7. Rung L (, b) Rung L (, b) didefinisikn sebgi rung semu fungsi f yng kudrtny terintegrlkn pd [, b], ykni L (, b) := {f : b f(x) dx < }. Rung ini menckup fungsi-fungsi f yng tk terbts pd [, b] tetpi f terintegrlkn, termsuk dlm pengertin integrl tk wjr l Riemnn. 7. Topologi di L (, b) Di rung L (, b), hsilkli dlm, yng didefinisikn sebgi f, g := terdefinisi dengn bik, mengingt b f(x)g(x) dx f(x)g(x) 1 ( f(x) + g(x) ). Seperti hlny di P C(, b), norm pd L (, b) yng didefinisikn sebgi ( b f := ) 1/ f(x) dx mempunyi sedikit mslh, yitu f = tidk mengkibtkn f = tetpi f = hmpir di mn-mn. Untuk mengtsi mslh ini, du fungsi di L (, b) dinggp sm bil merek bernili sm hmpir di mn-mn. Dengn kt lin, nggot L (, b) sekrng dlh kels-kels ekuivlen fungsi. Nmun, dlm prktekny, kit sering mengburkn kels ekuivlen dn fungsi yng mewkili kels ekuivlen tersebut. Teorem berikut tidk kn dibuktikn, tpi kn menjdi rujukn kit ke depn. Teorem. () L (, b) lengkp terhdp kekonvergenn dlm norm. 9
(b) Untuk setip f L (, b) terdpt brisn fungsi kontinu pd [, b], sebutlh {f n }, sedemikin sehingg f n f dlm norm. Cttn. Bgin (b) menytkn bhw himpunn fungsi kontinu pd [, b] pdt di L (, b). Sesungguhny, rung L (, b) dpt dipndng sebgi lengkpn dri rung fungsi C(, b) yng bernggotkn semu fungsi f yng kontinu pd [, b]. Terhdp ( 1/, norm f = dx) f(x) rung fungsi C(, b) tidk lengkp. Bil kit tmbhkn semu limitny, mk kit peroleh rung L (, b). Lebih juh, setip fungsi f L (, b) dpt dihmpiri oleh fungsi f n yng merupkn pembtsn pd [, b] dri fungsi f n yng terdefinisi pd R dn mempunyi turunn setip orde di setip titik. Fungsi f n bis merupkn fungsi periodik dengn periode b tupun mempunyi tumpun kompk. Berikut dlh bukti Bgin () sj. [Bukti bgin (b) di lur jngkun, jdi tidk diberikn di sini.] Bukti. () Mislkn (f n ) brisn Cuchy di L (, b), ykni f m f n, m, n. Pilih subbrisn indeks (n k ) sedemikin sehingg f nk f nk+1 (b ) 1/( 1) k, k N. Mk, menurut Ketksmn Cuchy-Schwrz, kit mempunyi untuk setip k N. Dengn demikin, f nk (x) f nk+1 (x) dx 1 f nk f nk+1 ( 1) k, f nk (x) f nk+1 (x) dx ( 1 ) k = 1. Menurut Lemm Ftou (liht mislny H.L. Royden, Rel Anlysis ), f n k (x) f nk+1 (x), dn krenny jug f n1 (x) + f n k (x) f nk+1 (x), konvergen hmpir untuk setip titik x [, 1]. Akibtny, f n1 (x) + (f nk (x) f nk+1 (x)) konvergen ke sutu fungsi f(x) = lim k f n k hmpir untuk setip titik x [, b]. Jdi, (f n ) mempunyi subbrisn yng konvergen. 3
