I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pada kehidupan sehari-hari, distribusi probabilitas dapat ditemukan dalam banyak hal yang dapat memberikan manfaat dalam penerapannya. Distribusi probabilitas merupakan suatu daftar atau kumpulan dari probabilitas-probabilitas peristiwa yang mungkin terjadi. Distribusi peluang yang demikian saling berhubungan dengan semua nilai-nilai yang mungkin terjadi dan berasal dari variabel random. Variabel random adalah variabel yang nilainya merupakan suatu bilangan yang ditentukan oleh terjadinya suatu percobaaan. Fungsi distribusi probabilitas umumnya dibedakan menjadi distribusi probabilitas diskrit dan kontinyu. Di dalam distribusi probabilitas diskrit dan kontinyu terdapat beberapa macam distribusi. Untuk lebih memahami dan mengetahui perbedaan dari kedua distribusi tersebut, maka praktikan melakukan praktikum distribusi probabilitas. Dengan melakukan praktikum diharapkan pemahaman serta pengaplikasian distribusi probabilitas diskrit maupun konitnyu dapat dipahami dan dimengerti. 1.2 Tujuan praktikum Berikut merupakan tujuan dari praktikum ini adalah sebagai berikut: 1. Mengetahui dan memahami konsep pada distribusi diskrit dan distribusi kontinyu. 2. Mengetahui dan memahami cara mengolah data distribusi diskrit dan distribusi kontinyu baik menggunakan software maupun secara manual. 3. Memahami dan menganalisis perbedaan data empiris dan data teoritis. II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Distribusi Probabilitas Distribusi probabilitas dengan parameter variabel acak X adalah daftar probabilitas dari setiap nilai variabel acak tersebut yang memungkinkan. Variabel acak adalah suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real dengan setiap unsur dalam ruang sampel. Peubah acak dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X, sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil misalnya x. Untuk setiap variabel acak X, misalkan dengan X=1, 2, dst, distribusi tersebut sering dispesifikasikan dengan memasukkan semua nilai yang mungkin dengan nilai probabilitasnya dari nilai X sejumlah 1 sampai jumlah tertentu. (Montgomery & Runger, 2011). 13
Binomial Hipergeometrik Multinomial Distribusi Probabilitas Diskrit Geometrik Binomial Negatif Poisson Uniform Diskrit Normal Distribusi Probabilitas Uniform Erlang Gamma Beta Distribusi Probabilitas Kontinyu Eksponensial Weibull Lognormal Distribusi t Distribusi F Chi-Square Bagan 2.1 Klasifikasi Distribusi Probabilitas 2.2 Distribusi Probabilitas Diskrit Distribusi probabilitas diskrit adalah suatu daftar atau distribusi dari semua nilai variabel acak diskrit dengan probabilitas terjadinya masing-masing nilai tersebut. Variabel diskrit memiliki jumlah kemungkinan nilai yang terbatas atau jumlah yang tak terhingga dari nilainilai yang dapat dihitung. Kata dihitung berarti bahwa mereka dapat dicacah dengan angka 1, 2, 3, dst. Sebagai contoh, jumlah pengunjung yang ada di rumah sakit setiap hari adalah contoh variabel diskrit karena dapat dihitung. (Bluman, 2012). 14
15
16
2.3 Distribusi Probabilitas Kontinyu Distribusi probabilitas kontinyu adalah distribusi probabilitas yang nilainya dapat diasumsikan berada pada interval antara dua buah angka yang termasuk dalam variabel kontinyu. Sebagai contoh apabila tinggi anak dikelas berada pada rentang 140,5 sampai 165 cm. Variabel acak kontinyu diperoleh dari data yang bisa diukur. Variabel acak kontinyu dapat diasumsikan sebagai nilai dari angka yang tak terbatas dan termasuk juga desimal dan pecahan. Contoh dari variabel acak kontinyu adalah tinggi badan, berat badan, suhu, dan waktu (Bluman, 2012) 17
