Bahan Kuliah LOGIKA Aljabar MATEMATIKA- Boolean Priode UTS-UAS DADANG MULYANA dadang mulana 22 ALJABAR BOOLEAN dadang mulana 22
Definisi Aljabar Boolean Misalkan terdapat - Dua operator biner: + dan - Sebuah operator uner:. - B : himpunan ang didefinisikan pada operator +,, dan - dan adalah dua elemen ang berbeda dari B. Tupel (B, +,, ) disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c B berlaku aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut: 3 dadang mulana 22 dadang mulana 22 4
Untuk mempunai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan:. Elemen-elemen himpunan B, 2. Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner, 3. Memenuhi postulat Huntington. 5 dadang mulana 22 Aljabar Boolean Dua-Nilai Aljabar Boolean dua-nilai: - B = {, } - operator biner, + dan - operator uner, - Kaidah untuk operator biner dan operator uner: a b a b a b a + b a a 6 dadang mulana 22
Cek apakah memenuhi postulat Huntington:. Closure : jelas berlaku 2. Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa: (i) + = + = (ii) = = 3. Komutatif: jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner. dadang mulana 22 7 4. Distributif: (i) a (b + c) = (a b) + (a c) dapat ditunjukkan benar dari tabel operator biner di atas dengan membentuk tabel kebenaran: b c b + c a (b + c) a b a c (a b) + (a c) a dadang mulana 22 8
(ii) Hukum distributif a + (b c) = (a + b) (a + c) dapat ditunjukkan benar dengan membuat tabel kebenaran dengan cara ang sama seperti (i). 5. Komplemen: jelas berlaku karena Tabel 7.3 memperlihatkan bahwa: (i) a + a =, karena + = + = dan + = + = (ii) a a =, karena = = dan = = Karena kelima postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {, } bersama-sama dengan operator biner + dan operator komplemen merupakan aljabar Boolean. dadang mulana 22 9 Ekspresi Boolean Misalkan (B, +,, ) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +,, ) adalah: (i) setiap elemen di dalam B, (ii) setiap peubah, (iii) jika e dan e 2 adalah ekspresi Boolean, maka e + e 2, e e 2, e adalah ekspresi Boolean Contoh: a b a + b a b a (b + c) a b + a b c + b, dan sebagaina dadang mulana 22
Mengevaluasi Ekspresi Boolean Contoh: a (b + c) jika a =, b =, dan c =, maka hasil evaluasi ekspresi: ( + ) = = Dua ekspresi Boolean dikatakan ekivalen (dilambangkan dengan = ) jika keduana mempunai nilai ang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah. Contoh: a (b + c) = (a. b) + (a c) dadang mulana 22 Contoh. Perlihatkan bahwa a + a b = a + b. Penelesaian: a b a a b a + a b a + b Perjanjian: tanda titik ( ) dapat dihilangkan dari penulisan ekspresi Boolean, kecuali jika ada penekanan: (i) a(b + c) = ab + ac (ii) a + bc = (a + b) (a + c) (iii) a, bukan a dadang mulana 22 2
Prinsip Dualitas Misalkan S adalah kesamaan (identit) di dalam aljabar Boolean ang melibatkan operator +,, dan komplemen, maka jika pernataan S* diperoleh dengan cara mengganti dengan + + dengan dengan dengan dan membiarkan operator komplemen tetap apa adana, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sebagai dual dari S. Contoh. (i) (a )( + a ) = dualna (a + ) + ( a ) = (ii) a(a + b) = ab dualna a + a b = a + b dadang mulana 22 3 Hukum-hukum Aljabar Boolean. H u k u m id e n tita s : ( i) a + = a ( ii) a = a 2. H u k u m id e m p o te n : ( i) a + a = a ( ii) a a = a 3. H u k u m k o m p le m e n : ( i) a + a = ( ii) a a = 5. H u k u m in v o lu s i: ( i) ( a ) = a 7. H u k u m k o m u ta tif : ( i) a + b = b + a ( ii) a b = b a 9. H u k u m d is tr ib u tif : ( i) a + ( b c ) = ( a + b ) ( a + c ) ( ii) a ( b + c ) = a b + a c 4. H u k u m d o m i n a n s i: ( i) a = ( ii) a + = 6. H u k u m p e n e r a p a n : ( i) a + a b = a ( ii) a ( a + b ) = a 8. H u k u m a s o s ia tif : ( i) a + ( b + c ) = ( a + b ) + c ( ii) a ( b c ) = ( a b ) c. H u k u m D e M o r g a n : ( i) ( a + b ) = a b ( ii) ( a b ) = a + b. H u k u m / ( i) = ( ii) = dadang mulana 22 4