Selnjutny kn kit tunjukkn bhw fungsi f di ts merupkn nggot L (, b) dn bhw f n f, n. Ambil ϵ > sebrng. Mk, kit dpt memilih k dn l cukup besr sedemikin sehingg (f n k (x) f nl (x)) dx < ϵ. Dengn mengmbil l, kit peroleh (f nk (x) f(x)) dx ϵ. Jdi mestilh f L (, b) dn (f nk ) f. Nmun kekonvergenn subbrisn dri sutu brisn Cuchy mengkibtkn brisn itu sendiri konvergen ke limit yng sm. mengkhiri pembuktin. (QED) Ini 7. Ketksmn Bessel Teorem (Ketksmn Bessel) Jik {ϕ n } dlh himpunn ortonorml di L (, b) dn f L (, b), mk f, ϕ n f. Bukti. Perhtikn bhw untuk setip n N berlku dn menurut Teorem Pythgors, f, f, ϕ n ϕ n = f, ϕ n f, ϕ n = f, ϕ n, N f, ϕ n ϕ n = f, ϕ n. Akibtny, untuk setip N N, yng mengkibtkn f f, ϕ n ϕ n = f i=1 f, ϕ n f. f, ϕ n, Dengn mengmbil N, kit dptkn ketksmn yng diinginkn. [QED] Selnjutny, diberikn sutu himpunn ortonorml {ϕ n } 1 f = f, ϕ n ϕ n di L (, b), pkh 31
untuk setip f L (, b)? Lemm. Jik f L (, b) dn {ϕ n } 1 ortonorml di L (, b), mk f, ϕ n ϕ n konvergen dlm norm dn f, ϕ n ϕ n f. Bukti. Pythgors, Menurut Ketksmn Bessel, f, ϕ n. Kren itu, menurut Teorem f, ϕ n ϕ n = n=m N n=m f, ϕ n, bil M, N. Jdi jumlh prsil dri f, ϕ n ϕ n membentuk brisn Cuchy di L (, b). Kren L (, b) lengkp, deret ini konvergen dlm norm. Selnjutny, kren kontinu, kit peroleh f, ϕ n = f, ϕ n f. 7.3 Bsis Ortonorml di L (, b) Teorem. Misl {ϕ n } 1 dlh sutu himpunn ortonorml di L (, b). Ketig pernytn berikut ekuivlen: () Jik f, ϕ n = untuk tip n N, mk f =. (b) Untuk setip f L (, b) berlku f = f, ϕ n ϕ n (dlm norm). (c) Untuk setip f L (, b) berlku f = f, ϕ n (Kesmn Prsevl). Bukti. Akn dibuktikn () (b) (c) (). Pertm, misl () berlku. Telh dibuktikn pd lemm sebelumny bhw f, ϕ n ϕ n konvergen dlm norm. Untuk menunjukkn bhw jumlhny dlh f, kit tinju g := f f, ϕ n ϕ n. Perhtikn bhw g, ϕ m = f, ϕ m f, ϕ n ϕ n, ϕ m =, untuk tip m N. Menurut hipotesis, kit peroleh g =. Jdi f = f, ϕ n ϕ n. kontinu, Sekrng, mislkn (b) berlku. Menurut Teorem Pythgors dn fkt bhw f = lim 3 f, ϕ n = f, ϕ n.
Akhirny, mislkn (c) berlku, dn f, ϕ n = untuk tip n N. Mk, f =, dn kren itu f =. (QED) Cttn. Himpunn ortonorml {ϕ n } 1 yng memenuhi (), tu (b), tu (c), pd teorem di ts, disebut himpunn ortonorml lengkp tu bsis ortonorml untuk L (, b). Bil persyrtn ortonorml dignti dengn ortogonl, mk kit peroleh bsis ortogonl untuk L (, b). 7.4 Sol Ltihn 1. Buktikn bhw merupkn pemetn yng kontinu, ykni jik f n f dlm norm, mk f n f (bil n ).. Buktikn bhw, merupkn pemetn yng kontinu terhdp msing-msing komponen, khususny jik f n f dlm norm, mk f n, g f, g untuk setip g L (, b). 3. Mislkn {ϕ n } 1 bsis ortonorml untuk L (, b). Buktikn bhw untuk setip f, g L (, b) berlku f, g = f, ϕ n g, ϕ n. 4. Hitung jumlh deret berikut dengn menerpkn Kesmn Prsevl untuk fungsi f tertentu: () 1 n 4. (b) 1 (n 1) 6. 33