Kajian mengenai Konstruksi Aljabar Simetris Kiri Menggunakan Fungsi Linier Sofwah Ahmad Departemen Matematika FMIPA UI Kampus UI Depok 16424 sofwahahmad@sciuiacid Abstrak Aljabar merupakan suatu ruang vektor yang dilengkapi dengan suatu operator bilinier yaitu suatu operator yang linier pada masing-masing argumennya Suatu aljabar dikatakan sebagai aljabar simetris kiri jika asosiator dari sembarang ketiga vektornya simetrik pada kedua argumen pertamanya Pada skripsi ini akan dibahas mengenai konstruksi aljabar simetris kiri melalui fungsi linier Pertama-tama akan dibahas mengenai konstruksi aljabar secara umum dimana pendefinisian operator bilinier pada aljabar akan melibatkan fungsi-fungsi linier Selanjutnya akan diberikan syarat bagi fungsi linier tersebut sedemikian sehingga aljabar yang telah dikonstruksi merupakan suatu aljabar simetris kiri Kata Kunci : aljabar aljabar simetris kiri fungsi linier operator bilinier 1 PENDAHULUAN Secara umum aljabar dikenal sebagai suatu himpunan yang dilengkapi dengan operasi-operasi yang didefinisikan pada himpunan tersebut dan sesuai dengan aturan-aturan tertentu (Webster's II New College Dictionary 1999) Akan tetapi ada juga yang mendefinisikan aljabar sebagai suatu ruang vektor atas suatu lapangan yang dilengkapi dengan operator bilinier dan memenuhi sifat-sifat tertentu Definisi aljabar inilah yang selanjutnya akan digunakan dalam skripsi ini Karena aljabar adalah suatu ruang vektor dengan operasi bilinier pembahasan aljabar tak luput dari istilah-istilah yang digunakan saat mempelajari ruang vektor contohnya seperti basis transformasi linier subruang dan direct sum Salah satu contoh aljabar yang cukup dikenal ialah aljabar simetris kiri Aljabar simetris kiri ialah aljabar yang asosiator dari sembarang ketiga vektornya simetris pada kedua argumen pertamanya Secara umum aljabar simetris kiri merupakan kelas dari aljabar yang nonasosiatif yang muncul dari beberapa studi salah satunya studi mengenai Aljabar Lie Seringkali pendefinisian aljabar simetris kiri melibatkan struktur yang tidak linier Dikarenakan nonasosiatif dan bentuknya yang secara umum tidak linier mempelajari aljabar simetris kiri tidaklah mudah (Bai 2004) Oleh karena itu masalah yang sering muncul ialah bagaimana cara mengkonstruksi aljabar simetris kiri tertentu untuk kemudian dipelajari sifat-sifatnya Untuk mempermudah aljabar simetris kiri akan dikonstruksi dengan menghilangkan struktur yang tidak linier Salah satu caranya ialah dengan melibatkan hanya fungsi-fungsi linier pada pendefinisian operator bilinier pada aljabar Dalam makalah ini akan dipelajari bagaimana cara mengkonstruksi aljabar simetris kiri melalui fungsi linier 2 METODE PENELITIAN Metode penelitian yang digunakan ialah studi literatur mengenai aljabar linier fungsional linier aljabar Aljabar Lie dan aljabar simetris kiri 3 HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam makalah ini akan dibahas mengenai konstruksi aljabar simetris kiri Namun sebelum membahas cara mengkonstruksi aljabar simetris kiri berikut akan diberikan definisi dari aljabar simetris kiri Sebagian besar definisi dan teorema yang digunakan dalam makalah ini mengacu pada Bai (2004) Kajian mengenai Sofwah Ahmad FMIPA UI 2012