18
19
20
21
2.4 Fungsi Massa Probabilitas Misalkan terdapat suatu pembebanan yang diletakan pada titik-titik diskrit (tertentu) di sebuah balok yang panjang dan tipis. Pembebanan tersebut dideskripsikan sebagai suatu fungsi yang menjelaskan bahwa massa (pembebanan) berada di tiap-tiap titik diskrit tersebut. Hampir sama seperti variabel acak diskrit, distribusinya dapat dideskripsikan dengan fungsi tersebut yang menjelaskan bahwa probabilitasnya berada pada tiap-tiap nilai variabel acak X yang mungkin. Montgomery (2003) Gambar 2.1 Loading at discrete points in a long thin beam Sumber : Montgomery (2003) Untuk variabel acak diskrit dengan nilai kemungkinan x1, x2,...., xn fungsi probabilitas massanya adalah 1. F(x1) 0 n 2. i=1 f(xi) = 1 3. f(xi) = P(X = xi) 2.5 Fungsi Kepadatan Probabilitas Fungsi kepadatan pada umumnya digunakan di dunia keteknikan untuk mendeskripsikan sistem fisik. Sebagai contoh, mengingat kepadatan pada suatu balok yang panjang dan tipis seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.1. Untuk setiap titik x di sepanjang balok, kepadatannya dapat dideskripsikan sebagai sebuah fungsi (gram/cm). Interval antara pembebanan yang besar berhubungan dengan nilai fungsi yang besar pula. Total pembebanan antara poin a dan b ditentukan sebagai suatu integral dari fungsi kepadatan dari a ke b. Dibawah interval pada fungsi densitas ini, dapat dengan mudah ditafsirkan sebagai jumlah dari keseluruhan pembebanan di interval tersebut. Hampir sama, Fungsi kepadatan probabilitas f(x) dapat digunakan unutk mendeskripsikan distribusi probabilitas dari variabel acak kontinyu X. Jika interval memiliki nilai dari X, probabilitasnya besar dan itu berhubungan dengan nilai fungsi f(x) yang besar pula. Probabilitas X diantara a dan b ditentukan dari integral dari F(x) dari a ke b. Montgomery (2003) 22
Gambar 2.2 Fungsi Densitas pada Balok yang Panjang dan Tipis Sumber : Montgomery (2003) Untuk variabel acak kontinyu dari X, fungsi kepadatan probabilitasnya adalah 1. F(x1) 0 2. f(x)dx = 1 b 3. P (a X b) = f(x)dx a = area dibawah f(x) untuk semua nilai a dan b 2.6 Fungsi Disribusi Kumulatif untuk Variabel Acak Diskrit Terkadang akan sangat berguna ntuk menggunakan probabilitas kumulatif dimana probabilitas tersebut dapat digunakan untuk menemukan fungsi massa probabilitas (PMF) dari suatu variabel acak. Maka dari itu menggunakan probabilitas kumulatif ini merupakan suatu metode alternatif untu mendeskripsikan distribusi probabilitas dari suatu variabel acak. (Montgomery, 2003) Fungsi probabilitas kumulatif dari variabel acak diskrit X ini dapat dinotasikan sebagai berikut F(x) = P(X x) = x1 x f(xi) (2-1) Sumber : Montgomery(2003:64) Untuk variabel acak diskrit X, F(x) memenuhi ketentuan berikut 1. F(x) = P(X x) = f(xi) x1 x 2. 0 F(x) 1 3. bila x y, kemudian F(x) F(y) Gambar 2.3 Fungsi Distribusi Kumulatif untuk Variabel Acak Diskrit Sumber : Montgomery (2003) 23
