PENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN FUNGSI PANGKAT PROSES POISSON NON-HOMOGEN WINDIANI ERLIANA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Fungsi Periodik Kali Tren Fungsi Pangkat Proses Poisson Non-Homogen adalah benar karya saya dengan arahan dari dosen pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Mei 2013 Windiani Erliana NIM G54090029
ABSTRAK WINDIANI ERLIANA. Pendugaan Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Fungsi Periodik Kali Tren Fungsi Pangkat Proses Poisson Non- Homogen. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan HADI SUMARNO. Pada karya ilmiah ini dibahas penyusunan penduga konsisten bagi komponen periodik fungsi intensitas yang berbentuk fungsi periodik kali tren fungsi pangkat pada suatu proses Poisson non-homogen dengan menggunakan fungsi kernel seragam. Diasumsikan bahwa periode dari komponen periodik tersebut diketahui. Penduga yang disusun bagi komponen periodik tersebut hanya menggunakan realisasi tunggal dari proses Poisson yang diamati pada interval [0,n]. Telah dibuktikan bahwa Mean Square Error (MSE) penduga konvergen menuju nol untuk. Selain itu, diformulasikan aproksimasi asimtotik bagi bias, ragam, dan MSE dari penduga yang dikaji serta bandwith optimal asimtotik bagi penduga tersebut. Kata kunci: aproksimasi asimtotik, fungsi intensitas, kekonsistenan, proses Poisson periodik, tren fungsi pangkat ABSTRACT WINDIANI ERLIANA. Estimation of Periodic Component of the Intensity Function of Form Periodic Function Multiplied by Power Function Trend of a Non-Homogeneous Poisson Process. Supervised by I WAYAN MANGKU and HADI SUMARNO. This manuscript is concerned with construction of a consistent estimator for periodic component of the intensity function which is periodic function multiplied by power function trend of a non-homogeneous Poisson process by using uniform kernel function. It is assumed that the period of the periodic component is known. The estimator is constructed using a single realization of a Poisson process observed in the interval [0,n]. Mean Square Error (MSE) of the estimator has been proved converges to zero as. In addition, asymptotic approximations to the bias, variance, and MSE of the estimator have been formulated. An asymtotically optimal bandwith for this estimator is also determined. Keywords: asymptotic approximation, consistency, intensity function, periodic Poisson process, power function trend.
PENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN FUNGSI PANGKAT PROSES POISSON NON-HOMOGEN WINDIANI ERLIANA Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013
Judul Skripsi : Pendugaan Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Fungsi Periodik Kali Tren Fungsi Pangkat Proses Poisson Non-Homogen Nama : Windiani Erliana NIM : G54090029 Disetujui oleh Dr Ir I Wayan Mangku, MSc Pembimbing I Dr Ir Hadi Sumarno, MS Pembimbing II Diketahui oleh Dr Berlian Setiawaty, MS Ketua Departemen Tanggal Lulus:
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia- Nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Pendugaan Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Fungsi Periodik Kali Tren Fungsi Pangkat Proses Poisson Non-Homogen ini berhasil diselesaikan. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir I Wayan Mangku, MSc dan Bapak Dr Ir Hadi Sumarno, MS selaku dosen pembimbing serta Ibu Dr Ir Endar H Nugrahani, MS selaku dosen penguji yang telah memberikan saran dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada mama, ayah, kak Angga (alm), kak Anggi (alm), teh Dedew beserta kak Ichsan, Delia, Rizky, Zikry, dan Rama atas segala doa dan kasih sayangnya. Selain itu, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada yayasan Tanoto Foundation, teman-teman Math 46, SERUM-G, Ar-rojaa, dan Matematika Terapan angkatan 7. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat. Bogor, Mei 2013 Windiani Erliana
