BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Perkembangan ilmu pengetahuan matematika dan penerapannya dalam berbagai bidang keilmuan selalu mencari metode baru untuk memudahkan dalam memprediksi dan menaksir parameter-parameter dari data untuk menyelesaikan beragam permasalahan yang semakin kompleks dan rumit Maksud utama dari banyak analisis menunjukkan bagaimana jawaban ratarata di buat oleh beberapa covariat. Kadang-kadang tidak cukup informasi tentang data untuk menentukan suatu model data. Bagaimanapun, dimungkinkan bisa untuk menentukan beberapa dari keistimewaan data. Sebagai contoh, i Apakah data kontinu atau diskrit. ii Bagaimana rata-rata atau nilai tengah dibuat oleh Stimulan eksternal. iii Bagaimana variable jawaban berubah dengan jawaban rata-rata. iv Apakah pengamatan itu independen. v Apakah jawaban dari distribusi tidak simetris. Dikembangkan analisis berdasarkan pada penaksiran likelihood. Dikonsentrasikan pada hal dimana observasi adalah independen, tetapi perluasan dapat dibuat termasuk korelasi diantara titik-titik data. Sering penaksiran parameter mempertimbangkan suatu intuisi. Perkiraan X pasti kelihatannya pantas sebagai suatu perkiraan dari suatu populasi rata-rata µ. Berdasarkan atas S 2 sebagai suatu perkiraan dari σ 2 adalah X. Perkiraan untuk suatu parameter binomial p adalah hanya suatu ukuran sampel, yang tentu adalah suatu rata-rata dan mempertimbangkan berdasarkan penalaran logika. Tetapi ada banyak situasi yang tidak semua nyata apakah perkiraan tepat dilakukan. Dalam statistika, filosofi berbeda menghasilkan metode perkiraan berbeda. Fungsi quasi-likelihood diperkenalkan oleh Wedderburn (1974), digunakan untuk menaksir parameter-parameter yang tak diketahui dalam model linear secara umum. Gagasan dari quasi-likelihood memperlemah asumsi bahwa diketahui dengan tepat 1
2 distribusi komponen acak di dalam model, dan menggantikannya oleh suatu asumsi tentang bagaimana perubahan varian dengan rata-rata. Dalam statistika, perkiraan quasi-likelihood adalah satu cara yang membolehkan untuk overdispersi. Kebanyakan sering digunakan dengan model-model untuk perhitungan data atau kelompok data biner, data sebaliknya menggunakan model Poisson atau distribusi binomial. Fungsi-likelihood menggambarkan suatu fungsi yang mempunyai kemiripan sifat dengan fungsi log-likelihood, kalau tidak suatu fungsi quasi-likelihood adalah bukan log-likelihood yang cocok untuk banyak distribusi probabilitas yang sebenarnya. Model quasi-likelihood dapat dicocokkan menggunakan suatu perluasan algoritma tepat digunakan untuk model linier yang umum. Hanya suatu hubungan antara mean dan varians sebagai pengganti menentukan suatu distribusi probabilitas untuk data dikhususkan pada bentuk dari suatu fungsi varians, diberikan varians sebagai suatu fungsi dari mean. Umumnya, fungsi ini diberikan termasuk suatu perkiraan faktor yang dikenal sebagai parameter overdispersi atau parameter skala yang diperkirakan dari data. Biasanya, fungsi varians adalah suatu bentuk seperti bahan perluasan parameter overdispersi pada kesatuan hasil dalam varians-mean berhubungan dengan suatu distribusi probabilitas yang nyata seperti Binomial atau Poisson. Fungsi quasi-likelihood bisa digunakan untuk memperkirakan dalam cara yang sama seperti fungsi likelihood yang umum. Wedderburn (1974) dan McCullagh (1983) menunjukkan bahwa perkiraan quasi-likelihood maksimum mempunyai banyak kemiripan sifat tertentu untuk diteliti, perkiraan quasi likelihood maksimum dari vektor β (vektor dari parameter-parameter dalam model regresi) adalah suatu normal asimptotis dengan rata-rata β, dan kovarians asymptotic bisa berasal dari cara yang umum dari turunan kedua matriks dari fungsi quasi-likelihood. Juga, jika distribusi dasar datang dari suatu keluarga eksponensial alami dari perkiraan quasi-likelihood maksimum memaksimalkan fungsi likelihood dan demikian itu mempunyai penuh keefisienan asimptotik. Di bawah distribusi-distribusi yang lebih umum sekitar hilangnya efisiensi, yang telah diselidiki oleh Firth (1987) dan Hill & Tsai (1988). Metode likelihood maksimum adalah fungsi likelihood yang berukuran maksimum yang merupakan suatu metode statistik populer digunakan untuk mencocokkan model statistika untuk data, dan menetapkan perkiraan-perkiraan untuk parameterparameter model.
