Peerapa Teor Lmt Pusat Multvarat pada Pegedala Proses Pelayaa d Polklk Rawat Jala Rumah akt Umum Kardah Tegal Isa, M. PMTK FKIP Uv. Pacasakt Tegal sa@yahoo.com Abstrak Baga kedal adalah alat yag lazm dguaka utuk pegedala proses dalam ragka mejaga kualtas suatu produk. Baga kedal yag melbatka bayak varabel karakterstk, damaka baga kedal multvarat. Pegedala proses pada dustr jasa, sergkal ddasarka pada karakterstk kualtas yag berupa varabel kualtatf terurut. Dalam hal dperluka suatu pedekata sehgga baga kedal stadar tetap bsa dguaka. Peelta membahas megea peerapa Dall Lmt Pusat Multvarat pada masalah tersebut. Aplkas dar masalah datas dterapka pada proses pelayaa d Rawat Jala Rumah akt Umum Kardah Tegal, dar proses tersebut dtemuka adaya sgal out of cotol pada teras pertama.. Kata kuc : Baga Kedal Multvarat, Pegedala Proses, Varabel Kualtatf terurut, Dall Lmt Pusat Multvarat I.Pedahulua.Latar belakag Kualtas atau mutu merupaka salah satu faktor yag sagat dperhat-ka oleh pasar atau kosume dalam memutuska utuk megguaka produk suatu perusahaa/sttus. Oleh karea tu bag perusahaa / sttus mutlak dperluka usaha utuk megkatka kualtas produk yag dmlkya. Utuk mejaga da megkatka kualtas produk, salah satu usaha yag basa dlakuka adalah dega megedalka proses produks. Kualtas produk sergkal dtetuka oleh beberapa karakterstk yag salg berkata da dealya semua karakterstk kualtas produk dapat terpeuh. Namu pada praktekya sagat sult. Hal dkareaka adaya varabltas dar proses produks yag tdak dapat dhdar. Utuk tu dalam melakuka pegedala proses dperluka cara atau metode sebaga usaha utuk megurag varabltas dalam proses.
Alat pegedala proses secara statstk (tatstcal Proses Cotrol) yag sudah dkeal adalah Baga Kedal. Baga kedal utuk pegedala proses yag melbatka bayak varabel karakterstk damaka baga kedal multvarat. Dega baga kedal maka proses dapat dkotrol dega efektf da dapat meetuka perubaha-perubaha yag dperluka jka baga kedal medeteks adaya out of cotrol, yag dtada dega adaya ttk d luar batas baga kedal. Pegedala proses pada perusahaa / sttus yag bergerak dalam bdag jasa, sergkal ddasarka pada karakterstk kualtas yag berupa varabel kualtatf terurut. Beragkat dar feomea lah, peelta dtuls sebaga solus apabla kta meghadap / meaga pegedala proses yag melbatka data kualtatf terurut multvarat. epert kasus yag terjad pada proses pegedala pelayaa d rumah sakt umum salah satuya Rumah akt Umum Kardah Tegal pada rawat jala, yatu faktor kualtas pelayaa yag dtjau adalah dar seg kepuasa pase yag berobat ke Rumah akt Umum Kardah Tegal pada polklk rawat jala atas pelayaa dokter/perawat...tujua Dalam peelta, aka dbahas megea pegguaa Baga Kedal Multvarat pada pegedala proses pelayaa d polklk rawat jala rumah akt Umum Kardah Tegal, dmaa data multvarate yag dmlk adalah data terurut yatu proses pelayaa dokter da perawat. II.Metode Peelta Peelta dlakuka d Rumah akt Umum Kardah Tegal d polklk rawat jala selama satu bula. emua pase yag datag ke polklk rawat jala Rumah akt Umum Kardah Tegal. etap harya pase yag datag ke plolklk Rawat Jala Rumah akt Umum Kardah Tegal sektar sampa 3 pase tap dalam peelta yag dguaka pase yag datag sektar pkul 8. sampa pukul. dmaa kegata dokter da pase pada saat