DAFTAR ISI DAFTAR LAMPIRAN PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Perumusan Masalah 2 Tujuan Penelitian 2 REVIEW PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS PADA PROSES POISSON PERIODIK 2 PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN FUNGSI PANGKAT PADA PROSES POISSON NON- HOMOGEN Error! Bookmark not defined.4 Perumusan Penduga 4 Aproksimasi Asimtotik bagi Bias, Ragam, dan MSE 10 Penentuan Bandwith Optimal Asimtotik 14 Contoh Penyusunan Penduga Menggunakan Data Bangkitan 16 SIMPULAN 17 DAFTAR PUSTAKA 19 LAMPIRAN 20 RIWAYAT HIDUP 23 vi
DAFTAR LAMPIRAN 1 Formula Young dari Teorema Taylor 20 2 Program Simulasi 21
PENDAHULUAN Latar Belakang Proses stokastik merupakan proses yang menggambarkan suatu kejadian atau fenomena yang bersifat tidak pasti. Proses ini berguna untuk memodelkan fenomena yang berkaitan dengan aturan peluang seperti pergerakan harga saham, proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat layanan (customer service), dan banyaknya klaim yang datang ke suatu perusahaan asuransi. Oleh sebab itu, untuk memprediksi bagaimana fenomena-fenomena tersebut terjadi di masa yang akan datang diperlukan suatu peramalan atau pendugaan. Peramalan atau pendugaan tersebut berguna untuk memeroleh informasi mengenai perubahan di masa yang akan datang. Proses stokastik dapat diklasifikasikan menjadi proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Pada karya ilmiah ini pembahasan hanya difokuskan pada salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu yaitu proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik merupakan suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya berupa fungsi periodik. Bentuk fungsi intensitas pada periode sebelumnya dengan sesudahnya dapat memiliki bentuk yang sama tetapi juga dapat memiliki bentuk yang berbeda. Jika bentuk fungsi intensitasnya sama antar periode, maka fungsi intensitas tersebut merupakan fungsi intensitas periodik tanpa tren. Sebaliknya, jika proses Poisson memiliki fungsi intensitas yang berbeda antar periode, maka fungsi intensitas tersebut merupakan fungsi intensitas periodik dengan tren. Pada umumnya bentuk fungsi intensitas yang berbeda tersebut memiliki pola yang serupa. Oleh sebab itu, dalam kehidupan sehari-hari proses Poisson periodik berguna untuk memprediksi suatu kejadian pada periode berikutnya. Misalnya, pada proses banyaknya nasabah yang datang ke suatu bank dalam periode satu hari. Kedatangan nasabah ke suatu bank pada hari-hari sebelumnya biasanya memiliki pola yang serupa dengan kedatangan nasabah pada hari-hari berikutnya. Dalam proses Poisson periodik terdapat dua jenis fungsi intensitas, yaitu fungsi intensitas global dan fungsi intensitas lokal. Fungsi intensitas lokal pada proses Poisson periodik menyatakan laju dari proses tersebut di titik s. Dalam proses kedatangan nasabah ke suatu bank, fungsi intensitas lokal pada proses tersebut menyatakan laju kedatangan nasabah pada waktu s. Jika laju kedatangan nasabah antara periode sebelumnya dengan periode berikutnya meningkat berdasarkan suatu fungsi pangkat terhadap waktu, maka model yang lebih tepat untuk digunakan adalah proses Poisson periodik dengan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat, sehingga dalam jangka waktu yang panjang model periodik ini memerlukan fungsi intensitas yang mengakomodasi adanya suatu tren. Pada kajian ini dibahas pendugaan komponen periodik dari fungsi intensitas yang berbentuk fungsi periodik dikali tren berupa fungsi pangkat pada proses Poisson non-homogen.