3 Perkiraan quasi-likelihood maksimum menggambarkan satu dari kebanyakan pendekatan penting untuk perkiraan dalam semua dari kesimpulan statistik. Diperkenalkan perkiraan-perkiraan quasi-likelihood maksimum dari parameterparameter tidak diketahui dari distribusi Pareto dan metoda baru yaitu perkiraan quasi-bayesian. Sejauh dicocokkan model menggunakan likelihood maksimum dengan maksud mengira bahwa ada suatu kemungkinan model untuk data. Tujuannya menentukan suatu mekanisme generasi data sebagai contoh data terdiri dari menghitung kejadian dalam suatu proses Poisson. Agar dikemukakan seperti suatu mekanisme, dibutuhkan ilmu pengetahuan dari proses-proses fisik petunjuk untuk data, atau pengalaman penting dengan data serupa. Suatu metode baru dari penerapan ilmu pengetahuan matematika diperkenalkan oleh Youssef (2009), yang meneliti kemungkinan penggunaan fungsi quasi-likelihood dalam pendekatan Bayesian yang kemudian dinamakan dengan perkiraan quasi likelihood. Metode ini mengurangi perkiraan Bayesian biasa jika distribusi itu adalah suatu anggota dari keluarga eksponensial. Digunakan perkiraan-perkiraan quasi-likelihood maksimum dari parameter-parameter tak diketahui dari distribusi Pareto dan metode penaksiran quasi-bayesian. Fungsi likelihood untuk parameter distribusi Pareto berguna dalam menemukan penaksir untuk α dan menentukan dimana bernilai nol. Penaksir likelihood maksimum untuk α juga dapat menaksir kesalahan pengiraan statistik. Distribusi Pareto menjadi pilihan, menurut Nolan (1998), distribusi Pareto merupakan distribusi yang digambarkan dari parameterparameter stabil yang umum, sehingga berperan untuk mendiagnosa distribusi yang stabil. Selanjutnya menurut Youssef (2009), data Pareto berperan dalam penaksiran Bayesian dan quasilikelihood, sehingga dapat diketahui perbedaan antara koefisien dari variasi penaksiran Bayesian dan penaksiran quasi- Bayesian dengan perbedaan ukuran sampel dan nilai dari parameter prior dan dapat diketahui tingkat efisiensi dari penaksiran quasi-bayesian dari parameter α ketika k diketahui dan parameter k ketika α diketahui. Hal inilah yang mendasari penulis dalam tesis ini memilih quasi-likelihood dan quasi-bayesian untuk menaksir parameter dalam distribusi Pareto. 1.2 Permasalahan
4 Kesulitan dalam memprediksi dan menaksir parameter-parameter dengan caracara lain dari data yang ada mendorong penulis untuk membahas penggunaan metode fungsi quasi-likelihood untuk penaksiran parameter dalam distribusi Pareto dan memfokuskan pada estimasi Bayesian untuk parameter parameter Pareto dan efisiensi dari estimasi quasi-bayesian. 1.3 Tujuan Penelitian Tesis ini bertujuan untuk meninjau kemungkinan pemakaian fungsi quasi-likelihood dalam pendekatan Bayes untuk penaksiran parameter dalam distribusi Pareto. 1.4 Manfaat Penelitian Melalui tulisan ini diharapkan agar pemakaian fungsi quasi-likelihood dalam pendekatan Bayes dapat dimanfaatkan dalam hal-hal yang berkaitan dengan penaksiran yang bertepatan dengan ilmu sosial, ekonomi, sains, geofisika, maupun bidang lainnya. 1.5 Metodologi Penelitian Dalam proses penyusunan tesis ini ditunjukkan untuk lebih mengenal hubungan antara fungsi quasi-likelihood, metode Bayesian dan model linier yang digunakan untuk penaksiran parameter dalam distribusi Pareto. Tesis ini membahas penaksiran Bayesian dan quasi-likelihood untuk data Pareto dan juga efisiensi dari perkiraan quasi-bayesian dari data parameter. Konseptualisasi proses penulisan tersebut kemudian dituangkan menjadi suatu metode penelitian dengan analisis observasi dan pengumpulan data melalui studi pustaka yang diperlukan untuk melukiskan fenomena tersebut. Oleh karena itu metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah Deskriptis-Analitis. Sesuai dengan anggapan dasar dalam penulisan tesis ini bahwa deskripsi yang dimaksudkan menggambarkan metode penaksiran Bayesian menggunakan fungsi quasilikelihood yang digunakan untuk menaksir parameter-parameter untuk data Pareto serta mengintepretasikannya dalam suatu hasil tesis, sehingga dapat dilakukan penarikan dan penyusunan suatu kesimpulan. Sebagai suatu proses, penulis melaksanakan penyusunan tesis ini dengan tahapan-
5 tahapan tertentu yang dibuat pada suatu alur kegiatan metode kerja penelitian yang diperlihatkan pada gambar dibawah ini : Gambar 1.1 : Alur Kegiatan Metode Kerja Penelitian