waktu sbuk da setap harya yag dguaka 5 pase yag dambl dar seluruh polklk yag ada d rumah sakt umum kardah Tegal... Baga Kedal Multvarat Dalam pembuata baga kedal multvarat, de yag dkembagka adalah metrasformaska matrks data hasl pegukura berdasarka p-varabel karakterstk mutu ke suatu la skalar utuk setap subgrup. ehgga pegamata dlakuka dega memplot la skalar tersebut pada baga kedal. Perhatka lustras d bawah. Msalka matrks data utuk subgrup ke- adalah Trasformas statstk Hotellg M mejad skalar basaya dlakuka dega megguaka T. Jad M dtrasformaska mejad dplot pada baga kedal utuk =,,, m Berkut lagkah-lagkah dalam membuat baga kedal Hotellg.Matrks data yag dmlk utuk setap subgrup, T da kemuda T : p p p ; =,,...,m. Utuk setap subgrup, htug vektor mea ( ) ke- : d maa p j. k kj ; dega j =,,...,p ; =,,...,m. Utuk setap subgrup, htug matrks varas-kovaras ( ) ke- : p p,,...,p ; =,,...,m p p pp d maa. jj l lj j da j,k =
m j j 3. Htug vektor grad mea ( ) : d maa. m 4. Htug rata-rata matrks varas-kovaras : p p p p pp m d maa. kj kj m t 5. Htug tatstk Hotellg : T... 6. Tetuka batas kedal (cotrol lmt) : ; j,k =,,...,p p.( m ).( ) UCL. F, p, mm p da LCL m. m p utuk =,,...,m 8.Buat baga kedal dega batas atas = UCL da batas bawah = LCL, kemuda plot la-la. Probablty Plotg T, =,,...,m Probablty Plot merupaka salah satu metode utuk meyeldk apakah sampel yag dmlk sesua dega dstrbus yag dasumska. Kosep dar metode adalah membuat plot atara sampel terurut dega masg-masg la ekspektasya. Apabla sampel yag dmlk medukug dstrbus yag dasumska maka plot yag dhaslka aka membetuk suatu gars lurus melalu (,) da mempuya koefse arah. Pada sub bab sebelumya telah djelaska megea statstk terurut beserta la ekspektasya, utuk la-la ekspektas dar dstrbus yag tdak dapat dtetuka secara tepat, la ekspektasya dapat dperoleh dega pedekata yag serg dguaka yatu :, 5 X F,,,...,, 5 dmaa F adalah la yag E ( ) memeuh persamaa, 5 f (u )du dmaa f(u) adalah fugs kepadata peluag dar dstrbus yag d asumska. ;
.3.Cara membuat Probablty Plottg Msalka terdapat X,X,...,X sampel acak, lagkah-lagkah yag dlaku-ka sebaga berkut : Betuk statstk terurut, X ( ) X ( ) X ( ).Htug la ekspektas dar masg-masg sampel X ( ) berdasarka. pedekata, yatu :, 5 X F,,,..., E ( ) dega F adalah fugs dstrbus dar dstrbus yag dasumska.plot masg-masg sampel terurut X ( ) dega la ekspektasya, dega sumbu medatar meyataka sampel terurut X ( ) da sumbu tegak meyataka la ekpektasya. 3.Jka plot yag dhaslka membetuk sebuah gars lurus yag melalu (,) da memlk koefse arah, maka dapat dkataka bahwa sampel yag ada medukug dstrbus yag dasumska. etelah membuat plot, pertayaa yag tmbul kemuda adalah ukura apa yag dpaka sehgga kta bsa megataka bahwa ttk-ttk plot yag dhaslka pada probablty plottg membetuk sebuah gars lurus..4. Uj Kelera alah satu ukura yag dguaka utuk meguj apakah hasl plot membetuk suatu gars lurus adalah dega meguj hubuga lear atara data terurut dega la ekspektasya. Metode serg dsebut dega uj keleara. Utuk membahas uj kelera, aka dbahas megea korelas. Koefse korelas atara dua buah peubah acak X da Y, dsmbolka XY meujuka hubuga lear atara peubah acak tersebut. Nla dar XY adalah XY. Jka XY = maka dkataka kedua peubah acak X da Y tdak berhubuga lear. Jka XY acak X da Y mempuya hubuga lear yag sempura. Defs. = + maka dkataka kedua peubah