2 Perumusan Masalah Misalkan adalah proses Poisson non-homogen pada interval dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui dan diasumsikan fungsi intensitas tersebut terintegralkan lokal. Diasumsikan pula bahwa fungsi intensitas ini merupakan perkalian antara komponen periodik dan komponen tren berbentuk fungsi pangkat, sehingga untuk setiap fungsi intensitas dapat dinyatakan sebagai berikut dengan merupakan fungsi periodik dengan periode diketahui. Konstanta a merupakan kemiringan dari tren dengan. Persamaan (1) juga dapat dituliskan menjadi dengan juga merupakan fungsi periodik. Misalkan, maka persamaan (2) menjadi. (3) Karena fungsi intensitas tersebut tidak diketahui, maka diperlukan suatu metode untuk menduga fungsi tersebut. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menduga fungsi intensitas tersebut adalah metode penduga tipe kernel. Pada karya ilmiah ini dikaji penyusunan penduga konsisten bagi pada dengan hanya menggunakan realisasi tunggal dari suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas seperti pada persamaan (3) yang diamati pada interval. Realisasi tersebut terdefinisi dalam ruang peluang dengan. Tujuan Penelitian Tujuan dari karya ilmiah ini ialah 1 merumuskan penduga komponen periodik fungsi intensitas berbentuk fungsi periodik kali tren fungsi pangkat suatu proses Poisson non-homogen dengan fungsi kernel seragam, 2 membuktikan kekonsistenan penduga yang dikaji, 3 menentukan aproksimasi asimtotik bagi bias penduga, 4 menentukan aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga, 5 menentukan aproksimasi asimtotik bagi Mean Square Error (MSE) penduga, 6 menentukan bandwidth optimal dari penduga. (1) (2) REVIEW PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS PADA PROSES POISSON PERIODIK Fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik merupakan laju dari proses Poisson tersebut. Terdapat dua jenis fungsi intensitas, yaitu fungsi intensitas lokal dan fungsi intensitas global. Perbedaan antara dua fungsi intensitas tersebut adalah fungsi intensitas lokal merupakan laju dari proses Poisson di titik tertentu,
sedangkan fungsi intensitas global merupakan rata-rata laju dari proses Poisson pada interval dengan panjang menuju tak hingga. Pendugaan fungsi intensitas lokal pada suatu proses Poisson periodik di suatu titik s dapat dihampiri dengan rata-rata banyaknya kejadian proses Poisson tersebut di sekitar titik s, sedangkan pendugaan fungsi intensitas global diduga dengan memperkirakan rata-rata banyaknya kejadian proses Poisson dalam interval waktu. Secara matematis, pendugaan fungsi intensitas lokal di sekitar titik s dapat dituliskan sebagai 3 dengan dan N menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu, sedangkan hampiran untuk fungsi intensitas global dapat dituliskan Berdasarkan periodenya, pendugaan fungsi intensitas pada suatu proses Poisson periodik dikategorikan menjadi dua, yaitu jika periodenya diketahui dan jika periodenya tidak diketahui. Pendugaan fungsi intensitas yang periodenya tidak diketahui lebih rumit jika dibandingkan dengan pendugaan fungsi intensitas yang periodenya diketahui. Meskipun demikian, Helmers et al. (2003) telah mengkaji kekonsistenan penduga tipe kernel dari fungsi intensitas untuk suatu proses Poisson periodik yang tidak diketahui periodenya. Untuk kasus pendugaan fungsi intensitas yang periodenya diketahui telah dilakukan kajian perumusan penduga tipe kernel serta pembuktian kekonvergenan lemah dan kuat dari penduga tersebut (Mangku 2006a) dan pembuktian kenormalan asimtotik dari penduga yang diperoleh (Mangku 2006b). Pemodelan suatu proses Poisson periodik terus berkembang dengan menyertakan komponen tren dalam fungsi intensitasnya. Berdasarkan penelitianpenelitian yang telah dilakukan, komponen tren tersebut terdiri atas dua jenis, yaitu komponen tren yang berbentuk aditif dan multiplikatif. Helmers dan Mangku (2009) telah mengkaji pendugaan fungsi intensitas pada suatu proses Poisson periodik dengan menyertakan komponen tren linear yang berbentuk aditif. Kemudian, penelitian tentang kekonsistenan penduga fungsi intensitas pada suatu proses Poisson periodik ini berkembang dengan menyertakan komponen tren linear yang berbentuk multiplikatif (Mangku 2011). Hal yang sama pun dikaji oleh Ismayulia (2011), perbedaannya adalah tipe kernel yang digunakan oleh Mangku (2011) adalah fungsi kernel umum, sedangkan Ismayulia (2011) menggunakan fungsi kernel seragam. Selain itu, telah dikaji pula pendugaan fungsi intensitas pada suatu proses Poisson periodik dengan menyertakan komponen tren kuadratik yang berbentuk multiplikatif (Ramdani 2011).