2.7 Fungsi Distribusi Kumulatif untuk Variabel Acak Kontinyu Metode alternatif untuk mendeskripsikan suatu varuiabel acak diskrit ternyata juga dapat digunakan untuk variabel acak kontinyu. Fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak kontinyu X adalah F (x) = P( X x ) = Sumber : Montgomery (2003) f(u)du for < x <. (2-2) Menjabarkan definisi dari f (x) ke segala lini memungkinkan kita untuk mendefinisikan distribusi probabilitas kumulatif untuk semua bilangan real/nyata. (Montgomery, 2003) Gambar 2.4 Fungsi Distribusi Kumulatif untuk Variabel Acak Kontinyu Sumber: Montgomery (2003) III. METODOLOGI PRAKTIKUM 3.1 Diagram Alir Praktikum Berikut merupakan diagram alir praktikum Distribusi Probabilitas; 24
Gambar 4.1 Diagram Alir Praktikum 3.2 Alat Dan Bahan Berikut adalah alat dan bahan praktikum Distribusi Probabilitas. 1. 1 set kartu bridge, 13 kartu hati bewarna merah, 13 kartu sekop bewarna merah,13 kartu sekop bewarna hitam, 13 kartu keriting bewarna hitam. 2. Stopwatch 3.3 Prosedur Praktikum Distribusi Probabilitas Berikut ini merupakan prosedur yang digunakan pada praktikum distribusi probabilitas. 3.3.1 Praktikum Distribusi Probabilitas Diskrit 25
Pada praktikum distribusi diskrit distribusi yang akan dipraktikumkan antara lain Distribusi Binomial, Geometrik, Hipergeometrik, Pascal dan Poisson. Berikut merupakan prosedur praktikum distribusi probabilitas diskrit. 1. Binomial Dan Geometrik a. Persiapkan alat dan bahan. b. Terdapat 5 kartu hati berwarna merah, 5 kartu sekop berwarna hitam, 5 kartu sekop berwarna merah, dan 5 kartu keriting berwarna hitam. c. Kocok kartu. d. Ambil satu kartu teratas. Catat di tabel pengamatan Distribusi Biomial jika yang terpilih adalah kartu keriting berwarna hitam lalu masukkan kartu kembali. e. Untuk distribusi geometrik kejadian sukses jika yang terpilih kartu sekop berwarna hitam. f. Lakukan pengocokan kartu hingga 10 kali (1 replikasi). g. Ulangi hingga 5 kali replikasi. h. Analisis dan interprestasi. 2. Hipergeometrik a. Persiapkan alat dan bahan. b. Terdapat 5 kartu Queen dan 25 kartu selain Queen. Dengan ketentuan kartu Queen sebagai produk cacat. c. Kocok Kartu. d. Ambil satu per satu tanpa pengembalian hingga terambil 5 kartu (1 replikasi). e. Catat frekuensi munculnya kartu keriting berwarna hitam (produk cacat) setiap 1 kali replikasi. f. Ulangi hingga 10 replikasi. g. Analisis dan interpretasi. 3. Binomial Negatif a. Persiapkan alat dan bahan. b. Terdapat 20 kartu bridge, terdiri dari 5 kartu hati bewarna merah, 5 kartu sekop bewarna merah, 5 kartu sekop bewarna hitam, 5 kartu keriting bewarna hitam. c. Kocok kartu. d. Ambil satu kartu paling atas untuk mengetahui kartu apa yang muncul, lalu masukkan kembali kartu yang terambil. 26
e. Lakukan langkah 3 hingga 1 kartu hati berwarna merah terambil. f. Kejadian sukses apabila terambil 3 kartu hati berwarna merah, catat jumlah pengambilan hingga terjadi sukses pertama kali dalam 1 kali replikasi pada lembar pengamatan. g. Ulangi hingga 10 kali replikasi. h. Analisis dan interpretasi. 3. Poisson a. Persiapkan alat dan bahan. b. Terdapat 40 kartu bridge dengan komposisi 4 kartu AS dan 36 kartu selain AS. c. Lakukan pengambilan kartu dengan pengembalian sampai muncul kartu AS (kejadian sukses). d. Pengambilan dilakukan selama 1 menit dalam 1 replikasi (asumsi 1 menit dilakukan 60 kali pengambilan kartu). e. Catat jumlah terambilnya kartu AS (kejadian sukses) dalam 1 kali replikasi (1 menit = 60 kali pengambilan). f. Ulangi hingga hingga 10 replikasi. g. Analisis dan Interpretasi. 