Definisi 31 Suatu aljabar A dikatakan aljabar simetris kiri jika untuk sembarang A asosiator simetrik pada yaitu: atau ekivalen dengan (Bai 2004) Misalkan merupakan suatu aljabar berdimensi dan merupakan operator bilinier pada Karena merupakan operator bilinier pada maka untuk sembarang dua buah vektor di produk kedua vektor juga merupakan anggota dari sehingga produk kedua vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor tersebut Perhatikan bahwa skalar-skalar pada kombinasi linier tersebut merupakan anggota lapangan sehingga skalar-skalar tersebut dapat dinyatakan sebagai hasil peta dari fungsi yang bergantung pada kedua vektor yang bersangkutan Ini berarti bahwa untuk sembarang produk dapat dinyatakan sebagai (31) dimana merupakan fungsi bilinier Karena merupakan operasi bilinier dan merupakan fungsi bilinier mengakibatkan adanya evaluasi daerah definisi pada dan seperti yang akan dijelaskan pada lema di bawah ini Lema 32 Misalkan A merupakan aljabar dengan operator bilinier Misalkan pula untuk sembarang produk dapat dinyatakan sebagai dengan Maka hanya bergantung pada dan hanya bergantung pada Bukti Pembuktian akan dilakukan dengan pemilihan kasus-kasus yang mengandaikan bukan merupakan fungsi yang hanya bergantung pada atau bukan merupakan fungsi yang hanya bergantung pada berakhir pada kontradiksi dan Andaikan untuk dan masing-masing bergantung pada sembarang Karena dan Perhatikan bahwa untuk merupakan operator bilinier maka untuk setiap dan berlaku sehingga Persamaan di atas hanya berlaku jika atau atau atau Hal ini kontradiksi dengan dan pemilihan dan yang sembarang Bukti untuk kasus lainnya similar sehingga haruslah Maka dan hanya bergantung pada hanya bergantung pada Dari lema di atas terlihat bahwa untuk sembarang produk dapat dinyatakan sebagai dimana (32) merupakan fungsi linier Setelah mendapatkan representasi dari produk sembarang dua buah vektor pada aljabar melalui fungsi linier maka selanjutnya melalui Teorema 32 berikut akan didefinisikan kriteria fungsi linier yang akan mendefinisikan sebagai aljabar simetris kiri Teorema 33 Misalkan A adalah ruang vektor berdimensi merupakan dua buah fungsi linier Untuk setiap produk mendefinisikan aljabar simetris kiri jika dan hanya jika atau Lebih jauh lagi saat atau Persamaan mendefinisikan suatu aljabar yang asosiatif (Bai 2004) Bukti Perhatikan asosiator dan terlebih dahulu Kajian mengenai Sofwah Ahmad FMIPA UI 2012
Jika atau maka untuk setiap atau dengan kata lain terbukti bahwa merupakan aljabar simetris kiri Sekarang tinggal dibuktikan jika aljabar simetris kiri maka atau Atau secara ekivalen akan ditunjukan untuk setiap Misalkan untuk sembarang berlaku atau dengan kata lain berlaku maka untuk berlaku ( ) Jika maka persamaan terbukti benar Sekarang akan dibuktikan untuk berlaku untuk setiap Misalkan maka { } merupakan himpunan vektor yang bebas linier sehingga berdasarkan Teorema Perluasan Basis selalu dapat ditemukan dengan sedemikian sehingga { } merupakan himpunan vektor-vektor yang saling bebas linier sehingga untuk sembarang ( ) mengakibatkan dan Karena untuk sembarang dapat disimpulkan bahwa sehingga Jelas bahwa sehingga dapat disimpulkan bahwa Karena maka untuk setiap berlaku sehingga terbukti bahwa atau Berdasarkan teorema di atas terlihat bahwa atau merupakan syarat cukup dan syarat perlu bagi untuk dapat didefinisikan sebagai suatu aljabar simetris kiri Selanjutnya pada Akibat 35 dan Akibat 36 berikut akan dibahas sifat aljabar simetris kiri yang telah diperoleh berdasarkan Teorema 33 di atas dan isomorfisma dari Aljabar Lie Subadjacent dari Namun sebelumnya tinjau Lema berikut: Lema 34 Misalkan A merupakan ruang vektor atas lapangan bilangan kompleks berdimensi Jika merupakan fungsional linier tak nol maka terdapat { } basis dari sedemikian sehingga dan untuk Bukti Karena linier dan maka Berdasarkan rank plus nullity theorem diperoleh ( ) sehingga dapat dinyatakan sebagai dengan { } subruang dari dan Misalkan { } merupakan basis dari maka tanpa mengurangi keumuman misalkan { } merupakan basis dari dan { } basis dari Perhatikan dan untuk Pilih { } sebagai basis baru dari sehingga ( ) dan ( ) untuk Akibat 35 Misalkan merupakan aljabar berdimensi dengan definisi produk Kajian mengenai Sofwah Ahmad FMIPA UI 2012