4 PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN FUNGSI PANGKAT PADA PROSES POISSON NON-HOMOGEN Perumusan Penduga Masalah pendugaan fungsi intensitas pada persamaan (3) dapat disederhanakan dengan hanya menduga komponen periodik dari fungsi intensitas yaitu. Fungsi merupakan fungsi periodik dengan periode, sehingga untuk menduga pada cukup diduga pada. Berdasarkan sifat keperiodikan, maka dapat dituliskan menjadi (4) berlaku untuk setiap dan, dengan adalah himpunan bilangan bulat. Penduga bagi pada dapat dirumuskan sebagai berikut dengan N menyatakan banyaknya kejadian pada interval dan adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke nol, yaitu (5) untuk. Berikut dijelaskan proses penyusunan penduga bagi pada dalam interval pengamatan [0,n], yaitu. Penyusunan penduga bagi fungsi intensitas ini dapat didekati dengan rata-rata banyaknya kejadian di sekitar titik. Rata-rata banyaknya kejadian di sekitar titik s dapat diamati pada interval -. Oleh sebab itu, penduga bagi, dinotasikan, diperoleh dengan menentukan rata-rata banyaknya kejadian pada interval -. Secara matematis dapat dituliskan menjadi Dari persamaan (3) dan (6) diperoleh penduga bagi komponen periodik fungsi intensitas, yaitu (6) (7) Berdasarkan sifat keperiodikan ditulis menjadi pada persamaan (4), persamaan (7) dapat (8) dengan k adalah bilangan bulat tak negatif dan banyaknya kejadian di sekitar dibagi. Definisikan menyatakan rata-rata sebagai banyaknya bilangan bulat k sehingga, maka nilai rata-rata dari semua rataan pada persamaan (8) untuk semua k adalah
5 (9) Karena, maka penduga bagi pada titik adalah Penduga pada persamaan (10) adalah bentuk umum dari penduga yang dibahas pada Ismayulia (2011) dan Ramdani (2011). Teorema 1 (Kekonvergenan MSE Penduga) Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi dipenuhi dan, maka untuk, asalkan s adalah titik Lebesgue bagi. Bukti: Berdasarkan definisi MSE, yaitu (10) dengan - (Casella dan Berger 2002), Teorema 1 merupakan akibat dari dua Lema berikut, yaitu Lema 1 tentang ketakbiasan asimtotik dan Lema 2 tentang kekonvergenan ragam. Lema 1 (Ketakbiasan Asimtotik) Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi dipenuhi maka untuk, asalkan s adalah titik Lebesgue bagi. Dengan kata lain, adalah penduga tak bias asimtotik bagi. Bukti: Untuk membuktikan, akan ditunjukkan bahwa Nilai harapan dari penduga adalah (11) Karena menjadi tidak mengandung indeks k, maka persamaan (11) dapat ditulis Karena N menyatakan suatu proses Poisson non-homogen, maka nilai harapan dari N - dapat dirumuskan menjadi (12)
6 Misalkan -, maka. Dengan melakukan penggantian peubah pada persamaan (13), maka diperoleh (13) (14) Karena fungsi intensitas memenuhi persamaan (3), maka Berdasarkan sifat keperiodikan pada persamaan (4), persamaan (15) dapat ditulis menjadi (15) Selanjutnya, persamaan (16) disubstitusikan ke persamaan (12), sehingga diperoleh Persamaan (17) juga ekuivalen dengan Dengan menggunakan formula Young dari Teorema Taylor (Serfling 1980) diperoleh (16) (17) (18) untuk (Lampiran 1). Oleh sebab itu, persamaan (18) menjadi (19) Suku pertama pada ruas kanan dari persamaan (19) dapat ditulis menjadi
