STATISTIK PERTEMUAN VI

STATISTIK PERTEMUAN VI

1. TEORI PENDUKUNG 1.1 Pendahuluan 1. Variabel acak 1.3 Distribusi variabel acak diskrit 1.4 Distribusi variabel acak kontinu 1.5 Distribusi multivariat

1.1 Pendahuluan Definisi 1: Ruang sampel adalah Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak. Notasi : S Definisi : Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Sifat : Kejadian A dan B dikatakan saling lepas jika A B Prostok-1-firda 3

Jika A suatu kejadian, maka peluang kejadian A, ditulis P( A)atau P{ A} dengan sifat: ( i)0 P( A) 1 ( ii) P( S) 1 dan P( ) 0. ( iii) Untuksetiapkejadian A, P( A') 1 P( A). Jika A B,maka P( A) P( B). Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P( A B) P( A) P( B) P( AB). Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika P( AB) P( A) P( B). Prostok-1-firda 4

Jika A dan B dua kejadian, dengan PA ( ) 0, peluang bersyarat B diberikan A, didefinisikan sebagai: P B A P( A B) PA ( ) Teorema Bayes : A, A,..., Ak Jika kejadian-kejadian 1 adalah partisi dari ruang sampel S maka untuk kejadian B sembarang dari S sedemikian sehingga P(B)>0 berlaku: P( A ) ( ). ( ) i B P B Ai P Ai P( Ai B) k PB ( ) P( B A ). P( A ) i1 i i 5

1. Variabel Acak Definisi 3: Variabel acak adalah suatu fungsi dari ruang sampel ke himpunan bilangan real. (R) Variabel acak dinyatakan dengan huruf kapital, sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil. Jika X variabel acak, maka nilainya dinyatakan dengan x, dan peluang kejadian X bernilai kurang dari atau sama dengan x dinyakan dengan P( X x). 6

Klasifikasi Variabel Acak: 1. Variabel Acak Diskrit Variabel acak X dikatakan variabel acak diskrit jika semua nilai yang mungkin dari X membentuk himpunan bilangan terbilang (berupa bilangan cacah).. Variabel Acak Kontinu Variabel acak X dikatakan variabel acak kontinu jika semua nilai yang mungkin dari X membentuk himpunan bilangan tak terbilang (berupa bilangan real). 7

Definisi 4: Fungsi kepadatan peluang untuk variabel acak diskrit disebut fungsi massa peluang (fmp) atau probability mass function (pmf), atau fungsi peluang, ditulis : p( x) P( X x) Fungsi kepadatan peluang untuk variabel acak kontinu disebut fungsi padat peluang (fpp) atau probability density function (pdf) atau fungsi densitas, ditulis f(x). b P( a X b) f ( x) dx a 8

Definisi 5: Fungsi distribusi komulatif (cdf) dari variabel acak X adalah: F( x) P( X x), x Untuk variabel acak diskrit : F( x) P( X x) p( t) tx Untuk variabel acak kontinu : F( x) P( X x) f ( t) dt x 9

Definisi 6: (i) Jika X variabel acak diskrit dengan fungsi masa peluang p(x), maka nilai ekspektasi dari X didefinisikan sebagai: E( X ) xp( x) x (ii) Jika X variabel acak kontinu dengan fungsi densitas peluang f(x), maka nilai ekspektasi dari X didefinisikan sebagai: E( X ) x f ( x) dx Prostok-1-firda 10

Definisi 7: Variansi dari variabel acak X dinyatakan sebagai: Definisi 8: Var X E X E X ( ) ( ) ( ) Fungsi pembangkit momen (fpm/mgf) dari variabel acak X merupakan salah satu bentuk khusus ekspektasi, yaitu M () t E e X tx tx e p( x), x tx e f ( x) dx, X variabel acak diskrit X variabel acak kontinu 11