Msalka X,Y ); =,,, meyataka sampel acak bvarat, maka ( koefse korelas sampel atara X da Y adalah R ( X ( X X )(Y X ) Y ) (Y Y ) d maa X X rata-rata sampel dar Y.5 Uj Korelas adalah rata-rata sampel dar X da Y Y adalah etelah meghtug koefse korelas sampel R, aka duj keberarta la R tersebut. Hpotess yag duj H : X da Y tdak berhubuga lear H : X da Y berhubuga lear Atau ekvale dega H : = da H : R tatstk Peguj utuk hpotess d atas adalah : T R dmaa T berdstrbus studets-t dega derajat kebebasa - ( T ~ t ) Pada peguja datas, utuk tgkat sgfkas, H dtolak jka III. Hasl da Pembahasa T t ; Permasalaha pegedala proses yag dguaka dalam stud kasus adalah proses pelayaa yag dberka oleh Polklk Rawat jala Rumah akt Umum Kardah Tegal yag terletak d jala ulta Agug Tegal. Faktor kualtas pelayaa yag dtjau adalah dar seg kepuasa pase yag berobat. 3.. Data Pegambla data dlakuka dega meyebarka kuesoer kepada pase yag telah berobat ke Polklk Rawat jala Rumah akt Umum Kardah Tegal setap har. Data dar kuesoer berupa skap pase terhadap pertayaa yag
berkata dega kepuasa pase. Dalam hal terdapat 9 pertayaa. varabel peetu kepuasa pelayaa, yatu : a. Resposveess of servce b.peed of servce c. Professoalsm d.overall satsfacto wth servce Adapu jawaba yag mugk dar setap peryataa adalah sebaga berkut : - sagat tdak setuju (skor = ) - tdak setuju (skor = ) - etral (skor = 3) - setuju (skor = 4) - sagat setuju (skor = 5) elama pegambla data, haya har yag aka dolah dalam stud kasus (bayakya data tap har adalah 5 data/respode).jad dalam stud kasus, sampel () dar tap subgrupya dambl sama yatu 5 observas dega tap observas bers 9 eleme, dega kata la matrks data yag dmlk adalah sebayak subgrup dega masg-masg subgrup berupa matrks berukura 5 9. Ilustras : M 59 5, 5, 9 9 5,9 ; =,,, 3. Pembuata baga kedal Utuk membuat baga kedal, dlakuka lagkah-lagkah sebaga berkut : Lagkah. Htug vektor mea sampel utuk setap subgrup ke- ( ), =,,, da vektor grad mea ( ), haslya dberka oleh tabel berkut : Tabel 5. Vektor Mea sampel utuk tap ubgrup 3 4 5 6 7 8 9 3,88 3,6 3,7 3,3 3,48 4,36,64 3,6 3,8 3,44 3,48 3,68 3,96 3,6 3,6 4,8,8 3,4 3 3,43 3,44 3, 3,68 3,96 3,44 3,5 3,6 3,5 3,6,5 3,396 4,6 4 4,8 4,8 4,6 4 3,48 3,88 3,7 3,4 3,96 4,5 4, 4,44 4,4 4,5 4, 3,68 3,3 4,56 4,36 4,88 4,4 4, 4,64 4,8 4,8 4, 3,6 3,3 4,48 4, 4,8 4,4 4, 4,6 4,5 4,6 4, 3,7 3,56 4,4 3,88 4,3 4,36 4 4,4 4,36 4,4 4,8 3,68 3,56 4, 4,4 4,56 4,36 3,96 4,8 4,3 4,8 3,48 3,7 3,4 4,6 4,4 3,98
T Berdasarka Dall Lmt Pusat yag telah dbahas sebelumya, maka ~ N(, populas d maa subgrup dambl Lagkah. ) ; =,,, dega adalah matrks varas-kovaras Htug matrks varas-kovaras sampel utuk setap subgrup ke- ( ), =,,, : Lagkah 3. Htug rata-rata matrks varas-kovaras ( ) da versya ( ) : Lagkah 4. t Htug statstk T... adalah sampel tap subgrup. Lagkah 5. ; =,,,. Dalam hal = 5 Tetuka batas atas da batas bawah baga kedal (UCL da LCL) p.( m ).( ) Karea T ~. F p ; mm p ; =,,,, maka m. m p p.( m ).( ) UCL. F m. m p 4.458 ; p; mm p da LCL = Lagkah 6. Plot data T ; =,,,, pada baga kedal dega batas atas da batas bawah yag telah dhtug pada lagkah sebelumya. 8 7 T 6 UCL=4,458 5 4 3 3 4 5 6 7 8 9 ubgrup Lagkah 7. Gambar 5.. Baga Kedal pada teras pertama