7 Untuk menunjukkan bahwa suku pertama dari persamaan (20) konvergen menuju nol, digunakan nilai yang lebih besar, yaitu Berdasarkan asumsi untuk dan asumsi bahwa titik s merupakan titik Lebesgue dari, maka diperoleh (20) (21) (Wheeden dan Zygmund 1977), maka kuantitas pada (21) konvergen ke nol untuk atau dapat ditulis o. Suku kedua pada ruas kanan dari persamaan (20) dapat diuraikan menjadi Akibatnya, suku pertama dari persamaan (19) menjadi sedangkan suku kedua pada ruas kanan persamaan (19) menjadi untuk. Dengan menggabungkan hasil yang diperoleh dari suku pertama dan kedua dari persamaan (19), maka diperoleh. Lema 2 (Kekonvergenan Ragam) untuk Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi, terbatas di sekitar s, dan 1, untuk, 2, 3, untuk, dipenuhi, maka untuk. Bukti: Ragam dari penduga adalah
8 Karena untuk, maka untuk nilai n yang cukup besar, interval - dan - untuk tidak tumpang tindih. Akibatnya, berdasarkan sifat inkremen bebas dari proses Poisson, diperoleh bahwa N - dan N - untuk berikut adalah peubah acak bebas, sehingga dapat dihitung sebagai Karena N merupakan peubah acak Poisson, maka nilai ragam N sama dengan nilai harapan N, sehingga diperoleh Berdasarkan persamaan (16), maka persamaan (22) menjadi (22) (23) Dengan menggunakan formula Young dari Teorema Taylor (Serfling 1980), maka diperoleh (Lampiran 1). (24) Karena, maka persamaan (24) dapat ditulis menjadi Persamaan (25) diuraikan menjadi tiga kasus, yaitu jika, maka untuk,
9 jika, maka untuk, jika, maka untuk, dengan. Dengan demikian, persamaan (23) dapat ditulis sebagai berikut. Jika, maka Jika, maka Jika, maka Karena terbatas di sekitar s, maka terdapat suatu konstanta K sehingga untuk setiap s -. Selanjutnya, integralkan pertidaksamaan untuk - menjadi
10 (29) Kalikan kedua ruas persamaan (29) dengan sedemikian sehingga (30) Karena -, maka pertidaksamaan (30) dapat ditulis menjadi (31) Pertidaksamaan (31) ekuivalen dengan sehingga berdasarkan persamaan (32) ruas kanan pada persamaan (26), (27), dan (28) berturut-turut dapat ditulis sebagai berikut. Jika, maka (32) Jika, maka Jika, maka Persamaan (33), (34), dan (35) konvergen ke nol untuk. Oleh sebab itu, diperoleh bahwa untuk. Lema 1 (ketakbiasan asimtotik) menunjukkan bahwa, sehingga diperoleh -. Akibatnya, berdasarkan definisi MSE (Casella dan Berger 2002) diperoleh. Dengan demikian, Teorema 1 terbukti. Aproksimasi Asimtotik bagi Bias, Ragam, dan MSE Teorema 2 (Aproksimasi Asimtotik bagi Bias) Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi dipenuhi,, dan memiliki turunan kedua berhingga pada s, maka
11 untuk. Bukti: Berdasarkan persamaan (12), nilai harapan dari menjadi dapat dituliskan Pada bukti Lema 1, persamaan (19) menunjukkan bahwa nilai harapan dari dapat dituliskan menjadi Karena memiliki turunan kedua pada s, maka kontinu pada s. Akibatnya, memiliki nilai yang terbatas di sekitar s. Dengan menggunakan formula Young dari Teorema Taylor (Serfling 1980), maka diperoleh untuk. Bila diuraikan menjadi untuk. Misalkan, maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi untuk, sehingga (36) Suku pertama dari ruas kanan pada persamaan (36) dapat dituliskan menjadi (37) suku kedua dapat dituliskan menjadi (38) dan suku ketiga dapat diuraikan menjadi (39) serta suku terakhir dari persamaan (36) dapat dituliskan menjadi
