PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT INTAN FITRIA SARI

PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT INTAN FITRIA SARI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Majemuk dengan Tren Fungsi Pangkat adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Mei 2015 Intan Fitria Sari NIM G54110003

ABSTRAK INTAN FITRIA SARI. Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Fungsi Pangkat. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan HADI SUMARNO. Pada karya ilmiah ini dibahas penyusunan penduga konsisten bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat. Komponen periodik fungsi intensitas tersebut tidak diasumsikan memiliki bentuk parametrik tertentu, namun periodenya diasumsikan diketahui. Sedangkan slope dari tren fungsi pangkat diasumsikan memiliki nilai positif, namun nilainya tidak diketahui. Masalah utama karya ilmiah ini adalah menyusun penduga fungsi nilai harapan, membuktikan kekonsitenan penduga, dan menentukan laju kekonvergenan menuju nol untuk bias, ragam, dan mean squared error (MSE) penduga, jika panjang interval pengamatan proses menuju takhingga. Kata kunci: fungsi intensitas periodik, fungsi nilai harapan, kekonsistenan penduga, proses Poisson majemuk, tren fungsi pangkat. ABSTRACT INTAN FITRIA SARI. Estimating the Mean Function of a Coumpond Cyclic Poisson Process with Power Function Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU and HADI SUMARNO. This manuscript is concerned with consistent estimation of the mean function of a compound cyclic Poisson process with power function trend. The cyclic component of intensity function of this process is not assumed to have any parametric form, but its period is assumed to be known. The slope of the power function trend is assumed to be positive, but its value is unknown. The main problems of this manuscript are constructing an estimator of this mean function, proving consistency of this estimator, and determining the rate of convergence to zero for the bias, variance, and mean squared error of this estimator, when the length of the observation time interval indefinitely expands. Keywords: compound cyclic Poisson process, consistency, cyclic intensity function, power function trend, the mean function.

PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT INTAN FITRIA SARI Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

Judul Skripsi : Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Fungsi Pangkat Nama : Intan Fitria Sari NIM : G54110003 Disetujui oleh Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc Pembimbing I Dr Ir Hadi Sumarno, MS Pembimbing II Diketahui oleh Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen Tanggal Lulus:

PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-nya serta sholawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Keluarga tercinta Bapak, Ibu, Mas Aan, Mbak Fala, dan keluarga besar yang selalu memberikan doa, dukungan, semangat, bimbingan, kasih sayang, dan motivasi. 2. Prof. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc selaku dosen Pembimbing I yang telah memberikan ilmu, motivasi, kesabaran, bimbingan, saran, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini. 3. Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS selaku dosen Pembimbing II yang telah memberikan ilmu, motivasi, kesabaran, bimbingan, dan saran. 4. Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, MS selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu dan sarannya. 5. Rahmi Budhy Fatmasari selaku sahabat penulis sejak SMA yang telah mendengarkan curahan hati selama penulisan skripsi ini, sahabat seperjuangan di tingkah akhir yang siap membantu, dan memberikan motivasi, semangat, serta saran. 6. Muhammad Dinar Mardiana senantiasa mendengarkan curahan hati selama penulisan skripsi ini, menampung keluh kesah, dan memberikan motivasi, serta doa. 7. Aristin, Kiki, Lidya, Sifa, Andini, Hanna, Alfi, Febiyana, Riefdah, Putri, Atikah, Resty selaku sahabat yang menemani penulis selama masa kuliah dan memeberikan motivasi, doa, serta dukungan. 8. Teman-teman Matematika Angkatan 48 yang selalu memberikan keceriaan, dukungan, doa, dan segala bantuan yang telah di berikan. 9. Kakak-kakak Matematika angkatan 47, adik-adik Matematika angkatan 49, kakak-kakak Matematika Terapan S2 angkatan 51, anggota DPM FMIPA IPB, anggota MPM KM IPB, penghuni Asrama lorong VI TPB IPB tahun 2011/2012, dan semua keluarga besar OMDA KKB MK yang telah memberikan doa, semangat, dan dukungannya. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya. Bogor, Mei 2015 Intan Fitria Sari