untuk setiap dimana merupakan dua buah fungsi linier Didefinisikan dan untuk setiap Maka berlaku 1 Jika maka terdapat suatu basis 2 Jika maka terdapat suatu basis 3 Jika maka A adalah aljabar trivial yaitu aljabar yang seluruh produknya bernilai nol (Bai 2004) Bukti Ambil sembarang Berikut akan dibuktikan ketiga poin di atas satu persatu 1 Karena linier dan maka berdasarkan Lema 34 terdapat { } basis dari sedemikian sehingga dan untuk sehingga 2 Karena linier dan maka berdasarkan Akibat 224 terdapat { } basis dari sedemikian sehingga dan untuk sehingga 3 Jika maka untuk sembarang sehingga dapat disimpulkan bahwa merupakan aljabar trivial Akibat 36 Misalkan merupakan aljabar yang asosiatif berdimensi dengan definisi produk untuk setiap dimana dua fungsi linier Aljabar Lie Subadjacent dari A dengan atau isomorfik dengan Aljabar Lie 2-step solvable berikut : Dimana { (33) (Bai 2004) Bukti Misalkan } merupakan basis dari merupakan Aljabar Lie Subadjacent dari akan dibuktikan bahwa terdapat suatu pemetaan linier bijektif sedemikian sehingga untuk setiap Kasus 1 Pilih dimana { } merupakan basis dari sedemikian sehingga berlaku Akibat 35 dan { } merupakan basis dari Perhatikan bahwa bijektif sehingga untuk sembarang dengan berlaku Terbukti bahwa sehingga dapat disimpulkan bahwa isomorfik dengan Kasus 2 Pilih Kajian mengenai Sofwah Ahmad FMIPA UI 2012
dimana { } merupakan basis dari sedemikian sehingga berlaku Akibat 35 dan { } merupakan basis dari Perhatikan bahwa bijektif sehingga untuk sembarang dengan berlaku ) Terbukti bahwa merupakan pemetaan homomorfisma Karena telah terbukti bahwa terdapat isomorfisma antara dengan maka dikatakan isomorfis dengan Teorema 37 Misalkan adalah aljabar dengan operasi bilinier yang didefinisikan sebagai berikut Maka merupakan Aljabar Lie jika dan hanya jika untuk setiap (Bai 2004) Bukti Misalkan merupakan Aljabar Lie maka berdasarkan sifat untuk sembarang diperoleh Sedangkan bukti untuk arah sebaliknya dapat langsung diperoleh dengan mudah Perhatikan bahwa aljabar simetris kiri hasil konstruksi pada Teorema 33 merupakan aljabar simetris kiri yang asosiatif padahal aljabar simetris kiri secara umum merupakan anggota dari kelas aljabar yang nonasosiatif Oleh karena itu untuk memperoleh aljabar simetris kiri yang nonasosiatif konstruksi di atas perlu diperluas Perluasan sederhana yang dapat dilakukan ialah menambahkan suatu vektor tertentu tak nol pada Persamaan (32) sehingga untuk setiap (34) Dimana merupakan fungsi bilinier tak nol Sebelum membahas syarat perlu dan syarat cukup agar aljabar dengan definisi produk seperti yang tertera pada Persamaan (34) merupakan aljabar simetris kiri terlebih dahulu akan dibahas beberapa lema yang dapat menjadi alat bantu untuk membahas syarat perlu dan syarat cukup tersebut Lema 38 Misalkan merupakan ruang vektor atas lapangan bilangan kompleks berdimensi dan merupakan fungsi bilinier Jika dan { } merupakan basis dari maka terdapat { } sedemikian sehingga ( ) Bukti Pembuktian lema ini akan menggunakan kontradiksi Andaikan untuk setiap { } berlaku ( ) Ambil sembarang dengan dan maka ( ) ( ) karena untuk sembarang maka dapat disimpulkan bahwa Hal ini kontradiksi dengan premis yang menyatakan Kajian mengenai Sofwah Ahmad FMIPA UI 2012
