BAB III FUNGSI YOUNG DAN KOMPLEMEN YOUNG Pada bab ini, dibahas tentang definisi fungsi Young dengan domain real diperluas dan komplemennya. Sebelumnya, dalam studi deret Fourier, W. H. Young telah menganalisis fungsi konvek θ: R R + yang bersifat θ( ) = θ(), θ() =, dan lim θ() =, dimana setiap fungsi θ dapat diasosiasikan dengan fungsi konvek lain ψ: R R + yang memiliki sifat yang sama dengan θ, yang mana ψ(y) sup{ y θ()}. Oleh sebab itu θ dinamakan fungsi Young, dan ψ dinamakan komplemen Young. Pada bab ini, definisi fungsi Young akan dimodifikasi. Fungsi Young akan didefinisikan pada R dengan menambahkan syarat θ(± ) = dan lim θ() = θ() dengan = sup dom(θ). 3.1 Fungsi Young dan Komplemen Young Definisi 3.1.1 Berikut merupakan fungsi Young yang dimodifikasi Suatu fungsi θ: R R + dikatakan fungsi young jika memenuhi kondisi: 1. θ konvek pada R 2. θ( ) = θ() 3. θ() =, θ(± ) =, dan 4. jika = sup dom(θ) R maka lim θ() = θ(). Hazmy, Sofhara AL. 214 EKSTRAKSI RUANG ORLICZ Universitas Pendidikan Indonesia repository.upi.edu perpustakaan.upi.edu
75 Untuk kasus : R R +, definisi fungsi Young diatas ekivalen dengan Definisi 1.1 [3]. Remark 1. a) Sifat θ( ) = θ() dan θ() = mengindikasikan θ menapai minimum di dan tak turun pada [, ) b) Untuk sembarang fungsi Young, terdapat s, s 1 > sedemikian sehingga θ(s ) [, ) dan θ(s 1 ) (, ]. ) Berdasarkan b), = sup dom(θ) >. d) Fungsi Young kontinu pada interior domθ. Seara khusus, fungsi Young finite merupakan fungsi kontinu pada R. e) Berdasarkan d), jika d sup dom(θ) maka lim d θ() = θ(d). Jika d > sup dom(θ), maka lim d θ() = = θ(d). f) Berdasarkan Definisi 3.1.1, lim θ() =. Untuk setiap fungsi Young θ, dapat dibentuk fungsi ψ: R R + yang berasosiasi dengan θ yang didefinisikan ψ(y) sup{ y θ()}. ψ disebut komplemen dari θ dan berlaku ketaksamaan Young θ() + ψ(y) y. Berdasarkan definisi fungsi ψ, ψ konveks, ψ( y) = ψ(y), ψ() =, ψ(± ) =, dan lim y ψ(y) =. setiap R sehingga Misalkan d = sup dom(ψ) R, berdasarkan ketaksamaan Young untuk lim ψ(y) d θ() y d
76 lim ψ(y) sup {d θ()} = ψ(d). y d Tetapi, karena ψ tak turun pada [, d], maka lim d ψ(y) ψ(d). Akibatnya lim d ψ(y) = ψ(d). Jadi, ψ juga merupakan fungsi Young. Pada topik analisis konvek, untuk fungsi Young θ: R + {} R, θ dapat direpresentasikan sebagai θ() = sup{y ψ(y)} = θ + ( ) ψ(θ + ( )). y Contoh 3.1.2 Misalkan θ p () = p, p 1. θ p merupakan fungsi Young. Untuk p = 1, ψ(y) = untuk y 1 dan ψ(y) = untuk y > 1 juga merupakan fungsi Young dan komplemen Young dari θ. Hal ini menunjukkan komplemen fungsi Young tidak selalu kontinu pada R. Contoh 3.1.3, 1 Misalkan θ () {, > 1. θ juga merupakan fungsi Young, dimana ψ(y) = y untuk setiap y R. Proposisi 3.1.4 Misalkan (a, b) R dan fungsi θ: (a, b) R. θ konveks pada (a, b) jika dan hanya jika untuk setiap subinterval tutup [, d] (a, b), θ() = θ() + φ(s) ds, d, (3.1.5)
77 dimana φ: (a, b) R, tak turun, dan fungsi kontinu kiri. Juga, φ mempunyai turunan kiri dan kanan di setiap titik pada (a, b) dan bernilai sama keuali di sejumlah terhitung titik-titik. Bukti. Untuk setiap > yang ukup keil, didefinisikan h () θ(s + ) θ(s) ds, [, d]. Karena θ konvek, maka θ() θ( ) Dθ() = lim. Definisikan φ(s) Dθ(s). Berdasarkan Teorema kekonvergenan terdominasi Lebesgue θ(s + ) θ(s) lim Dilain pihak, karena θ kontinu, maka ds = φ(s) ds. θ(s + ) θ(s) + ds = 1 ( θ(s) ds θ(s) ds) + θ() θ(). + + = 1 ( θ(s) ds θ(s) ds) Sehingga θ() θ() = φ(s) φ tak turun dan kontinu kiri. θ(s) θ(s ) ds. Karena φ(s) lim, maka Sebaliknya, misalkan, y (a, b) dan α [, 1]. Misalkan pula z = α + (1 α)y, jika (3.1.5) terpenuhi, maka θ(z) αθ() (1 α)θ(y) = α[θ(z) θ()] (1 α)[θ(y) θ(z)] z y = α φ(s) ds (1 α) φ(s) ds z