DAFTAR ISI DAFTAR LAMPIRAN PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 1 LANDASAN TEORI 2 Momen, Nilai Harapan, dan Ragam 2 Kekonvergenan 3 Penduga dan Sifat-sifatnya 3 Proses Stokastik 4 Beberapa Definisi dan Lema Teknis 5 PERUMUSAN PENDUGA DAN KEKONSISTENANNYA 6 Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan 6 Kekonsistenan Penduga dan Laju Kekonvergenannya 8 Beberapa Lema Teknis dan Buktinya 8 BUKTI KEKONSITENAN PENDUGA DAN LAJU KEKONVERGENANNYA 11 Bukti Kekonvergenan Penduga 11 Bukti Laju Kekonvergenan Penduga 12 SIMPULAN 19 DAFTAR PUSTAKA 19 LAMPIRAN 21 RIWAYAT HIDUP 25 vi

DAFTAR LAMPIRAN 1. Perumusan nilai harapan dari proses Poisson majemuk 21 2. Penjabaran sebagai nilai harapan dari 22 3. Penduga bagi fungsi intensitas global ( 23 4. Penduga bagi fungsi intensitas sebagian ( ) 24

PENDAHULUAN Latar Belakang Proses stokastik merupakan model yang menggunakan aturan-aturan peluang yang mempunyai peranan yang cukup penting dalam kehidupan seharihari. Sebagai contoh kedatangan pelanggan ke pusat servis (bank, kantor pos, toko buku, supermarket, dan sebagainya) dan proses kedatangan pengguna line telepon dapat dimodelkan dengan proses stokastik. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Jika waktu dianggap berpengaruh maka digunakan proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson yang fungsi intensitasnya merupakan fungsi takkonstan dari waktu. Proses Poisson takhomogen ini merupakan perumuman dari proses Poisson homogen. Salah satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen adalah proses Poisson periodik, yaitu suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Kajian terhadap proses Poisson majemuk dengan menggunakan proses Poisson takhomogen sangatlah luas. Oleh karena itu, kajian dimulai dengan salah satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson periodik majemuk (Ruhiyat 2013). Setelah itu kajian diperluas menjadi proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear (Wibowo 2014). Selanjutnya kajian diperluas menjadi proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat. Proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat bermanfaat untuk mencari perumuman dari sifat proses Poisson periodik majemuk. Pembahasan karya ilmiah ini difokuskan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat. Sebaran dari proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat sulit ditentukan, sehingga salah satu hal yang penting yang dapat diusahakan untuk ditentukan adalah penduga nilai harapan dari proses tersebut. Nilai harapan ini merupakan fungsi dari waktu karena proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat merupakan fungsi dari waktu. Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Merumuskan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat. 2. Menganalisis kekonsistenan penduga. 3. Menganalisis laju kekonvergenan ke nol dari bias, ragam, dan mean squared error (MSE) penduga.

2 LANDASAN TEORI Momen, Nilai Harapan, dan Ragam Definisi 1 (Nilai harapan) 1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang P X, maka nilai harapan dari X didefinisikan sebagai [ ] jika jumlah di atas konvergen mutlak. Jika jumlah di atas divergen, maka nilai harapan dari X adalah tidak ada (Hogg et al. 2014). 2. Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f X, maka nilai harapan dari X didefinisikan sebagai [ ] jika integral di atas konvergen mutlak. Jika integral di atas divergen, maka nilai harapan dari X adalah tidak ada (Hogg et al. 2014). Definisi 2 (Ragam) Jika adalah peubah acak maka ragam dari X didefinisikan sebagai (Ghahramani 2005). *( ) + Definisi 3 (Koragam) Misalkan X dan Y adalah peubah acak, dan misalkan pula dan masing-masing menyatakan nilai harapan dari X dan Y. Koragam dari X dan Y didefinisikan sebagai [ ] (Ghahramani 2005). Lema 1 (Sifat ragam) 1. Jika X adalah peubah acak dengan ragam yang berhingga, maka untuk sebarang konstanta c dan d, berlaku. 2. Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret, dan misalkan pula c dan d adalah dua buah konstanta sebarang, maka. 3. Jika X dan Y adalah peubah acak saling bebas, maka. Bukti dapat dilihat pada Ghahramani (2005). Definisi 4 (Momen ke k) Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen ke-k atau peubah acak X adalah (Hogg et al. 2014). dari