sehingga haruslah terdapat { } sedemikian sehingga ( ) Lema 39 Misalkan merupakan ruang vektor berdimensi merupakan dua buah fungsi linier dan merupakan fungsi bilinier yang simetris 1 Jika untuk sembarang maka atau atau dan terdapat sedemikian sehingga untuk setiap 2 Jika untuk sembarang maka atau atau dan terdapat suatu basis untuk setiap ; dan ( ) untuk Bukti 1 Karena linier dan maka berdasarkan Akibat 34 terdapat { } basis dari sedemikian sehingga untuk Karena untuk setiap maka diperoleh untuk Hal ini mengakibatkan untuk sembarang dan dengan 2 Karena maka berdasarkan Akibat 34 terdapat { } basis dari sedemikian sehingga dan untuk Karena untuk setiap berlaku dan berdasarkan Lema 38 dapat diperoleh dan ( ) untuk sehingga dengan Lema 310 Misalkan merupakan aljabar berdimensi dengan definisi produk untuk setiap dimana merupakan dua buah fungsi linier dan merupakan fungsi bilinier simetrik dengan Jika merupakan aljabar simetris kiri maka untuk setiap (35) (36) (37) Bukti Pembuktian akan dilakukan dengan kontrapositif yaitu jika terdapat suatu sedemikian sehingga Persamaan (35) atau (36) atau (37) tidak berlaku maka bukan merupakan aljabar simetris kiri Atau dengan kata lain akan ditunjukan untuk suatu Perhatikan bahwa jika fungsi linier tak nol maka merupakan dapat dinyatakan sebagai atau dengan { } dan { } Kasus 1Misalkan fungsi linier sedemikian sehingga merupakan dua buah untuk suatu Perhatikan bahwa dan untuk suatu Misalkan { } Kajian mengenai Sofwah Ahmad FMIPA UI 2012
merupakan basis di dengan { } merupakan basis bagi dan { } merupakan basis bagi Pilih dengan dan dengan sehingga Jika koefisien dari pada persamaan di atas sama dengan nol maka persamaan diatas menjadi Namun jika koefisien dari pada persamaan di atas sama dengan suatu konstanta tak nol sebut saja maka karena dan c saling bebas linier persamaan di atas menjadi Bukti untuk kasus lainnya similar Teorema 311 Misalkan merupakan aljabar berdimensi dengan definisi produk untuk setiap dimana merupakan dua buah fungsi linier dan merupakan fungsi bilinier simetrik dengan Maka merupakan aljabar simetris kiri jika dan hanya jika salah satu dari 7 kondisi berikut dipenuhi : 1 untuk setiap 2 dan terdapat suatu basis ( ) dan dimana 3 untuk setiap 4 dan terdapat dan suatu basis { } di sedemikian sehingga dan dimana 5 untuk setiap dan 6 untuk setiap dan terdapat dan suatu basis 7 dan terdapat sedemikian sehingga untuk setiap 8 (Bai 2004) Bukti Pertama akan dibuktikan jika merupakan aljabar simetris kiri maka salah satu dari 7 kondisi dipenuhi Berdasarkan Lema 310 diperoleh Persamaan (35) (36) (37) Kemudian berdasarkan Lema 39 dan Persamaan (35) maka atau atau dan terdapat sedemikian sehingga untuk setiap Kasus 1 Jika Maka berdasarkan Persamaan (36) untuk setiap diperoleh karena tetap maka dapat dimisalkan untuk setiap sehingga persamaan di atas berubah menjadi Berdasarkan Lema 39 bagian 2 maka atau atau terdapat suatu basis { } di Kajian mengenai Sofwah Ahmad FMIPA UI 2012
sedemikian sehingga untuk setiap ; Karena maka kemungkinan yang ada ialah 1 Jika maka untuk setiap atau (Kondisi 1 pada teorema dipenuhi) 2 dan terdapat suatu basis { } di sedemikian sehingga untuk setiap ; Pilih dengan (Kondisi 2 pada teorema dipenuhi) Kasus 2 Jika Pada kasus ini Persamaan (36) menjadi ( ) ( ) Dengan memisalkan untuk setiap maka persamaan di atas menjadi ( ) ( ) Berdasarkan Lema 39 bagian 2 maka atau atau terdapat suatu basis { } di sedemikian sehingga untuk setiap ; Karena maka kemungkinan yang ada ialah 1 Jika maka