12 (40) untuk. Kemudian hasil uraian dari persamaan (37), (38), (39), dan (40) digabungkan sehingga persamaan (36) dapat dituliskan sebagai berikut untuk. Akibatnya, ruas kanan dari persamaan (19) menjadi untuk. (41) Berdasarkan asumsi, maka O untuk, sehingga persamaan (36) dapat ditulis menjadi untuk. Jadi, Teorema 2 terbukti. Teorema 3 (Aproksimasi Asimtotik bagi Ragam) Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi dipenuhi dan s adalah titik Lebesgue bagi, maka untuk dengan. Bukti : Berdasarkan bukti pada Lema 2, ragam dari terbagi ke dalam tiga kasus, yaitu seperti pada persamaan (26), (27), dan (28). Pada bukti Lema ketakbiasan asimtotik telah ditunjukkan bahwa jika. Kemudian suku kedua pada ruas kanan persamaan (26), (27), dan (28) berturut-turut sama seperti suku kedua pada ruas kanan persamaan (33), (34), dan (35) serta konvergen ke nol. Akibatnya, suku pertama dari persamaan (26), (27), dan (28) berturut-turut dapat ditulis sebagai berikut. Jika, maka
13 untuk. Jika, maka untuk. Jika, maka untuk. Dengan demikian, Teorema 3 terbukti. Untuk kasus b = 2, maka penduga bagi kasus tersebut adalah. Aproksimasi asimtotik bagi ragam Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga tersebut sama seperti yang dikaji oleh Ramdani (2011). Teorema 4 (Aproksimasi Asimtotik bagi MSE) Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi dipenuhi dan memiliki turunan kedua berhingga pada s, maka untuk dengan. Bukti: Dengan menggunakan definisi MSE diperoleh
14 (42) untuk. Karena memiliki turunan kedua berhingga pada s, maka. Akibatnya, persamaan (42) menjadi Dengan menggunakan Teorema 3, maka persamaan (43) dapat ditulis sebagai berikut. Jika, maka untuk. Jika, maka untuk. Jika, maka untuk. Dengan demikian, Teorema 4 terbukti. Penentuan Bandwith Optimal Asimtotik (43) (44) (45) (46) Suatu penduga yang baik adalah penduga yang memiliki MSE bernilai minimum. Misalkan merupakan fungsi yang menyatakan suku utama dari, yaitu untuk, untuk, untuk, Nilai MSE yang minimum dapat diperoleh dengan mencari nilai yang minimum. Langkah pertama untuk mendapatkan nilai yang minimum adalah dengan membuat turunan pertama dari sama dengan nol untuk nilai n yang tetap, yaitu untuk,
15 untuk, untuk, Selanjutnya, diperiksa apakah meminimumkan, yaitu dengan cara memeriksa turunan kedua dari, yaitu untuk, untuk,
16 untuk, Karena,, n,,, dan bernilai positif, maka. Oleh sebab itu, yang telah diperoleh tersebut meminimumkan, sehingga nilai optimal bagi bandwith sebagai berikut. Untuk, Untuk, Untuk, Bandwith optimal yang diperoleh tersebut bersifat asimtotik karena nilai tidak diketahui. Contoh Penyusunan Penduga Menggunakan Data Bangkitan Penyusunan penduga dengan menggunakan data bangkitan ini secara komputasi dilakukan dengan menggunakan program R. Program R tersebut digunakan untuk membangkitkan suatu realisasi proses Poisson periodik dengan ukuran sampel yang terbatas. Ukuran sampel yang dipilih pada contoh simulasi ini adalah [0,500]. Metode yang digunakan untuk membangkitkan realisasi dari proses Poisson tersebut adalah metode Monte Carlo. Data yang dibangkitkan dengan metode Monte Carlo tersebut digunakan untuk menduga fungsi intensitas dari proses Poisson periodik. Dalam simulasi ini digunakan fungsi intensitas seperti yang telah didefinisikan pada persamaan (3), yaitu dengan merupakan komponen periodik dan merupakan komponen tren. Parameter yang dipilih untuk fungsi intensitas di atas adalah,,, dan, sehingga fungsi intensitas tersebut dapat dituliskan menjadi Bila fungsi intensitas tersebut dibandingkan dengan dugaannya pada interval pengamatan [0,500], maka nilai dugaan akan menghampiri nilai dari fungsi intensitas yang sebenarnya (Gambar 1).