3 Kekonvergenan Definisi 5 (Kekonvergenan barisan bilangan nyata) Barisan disebut mempunyai limit dan kita tuliskan atau jika apabila untuk setiap terdapat sebuah bilangan M sedemikian rupa sehingga jika n > M maka. Jika ada, kita katakan barisan tersebut konvergen. Jika tidak, kita katakan barisan tersebut divergen (Stewart 2001). Definisi 6 (Kekonvergenan dalam peluang) Misalkan adalah barisan peubah acak pada suatu ruang peluang (Ω,, P). Barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam peluang ke peubah acak X, dinotasikan, jika untuk setiap berlaku P, untuk (Ghahramani 2005). Lema 2 (Sifat kekonvergenan dalam peluang) Misalkan dan maka dan untuk. Bukti dapat dilihat pada Hogg et al. (2014). Penduga dan Sifat-sifatnya Definisi 7 (Statistik) Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui (Hogg et al. 2014). Definisi 8 (Penduga) Misalkan adalah contoh acak. Suatu statistik yang digunakan untuk menduga fungsi parameter dikatakan sebagai penduga (estimator) bagi, dilambangkan dengan. Bilamana nilai maka nilai disebut sebagai dugaan (estimate) bagi (Hogg et al. 2014). Definisi 9 (Penduga takbias) (i) Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter, yaitu [ ], disebut penduga takbias bagi. Jika sebaliknya, penduga di atas disebut berbias. (ii) Jika [ ], maka disebut penduga takbias asimtotik bagi (Hogg et al. 2014). Definisi 10 (Penduga konsisten) Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter, disebut penduga konsisten bagi (Hogg et al. 2014). Beberapa jenis kekonsistenan penduga, didefinisikan sebagai berikut:

4 (i) Suatu statistik yang konvergen dalam peluang ke parameter, yaitu, untuk, disebut penduga konsisten lemah bagi. (ii) Jika untuk, maka disebut penduga konsisten kuat bagi ). (iii) Jika untuk, maka disebut penduga konsisten rataan ke-r bagi. Definisi 11 (MSE suatu penduga) Mean squared error (MSE) dari penduga W untuk parameter θ adalah fungsi dari θ yang didefinisikan oleh. Dengan kata lain, MSE adalah nilai harapan kuadrat dari selisih penduga W dan parameter. Dari sini diperoleh (Cassela dan Berger 1990). Proses Stokastik Definisi 12 (Proses stokastik) Proses stokastik adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang state S (Ross 2010). Definisi 13 (Proses stokastik waktu kontinu) Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah suatu interval (Ross 2010). Definisi 14 (Inkremen bebas) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua < < <, peubah acak adalah bebas (Ross 2010). Definisi 15 (Inkremen stasioner) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen stasioner jika memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t (Ross 2010). Definisi 16 (Proses pencacahan) Suatu proses stokastik { } disebut proses pencacahan jika menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. Dari definisi tersebut, maka suatu proses pencacahan harus memenuhi syarat syarat berikut: (i) untuk semua [. (ii) Nilai adalah integer. (iii) Jika maka, [. (iv) Untuk maka, sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang ] (Ross 2010).

Definisi 17 (Proses Poisson) Suatu proses pencacahan { } disebut proses Poisson dengan laju λ, λ > 0, jika dipenuhi tiga syarat berikut: (i). (ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas. (iii) Banyaknya kejadian pada sebarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran (distribusi) Poisson dengan nilai harapan λt. Jadi, untuk semua,, k = 0,1, (Ross 2010). Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen stasioner. Dari syarat ini juga dapat diperoleh: ( ). Definisi 18 (Proses Poisson homogen) Proses Poisson homogen adalah proses Poisson dengan laju λ yang merupakan konstanta untuk setiap waktu t (Ross 2010). Definisi 19 (Proses Poisson takhomogen) Suatu proses Poisson disebut proses Poisson takhomogen jika laju λ pada sebarang waktu t merupakan fungsi takkonstan dari t yaitu (Ross 2010). Definisi 20 (Intensitas lokal) Intensitas lokal dari suatu proses Poisson takhomogen X dengan fungsi intensitas λ pada titik adalah, yaitu nilai fungsi λ di s (Cressie 1993). Definisi 21 (Fungsi intensitas global) Misalkan N([0,n]) adalah proses Poisson pada interval [0,n]. Fungsi intensitas global dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai: [ ] jika limit di atas ada (Cressie 1993). Definisi 22 (Fungsi periodik) Suatu fungsi λ disebut periodik jika untuk semua dan. Konstanta terkecil τ yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi λ tersebut (Cressie 1993). Definisi 23 (Proses Poisson periodik) Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson takhomogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik (Mangku 2001). 5 Beberapa Definisi dan Lema Teknis Definisi 24 (Fungsi terintegralkan lokal) Fungsi intensitas λ disebut terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas diperoleh (Dudley 1989).

