Discrete Mathematics & Its Applications Chapter 10 : Graphs Fahrul Usman Institut Teknologi Bandung Pengajaran Matematika 16/12/2015
2 Sub Topik A. Graf dan Model Graf B. Terminologi Dasar Graf dan Jenis Khusus Graf C. Representasi Graf dan Graf Isomorfik D. Keterhubungan
3 Sejarah Graf Menurut catatan sejarah, jembatan Konigsberg adalah masalah yang pertama kali menggunakan graf (tahun 1736). Ia memodelkan masalah ini ke dalam graf. Daratan (titik-titik yang dihubungkan oleh jembatan dinyatakan sebagai titik (noktah) yang disebut simpul (vertex) dan jembatan dinyatakan sebagai garis yang disebut sisi (edge).
Peta Sulawesi Sebuah peta jaringan jalan raya yang menghubungkan sejumlah kota di Sulawesi. Peta tersebut adalah sebuah graf yang dalam hal ini kota dinyatakan sebagai bulatan sedangkan jalan dinyatakan sebagai garis. Dengan diberikannya peta tersebut, kita dapat mengetahui apakah ada lintasan jalan antara dua buah kota.
A. GRAF DAN MODEL GRAF 6 Secara matematis, graf didefinisikan sebagai berikut : Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) ditulis dengan notasi G = (V, E) yang dalam hal ini V adalah himpunan tidak kosong dari simpul (vertices atau node) dan E adalah himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang simpul. Simpul pada graf dapat dinomori dengan huruf, seperti a, b, c,..., v, w,... dengan bilangan asli 1, 2, 3,..., atau gabungan keduanya. Sisi yang menghubungkan simpul u dengan simpul v dinyatakan dengan pasangan (u, v) atau dinyatakan dengan e 1, e 2, e 3,... Dengan kata lain, jika e adalah sisi yang menghubungkan simpul u dengan simpul v, maka e dapat kita tuliskan, e = (u, v)
7 Contoh : Gambar di atas memperlihatkan tiga buah graf G 1, G 2, dan G 3. G 1 adalah graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E V = 1, 2, 3, 4 E = (1,2), (1,3), (2,3), (2,4), (3,4) G 2 adalah graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E V = 1, 2, 3, 4 E = (1,2), (1,3), (1,3), (2,3), (2,4), (3,4), (3,4) sisi ganda adalah (1,3) dan (3,4) G 3 adalah graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E V = 1, 2, 3, 4 E = (1,2), (1,3), (1,3), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (3,4) gelang (loop) adalah (3,3) berawal dan berakhir pada simpul yang sama
Jenis-jenis Graf 8 Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf. Secara umum dapat digolongkan menjadi dua jenis : 1. Graf sederhana (simple graph) Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi ganda. 2. Graf tak-sederhana (unsimple graph) Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang. Ada dua macam graf tak sederhana, yaitu graf ganda (multigraph) dan graf semu (pseudograph).
9 Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dibedakan atas 2 jenis yaitu : 1. Graf tak-berarah (undirected graph) Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah. Pada graf tak-berarah, urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi, (u, v) = (v, u) adalah sisi yang sama. 2. Graf berarah (directed graph) Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah. Pada graf berarah, (u, v) dan (v, u) menyatakan dua buah sisi yang berbeda dengan kata lain (u, v) (v, u).
10 Terminologi Graf Jenis Sisi Sisi ganda dibolehkan? Sisi gelang dibolehkan? Graf sederhana Tak-berarah Tidak Tidak Graf ganda Tak-berarah Ya Tidak Graf semu Tak-berarah Ya Ya Graf berarah Berarah Tidak Tidak Graf ganda berarah Berarah Ya Ya Graf campuran Berarah dan tak-berarah Ya Ya
Jaringan Sosial Contoh : Model Graf Acquaintanceship and Friendship Graphs Kita dapat menggunakan graf sederhana untuk mewakili apakah dua orang saling mengenal satu sama lain. Apakah mereka berkenalan atau berteman di sosial media. Setiap orang dalam kelompok tertentu diwakili oleh simpul dan sisi berarah untuk menghubungkan dua orang yang saling mengenal satu sama lain.