untuk setiap ( atau (Kondisi 3 pada teorema dipenuhi) 2 dan terdapat suatu basis untuk setiap ; Perhatikan bahwa atau ekuivalen dengan Dengan untuk (Kondisi 4 pada teorema dipenuhi) Kasus 3 Jika Pada kasus ini Persamaan (36) menjadi ( ) ( ) Dengan memisalkan untuk setiap maka persamaan di atas menjadi ( ) ( ) Berdasarkan Lema 39 bagian 2 maka atau atau terdapat suatu basis { } di sedemikian sehingga untuk setiap ; Karena maka kemungkinan yang ada ialah 1 Jika maka untuk setiap berlaku ( atau Perhatikan bahwa berdasarkan asumsi dan dan Persamaan (37) diperoleh Karena untuk setiap maka (Kondisi 5 pada teorema dipenuhi) 2 dan terdapat suatu basis untuk setiap ; Pilih dengan Perhatikan bahwa Kajian mengenai Sofwah Ahmad FMIPA UI 2012
atau Misalkan sehingga (Kondisi 7 pada teorema dipenuhi) Pembuktian untuk arah sebaliknya dapat langsung diperoleh dengan mensubstitusikan ketujuh kondisi sedemikian sehingga Berdasarkan asumsi dan dan Persamaan (37) diperoleh sehingga dari persamaan di atas diperoleh atau Jika maka atau secara umum untuk setiap (Kondisi 6 pada teorema dipenuhi) Jika maka untuk setiap Atau dengan kata lain Hal ini kontradiksi dengan pemisalan sehingga kasus ini tidak mungkin terjadi Kasus 4 Jika Berdasarkan Persamaan (35) dan Lema 39 bagian 1 untuk setiap terdapat sedemikian sehingga Berdasarkan Persamaan (37) maka untuk sembarang Jika maka untuk sembarang berlaku Hal ini kontradiksi dengan asumsi sehingga haruslah Hal ini mengakibatkan untuk untuk setiap Secara umum aljabar simetris kiri tergolong dalam kelas aljabar yang nonasosiatif Namun akibat berikut akan menunjukan bahwa terdapat kondisi dimana suatu aljabar simetris kiri akan asosiatif Selain itu akibat berikut juga akan memberikan kondisi dimana aljabar simetris kiri akan komutatif Akibat 312 Misalkan merupakan aljabar simetris kiri yang didefinisikan pada Teorema 311 Maka pernyataan berikut ekivalen a merupakan aljabar simetris kiri yang komutatif dan asosiatif b Aljabar Lie Subadjacent dari abelian c Kondisi (1) (2) (7) dengan pada Teorema 311 dipenuhi (Bai 2004) Bukti Pola pembuktian pada akibat ini adalah Namun bukti untuk pola dapat langsung diperoleh dengan mudah Sekarang tinjau bukti Pembuktian akan dilakukan secara kontrapositif yaitu misalkan kondisi (1) atau (2) atau (7) dengan dipenuhi maka akan dibuktikan bahwa tidak bukan merupakan aljabar simetris kiri yang komutatif atau bukan merupakan aljabar simetris kiri yang asosiatif Karena merupakan aljabar simetris kiri dan kasus (1) atau (2) atau (7) dengan dipenuhi maka berdasarkan Teorema 311 tidak merupakan aljabar simetris kiri yang memenuhi kondisi (3) atau (4) atau (5) atau (6) atau (7) dengan Perhatikan bahwa jika merupakan fungsi linier tak nol maka dinyatakan sebagai atau dapat Kajian mengenai Sofwah Ahmad FMIPA UI 2012
dengan { } dan { } Kasus 1 Misalkan kondisi (3) pada Teorema 38 dipenuhi yaitu untuk setiap Ambil sembarang dengan berdasarkan Teorema Perluasan Basis terdapat yang bebas linier dengan Perhatikan bahwa sehingga Terbukti bahwa bukan merupakan aljabar simetris kiri yang komutatif Selanjutnya misalkan { } merupakan basis di dengan { } merupakan basis bagi Pilih dengan dan dengan sehingga Terbukti bahwa merupakan aljabar simetris kiri yang nonasosiatif Bukti untuk kasus lainnya similar Pada Akibat 313 hingga 315 berikut akan dibahas mengenai sifat- sifat khusus dari sebagai akibat dari aljabar simetris kiri yang diperoleh berdasarkan hasil konstruksi pada Teorema 311 Akibat 313 Jika merupakan aljabar simetris kiri yang memenuhi kondisi (1) (2) (4) (6) (7) pada