17 Gambar 1 Fungsi intensitas pengamatan [0,500] dan nilai dugaannya pada interval Berdasarkan Teorema 2 dan Teorema 3, aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan, bias, dan ragam penduga yang diperoleh adalah berturut-turut sebesar 8.56473, 0.121989,dan 0.0105053. Selanjutnya, dilakukan simulasi Monte Carlo dengan ulangan sebanyak 500 kali untuk memverifikasi pendekatan asimtotik untuk bias dan ragam penduga dari di titik s = 5.5. Dari simulasi tersebut diperoleh nilai harapan dan ragam penduga adalah berturut-turut sebesar 8.104348 dan 0.02260234. Bila nilai harapan yang diperoleh dari hasil simulasi ini dibandingkan dengan nilai aproksimasi asimtotiknya, maka kesalahan yang dihasilkan sebesar 5.68 %. SIMPULAN Pada karya ilmiah ini dibahas penyusunan penduga konsisten bagi komponen periodik fungsi intensitas dari suatu proses Poisson non-homogen yang berbentuk fungsi periodik dikali tren berupa fungsi pangkat. Fungsi intensitas tersebut tidak diketahui dan diasumsikan terintegralkan lokal. Untuk setiap, fungsi intensitas dapat dinyatakan sebagai berikut dengan merupakan fungsi periodik dengan periode diketahui dan konstanta a > 0 merupakan kemiringan dari tren. Misalkan, maka fungsi intensitas dapat dituliskan menjadi dengan juga merupakan fungsi periodik. Masalah pendugaan fungsi intensitas tersebut dapat disederhanakan dengan hanya menduga pada. Penduga bagi di titik adalah
18 dengan N menyatakan banyaknya kejadian pada interval [0,n] dan h n adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke nol yang disebut bandwith. Berdasarkan kajian yang dilakukan, dapat disimpulkan sebagai berikut. 1 Penduga bagi, dinotasikan, adalah penduga tak bias asimtotik dan untuk. Oleh sebab itu, diperoleh untuk. 2 Aproksimasi asimtotik bagi bias penduga adalah untuk. 3 Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga adalah untuk dengan. 4 Aproksimasi asimtotik bagi MSE penduga adalah untuk dengan. 5 Bandwith optimal yang meminimumkan aproksimasi asimtotik dari MSE penduga sebagai berikut. Untuk, Untuk, Untuk,
19 Berdasarkan simulasi yang dilakukan pada interval pengamatan [0,500], dapat disimpulkan bahwa nilai dugaan dari fungsi intensitas akan menghampiri nilai fungsi intensitas yang sebenarnya. DAFTAR PUSTAKA Casella G, Berger RL. 2002. Statistical Inference. 2nd ed. Pasific Grove (US): The Wardsworth Group. Helmers R, Mangku IW, Zitikis R. 2003. Consistent estimation of the intensity function of a cyclic Poisson process. Journal of Multivariate Analysis. 84:19-39. Helmers R, Mangku IW. 2009. Estimating the intensity of a cyclic Poisson process in the presence of linear trend. Annals Institute of Statistical Mathematics. 61(3):599-628. Ismayulia W. 2011. Pendugaan komponen periodik fungsi intensitas berbentuk fungsi periodik kali tren linear suatu proses Poisson non-homogen [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor. Mangku IW. 2006a. Weak and strong convergence of a kernel-type estimator for the intensity of a periodic Poisson process. Journal of Mathematics and Its Applications. 5:1-12. Mangku IW. 2006b. Asymptotic normality of a kernel-type estimator for the intensity of a periodic Poisson process. Journal of Mathematics and Its Applications. 5: 13-22. Mangku IW. 2011. Estimating the intensity obtained as the product of a periodic function with the linear trend of a non-homogeneous Poisson process. Far East Journal of Mathematical Science (FJMS). 51:141-150. Ramdani P. 2011. Pendugaan komponen periodik fungsi intensitas berbentuk fungsi periodik kali tren kuadratik suatu proses Poisson non-homogen [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor. Serfling RJ. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New York (US): J Wiley. Wheeden RL, Zygmund. 1977. Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis. New York (US): Marcel Dekker, Inc.