Contoh : Influence Graphs Dalam studi pengamatan perilaku suatu kelompok, orang-orang tertentu dapat mempengaruhi pemikiran orang lain. Setiap orang dari kelompok diwakili oleh simpul dan sisi berarah diwakili oleh pengaruh dari simpul. Graf ini tidak mengandung gelang (loop). Contoh, Deborah tidak dapat dipengaruhi, tapi dia bisa mempengaruhi Brian, Fred, dan Linda. Ivone dan Brian dapat mempengaruhi satu sama lain.
Jaringan Komunikasi Contoh : Call Graphs Secara khusus, graf-ganda berarah dapat digunakan untuk model panggilan, dimana setiap nomor telepon diwakili oleh simpul dan setiap panggilan telepon diwakili oleh sisi berarah. Sebagai contoh, pada gambar dibawah, 3 panggilan telah dibuat dari 732-555-1234 ke 732-555-9876 dan 2 arah lain, tetapi tidak ada panggilan telah dibuat dari 732-555-4444 ke salah satu 6 nomor lain kecuali 732-555-0011.
Turnamen Contoh : Round-Robin Tournaments Turnamen yang setiap tim bertanding dengan tim lainnya hanya sekali disebut turnamen round-robin. Turnamen semacam itu dimodelkan dengan graf berarah. Simpul menyatakan tiap tim yang bertanding. Sisi (a, b) berarti tim a berhasil mengalahkan tim b. (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) (2,3), (2,4) (4,3) (5,2), (5,3), (5,4), (5,6) (6,2), (6,3), (6,4) Syarat : tidak boleh ada yang seri Gambar tersebut memperlihatkan 6 buah tim. Tim 1 tidak terkalahkan, sedangkan tim 3 tidak pernah menang.
B. TERMINOLOGI DASAR GRAF DAN JENIS KHUSUS GRAF 15 Kita akan sering menggunakan istilah yang berkaitan dengan graf. Dibawah ini didefinisikan beberapa terminologi yang sering dipakai. Gambar dibawah ini akan digunakan untuk memperjelas terminologi yang kita definisikan. G 1 adalah graf sederhana, G 2 adalah graf semu, dan G 3 adalah graf dengan sebuah simpul yang terpisah dari simpul lainnya. Ketiga buah graf ini merupakan graf tidak berarah. G 1 G 2 G 3
16 1. Bertetangga (Adjacent) Definisi. Dua buah simpul u dan v pada graf tak-berarah G dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung dengan sebuah sisi. Dengan kata lain, u bertetangga dengan v jika (u, v) adalah sebuah sisi pada graf G. Contoh : Pada gambar dibawah, simpul 4 bertetangga dengan simpul 2 dan 3, tetapi tidak bertetangga dengan simpul 1.
17 2. Bersisian (Incident) Definisi. Untuk sembarang sisi e = (u, v), sisi e dikatakan bersisian dengan simpul u dan simpul v Contoh : Gambar di bawah ini, sisi (1, 3) bersisian dngan simpul 1 dan simpul 3, tetapi sisi (3, 4) tidak bersisian dengan simpul 2.
18 3. Simpul terpencil (Isolated Vertex) Definisi. Simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya atau dapat juga dinyatakan bahwa simpul terpencil adalah simpul yang tidak satupun bertetangga dengan simpulsimpul lainnya. Contoh : Simpul 5 adalah simpul terpencil
19 4. Graf Kosong (Null Graph atau Empty Graph) Definisi. Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong disebut sebagai garaf kosong dan ditulis sebagai N n dalam hal ini n adalah julah simpul. Contoh :
Ada istilah yang digunakan untuk menggambarkan suatu himpunan pada simpul yang bertetangga pada suatu graf. Definisi. Himpunan semua tetangga pada suatu simpul v dari G = (V, E) dilambangkan dengan N(v). 5. Derajat (Degree) Definisi. Derajat suatu simpul pada graf tak berarah adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut. Sisi gelang (loop) dihitung berderajat dua. Derajat simpul v dilambangkan dengan deg (v).
