MODUL DISTRIBUSI F (ANOVA) I. PENDAHULUAN Ditemukan oleh seorang ahli statistik yang bernama R.A. Fisher pada tahun 1920. Distribusi F/ANOVA adalah prosedur statistika untuk mengkaji (mendeterminasi) apakah rata-rata hitung (mean) dari 3 (tiga) populasi atau lebih, sama atau tidak Digunakan untuk menguji rata rata atau nilai tengah dari tiga atau lebih populasi secara sekaligus, apakah rata-rata atau nilai tengah tersebut sama atau tidak sama. II. RUMUS-RUMUS DISTRIBUSI F / ANOVA : A. Klasifikasi Satu Arah Klasifikasi satu arah, adalah klasifikasi pangamatan yang hanya didasarkan pada satu kriteria. Misalnya saja varitas gandum. Dalam klasifikasi satu arah ini, rumus-rumus yang digunakan adalah: 1) Ukuran Data Sama k n T 2.. JKT = X 2 ij - i=1 j=1 nk k T 2.. JKK = T 2 i - i=1 nk Keterangan: JKT : Jumlah Kuadrat Total X 2 ij : Pengamatan ke-j dari populasi ke-i T 2.. : Total semua pengamatan nk : Banyaknya anggota secara keseluruhan T 2 i : Total semua pengamatan dalam contoh dari populasi ke-i n : Banyaknya pengamatan/anggota baris JKK : Jumlah Kuadrat Kolom JKG : Jumlah Kuadrat Galat JKG = JKT JKK Analisis ragam dalam klasifikasi satu arah dengan data sama Sumber Keragaman Jumlah Kuadrat Derajat Bebas Kuadrat Tengah Nilai tengah kolom JKK k 1 S 2 1 = JKK / (k-1) Galat JKG k(n-1) S 2 2 = JKG / k(n-1) Total JKT nk - 1 F. Hitung S 2 1 / S 2 2 STAT 2 Hal. 17
2) Ukuran Data Tidak Sama k n i T 2.. JKT = X 2 ij - i=1 j=1 N k JKK = T 2 i. T 2.. i=1 n i N JKG = JKT - JKK Sumber Jumlah db Kuadrat Tengah F. Hitung Keragaman Kuadrat Nilai tengah kolom JKK k - 1 S 2 1 = JKK / (k-1) Galat JKG N - k S 2 2 = JKG / (N k) S 2 1 / S 2 2 Total JKT N - 1 B. Klasifikasi Dua Arah Adalah klasifikasi pengamatan yang didasarkan pada 2 kriteria, seperti varitas dan jenis pupuk. Segugus pengamatan dapat diklasifikasikan menurut dua kriteria dengan menyusun data tersebut dalam baris dan kolom, Kolom menyatakan kriteria klasifikasi yang satu, sedangkan baris menyatakan kriteria klasifikasi yang lain. Rumus-rumus yang digunakan dalam klasifikasi 2 arah adalah: 1) Tanpa Interaksi r c T 2.. JKT = X 2 ij - i=1 j=1 rc c T 2.. JKK = T 2 j - j=1 rc r r JKB = T 2 i - T 2.. j=1 c rc Keterangan : JKT : Jumlah Kuadrat Total JKB : Jumlah Kuadrat Baris JKK : Jumlah Kuadrat Kolom JKG : Jumlah Kuadrat Galat T 2.. : Total semua pengamatan T 2 i : Jumlah/total pengamatan pada baris T 2 j : Jumlah/total pengamatan dari kolom X 2 ij : Jumlah/total keseluruhan dari baris dan kolom c : Jumlah kolom rc : Jumlah kolom dan baris r : Jumlah baris STAT 2 Hal. 18