3.3.2 Prosedur Praktikum Distribusi Kontinyu Pada praktikum distribusi kontinyu distribusi yang akan dipraktikumkan yaitu distribusi normal.berikut merupakan prosedur praktikum distribusi probabilitas kontinyu. 1. Normal a. Persiapkan alat, bahan dan 4 orang anggota kelompok. b. Terdapat wadah yang berisi tiga stecker yang nantinya akan di assembly. c. Satu anggota kelompok berperan sebagai operator perakit yang bertugas untuk merakit komponen stecker. Satu anggota bertugas untuk melepaskan stecker yang telah dirakit agar dapat digunakan lagi untuk operator perakit. Sementara Satu anggota lainnya bertugas untuk menjalankan dan menghentikan stopwatch dan satu anggota sisanya untuk mencatat waktu yang diperlukan operator untuk melakukan sebuah replikasi. d. Operator perakit melakukan percobaan replikasi terlebih dahulu. e. Mulai melakukan replikasi dengan memulai perhitungan waktu. f. Saat satu replikasi selesai, operator perakit merakit set stecker yang lain, dan satu anggota kelompok melepaskan stecker yang telah dirakit. g. Lakukan terus hingga 35 replikasi. 27
h. Catat hasil waktunya ke dalam tabel pengamatan. i. Analisis dan Interpretasi. 3.4 Prosedur Pengolahan Data 3.4.1. Prosedur Pengolahan Data Teoritis Pada pengolahan data secara teoritis berdasarkan data yang diperoleh, dilakukan pengolahan data untuk mengetahui nilai probabilitas dari kejadian tertentu. Pengolahan dilakukan dengan menggunakan software SPSS. 1. Binomial Berikut ini adalah langkah-langkah pengolahan data distribusi Binomial menggunakan software SPSS 20: a. Buka software SPSS 20 dan klik variabel. b. Isikan x dan PDF padakolom Name. lalu isikan kolom Decimals dengan 0 (nol) pada x dan 5 (lima) pada PDF. setelah itu isikan kedua kolom Measure dengan Scale: c. Klik data view. Lalu isikan x dengan nilai (0.1.2.3.4.5). d. Pada menu bar klik transform >> compute variabel e. Pada kotak dialog compute variabel isikan target variabel dengan pdf. pada function group pilih PDF &Noncentral PDF. Dan pada Function and Special Variabels pilih Pdf.Binom. f. Pindahkan fungsi Pdf.Binom kedalam kotak Numeric Expression dengan menekan tombol panah atas. Kemudian tuliskan PDF. BINOM (?.?.? ) dengan PDF.BINOM (x.n.p) sesuai dengan studi kasus. Lalu klik Ok. 2. Geometrik Berikut ini adalah langkah-langkah pengolahan data distribusi Binomial menggunakan software SPSS 20: a. Buka software SPSS 20 dan klik variabel. b. Isikan x dan PDF padakolom Name. lalu isikan kolom Decimals dengan 0 (nol) pada x dan 5 (lima) pada PDF. setelah itu isikan kedua kolom Measure dengan Scale: c. Klik data view. Lalu isikan x dengan nilai (0.1.2.3.4.5). d. Pada menu bar klik transform >> compute variabel. 28
e. Pada kotak dialog compute variabel isikan target variabel dengan pdf. pada function group pilih PDF &Noncentral PDF. Dan pada Function and Special Variabels pilih Pdf.Geom. f. Pindahkan fungsi Pdf.Geom kedalam kotak Numeric Expression dengan menekan tombol panah atas. Kemudian tuliskan PDF. GEOM (?.? ) dengan PDF.GEOM (x,p) sesuai dengan studi kasus. Lalu klik Ok. 3. Hipergeometrik Langkah-langkah untuk pengujian hasil probabilitas percobaan hipergeometrik adalah sebagai berikut: a. Buka SPSS dan klik Variable View. b. Isikan x dan PDF pada kolom Name, lalu isikan kolom Decimals dengan 0 (nol) pada x dan 5 (lima) pada PDF. Setelah itu, isikan kedua kolom Measure dengan Scale. c. Klik Data View, lalu isikan x dengan peubah acak yang mungkin terjadi. Contohnya 0,1,2,3,4,5. d. Pada