T Iterpretas dar hasl pembuata baga kedal d atas adalah : Dapat dlhat bahwa pada subgrup ke-3, ke-4, ke-7, ke-8 da ke- plot ttk jatuh dluar batas atas kedal, meujukka bahwa pada har ke-3, ke-4, ke- 7, ke-8 da ke- pelayaa yag dberka oleh polklk Rawat Jala Rumah akt Umum Kardah Tegal bsa dkataka dalam keadaa out of cotrol. Keadaa out of cotrol meujukka bahwa pada saat tu telah terjad perubahaa pola pelayaa yag sgfka dbadg har-har yag la.. Karea pelayaa yag sagat berbeda (bsa lebh bak atau lebh buruk), maka plot pada baga kedal tersebut aka memberka sgal out of cotrol. Gambar. memperlhatka ada ttk yag out of cotrol. Oleh sebab tu, proses start-up stage dlajutka dega megeluarka semua ttk tersebut. Haslya sebaga berkut : Lagkah 5 : Batas atas da batas bawah baga kedal (UCL da LCL) yag baru : p.( m ).( ) UCL. F m. m p 4.3 ; p; mm p da LCL = Lagkah 6 : Plot data yag baru. T ; =,,,5, pada baga kedal dega batas atas da batas bawah 8 6 4 8 6 4 3 4 5 6 T UCL=4,3 ubgrup Gambar 5. Baga Kedal pada teras kedua Lagkah 7 :
Pada Gambar, tampak tdak ada lag ttk yag terletak d luar batas kedal. Jad baga kedal lah yag atya dguaka sebaga baga kedal pada tahap pegedala proses. 3.3 Uj Keormala da uj kelera Berdasarka Dall Lmt Pusat Multvarat, vektor mea X ~ N(, ) utuk setap =,,,. Utuk tu perlu duj apakah data yag ada medukug peerapa Dall Lmt Pusat Multvarat tersebut. Dega perkataa la, apakah bear berlaku : p( m )( ) m m p m m p p( m )( ) T ~ F p ; mm p atau W T ~ Fp; mm p Jad aka duj apakah dstrbus megkut F p; mm p Berkut la-la m m p W T dapat dkataka p( m )( ) W yag bersesuaa dega la-la dhtug sebelumya (seluruh data dlbatka). T yag telah Peguja dlakuka dega membuat Probablty Plot da uj keleara pada la-la W 3.4 Probablty Plot ebelum membuat Probablty Plot, kta betuk terlebh dahulu statstk terurut dar W. ecara legkap lagkah-lagkah utuk membuat probablty plot adalah sebaga berkut : Lagkah. Betuk statstk terurut dar W : W( ) W() W() Lagkah. Htug la ekspektas dar masg-masg la W ( ), yatu : W E.5 ( ) F,,,...,
E(W) dega F adalah fugs dstrbus dar dstrbus F dega derajat kebebasa 9 da 3 (tuls F 9, 3 ). Nla ekspektas yag dperoleh : Lagkah 3. Plot masg-masg W () dega la ekpektasya, dega sumbu medatar meyataka la dar W () da sumbu tegakya meyataka la ekspektasya, dega persamaa lear da E[ W ].376W ( ) R.883 ( ).79 R sebaga berkut: 9 8 7 6 5 4 3 3 4 5 6 7 8 9 W Gambar 5.3. Probablty Plot pada teras pertama Utuk meguj apakah ttk-ttk pada Probablty Plot datas telah memeuh persamaa gars lurus yag melalu (,) dega koefse arah satu dlakuka uj keleara atara W () dega la ekspektasya. Uj Keleara Utuk meguj keleara, atara () berkut : Lagkah. Meghtug koefse korelas atara () Lagkah. W da E W () W da, lagkah-lagkahya sebaga E, dperoleh : R =,94 W () Meguj keberarta koefse korelas dega hpotess H : = ( () H : ( () W da W () W da E E tdak berhubuga lear) W () berhubuga lear) R m.94( 8) tatstk uj : T 7. 778 R (.883)
utuk =,5 dperoleh t tabel = t.5;8 =,75 sehgga T > t tabel. Maka H dtolak. Artya terdapat hubuga lear atara () W da Dar probablty plottg d atas dperoleh persamaa regres : E [ W )].376W ( ) (.79 E. sehgga koefse dar persamaa regres d atas adalah ˆ. 79 da ˆ.376. elajutya aka d uj :.Hpotess H : da H : W () ˆ,79 tatstk uj yag dguaka adalah : t. 54 s( ˆ ),7 utuk =,5 dperoleh t tabel = t.5;8 =,75 sehgga t < t tabel. Maka H tdak dtolak. Artya kostata persamaa regres tdak bsa daggap ol. Jad persamaa regres melalu (,). Hpotess H : da H : ˆ,376 tatstk uj yag dguaka adalah : t 6. 