JKG = JKT - JKB - JKK Analisis ragam dalam klasifikasi dua arah tanpa interaksi : Sumber Keragaman Jumlah Kuadrat Derajat Bebas Kuadrat Tengah Nilai Tengah Baris JKB r 1 S 2 1 = JKB / (r-1) Nilai Tengah Kolom JKK c - 1 S 2 2 = JKK / (c-1) Galat JKG (r-1)(c-1) S 2 3 = JKG / (r-1)(c- 1) Total JKT rc - 1 F. Hitung ƒ1= S 2 1 / S 2 3 ƒ2= S 2 2 / S 2 3 2). Dengan Interaksi r c n T 2.. JKT = X 2 ijk - i=1 j=1 k=1 rcn JKK = j=1 - c T 2 j T 2.. rn rcn JKB = i=1 - r T 2 i T 2.. cn rcn r c r c T 2 ij T 2 i.. T 2 j.. T 2.. JK(BK) = i=1 j=1 - i=1 - j=1 + n cn rn rcn JKG = JKT - JKB JKK JK(BK) STAT 2 Hal. 19
Analisis ragam dalam klasifikasi dua arah dengan interaksi : Sumber Keragaman Jumlah Kuadrat d.b Kuadrat Tengah F. Hitung Nilai Tengah Baris JKB r - 1 S 2 1 = JKB (r-1) Nilai Tengah Kolom JKK c - 1 S 2 2 = JKK (c-1) Interaksi JK(BK) (r-1)(c-1) S 2 3 = JK(BK) (r-1)(c-1) Galat JKG rc(n-1) S 2 4 = JKG rc(n-1) Total JKT rcn - 1 ƒ1= S 2 1 S 2 4 ƒ2= S 2 2 S 2 4 ƒ3= S 2 3 S 2 4 II. LANGKAH-LANGKAH PENGUJIAN HIPOTESIS Langkah - langkah dalam pengujian hipotesis dalam Distribusi F / Anova dengan klasifikasi satu arah atau dua arah adalah sbb : 1. Tentukan Ho dan Ha Ho : µ1 = µ2 = µ3 =... = µn Ha : sekurang-kurangnya dua nilai tengah tidak sama 2. Tentukan tingkat signifikan (α) 3. Tentukan derajat bebas (db) a. Klasifikasi 1 arah data sama V 1 = k-1 V 2 = k (n-1) b. Klasifikasi 1 arah data tidak sama V 1 = k-1 V 2 = N - k c. Klasifikasi 2 arah tanpa interaksi V 1 (baris) = b-1 V 1 (kolom) = k-1 V 2 = (k-1) (b-1) d. Klasifikasi 2 arah dengan interaksi V 1 (baris) = b-1 V 1 (kolom) = k-1 V 1 (interaksi) =(k-1) (b-1) V 2 = b.k (n-1) Ket : k = kolom ; b = baris 4. Tentukan wilayah kritis (F tabel) ƒ > (α ; V1 ; V2) 5. Nilai hitung (F hitung) 6. Keputusan 7. Kesimpulan Ho Ha STAT 2 Hal. 20
CONTOH SOAL ANOVA 1. Satu arah data sama. Dari 5 sampel produk sepatu yang diberikan kepada 25 orang, dilakukan pencatatan tentang berapa lama produk-produk tersebut tahan lama. Ke-25 orang itu dibagi secara acak ke dalam 5 grup dan masing-masing grup diberi satu produk sepatu. Data yang diperoleh dicantumkan dalam produkproduk sbb: PRODUK SEPATU Kappa Bata Nike Adidas Tomkins 5 9 3 2 7 4 7 5 3 6 8 8 2 4 9 6 6 3 1 4 3 9 7 4 7 Total 26 39 20 14 33 132 Nilai Tengah 5.2 7.8 4.0 2.8 6.6 5.28 Lakukanlah analisis ragam atau anova dan uji hipotesis pada taraf nyata 0,05, bahwa nilai tengah ketahanan dari ke-5 produk sepatu tersebut adalah sama / tidak beda. Jawab 1. Ho : µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5 Ha 2. α = 0.05 : Sekurang-kurangnya dua nilai tengah tidak sama 3. Derajat bebas (db) V1 = k - 1 = 5-1 = 4 V2 = k(n - 1) = 5(5-1) = 20 4. Wilayah kritik : ƒ > ( 5% ; 4 ; 20 ) = 2,87 5. Nilai hitung : JKT = 5 2 + 4 2 +.. + 7 2 - (132) 2 = 834-696,96 = 137,04 25 JKK = ( 26 2 + 39 2 + + 33 2 ) ( 132) 2 = 776,4-696,96 = 79,44 JKG = 137,04-79,44 = 57,6 5 25 STAT 2 Hal. 21