20 Lampiran 1 Formula Young dari Teorema Taylor Misal merupakan fungsi yang memunyai turunan ke-n yang terhingga pada suatu titik, maka untuk (Serfling 1980). Dengan menggunakan formula Young dari Teorema Taylor, maka diperoleh Karena untuk, maka perilaku dari sama dengan. Oleh sebab itu, persamaan di atas dapat ditulis menjadi Dengan demikian, Karena untuk, maka perilaku dari sama dengan. Oleh sebab itu, persamaan di atas dapat ditulis menjadi
21 Lampiran 2 Program Simulasi Program Membangkitkan Realisasi Poisson Periodik untuk Interval Pengamatan [0,500] Random<-function(wsize,tau) { maxlambda<-2*exp(1)*(500^0.5) LAB<-(maxlambda)*wsize N<-rpois(1,LAB) points<-runif(n,0,wsize) lambda<-2*exp(sin((2*pi*points)/tau))*(points^0.5) p<-lambda/maxlambda p[p<0]<-0.000001 p[p>=1]<-0.999999 hold<-rbinom(n,1,p) selected<-points[hold==1] return(selected) } Data<-Random(500,5) Program Membangkitkan Penduga untuk Interval Pengamatan [0,500] duga<-function(data,wsize,titik,band,tau) { K<-floor((wsize-titik)/tau) vdt<-1:k for(k in 1:K) { pusat<-titik+(k-1)*tau bawah<-pusat-band atas<-pusat+band sample<-data[data>=bawah&data<=atas] vdt[k]<-length(sample)/(2*((titik+k*tau)^0.5)*band) } dugaan<-(sum(vdt)*tau*(titik^0.5))/wsize return(dugaan) } penduga<-function(data,wsize,a,b,band,tau) { x<-seq(a,b,0.05) lamdaduga<-seq(a,b,0.05) K<-length(lamdaduga) for(k in 1:K) { titik1<-x[k] lamdaduga[k]<-duga(data,wsize,titik1,band,tau) } return(lamdaduga) } lamdaduga1<-penduga(data,500,0,20,0.3,5) Program Menampilkan Grafik Penduga untuk Interval Pengamatan [0,500] Gambar<-function(a,b,tau)
22 { x<-seq(a,b,0.05) ytrue<-2*exp(sin((2*pi*x)/tau))*(x^0.5) plot(x,ytrue,xlim=c(0,20),ylim=c(0,25),type="l",col=4) par(new=t) plot(x,lamdaduga1,xlim=c(0,20),ylim=c(0,25),type="o",col=2) } gambar1<-gambar(0,20,5) Program Memeriksa Pendekatan Asimtotik untuk Bias dan Ragam Penduga penduga<-function(wsize,titik,band,tau,l) { dugaan<-1:l for(l in 1:L) { data<-random(wsize,tau) dugaan[l]<-duga(data,wsize,titik,band,tau) } return(dugaan) } dugaan<-penduga(500,5.5, 0.359409,5,500) mean(dugaan) [1] 8.104348 var(dugaan) [1] 0.02260234 s<-5.5 lambdac<-2*exp(sin(2*pi*s/5)) bias<-mean(dugaan)-lambdac
23 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 30 Oktober 1991 sebagai anak keempat dari pasangan Dedy Suriadhi dan Enah Rohaniah. Tahun 2009 penulis lulus dari SMA Negeri 5 Bogor dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Kalkulus 2 program S1 pada semester ganjil tahun ajaran 2011/2012, asisten mata kuliah Persamaan Diferensial Biasa program S1 pada semester genap tahun ajaran 2011/2012, asisten mata kuliah Pengantar Teori Peluang program S1 pada semester pendek tahun ajaran 2012/2013, asisten mata kuliah Proses Stokastik Dasar pada semester genap tahun ajaran 2012/2013, dan tutor mata kuliah Proses Stokastik program S2 pada semester genap tahun ajaran 2012/2013. Penulis juga aktif berorganisasi sebagai staf Departemen Economic Management SERUM-G FMIPA IPB pada tahun 2011 dan sebagai Ketua Departemen Muslimah Center SERUM-G FMIPA IPB pada tahun 2012. Penulis juga pernah meraih prestasi sebagai juara III Lomba Karsa Cipta Explo-Science Tingkat FMIPA IPB dan menjadi wakil dari IPB untuk mengikuti Olimpiade Sains Nasional bidang Matematika di tingkat region 3 pada tahun 2011 dan 2012.