1.3 Distribusi variabel acak diskrit a. Distribusi Bernoulli pmf: p x p q x x 1x ( ), 0,1 mean: E( X ) p variansi: Var( X ) p(1 p) pq 1

b. Distribusi Binomial Peubah acak X menyatakan banyaknya sukses dalam n usaha percobaan binomial pmf: n x nx p( x) p q, x 0,1,..., n x mean: E( X ) np varians: Var( X ) npq 13

c. Distribusi Geometri Peubah acak X yang menyatakan banyaknya usaha sampai terjadinya sukses pertama kali pmf: p x pq x x1 ( ), 1,,3,... mean: varians: EX ( ) 1 p Var ( X ) q p 14

d. Distribusi Poisson Peubah acak X menyatakan banyaknya sukses dalam n usaha percobaan poison pmf: x e p( x), x 0,1,,... x! mean: EX ( ) varians: Var( X ) 15

1.4 Distribusi variabel acak kontinu a. Distribusi Uniform pdf: mean: varians: 1 f ( x), a x b b a E( X) a Var ( X ) b ( ) b a 1 16

b. Distribusi Eksponensial pdf: x f ( x) e, x 0 mean: EX ( ) 1 varians: Var( X ) 1 17

c. Distribusi Normal pdf: 1 e 1 ( x ) f ( x), x mean: EX ( ) varians: Var( X ) 18

X Bernoulli ( p) Distribusi Peluang Diskrit Fungsi peluang (Pmf) Mean Varians i p x p q x x 1x ( ), 0,1 Mgf p pq t q pe X B( n, p) n x nx p( x) p q, x x 0,1,..., n n np npq ( t q pe X GEO( p) p x x1 ( ) pq, x 1,,3,... 1 p q pe t p (1 qe ) t X POI ( ) x e px ( ), x! x 0,1,,... e (1 e ) t 19

Distribusi Peluang Kontinu Fungsi densitas (Pdf) Mean Variansi Mgf X U( a, b) 1 f ( x), a x b b a a b ( b a) 1 bt at e e t( b a) X EXP( ) x f ( x) e, x 0 1 1 t X GAM (, k) X N (, ) k k 1 x x e f ( x), x 0 ( k) 1 1 ( x ) f( x) e, x k k t 1 t e k t 0

1.5 Distribusi multivariat a. Jika X dan Y variabel acak diskrit, maka (i) Pmf bersama (gabungan) dari X dan Y : p ( x, y) P( X x, Y y) XY (ii) Distribusi bersama dari X dan Y : F ( x, y) p ( a, b) XY ax by (iii) Pmf marjinal dari X : XY px ( x) pxy ( x, y) (iv) Pmf marjinal dari Y : py ( y) pxy ( x, y) x y 1

(v) Pmf bersyarat dari X diberikan Y=y : pxy ( x, y) px Y ( x y), py ( y) 0 p ( y) Y (vi) Distribusi bersyarat dari X diberikan Y=y : pxy ( a, y) FX Y ( x y), py ( y) 0 p ( y) ax Y (vii) Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y=y : E[ X Y y] x. p ( x y) XY x Prostok-1-firda

b. Jika X dan Y variabel acak kontinu, maka (i) Pdf bersama (gabungan) dari X dan Y : f XY ( x, y) F( x, y) y x (ii) Distribusi bersama dari X dan Y : y x F ( x, y) f ( s, t) ds dt XY (iii) Pdf marjinal dari X : XY f X ( x) f XY ( x, y) dy (iv) Pdf marjinal dari Y : fy ( y) f XY ( x, y) dx x y 3

(v) Pdf bersyarat dari X diberikan Y=y : f XY ( x, y) f XY ( x y), f ( y) 0 f ( y) Y (vi) Distribusi bersyarat dari X diberikan Y=y : x f XY ( t, y) FXY ( x y) dt f ( y) Y (vii) Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y=y : ( ) E X Y y xf XY x y dx 4

E[ X Y] E[ X ] E[ Y] Kovariansi dari X dan Y: Cov( X, Y) E[ XY ] E[ X ] E[ Y] Koefisien korelasi dari X dan Y: ( XY, ) Cov( X, Y) Var( X ). Var( Y ) 5

Soal 1. Jika X,Y variabel acak saling bebas dan masingmasing berdistribusi Poisson dengan mean dan. Tunjukkan bahwa variabel acak X+Y berdistribusi Poisson dengan mean. 1 1. Jika X variabel acak non negatif dengan distribusi F( x). Asumsikan F(0) 0,, tunjukkan bahwa a. E( X ) (1 F( x)) dx 0 1. ( n n be X ) nx (1 F( x)) dx Prostok-1-firda 0 6