6 Definisi 25 ( ) Simbol big-oh ini merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi dan, dengan x menuju suatu limit L. Notasi, menyatakan bahwa terbatas, untuk (Serfling 1980). Definisi 26 ( ) Suatu fungsi f disebut, untuk, jika. Hal ini menyatakan bahwa lebih cepat dari (Ross 2010). Lema 3 (Lema Borel- Cantelli) Misalkan adalah barisan kejadian pada ruang contoh. Jika maka ( + ( ) Jika adalah barisan kejadian yang saling bebas dan maka ( + ( ) Bukti dapat dilihat pada DasGupta (20111). Lema 4 (Hukum lemah bilangan besar) Misalkan adalah peubah acak i.i.d dengan nilai harapan μ dan ragam <, maka, untuk n. Bukti dapat dilihat pada Capinski dan Kopp (2007). PERUMUSAN PENDUGA DAN KEKONSISTENANNYA Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan Misalkan adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan fungsi intensitas λ terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas diasumsikan berupa fungsi periodik dengan tren fungsi pangkat, yaitu memenuhi (1) untuk, konstanta merupakan kemiringan dari tren dengan (2)

Misalkan adalah suatu proses dengan, (3) di mana merupakan barisan peubah acak yang independent and identically distributed dengan nilai harapan dan ragam, yang juga bebas terhadap. Proses disebut dengan proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat. Nilai harapan dari, dinotasikan dengan yaitu [ ] [ ], (4) dengan. (5) Bukti persamaan (4) dapat dilihat pada Lampiran 1. Untuk setiap yang diberikan, dapat dituliskan sebagai berikut. (6) Misalkan adalah fungsi intensitas global dari komponen periodik pada proses. Bukti persamaan (6) dapat dilihat pada Lampiran 2. Diasumsikan Berdasarkan persamaan (4) dan (6), fungsi nilai harapan dari dapat dituliskan menjadi ( ). (7) Pendugaan fungsi nilai harapan pada persamaan (7) dapat dibagi menjadi beberapa pendugaan, yaitu pendugaan, pendugaan yang merupakan slope pada fungsi intensitas, pendugaan fungsi intensitas global, dan pendugaan yang merupakan nilai harapan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu [ ]. Penduga bagi dirumuskan sebagai berikut: [ ] [ ], (8) dengan saat [ ]. Penduga ini diperoleh dari rata-rata nilai peubah acak yang bersesuaian untuk setiap titik data pada interval pengamatan [ ] Penduga bagi slope dari tren fungsi pangkat, yaitu dirumuskan sebagai berikut: [ ]. (9) Penjelasan persamaan (9) dapat dilihat pada Putra (2012), untuk. Penduga bagi fungsi intensitas global dirumuskan sebagai berikut: [ ] [ ]. (10) Penjelasannya dapat dilihat pada Lampiran 3. Penduga bagi fungsi intensitas sebagian ( ) dirumuskan sebagai berikut: [ ] [ ]. (11) Penjelasannya dapat dilihat pada Lampiran 4. Berdasarkan penduga pada persamaan (8), (9), (10), dan (11), penduga bagi fungsi nilai harapan dirumuskan sebagai berikut: ( ) (12) 7

8 dengan saat [ ]. Kekonsistenan Penduga dan Laju Kekonvergenannya Teorema 1 (Kekonsistenan lemah) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika memenuhi persamaan (3), maka (13) untuk. Dengan kata lain merupakan penduga konsisten lemah bagi. Teorema 2 (Laju kekonvergenan bias) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika memenuhi persamaan (3), maka [ ] [ ] ( ) (14) untuk Dengan kata lain [ ] konvergen ke nol dengan laju ( ) jika. Teorema 3 (Laju keonvergenan ragam) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika memenuhi persamaan (3), maka [ ] ( ) (15) untuk. Dengan kata lain, [ ] konvergen ke nol dengan laju ( ) jika. Akibat 1 (Laju Kekonvergenan MSE) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika memenuhi persamaan (3), maka [ ] ( ) (16) untuk. Dengan kata lain, [ ] konvergen ke nol dengan laju ( ) jika. Beberapa Lema Teknis dan Buktinya Beberapa lema berikut digunakan dalam mengkaji kekonsistenan penduga bagi fungsi nilai harapan. Lema 5: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka ( ) ( ) (17) untuk n dan 0 < b < 1. Dengan kata lain, merupakan penduga takbias asimtotik bagi. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012).