Contoh 1 : Derajat simpul dan himpunan tetangga simpul dari gambar berikut adalah : deg (a) = 4 N (a) = b,d,e deg (b) = deg (e) = 6 N (b) = a,b,c,d,e deg (c) = 1 N (c) = b deg (d) = 5 N (d) = a,b,e N (e) = a,b,d Contoh 2 : Derajat simpul dan himpunan tetangga simpul dari gambar berikut adalah : deg (a) = 2 N (a) = b,f deg (b) = deg (c) = 4 N (b) = a,b,c,e,f deg (d) = 1 N (c) = b,d,e,f deg (e) = 3 N (d) = c deg (f) = 4 N (e) = b,c,f deg (g) = 0 N (f) = a,b,c,e N (d) =
Teorema 1 (Teorema Jabat Tangan) Biarkan G = (V, E) graf tak berarah dengan m jumlah sisi, maka Catatan : Berlaku jika memiliki sisi ganda dan gelang (loop) 2m selalu bernilai genap Teorema ini dikenal dengan (handshaking theorem). Setiap sisi dihitung dua kali, yaitu pada ujung kiri sebagai bagian dari simpul kiri dan pada ujung kanan dihitung sebagai bagian dari simpul kanan. Layaknya orang berjabat tangan maka jumlah tangan yang berjabatan adalah genap dan jumlah tangan yang berjabatan adalah dua kali jumlah jabatan tangan yang terjadi.
Contoh 1 : Jumlah derajat seluruh simpul pada graf dibawah ini adalah : deg(1) + deg(2) + deg(3) = 3 + 3 + 4 = 2 jumlah sisi = 2 5 = 10 Contoh 2 : Berapa banyak sisi yang ada di graf dengan 10 simpul masingmasing 6 derajat? Solusi 60= 2m m = 30
Teorema 2 Graf tak berarah mempunyai jumlah simpul dari derajat ganjil, untuk sembarang graf G, banyaknya simpul yang berderajat ganjil selalu genap. Bukti : Misalkan V 1 dan V 2 masing-masing adalah himpunan simpul yang berderajat genap dan berderajat ganjil pada graf G = (V, E). Berdasarkan teorema sebelumnya dimana, dengan demikian, untuk v V 1 genap dan v V 2 ganjil.
Jika deg(v) genap untuk v V 1, maka suku pertama dari ruas kiri persamaan selalu bernilai genap. Ruas kanan juga bernilai genap. Nilai genap pada ruas kanan hanya benar bila suku kedua dari ruas kiri juga harus genap. genap + genap = genap Jika deg(v) ganjil untuk v V 2, maka banyaknya simpul v di dalam V 2 harus genap agar jumlah seluruh derajatnya bernilai genap. Jadi, banyaknya simpul yang berderajat ganjil selalu genap. ganjil + ganjil = genap Perhatikan graf pada gambar dibawah, banyak simpul yang berderajat ganjil ada dua buah, yakni simpul 3 dan simpul 4
Derajat simpul dibedakan menjadi dua macam untuk mencerminkan jumlah sisi dengan simpul tersebut sebagai simpul asal dan jumlah sisi dengan simpul tersebut sebagai simpul terminal. Definisi Pada graf berarah derajat simpul v dinotasikan dengan deg in (v) dan deg out (v). deg in (v) = jumlah busur yang masuk ke simpul v deg out (v) = jumlah busur yang keluar dari simpul v jadi, deg(v) = deg in (v) + deg out (v) Catatan : Sisi gelang pada graf berarah menyumbangkan 1 untuk derajat -masuk dan 1 untuk derajat-keluar