78 α(z )φ(z) (1 α)(y z)φ(z) = α(1 α)(y )φ(z) (1 α)α(y )φ(z) =. Karena θ monoton, maka θ memiliki turunan hampir dimana-mana pada (a, b). Terbukti. Perhatikan bahwa fungsi Young θ: R R + merupakan fungsi konvek dan θ() =, tetapi mungkin terdapat jump ke di suatu titik. Misalkan θ(a) =, jelas θ() = untuk a. Untuk kasus ini, nilai φ() = untuk > a dan definisikan φ() =. Akibat 3.1.6 Jika θ: R R + merupakan fungsi Young, maka θ dapat direpresentasikan sebagai θ() = φ(s) ds. Dimana φ: R + {} R, + tak turun, dan kontinu kiri. Remark 2. Fungsi bernilai real diperluas θ dikatakan kontinu kiri di jika dan hanya jika lim θ() = θ(). Bukti Akibat 3.1.6. Retriksikan θ: R R + menjadi θ: R + R dimana θ() = θ(). Misalkan θ() R untuk a dan θ() = untuk > a (atau < a dan θ() = untuk a). Berdasarkan teorema 1, untuk =
79 θ() = φ(s) ds, < a. (3.1.7) Definisikan φ(s) = untuk s > a dan θ(a) lim a θ(), sehingga persamaan (3.1.7) berlaku untuk semua. Karena θ fungsi genap, maka θ() = θ( ) = θ( ) = φ(s) ds. Terbukti. Karena θ() = dan lim θ() = maka θ bukan fungsi konstan. Sehingga φ bukan merupakan fungsi konstan atau. Oleh sebab itu Akibat 3.1.6 dapat dimodifikasi kedalam pernyataan yang lebih kuat, dan disajikan pada akibat berikut Akibat 3.1.8 Fungsi θ: R R + merupakan fungsi Young jika dan hanya jika θ dapat direpresentasikan sebagai θ() = φ(s) ds, dengan φ: R {} R, + tak turun, kontinu kiri, dan bukan merupakan fungsi konstan atau. Berdasarkan definisi integral tak wajar, θ( ) = lim θ(). Karena φ bukan fungsi konstan, maka terdapat s > sehingga θ(s ) >. Karena φ tak turun, diperoleh θ( ) = lim θ() = lim φ(s) ds lim φ(s ) ds =. s
8 Selanjutnya akan diperkenalkan komplemen Young yang berbeda dari definisi komplemen Young sebelumnya, dan pada pembahasan-pembahasan berikutnya akan digunakan komplemen Young yang akan dibahas berikut ini. Definisikan perluasan fungsi invers φ: R + {} R, + dimana φ(t) inf, (3.1.9) φ() t maka φ(t) = dan tak konstan. Karena { φ() t} { φ() u} untuk t u, berdasarkan sifat infimum φ(t) = inf φ()>t inf φ()>u = φ(u). Sehingga φ tak turun. Ketika t v, berdasarkan ilustrasi gambar 3.1.1, φ(t) φ(v). Sehingga φ kontinu kiri. Karenanya {t φ(t) > u} adalah interval buka (φ(u), ]. Berdasarkan (4.1) juga diperoleh Jika φ(t) > u maka t > φ(u) Jika t > φ(u) maka φ(t) u Jika t < φ(u) maka φ(t) < u. φ(s) v t φ(t) φ(v) s Gambar 3.1.1
81 Definisikan y ψ(y) φ(t) dt (3.1.11) Berdasarkan Akibat 3.1.8, ψ merupakan fungsi Young. Proposisi 3.1.12 Misalkan θ fungsi Young dan ψ didefinisikan oleh (4.11). Maka y θ() + ψ(y), (3.1.13) dan kesamaan berlaku ketika y = φ( ) atau = φ( y ). Bukti. Cukup dibuktikan untuk kasus dan y. Jika θ() = atau ψ(y) =, ketaksamaan (3.1.13) terbukti. Jika θ() < dan ψ(y) <, maka y y = du dv = du dv + du dv {u,v y v φ(u)} {u,v y φ(u) v} = du dv + du dv {u,v y v φ(u)} {u,v y φ(v) u} min(y,φ(u)) y min(,φ(v)) = dv du + du dv y φ(u) du + φ(v)dv
82 = θ() + ψ(y). Jika y diberikan, maka kesamaan pada langkah kedua terakhir terjadi jika dan hanya jika y φ(u) untuk u, sehingga = ψ(y). Jika diberikan, maka kesamaan terjadi ketika φ(v), sehingga y = φ(). Terbukti. Pada pembahasan-pembahasan selanjutnya notasi ψ akan diganti dengan notasi θ dan berdasarkan ilustrasi 3.1.1, θ = θ.