Analisis ragam dalam klasifikasi satu arah Sumber Keragaman Jumlah Kuadrat db Kuadrat Tengah Nilai tengah kolom 79.44 4 19.86 Galat 57.6 20 2.88 Total 137.04 24 F. Hitung 6.9 Ho Ha 2.87 6.9 6. Keputusan : Tolak Ho, Terima Ha 7. Kesimpulan : Ketahanan atau keawetan untuk kelima produk sandal tersebut adalah tidak sama. 2. Satu arah data yang tidak sama Ada yang mengatakan bahwa mobil mewah dirakit lebih hati-hati dibandingkan dengan mobil murah. Untuk menyelidiki apakah pendapat ini beralasan, maka diambil tiga tipe mobil sebagai sampel: mobil sedan mewah besar A, sedan berukuran sedang B, dan sedan berukuran sedang C. Penelitian dilakukan untuk menyelidiki berapa banyaknya bagian yang cacat. Semua mobil tersebut diproduksi oleh pabrik yang sama. Data banyaknya mobil yang cacat dari ketiga tipe mobil tersebut adalah sbb: MOBIL A B C 4 5 8 7 1 6 6 3 8 6 5 9-3 5-4 - Total 23 21 36 80 Lakukanlah analisis ragam atau anova dan uji hipotesis pada taraf nyata 0.05, bahwa rata-rata banyaknya bagian yang cacat adalah sama untuk ketiga tipe mobil tersebut. Jawab: 1. Ho : µ1 = µ2 = µ3 Ha : sekurang-kurangnya dua nilai tengah tidak sama STAT 2 Hal. 22
2. α = 0.05 3. Derajat bebas (db) V1 = k - 1 = 3-1 = 2 V2 = N k = 15 3 = 12 4. Wilayah kritis : ƒ > ( 5% ; 2 ; 12 ) = 3,89 5. Nilai hitung : JKT = 4 2 + 7 2 +... + 5 2 - (80) 2 = 65,333 15 JKK = ( 26 2 + 21 2 + 33 2 ) - (80) 2 = 38,283 4 6 5 15 JKG = 65,333-38,283 = 27,050 Analisis ragam dalam klasifikasi satu arah Sumber Keragaman Jumlah Kuadrat db Kuadrat Tengah Nilai tengah kolom 38,283 2 19,142 Galat 27,050 12 2,254 Total 63,333 14 Modul Praktikum F. Hitung 8,49 Ho Ha 3.89 8.49 6. Keputusan : Tolak Ho, Terima Ha 7. Kesimpulan : Rata-rata banyaknya bagian yang cacat untuk ketiga model tersebut adalah tidak sama. 3. Dua arah dengan interaksi Suatu penelitian terhadap tanaman padi sedang dilakukan. Penelitian ini mengambil sampel hasil pupuk sebanyak tiga kali terhadap tiap-tiap varitas padi. Berikut data-datanya (hasil per petak dalam kg padi): Jenis Pupuk Varitas Padi P 1 P 2 P 3 64 72 74 Urea 1 66 81 51 70 64 65 STAT 2 Hal. 23
65 57 47 Urea 2 63 43 58 58 52 67 59 66 58 Urea 3 68 71 39 65 59 42 58 57 53 Urea 4 41 61 59 46 53 38 Gunakan Taraf nyata 5 %, untuk melakukan pengujian hipotesis Anova, bahwa : (a). apakah ada perbedaan antara keempat jenis pupuk tersebut! (b). apakah ada persamaan antara ketiga jenis varitas padi tersebut! (c). adakah interaksi diantara jenis pupuk dengan varitas padi! Jawab 1. (a) Ho : α1 = α2 = α3 = α4 = 0 ( Pengaruh kolom adalah nol ) (b) Ho : β1 = β2 = β3 = 0 ( pengaruh baris adalah nol ) (c). Ho : (αβ)12 = (αβ)12 = = (αβ)43 = 0 (a) Ha : Sekurang-kurangnya satu αi tidak sama dengan nol (b) Ha : Sekurang-kurangnya satu βj tidak sama dengan nol (c). Ha : Sekurang-kurangnya satu (αβ)ij tidak sama dengan nol 2. α = 0,05 3. Derajat bebas (db) V1 (kolom) = k - 1 V3 (interaksi) = (k - 1).