M A K A L A H GEOMETRI TRANFORMASI ( TRANFORMASI BALIKAN ) D I S U S U N O L E H : 1. NOPITA SARI ( 4007213 ) 2. MULYATI ( 4007152 ) 3. ROHIM ( 4007142 ) 4. RUSMINI ( 4007222 ) 5. MARYANA ( ) 6. ARY WIJAYA ( 4006094 ) 7. HADI KUSWOYO ( 4006051 ) 8. HARYATI ( ) PROGRAM STUDI MIPA JURUSAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA (STKIP PGRI ) LUBUKLINGGAU TAHUN AKADEMIK 2009/2010
KATA PENGANTAR Puji syukur senantiasa kami haturkan kepada Allah SWT, atas segala limpahan Nikmat dan karunia-nya, sehinga.penulis dapat menyusun makalah ini tepat pada waktunya. Sholawat dan salam senantiasa kami mohonkan kepada Allah Swt, kiranya selalu tercurahkan kepada nabi Muhammad SAW, beserta keluarga, sahabat dan para pengikutnya sampai akhir zaman. Makalah ini dibuat dengan harapan agar mampu mengetahui bagaimana Tranformasi Balikan, sehingga nantinya dapat memberikan manfaat serta dapat menambah wawasan yang baru bagi kita semua Penulis mengucapkan terimakasi kepada Bapak FADLI, S.S.I sebagai dosen pengasuh yang telah memberikan pengarahan dan bimbinganya, beserta rekan-rekan yang telah turut membantu dalam pembuatan makala ini. Penulis juga menyadari makalah ini masih jauh dari tahap sempurna, maka dari itu penulis sangat berharap saran dan kritik yang sifatnya membangun, demi penulisan kedepan. Lubuklinggau, April 2010 Penulis
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR...i DAFTAR ISI...ii A. Ketentuan...1 B. Sifat-sifat 1. Setiap Tranformasi T Memiliki Balikan... 2 2. Setiap Tranformasi Memiliki hanya Satu Balikan...3 3. Balikan Setiap Pencerminan Pada Garis adalah Pencerminan itu sendiri...4 4. Apabila T dan S Tranformasi Tansformasi maka ( T o S ) -1 = S -1 o T -1... 4 5. Soal Latihan dan Jawaban... 6 I
TRANFORMASI BALIKAN A. Ketentuan Sebuah garis dan Mg reflexsi (Pencerminan) pada garis g, maka M g M g ( P ) = P. Kita tulis juga M 2 g ( P ) = P. Jadi M 2 adalah suatu transformasi yang memetakan setiap titik pada dirinya. Tranformasi demikian dinamakan transformasi identitas yang dilambangkan dengan huruf I.. jadi I (P) = P. P. Tugas. Buktikan bahwa I memang benar suatu transformasi Jelas berlaku sifat-sifat berikut : Jika T Suatu transformasi maka : T I (P) = I [ T (P) ] = T ( P). V P Jadi T I = T Begitu pula I T ( P) = I [ T (P) ] = T ( P). V P Jadi IT = T. Sehingga T I = I T = T Dengan demikian transformasi identitas ( I ) berperan sebagai bilangan 1 dalam himpunan transformasi-tranformasi dengan operasi perkalian antara transformasitranformasi. alam himpunan bilangan-bilangan real dengan operasi perkalian pada etiap x 0 ada balikan x -1 sehingga x x -1 = x -1 x = I. Kita juga dapat menyelidiki apakah dalam himpunan transformasi-tranformasi dengan operasi perkalian setiap transformasi T memiliki balikan Q sehingga TQ = I = QT? Kalau ada. Tranformasi balikan T ini kita tulis sebagai T -1 adi TT -1 = T -1 T = I
B. Sifat-sifat 1. Setiap Tranformasi T Memiliki Balikan. Bukti : Andaikan T suatu transformasi. Kita definisikan padanan L sebagai berikut : Andaikan x v. v bidang, Oleh karena T suatu transformasi maka T adalah bijektif. Jadi ada prapeta A v sehingga T ( A ) = X. Kita tentukan kemudian L ( X ) = A. Artinya L (X ) adalah prapeta dari x. Sehingga dari T (A ) = X T [ L(x) ] = x. Atau (TL) ( X) = I ( X ). V x V. jadi LT = I. Selanjutnya (LT) ( X ) = L [ T (X) ]. Andaikan T (x) = B maka L (B) = x. jadi L [ T(x) ] = L (B) = X Jadi pula (LT) (X) = X = I (X). V X V. jadi LT = I Sehingga TL = LT = I Sekarang akan dibuktikan bahwa L adalah suaru tarnformasi. Dari definisi L jelas L suatu padanan yang surjekif. Andaikan L (X 1 ) = L (X 2 ) dan andaikan T (A 1 ) = X 1. T (A 2 ) = X 2 dengan L (X 1 ) = A 1 dan L ((X 2 ) = A 2. Oleh karena T suatu transformasi maka karena A 1 = A 2 kita peroleh I 1 = I 2. Jadi dari L (X 1 ) = L (X 2 ) X 1 = X 2 Sehingga L Injektif. Dengan demikian terbukti bahwa L bijektif dan l suatu transformasi. Tranformasi L ini disebut balikan dari taranformasi T dan dilambangkan L = T -1 jadi L = T -1