Contoh 7.3. Buktikan (i) a + a b = a + b dan (ii) a(a + b) = ab Penelesaian: (i) a + a b = (a + ab) + a b (Penerapan) = a + (ab + a b) (Asosiatif) = a + (a + a )b (Distributif) = a + b (Komplemen) = a + b (Identitas) (ii) adalah dual dari (i) 5 dadang mulana 22 Fungsi Boolean Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari B n ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskanna sebagai f : B n B ang dalam hal ini B n adalah himpunan ang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B. dadang mulana 22 6
Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean. Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah f(,, z) = z + + z Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3 (,, z) ke himpunan {, }. Contohna, (,, ) ang berarti =, =, dan z = sehingga f(,, ) = + + = + + =. 7 dadang mulana 22 8 dadang mulana 22
Contoh. Diketahui fungsi Booelan f(,, z) = z, natakan h dalam tabel kebenaran. Penelesaian: z f(,, z) = z dadang mulana 22 9 Komplemen Fungsi. Cara pertama: menggunakan hukum De Morgan Hukum De Morgan untuk dua buah peubah, dan 2, adalah Contoh. Misalkan f(,, z) = ( z + z), maka f (,, z) = (( z + z)) = + ( z + z) = + ( z ) (z) = + ( + z) ( + z ) dadang mulana 22 2
2 dadang mulana 22 Bentuk Kanonik 22 dadang mulana 22
Minterm Materm Suku Lambang Suku Lambang m m m 2 m 3 + + + + M M M 2 M 3 23 dadang mulana 22 Minterm Materm z Suku Lambang Suku Lambang z z z m m m 2 + + z + + z + +z M M M 2 z m 3 + +z M 3 z m 4 + + z M 4 z m 5 + + z M 5 z m 6 + + z M 6 z m 7 + + z M 7 24 dadang mulana 22
dadang mulana 22 25 Contoh 7.. Natakan tabel kebenaran di bawah ini dalam bentuk kanonik SOP dan POS. Tabel 7. z f(,, z) dadang mulana 22 26
27 dadang mulana 22 28 dadang mulana 22
29 dadang mulana 22 LATIHAN. Buktikan bahwa untuk sembarang elemen a dan b dari aljabar boole: a+a b=a+b dan a(a +b)=ab 2. Cari komplemen dari fungsi : f(,,z)= (z + z) dengan cara de morgan dan prinsip dualitas 2. Natakan fungsi boolean f(,,z)=+ z dalam bentuk POS dan SOP dadang mulana 22
Konversi Antar Bentuk Kanonik 3 dadang mulana 22 32 dadang mulana 22
33 dadang mulana 22 Bentuk Baku Tidak harus mengandung literal ang lengkap. Contohna, f(,, z) = + + z (bentuk baku SOP f(,, z) = ( + z)( + + z ) POS) (bentuk baku 34 dadang mulana 22
Aplikasi Aljabar Boolean. Jaringan Pensaklaran (Switching Network) Saklar: objek ang mempunai dua buah keadaan: buka dan tutup. Tiga bentuk gerbang paling sederhana:. a b Output b hana ada jika dan hana jika dibuka 2. a b Output b hana ada jika dan hana jika dan dibuka 3. a b c Output c hana ada jika dan hana jika atau dibuka + dadang mulana 22 35 Contoh rangkaian pensaklaran pada rangkaian listrik:. Saklar dalam hubungan SERI: logika AND Lampu A B Sumber tegangan 2. Saklar dalam hubungan PARALEL: logika OR A Lampu B Sumber Tegangan 36 dadang mulana 22
2. Rangkaian Logika + ' Gerbang AND Gerbang OR Gerbang NOT (inverter) 37 dadang mulana 22 Contoh. Natakan fungsi f(,, z) = + ke dalam rangkaian logika. Jawab: (a) Cara pertama +' ' ' 38 dadang mulana 22
(b) Cara kedua +' ' ' (c) Cara ketiga +' ' ' 39 dadang mulana 22 Gerbang turunan ()' + Gerbang NAND Gerbang XOR (+)' ( + )' Gerbang NOR Gerbang XNOR 4 dadang mulana 22
( + )' ekivalen dengan + ( + )' ' ' '' ekivalen dengan (+)' ' ' ' + ' ekivalen dengan ()' 4 dadang mulana 22