(b - 1) = 3 1 = 2 = (3-1).(4-1) = 6 V1 (baris) = b - 1 V2 = r c (n-1) 4. Wilayah kritik : = 4 1 = 3 = 4.3 (3-1) = 24 (a). ƒ1 > (5% ; 2 ; 24) (b). ƒ2 > (5% ; 3 ; 24) (c). ƒ3 > (5% ; 6 ; 24) ƒ1 > 3.40 ƒ2 > 3.01 ƒ3 > 2.51 5. Nilai hitung: JKT = ( 64 2 + 66 2 + + 38 2 )- (2110) 2 = 127.448 123.669 = 3.779 36 JKB =( 607 2 + 510 2 + 527 2 + 466 2 ) - (2110) 2 = 124.826 123.669 =1.157 9 36 STAT 2 Hal. 24
JKK = ( 723 2 + 736 2 + 651 2 ) (2110) 2 = 124.019 123.669 = 350 12 36 JK (BK) = 200 2 + 186 2 + + 150 2-124826 124019 + 123669 = 771 3 KG = 3779 1157 350 771 = 1501 Analisis ragam dalam klasifikasi dua arah dengan interaksi : Modul Praktikum Sumber Jumlah Kuadrat db Kuadrat F Hitung keragaman tengah Nilai Tengah Baris 1157 3 385.667 ƒ1 = 6.17 Nilai Tengah Kolom 350 2 175.000 ƒ2 = 2.80 Interaksi 771 6 128.500 ƒ3 = 2.05 Galat 1501 24 62.542 Total 3779 35 6. Keputusan : (a). Terima Ho,Tolak Ha (b). Tolak Ho,Terima Ha (c).terima Ho,Tolak Ha 7. Kesimpulan : (a). Tidak ada beda hasil rata-rata untuk ketiga varitas padi tersebut (b). Ada perbedaan hasil rata-rata untuk keempat jenis pupuk yang digunakan. (c). Tidak ada interaksi antara jenis pupuk yang digunakan dengan varitas padi yang ada. 4. Dua arah tanpa interaksi Diketahui hasil gandum dalam kilogram per petak : Jawab Ho Ha Ho Ha Ho Ha 2.80 3.40 3.01 6.17 2.05 2.51 Jenis Pupuk Total Varietas Gandum Urea-1 Urea-2 Urea-3 UB-10 64 72 74 210 UB-20 55 57 47 159 UB-30 59 66 58 183 UB-40 58 57 53 168 Total 236 252 232 720 1. (a) Ho : α1 = α2 = α3 = α4 = 0 ( Pengaruh baris adalah nol ) (b) Ho : β1 = β2 = β3 = 0 ( pengaruh kolom adalah nol ) STAT 2 Hal. 25
(a) Ha (b) Ha 2. α = 0,05 3. Derajat bebas (db) : Sekurang-kurangnya satu αi tidak sama dengan nol : Sekurang-kurangnya satu βj tidak sama dengan nol V1 (baris) = b - 1 = 4 1 = 3 V2 = (k - 1).(b - 1) V1 (kolom) = k - 1 = 3 1 = 2 4. Wilayah kritik : = (4-1).(3-1) = 6 (a). ƒ1 > (5% ; 3 ; 6) = ƒ1 > 4.76 (b). ƒ2 > (5% ; 2 ; 6) = ƒ2 > 5.14 5. Nilai hitung: JKT = ( 64 2 + 55 2 + + 53 2 ) - (720) 2 = 662 JKB = ( 210 2 + 159 2 + 183 2 + 168 2 ) - (720) 2 = 498 12 3 12 JKK = ( 236 2 + 252 2 + 232 2 ) - (720) 2 = 56 JKG = 662-498 - 56 = 108 4 12 Analisis ragam dalam klasifikasi dua arah tanpa interaksi : Sumber keragaman Jumlah db Kuadrat F Hitung Kuadrat tengah Nilai Tengah Baris 498 3 166 ƒ1 = 9.22 Nilai Tengah Kolom 56 2 28 ƒ2 = 1.56 Galat 108 6 18 Total 662 11 Modul Praktikum Ho Ha Ho Ha 4.76 9.22 1.56 5.14 6. Keputusan : (a). Tolak Ho, Terima Ha (b). Terima Ho, Tolak Ha 7. Kesimpulan : (a).ada beda rata-rata hasil untuk ketiga varitas gandum tersebut. (b).tidak ada beda rata-rata hasil gandum bila menggunakan ke 4 pupuk di atas STAT 2 Hal. 26