Menu Bar klik Transform>>Compute Variable. e. Pada kotak dialog Compute Variable, isikan Target Variabledengan pdf, padafunction group pilih PDF & Noncentral PDF, dan pada Functionand Special Variables pilihpdf.hyper. f. Pindahkan fungsi Pdf.Hyper kedalam kotak Numeric Expression dengan menekan tombol panah atas. Kemudian isikan PDF.HYPER (?,?,?,?) sesuai dengan studi kasus lalu klik OK. 4. Pascal Langkah-langkah yang dilakukan dalam pengolahan distribusi binomial negatif dengan menggunakan Minitab adalah: a. Buka SPSS dan klikvariable View. b. Isikan x dan PDF pada kolom Name, lalu isikan kolom Decimals dengan 0 (nol) pada x dan 5 (lima) pada PDF. Setelah itu, isikan kedua kolom Measure dengan Scale. c. Klik Data View, lalu isikan x dengan peubah acak yang mungkin terjadi. d. Pada Menu Bar klik Transform>>Compute Variable. e. Pada kotak dialog Compute Variable, isikan Target Variabledengan pdf, padafunction group pilih PDF & Noncentral PDF, dan pada Functionand Special Variables pilihpdf.negbin. 29
f. Pindahkan fungsi Pdf.Negbin kedalam kotak Numeric Expression dengan menekan tombol panah atas. Kemudian isi PDF.NEGBIN (?,?,?) dengan PDF.NEGBIN (x, k, p). sesuai dengan studi kasus. 5. Poisson Langkah-langkah yang dilakukan dalam pengolahan data distribusi poisson adalah sebagai berikut: a. Buka SPSS dan klikvariable View. b. Isikan x dan PDF pada kolom Name, lalu isikan kolom Decimals dengan 0 (nol) pada x dan 5 (lima) pada PDF. Setelah itu, isikan kedua kolom Measure dengan Scale. c. Klik Data View, lalu isikan x dengan peubah acak yang mungkin terjadi. d. Pada Menu Bar klik Transform>>Compute Variable. e. Pada kotak dialog Compute Variable, isikan Target Variabledengan pdf, padafunction group pilih PDF & Noncentral PDF, dan pada Functionand Special Variables pilihpdf.poisson. f. Pindahkan fungsi Pdf.Poisson kedalam kotak Numeric Expression dengan menekan tombol panah atas. Kemudian isi PDF.POISSON (?,?) lalu klik OK. 6. Normal Berikut ini merupakan langkah-langkah pengolahan data menggunakan distribusi normal pada SPSS 20: a. Masukan batas_bawah batas_atas dan cdf Name. setelah itu isikan kolom measure dengan scale. b. Mengisi kolom Decimal dengan 2 (dua) pada variabel batas_bawah dan batas_atas dan 5 ( lima ) pada variabel cdf. c. Buka software dan klik variabel view. d. Isikan Scale pada semua variabel di kolom measure. e. Kembali ke data view kemudian isikan nilai batas_atas dan batas_bawah. f. Kemudian pilih Transform lalu pilih compute variabel. g. Setelah itu akan muncul tampilan dialog compute variabel. Isikan target variabel dengan cdf untuk mencari cdf maksimum. Pada function group pilih CDF & Noncentral CDF. Dan pada function and special variabels pilih Cdf.Normal. h. Pindahkan fungsi Cdf.Normal kedalam kotak Inumeric expression dengan menekan tombol panah atas. 30
i. Pada kotak numeric expression isikan CDF.NORMAL (batas_atas. mean. stddev)- CDF.NORMAL(batas_bawah. mean. stddev). Masukkan mean dan stdev dengan masingmasing nilai 14.245 dan 2.65. j. Klik Ok. 3.4.2 Prosedur Pengolahan Data Empiris Pada pengolahan data secara empiris dilakukan dengan menggunakan cara manual. Perhitungan empiris didasarkan hasil statistik percobaan. Berikut adalah prosedur penghitungan empiris. Berikut ini merupakan prosedur perhitungan pengolahan data secara empiris: 1. Menghitung jumlah frekuensi tiap replikasi pada tabel pengolahan berdasarkan tally setelah dilakukan praktikum. 