9 Lema 6: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka ( ) ( ) (18) untuk n dan 0 < b < 1. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012). Berdasarkan Lema 5 dan 6 diperoleh akibat berikut. Akibat 2: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka ( ) (19) untuk. Bukti : Momen kedua dari dapat ditentukan sebagai berikut : ( ) ( * ( ( *+ ( * ( * ( * untuk. Bukti lengkap. Lema 7: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka ( ) ( ) (20) untuk n dan 0 < b < 1. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012). Lema 8: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka untuk kasus, diperoleh ( ) ( ) (21) untuk kasus, diperoleh ( ) ( ) (22) untuk kasus, diperoleh ( ) ( ) (23) untuk n. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012). Berdasarkan Lema 7 dan 8 diperoleh akibat berikut. Akibat 3: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka

10 (( ) ) ( ) (24) untuk. Bukti: Momen kedua dari dapat ditentukan sebagai berikut : (( ) ) ( ) ( ( )) ( * ( ( *) ( * ( * ( * untuk. Bukti lengkap. Lema 9: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka ( ) ( ) (25) untuk n dan 0 < b < 1. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012). Lema 10: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka untuk kasus, diperoleh ( ) ( ) (26) untuk kasus, diperoleh ( ) ( ) (27) untuk kasus, diperoleh ( ) ( ) (28) untuk n. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012). Berdasarkan Lema 9 dan 10 diperoleh akibat berikut. Akibat 4: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka (( ) * ( ) (29) untuk. Bukti: Momen kedua dari dapat ditentukan sebagai berikut : (( ) * ( ) ( ( )* ( * ( ( *) ( * ( *

11 untuk. Bukti lengkap. ( * BUKTI KEKONSITENAN PENDUGA DAN LAJU KEKONVERGENANNYA Bukti Kekonvergenan Penduga Untuk membuktikan Teorema 1, diperlukan beberapa Lema berikut Lema 11: Misalkan fungsi λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka (30) untuk n dan 0 < b < 1. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012). Lema 12: Misalkan fungsi λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka (31) untuk n. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012). Lema 13: Misalkan fungsi λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka (32) untuk n dan. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012). Lema 14: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika kondisi persamaan (2) dan dipenuhi, maka dengan peluang 1, [ ] untuk. Bukti : [ [ ] ] untuk. Kemudian, berdasarkan Lema 3 (Lema Barel- Cantelli), diperoleh Lema 14. Bukti lengkap. Bukti Teorema 1: Perhatikan kembali persamaan (12). Dengan menerapkan Lema 2 (kekonvergenan), untuk membuktikan Teorema 1, cukup diperiksa bahwa (33)

12 (34) (35) (36) untuk. Dengan Lema 11 diperoleh persamaan (33), dengan Lema 12 diperoleh persamaan (34), dengan Lema 13 diperoleh persamaan (35), dengan Lema 4 dan Lema 14, diperoleh persamaan (36). Bukti lengkap. Bukti Laju Kekonvergenan Penduga Bukti Teorema 2: [ ] * [ [ ] ]+ [ [ ] ] [ ] [ [ ] ] [ ] [ [ ] ] [ ] Untuk [ ] maka. Sedangkan untuk [ ], ( Sehingga untuk, [ [ ] ] [ ] ) [ ] [ ] [( ) ] ( ( ) ( ) ) ( ). Berdasarkan Lema 7 dan 9 diperoleh ( ( ) ( ) ) ( + ( ( ( *) ( ( *) ) ( + ( ( *) ( ( *) ( ( *) untuk. Jadi, [ ] [ [ ] ] [ ]

13 ( ( *) [ ] ( ( *) [ ] ( ) [ ] ( ( *) [ ] ( ) [ ] ( ( *) ( [ ] ) ( ) [ ] ( ( *) ( ) ( ) ( [ ] ) ( ( *) ( ) ( ) ( [ ] ) ( ( *) ( ) ( ) ( [ ] ) ( ) ( * ( ) ( [ ] + ( ) ( * ( ) ( ) ( * ( ) ( ( *) ( ) ( * ( ) (37) untuk. Jadi, [ ] [ ] ( * ( ) untuk.