Teorema 311 maka untuk fungsi bilinier yang bersesuaian berlaku (Bai 2004) Akibat 314 Jika merupakan aljabar simetris kiri yang memenuhi kondisi pada Teorema 311 maka untuk fungsi bilinier yang bersesuaian invariant terhadap yaitu untuk setiap Akibat 315 Jika ( ) yang memenuhi kondisi untuk fungsi bilinier 4 KESIMPULAN merupakan aljabar simetris kiri pada Teorema 311 maka yang bersesuaian berlaku Dalam skripsi ini telah dipelajari bahwa untuk mengkonstruksi aljabar simetris kiri hal pertama yang harus dilakukan ialah mengkonstruksi aljabar dengan mendefinisikan operator bilinier pada ruang vektor Berdasarkan Lema 31 jika aljabar dengan operator bilinier merupakan suatu maka untuk sembarang secara umum produk dapat dinyatakan sebagai dimana (32) merupakan fungsi linier tak nol Kemudian Teorema 32 memberikan kriteria fungsi linier dan yang akan mendefinisikan sebagai aljabar simetris kiri yaitu atau Namun pada Teorema 32 juga dijelaskan bahwa aljabar simetris kiri yang didefinisikan melalui fungsi linier atau merupakan aljabar simetris kiri yang termasuk dalam kelas aljabar yang asosiatif padahal aljabar simetris kiri secara umum merupakan anggota dari kelas aljabar yang nonasosiatif Untuk itu konstruksi di atas perlu diperluas Perluasan sederhana yang dapat dilakukan untuk memperoleh aljabar simetris kiri yang tergolong dalam kelas aljabar yang nonasosiatif ialah dengan memberikan definisi baru bagi operator bilinier Kajian mengenai Sofwah Ahmad FMIPA UI 2012
yaitu dengan menambahkan suatu vektor tertentu tak nol pada Persamaan (32) sehingga untuk setiap (34) dengan merupakan fungsi bilinier tak nol Kemudian Teorema 38 memberikan kriteria fungsi linier dan yang mendefinisikan sebagai aljabar simetris kiri yaitu UCAPAN TERIMA KASIH Terima Kasih kepada Ibu Rahmi Rusin SSi MSc Tech dan bapak Arie Wibowo SSi MSi yang telah menyediakan waktu tenaga dan pikiran untuk mengarahkan serta membimbing penulis hingga akhirnya penelitian ini dapat terselesaikan DAFTAR ACUAN 1 untuk setiap Webster's II New College Dictionary (1999) 2 dan terdapat suatu basis Houghton Mifflin Company Bai C (2004) Left-Symmetric Algebras from Linear Functions Journal of Algebra 281 651-665 ( ) Bai C (2011Agustus 9) Lie Analogues of Loday algebras and Successors of OperadsApril dan dimana 182012 07:16 WIB Chern Institue of Mathematics Nankai University 3 untuk setiap http://mathunivlyon1fr/~guiraud/or2011/trans 4 dan terdapat dan parents/chengmingbaipdf Burde D & Dekimpe K (2006) Novikov Structures suatu basis { } di sedemikian on Solvable Lie Algebras Journal of sehingga Geometry and Physics 1837-1855 Erdmann K & Wildon M J (2006) Introduction to Aljabar Lie California : Springer dan dimana Herstein IN (1999) Absract Algebra (3 ed) John Wiley & Sons Inc 5 untuk setiap Jacob B (1990) Linear Algebra WH Freeman and Company dan Kreyszig E (1989) Introductory Functional Analysis 6 untuk setiap dan with Applications John Wiley & Sons Inc Roman S (2008) Advance Linear Algebra terdapat dan suatu basis California: Springer 7 dan terdapat sedemikian sehingga untuk setiap Walaupun secara umum aljabar simetris kiri hasil konstruksi pada Teorema 311 merupakan aljabar yang nonasosiatif pada Akibat 312 ditunjukkan bahwa terdapat kondisi dimana suatu aljabar simetris kiri akan asosiatif yaitu saat kondisi (1) (2) atau (7) dengan pada Teorema 311 dipenuhi Selain asosiatif jika kondisi (1) (2) atau (7) dengan pada Teorema 311 dipenuhi aljabar simetris kiri hasil konstruksi juga merupakan aljabar yang komutatif Kajian mengenai Sofwah Ahmad FMIPA UI 2012