27 Contoh : Derajat setiap simpul adalah deg in (a) = 2 deg out (a) = 4 deg in (b) = 2 deg out (b) = 1 deg in (c) = 3 deg out (c) = 2 deg in (d) = 2 deg out (d) = 2 deg in (e) = 3 deg out (e) = 3 deg in (f) = 0 deg out (f) = 0
28 Teorema 3 Pada graf berarah G = (V, E) selalu berlaku hubungan Pada contoh sebelumnya cukup jelas bahwa jumlah deg in (v) = jumlah deg out (v)
Beberapa Graf Sederhana 29 1. Graf Lengkap (Complete Graph) Graf sederhana terhubung yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua simpul lainnya. Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan K n. Setiap simpul pada K n berderajat n 1
30 2. Graf Lingkaran (Cycles) Graf lingkaran berorde n, dilambangkan dengan C n, adalah graf yang titik-titiknya dapat dilabeli berturut-turut dengan v 1, v 2,..., v n-1, v n sehingga E(C n ) = {v 1 v 2, v 2 v 3,..., v n-1 v n, v n v 1 }.
31 3. Graf Teratur (Regular Graphs) Graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama. Apabila derajat setiap simpul adalah r, maka graf tersebut disebut graf teratur berderajat r. Jumlah sisi pada graf teratur derajat r dengan n buah simpul adalah nr/2. n = 4, r = 3 n = 6, r = 3 n = 8, r = 3 (a) (b) (c)
Graf Bipartit 32 Definisi Graf G yang himpunan simpulnya dapat dikelompokkan menjadi dua himpunan bagian V 1 dan V 2, sedemikian sehingga setiap sisi di dalam G menghubungkan sebuah simpul di V 1 ke sebuah simpul di V 2 dan dinyatakan sebagai G(V 1, V 2 ). Dengan kata lain, setiap pasang simpul di V 1 dengan simpul di V 2 tidak bertetangga. Apabila setiap simpul di V 1 bertetangga dengan semua simpul di V 2, maka G(V 1, V 2 ) disebut graf bipartit lengkap, dilambangkan dengan K m,n. Jumlah sisi pada graf bipartit lengkap adalah mn.
33 Contoh : C 6 adalah bipartit, seperti yang ditunjukkan pada gambar 7. Himpunan simpulnya dikelompokkan menjadi dua yakni V 1 dan V 2. V 1 = {V 1,V 3,V 5 } dan V 2 = {V 2,V 4,V 6 }. Setiap sisi C 6 menghubungkan simpul di V 1 dan simpul di V 2.
Teorema 4 Sebuah graf sederhana dikatakan bipartit jika dan hanya jika ada kemungkinan untuk menetapkan satu dari dua warna yang berbeda untuk masing-masing simpul dari graf sehingga tidak ada dua simpul yang berdekatan mempunyai warna yang sama. Bukti : Misalkan G = (V, E) graf sederhana bipartit. V =V 1 V 2 dua himpunan yang berbeda. Setiap sisi dalam E menghubungkan simpul V 1 dan V 2, masing-masing simpul menggunakan warna yang berbeda. Biarkan V 1 himpunan simpul satu warna dan V 2 himpunan simpul dengan warna lain yang saling lepas. Selain itu, setiap sisi menghubungkan simpul di V 1 dan simpul di V 2, karena tidak ada dua simpul yang berdekatan maka G adalah bipartit.