859 s( ˆ ),37 utuk =,5 dperoleh t tabel = t.5;8 =,75 sehgga t > t tabel. Maka H dtolak. Artya koefse arah dar persamaa regres tdak sama dega satu. Dar hasl peguja koefse regres, maka hasl Probablty Plottg membetuk gars lurus yag melalu (,) dega koefse arah tdak sama dega satu. Jad dstrbus m m p W T tdak dapat dkataka p( m )( ) megkut F p; mm p. I mugk dsebabka oleh adaya dua ttk yag out of cotrol. Oleh sebab tu, aka duj lag tapa melbatka kelma ttk tersebut. 3.4 Probablty Plottg Tapa Data out of cotrol Jka kedua ttk yag out of cotrol tu dkeluarka, aka dperoleh la la T atau W. Plot masg-masg W () dega la ekpektasya, dega sumbu medatar meyataka la dar W () da sumbu tegakya meyataka la ekspektasya, dega persamaa lear da R sebaga berkut:
E(W) E[ W ].44. W ( ) ( ).846 R.948 Da berkut adalah hasl Probablty Plottg atara () W da E W () 3,5,5,5,5,5,5 3 W Gambar 5.4. Probablty Plot pada teras kedua Dega melakuka hal yag sama sepert pada sub bab 3.3., kta dapatka la koefse korelas R =,974 da m = 5 karea tapa melbatka dua data out of R m.974 3 cotrol.tatstk Uj : T 3 R (.948) Utuk =,5 dperoleh t tabel = t.5;3 = 4.77 sehgga T lebh kecl dar t tabel ( T >> t tabel ). Maka H tdak dtolak. Artya tdak terdapat hubuga lear atara () W da E ˆ W () regres : E W.44. W. 846 ( ) ( ). Dar probablty plottg d atas dperoleh persamaa sehgga koefse dar persamaa regres d atas adalah ˆ, 846 da ˆ.44. elajutya aka d uj :. Hpotess H : da H : ˆ,846 tatstk uj yag dguaka adalah t. 73 s( ˆ ),84 utuk =,5 dperoleh t tabel = t.5;3 = 4.77 sehgga t > t tabel. Maka H dtolak. Artya kostata persamaa regres tdak bsa daggp ol.. Hpotess H : da H :
ˆ.44 tatstk uj yag dguaka adalah t. s( ˆ ),44 utuk =,5 dperoleh t tabel = t.5;3 = 4.77 sehgga t > t tabel. Maka H dtolak. Artya persamaa regres mempuya koefse arah tdak sama dega satu. Dar hasl peguja koefse regres, maka hasl Probablty Plottg membetuk gars lurus dega koefse arah tdak sama dega satu, da tdak melalu (,). Jad dar hasl Probablty Plottg belum bsa dkataka bahwa W m m p berdstrbus F p;mm p da juga berart bahwa p( m )( ) T vektor mea sampel berdstrbus lmt ormal. X utuk setap =,,,m belum bsa dkataka Dalam hal data yag kta memlk kurag medukug peerapa Dall Lmt Pusat. Multvarat IV. mpula da ara Dar uraa-uraa pada bab-bab sebelumya, beberapa kesmpula yag dapat dambl atara la :. Dall Lmt Pusat Multvarat dapat dterapka dalam pegedala proses terutama proses yag melbatka varabel kualtatf sebaga ukura peetua kualtas suatu proses.. Dalam meerapka Dall Lmt Pusat Multvarat perlu dlakuka peguja utuk melhat sejauh maa data medukug peerapa Dall Lmt Pusat Multvarat. Dega kata la, berapa agar Dall Lmt Pusat Multvarat bsa dpaka 3. gal out of cotrol pada pegedala proses yag ddasarka pada varabel kualtatf sebaga ukura kualtas meujukka ketdakstabla proses. Daftar Pustaka Aderso, T.W. (984); A Itroducto to Multvarate tatstcal Aalyss;
ecod Edto; Joh Wley & os, Ic; New York. Coover, W.J. (999); Practcal Noparametrc tatstcs; Thrd Edto; Joh Wley & os, Ic; New York. Hasb, uy Ibu (); Uj Keormala Mutvarat Melalu Trasformas Beta; Tugas Akhr; Departeme Matematka ITB. Hogg, Robert V. ad Crag, Alle T. (995); Itroducto to Mathematcal tatstcs; Ffth Edto; Pretce Hall, Ic; New Jersey. Ott, R. Lyma. (99); A Itroducto To tatstcal Methods Ad Data Aalyss; Fourth Edto; Dubury Press; Calfora. eber, G. A. F. (984); Multvarate Observatos; Joh Wley ad os; Toroto. Tukey, Joh. W. (977); Eploratory Data Aalyss; Addso - wesley Publshg Compay; ydey.