14 Bukti Teorema 3: Berdasarkan sifat dari ragam, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan dapat diperoleh dari rumusan berikut: [ ] [ ] * ( )+. (38) Suku kedua dari ruas kanan persamaan (38) telah diperoleh pada persamaan (37) sehingga tersisa suku pertama yang perlu dihitung. Momen kedua dari penduga bagi fungsi nilai harapan dapat ditentukan melalui nilai harapan bersyarat berikut: [ ] [ *[ ] [ ] +] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Untuk [ ] maka. Sedangkan untuk [ ], ( Sehingga untuk, [ [ ] ] [ ] ) [ ] [ ] [(( ) ) ] ( ) ( + Pertama dihitung [( ( )) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Berdasarkan lema dan akibat, dapat ditulis sebagai berikut ( ) ( ( *) ( ( *) ( ) ( ( *) ( ( *) ( ( *) ( ( *)

15 ( ) ( * ( ( *) ( ) ( * ( * ( * ( ) ( ) untuk ( *. Kedua, dihitung ( + [ ] * + * ( ) + [ ( ) ] ( * Jadi diperoleh untuk [ [ ] ] ( ) (( ) ( ) * ( ) untuk ( ( *). Oleh karena itu, [ ] [ *[ ] [ ] +] ( ) (( ) ( ) * ( ) ( ( *) [ ] ( ) (( ) ( ) *

16 [ ] ( ) ( ( *) ( * [ ] ( * [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] (( ) ( *) [ ] (( ) ( *) [ ] untuk. Pada bukti Teorema 2, telah diperoleh [ ] ( [ ] ) (39) [ ] (40) untuk. Dengan cara serupa, dapat diperoleh [ ] *( [ ] ) + (41) [ ] ( ) (42) untuk. Bukti persamaan (42) telah dikaji pada Wibowo (2014). Dengan persamaan (39) dan (42), dapat dituliskan [ ] [ *[ ] [ ] +] ( ) *( [ ] ) + ( ) [ [ ] ] ( ) [ [ ] ] ( ) ( ( )) (( ) ( *) ( ( )) (( ) ( *)

17 ( ( *, ( ) [( [ ] ) ] * [ ] + ( ) * [ ] + ( ) ( ( )) (( ) ( *) ( ( )) (( ) ( *) ( ( *, ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) ( ( )) (( ) ( *) ( ( )) (( ) ( *) ( ( *, ( ) ( ( *+ ( ( *) ( ) ( ( *) ( ) ( ( )) (( ) ( *) ( ( )) (( ) ( *)

18 ( ( *, ( ) ( ) (( ) * ( * ( * [( ) ( ) ( ) ] ( * *( ) + ( * ( ) ( * untuk. Sehingga, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan adalah [ ] *[ ] + * ( )+ ( ) ( * ( ( *) ( ) ( * ( ) ( * untuk. ( * Bukti akibat 1: Berdasarkan Teorema 2 dan 3, [ ] [ ] ( [ ] ) ( * ( ( *) ( * ( * untuk ( * Bukti lengkap.

19 SIMPULAN Rumusan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat adalah ( * dengan [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] dengan saat [ ]. Penduga bagi fungi nilai harapan dengan rumusan ini merupakan penduga yang konsisten lemah. Bias, ragam, dan mean squared error (MSE) dari penduga bagi fungsi nilai harapan konvergen ke nol dengan laju ( ). DAFTAR PUSTAKA Capinski M, Kopp E. 2007. Measure, Integral and Probability. 2 nd Ed. New York (US): Sringer. Casella G, Berger RL. 1990. Statistical Inference. Pasific Grove, California: Wadsworth & Brooks/ Cole. Cressie NAC. 1993. Statistics for Spatial Data. Revised Edition. New York: Wiley. DasGupta A. 2011. Probability for Statisticsand Machine Learning: Fundamentals and Advanced Topics. New York (US): Springer. Dudley R.M. 1989. Real Analysis and Probability. California: Wadsworth & Brooks. Ghahramani S. 2005. Fundamental of Probability. Ed. ke-3. New York: Prentice Hall. Hogg RV, McKean JW, Craig AT. 2014. Introduction to Mathematical Statistics. Ed. ke-7. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall. Mangku IW. 2001. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process (Ph.D.Thesis). Amsterdam: University of Amsterdam. Putra D. 2012. Kekonsistenan penduga dari fungsi sebaran dan fungsi kepekatan waktu tunggu dari proses Poisson periodik dengan tren fungsi pangkat [tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.