Contoh 1 Pada gambar 1.1 ini ada dua garis g dan h yang sejajar dan titik A. Padanan s ditentukan sebagai : S(P) = PA h. v P g dan T (Q) = QA g. V Q h. Jadi daerah asal S adalah garis g dan daerah asal T adalah garis h. Sedangkan daerah nilai S adalah h dan daerah T adalah g. Untuk P g. maka ( TS) ( P) = T [ S ( P ) = P = I (P). Dan untuk Q h. maka ( ST) ( Q) = S [ T ( Q ) = Q = I (Q). Sehingga TS = ST = I. Ini berarti T balikan dari S dan S balikan dari T T ( Q ) P g A S (P) Q h Gambar 1.1 2. Setiap Transformasi Memiliki Hanya Satu Balikan. Bukti : Andai T suatu transformasi dengan dua balikan S 1 dan S 2. Jadi ( T S 1 ) (P) = ( S 1 T ) ( P) = I (P). v P. dan ( T S 2 ) (P) = ( S 2 ) ( P) = I (P). V P. Sehingga ( T S 1 ) (P) = ( T S 2 ) (P) T [S 1 (P) ] = T [S 2 (P) ] Karena T transformasi maka S 1 ( P) = S 2 (P). V P Sehingga S 1 = S 2 Jadi Balikan T adalah S 1 = S 2 = S
3. Balikan Setiap Pencerminan Pada Garis adalah Pencerminan itu Sendiri. Bukti : Andaikan Pencerminan pada garis g. M g. Andaikan M g (X) = Y. X g maka M g [M g (X) ] = X atau (M g M g ) (X) = I (X). V X g Jadi, M g o M g = I Kalau X g maka M g (X) = (X). Sehingga M g (X) = M g [M g (X) ] atau juga M g o = I. Jadi untuk segala diperoleh M g o M g = I Dengan Demikian Maka M -1 g = M g Suatu Tranformasi yang balikannya adalah transformasi itu sendiri dianamakan involusi. 4. Apabila T dan S Tranformasi Tansformasi maka ( T o S ) -1 = S -1 o T -1. Contoh 1 Andaikan T dan S transformasi maka masing-masing memiliki balikan. Yaitu T -1 S -1. Komposisi transformasi, yaitu T o S adalah juga suatu transformasi. Jadi ada balikan ( T o S ) -1. ada hubungan apakah dengan T -1 dan S -1? Jawab : Bukti : Kita Tahu ( T o S ) -1 o ( T o S ) = I Tetapi (S -1 o T -1 ) o ( T o S ) = S -1 o ( T -1 o T ) o S = S -1 o I o S = S -1 o S = I. Oleh karena suatu transformasi memiliki hanya satu balikan maka : ( T o S) -1 = S -1 o T -1. Jadi : Balikan hasil kali transformasi adalah hasil kali balikan-balikan transformasi dengan urutan yang terbalik.
Contoh 2 Pada sebuah sistem sumbu ortogonal ada garis g { ( x, y ) y = x } dan h = { (x,y) y = 0 }. Tentukan P sehingga (M h M g ) (P) = R dengan R = (2,7)? Jawab : Andaikan P = ( x,y) Kita peroleh berturut-turut (M -1 g M -1 h )( M h M g ) (P) = (M -1 g M -1 h )(R) Jadi P = M -1 g [M -1 h (R) ]. = M -1 g [M -1 h (-2,7) ]. = M -1 g [-2,7 ] = (7, -2 )
Soal Latihan : 1. Diketahui titik titik A ( 2,3 ) dan B (-2,9 ) a. Tentukan Koordinat koordinat U A (B) = B b. Tentukan koordinat koordinat U A (P) dan P ( x, y ) c. Apakah U A sebuah isometri? Apakah U A sebuah involusi? d. Tentukan Koordinat koordinat U A -1 ( P) Jawab : A Tentukan Koordinat koordinat U A (B) = B y B 9 8 7 6 5 4 3 2 1.... x -1-2 -3 1 2 6 B = ( 6, -3 ) 6
A = ( 2, 3 ) = ( X 1, Y 1 ) B = (-2, 9 ) = ( X 2, Y 2 ) X A = X B + X B Y A = Y B + Y B 1+ 1 1+ 1 2 = X B + (-2) 3 = Y B + (9) 2 2 4 = X B -2 6 = Y B + 9 X B = 6 Y B = -3 Jadi Koordinat B = ( 6, -3 ) b. Tentukan koordinat koordinat U A (P) dan P ( x, y ) y P 3 ha P 2 1 0.. P -1 1 2 3 4 5 X X A = X B + X B Y A = Y B + Y B 1+ 1 1+ 1 2 = X B + 5 3 = Y B + 3 2 2 4 = X B + 5 6 = Y B + 3 X B = - 1 Y B = 3 Jadi, koordinat P = ( -1,3)
C. Apakah U A sebuah isometri? Apakah U A sebuah involusi? a. U A merupakan Isometri Bukti : U A ( P ) = P U A ( B ) = B b. U A merupakan Involusi U A ( P ) = P U A ( P ) = P Sehingga U A -1 ( P ) = P U A ( B ) = B U A ( B ) = B Sehingga U A -1 ( B ) = B d. Tentukan Koordinat koordinat U A -1 ( P) U A ( P ) = P U A ( P ) = P Sehingga U -1 A ( P ) = ( P ) Jadi koordinat P ( x, y ) 8