Diberikan contoh aplikasi metode elemen hingga yaitu pada masalah perpindahan panas. Untuk masalah perpindahan panas yang terjadi konveksi, model elemen hingga yang telah diperoleh dimodifikasi pada integral batasnya. Selanjutnya diberikan beberapa contoh yang hasilnya dibandingkan dengan solusi analitiknya sehingga diperoleh galatnya. 1.6. Sistematika Penulisan Sistematika penulisan yang digunakan dalam penulisan tugas akhir ini adalah: BAB I:PENDAHULUAN Bab ini berisi tentang latar belakang permasalahan, tujuan penulisan, pembatasan masalah, tinjauan pustaka, metode penelitian yang digunakan untuk penulisan tugas akhir ini, serta sistematika penulisan. BAB II:DASAR TEORI Bab ini berisi tentang kajian beberapa definisi dan teori yang ada kaitannya dengan hal-hal penyelesaian masalah syarat batas pada persamaan diferensial parsial orde dua domensi dua tipe eliptik.
5 BAB III:METODE ELEMEN HINGGA UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL ORDE DUA DIMENSI DUA TIPE ELIPTIK Bab ini menjelaskan langkah-langkah untuk mendapatkan formulasi elemen hingga yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial orde dua dalam dimensi dua tipe eliptik dengan syarat batas Dirichlet, Neumann, dan Robin. BAB 1V:APLIKASI METODE ELEMEN HINGGA DALAM PERPINDAHAN PANAS DIMENSI DUA DALAM KEADAAN STASIONER Bab ini berisi penjelasan tentang aplikasi metode elemen hingga yaitu dalam masalah perpindahan panas beserta contoh-contoh penyelesaian numerik dari masalah Persamaan Laplace dan Persamaan Poisson dengan dengan berbagai syarat batas (yaitu syarat batas dirichlet, neuman dan robin) menggunakan metode elemen hingga yang hasilnya dapat dibandingkan dengan metode lain yaitu separasi variabel dan metode beda hingga. BAB V:KESIMPULAN Bab ini berisi penarikan kesimpulan dari keseluruhan pembahasan mengenai penyelesaian numerik persamaan diferensial parsial orde dua dalam dimensi dua dengan menggunakan metode elemen hingga, menggunakan metode beda hingga dan pembahasan mengenai penyelesaian analitik persamaan diferensial parsial menggunakan metode separasi variabel serta pemberian saran dalam melakukan penulisan karya ilmiah.