20 Ross SM. 2010. Introduction to Probability Models. Ed. ke-9. Orlando, Florida: Academic Press Inc. Ruhiyat. 2013. Pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk [tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor. Serfling RJ. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New York: John Wiley & Sons. Stewart J. 2001. Kalkulus. Jilid 1. Ed. ke-4. Susila, I Nyoman dan Gunawan, Hendra, alih bahasa: Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Calculus. Wibowo B. 2014. Pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.

21 Lampiran 1 Perumusan nilai harapan dari proses Poisson majemuk Bukti persamaan (4) : [ ] [ ] Berdasarkan persamaan (19), [ ] Dengan menggunakan sifat nilai harapan, * + * + * ( )+. Selanjutnya terlebih dahulu ( ) ( + karena barisan peubah acak bebas terhadap proses. Kemudian, karena adalah barisan peubah acak i.i.d, maka, sehingga ( ). Akhirnya diperoleh [ ] [ ][ ]. Bukti lengkap.

22 Lampiran 2 Penjabaran Bukti persamaan (6) : sebagai nilai harapan dari ( ) Berdasarkan Ruhiyat (2013): ( ), sehingga diperoleh. Bukti lengkap.

23 Lampiran 3 Penduga bagi fungsi intensitas global ( Bukti persamaan (10) Misal. Untuk setiap s ϵ [0,n] dan setiap k bilangan positif. Untuk setiap kτ ϵ [0,n], sehingga dapat ditulis sebagai berikut Perhatikan bahwa [ ] [ ] ( [ ] [ ] ) ( ( [ ] [ ] ) ( [ ] [ ] ) ( ) ( [ ] [ ] ) Karena untuk, maka ( [ ] [ ] ) Sehingga didapat penduga untuk θ yaitu [ ] [ ]

24 Lampiran 4 Penduga bagi fungsi intensitas sebagian ( ) Bukti persamaan (11) Penduga. Misal. Untuk setiap s ϵ [0,n] dan setiap k bilangan positif. Untuk setiap kτ ϵ [0,n], sehingga dapat ditulis sebagai berikut Perhatikan bahwa [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Karena untuk, maka [ ] [ ] Sehingga didapat penduga untuk yaitu [ ] [ ]

25 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Kudus pada tanggal 12 Maret 1994 sebagai anak kedua dari dua bersaudara dari pasangan Sukandar dan Suti ah. Tahun 2011 penulis lulus dari SMA 1 Kudus dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur undangan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) IPB dan diterima di Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Metode Statistika pada semester ganjil tahun ajaran 2013/2014, asisten mata kuliah Proses Stokastik pada semester genap tahun ajaran 2014/2015, dan menjadi pengajar SMA mata pelajaran Matematika pada tahun 2013-2014. Penulis mendapatkan beasiswa PPA pada tahun 2012-2013 dan beasiswa Karya Salemba Empat (KSE) pada tahun 2013-2014. Penulis juga aktif pada kegiatan kemahasiswaan, antara lain staf Departemen Friendship Badan Eksekutif Mahasiswa (BEM) TPB pada tahun 2011/2012, staf Komisi I Dewan Perwakilan Mahasiswa (DPM) FMIPA IPB pada tahun 2012/2013, sekretaris Badan Pekerja (BP) 3 MPM KM IPB 2012/2013, staf Divisi Internal Organisasi Mahasiswa Daerah (OMDA) KKB 2012/2013, dan sekretaris Komisi IV Dewan Perwakilan Mahasiswa (DPM) FMIPA IPB 2013/2014. Selain itu, penulis juga terlibat dalam beberapa kegiatan kepanitiaan, antara lain koordinator konsumsi kegiatan Verifikasi UKM MPM KM IPB pada tahun 2013, sekretaris kegiatan Hubungan Kelembagaan MPM KM IPB pada tahun 2013, bendahara kegiatan MUSTA IKAHIMATIKA pada tahun 2013, koordinator Verifikasi dan Kampanye Pemilihan Raya Eksekutif FMIPA IPB pada tahun 2013, staf Divisi Acara kegiatan G-FORCE FMIPA IPB tahun 2013, staf Divisi Humas MPD Matematika IPB tahun 2013, dan sekretaris Pemilihan Raya Legislatif FMIPA IPB pada tahun 2014.