2. Menghitung jumlah frekuensi kumulatif tiap replikasi pada tabel pengolahan. 3. Mengisi nilai variabel random (x) pada kolom. 4. Melakukan perhitungan empiris dengan membagi frekuensi pada variabel random yang akan dihitung dengan frekuensi kumulatif keseluruhan. Fempiris = Fi Fi IV. STUDI KASUS 4.1 PENGOLAHAN DISTRIBUSI DISKRIT 1. Distribusi Binomial Tabel 5.1 Pengolahan Data Distribusi Binomial Replikasi Tally F F kum x Perhitungan Empiris Perhitungan Teoritis Analisis: 31
2. Distribusi Geometrik Tabel 5.2 Pengolahan Data Distribusi Geometrik Replikasi Tally F F kum x Perhitungan Empiris Perhitungan Teoritis Analisis:....................................... 3. Distribusi Hipergeometrik Tabel 5.3 Pengolahan Data Distribusi Hipergeometrik Replikasi Tally F F kum x Perhitungan Empiris Perhitungan Teoritis Analisis:............ 32
4. Distribusi Binomial Negatif Tabel 5.4 Pengolahan Data Distribusi Binomial Negatif Replikasi Tally F F kum x Perhitungan Empiris Perhitungan Teoritis Analisis: 5. Distribusi Poisson Tabel 5.5 Pengolahan Data Distribusi Poisson Replikasi Tally F F kum x Perhitungan Empiris Perhitungan Teoritis Analisis: 4.2 PERHITUNGAN DISTRIBUSI KONTINYU 6. Distribusi Normal 33
Pengumpulan Data Tabel 5.6 Pengumpulan Data Distribusi Normal Replikasi Waktu Replikasi Waktu 1. 21. 2. 22. 3. 23. 4. 24. 5. 25. 6. 26. 7. 27. 8. 28. 9. 29. 10. 30. 11. 31. 12. 32. 13. 33. 14. 34. 15. 35. 16. 17. 18. 19. 20. Pengelompokkan Data Performansi Cepat Performansi Standard Performansi Lambat Tabel 5.7 Pengelompokka Data Distribusi Normal Interval Frekuensi CDF Atas CDF Bawah Probabilitas Total Perhitungan Teoritis Analisis:........ V. SOAL 1. Sebanyak 40 komponen tidak dapat diterima apabila komponen tersebut terdapat 3 atau lebih cacat. Prosedur untuk sampling memilih 5 komponen secara random dan menolak apabila terdapat banyak cacat yang ditemukan. Berapa probabilitas terdapat 1 cacat ditemukan pada sampel apabila terdaapat 3 cacat yang ditemukan keseluruhan? Jawab: 34
2. Sebuah ruang konferensi dapat disewa untuk rapat yang lamanya tidak lebih dari 4 jam. Misalkan X adalah peubah acak yang menyatakan waktu rapat, yang mempunyai distribusi seragam. a. Tentukan fungsi densitas peluang dari X b. Tentukan peluang suatu rapat berlangsung 3 jam atau lebih Jawab: 3. Setiap sampel dari air memiliki peluang sebesar 10% terkontaminasi polutan organik. Tentukan probabilitas bahwa dari 18 sampel, 2 akan terkontaminasi polutan. Diasumsikan sampel bersifat independen. Serta tentukan probabilitas setidaknya terdapat 4 sampel yang terkontaminasi polutan! Jawab: 4. Sebuah supermarket sedang mengadakan diskon besar-besaran sehingga kedatangan pengunjung berdistribusi eksponensial. Kedatangan pengunjung meningkat dari biasanya menjadi 8,4 pengunjung per 35 menit. Berapa probabilitas kedatangan pengunjung dalam selang waktu 8 menit atau lebih? Jawab: 35
5. Diketahui dari hasil riset di laboratorium, diperoleh data bahwa ketahanan lampu hemat energi (lhe) dengan merk x-light berdistribusi normal, rata - rata - nya adalah 60 hari, dengan simpangan baku 6 hari. jika diambil secara random, hitunglah probabilitas ketahanan sebuah lampu, apabila a. Menyala Tepat 80 Hari? b. Probabilitas Ketahanan Lampu 90 %, Berapa Lama Lampu Dapat Menyala? Jawab: Nilai LKM Catatan Mengetahui & Menyetujui Dosen Praktikum NIP 36