35 Contoh : Graf G pada gambar 9 adalah graf bipartit lengkap K 2,3, K 3,3, K 3,5, K 2,6.
Teorema 5 Hall s Marriage Theorem Misalkan G adalah graf bipartit dengan V 1 dan V 2. Kemudian G mengandung pencocokan lengkap dari V 1 dan V 2 jika dan hanya jika T(S) S untuk setiap S subsets V 1. Bukti : Basis step : n = V 1, untuk n = 1 Inductive step : Misalkan n 2 berlaku untuk semua graf dengan V 1 < n. Pertimbangkan graf G dengan V 1 = n dan asumsikan Hall s Mariage terhadap 2 kasus : a) Misalkan T(S) > S untuk setiap S subset V 1. Biarkan xy berada disisi G dengan x V 1 dan y V 2. Dengan menghilangkan simpul x dan y di G dari G maka G memenuhi kondisi Hall s (jika S subset V 1 \ x maka T(S) T(S) - 1 S ) dan induksi G memiliki pencocokan lengkap dari V 1 \ x ke V 2 \ y. Dengan menambahkan sisi xy maka pencocokan lengkap. b) Jika kasus (a) not hold, maka T(S) = S untuk setiap S V 1. Graf bipartit oleh S T (S) memenuhi kondisi Hall s sehingga ada pencocokan lengkap dari S ke T (S). Perhatikan T = V 1 \ S dan U = V 2 \ T(S). Jika graf bipartit diinduksi oleh T U, maka memenuhi kondisi Hall s untuk setiap A subset T. Hal ini dapat kita buktikan dengan,
T(A) U = T(A S) (V 2 \ T(S) = T(A S) - (T(S) A S - S = A (karena T(A S) A S dan T(S) = S ) Dengan demikian, terdapat pencocokan lengkap dari T ke U.
Contoh : Job Assignments Misalkan m adalah karyawan dalam suatu kelompok dan n adalah pekerjaan yang dilakukan, dimana m n. Setiap karyawan dilatih untuk melakukan satu atau lebih pekerjaan. Kita ingin menetapkan seorang karyawan untuk setiap pekerjaan. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan graf untuk memodelkan kemampuan karyawan. Setiap karyawan diwakili dengan simpul dan setiap pekerjaan diwakili juga dengan simpul. Masing-masing karyawan kita hubungkan dengan pekerjaan yang telah dilatih untuk melakukannya. Pertama, anggaplah bahwa kelompok ini memilik 4 karyawan yakni, Alvarez, Berkowitz, Chen, dan Davis. Ada 4 pekerjaan yang harus dilakukan yaitu, requirements, architecture, implementation, dan testing. Misalnya Alvarez telah dilatih untuk melakukan requirements dan testing, Berkowizt telah dilatih untuk melakukan architecture, implementation, dan testing, Chen dilatih requirements, architecture, dan implementation, dan Davis hanya dilatih untuk melakukan requirements. Seperti yang tertera pada gambar (a), model semacam ini menggunakan graf bipartit.
39 Contoh : Carilah gabungan graf G 1 dan G 2 yang ditunjukkan pada gambar 16. Solusi : Simpul G 1 G 2 merupakan gabungan dari dua himpunan simpul yaitu {a,b,c,d,e,f}. Sisi himpunan adalah gabungan dari dua sisi himpunan.
40 C. REPRESENTASI GRAF DAN GRAF ISOMORFIK Representasi Graf Cara lain untuk mewakili graf tanpa sisi ganda adalah dengan menggunakan daftar kedekatan yang menentukan simpul yang berdekatan dengan simpul lain dari graf.
41 1. Matriks Ketetanggaan (adjacency matrix) Matriks ketetanggaan adalah representasi graf yang paling umum. Misalkan G = (V, E) adalah graf dengan n simpul, n 1. Matriks ketetanggaan G adalah matriks yang berukuran n n. a ij = 1 jika simpul i dan j bertetangga, sebaliknya a ij = 0 jika simpul i dan j tidak bertetangga.
42 Contoh : Memperlihatkan graf sederhana dengan matriks ketetanggaanna, masing-masing graf terhubung, graf tak-terhubung, dan graf berarah.
43 2. Matriks Bersisian (incidency matrix) Matriks bersisian menyatakan kebersisian simpul dengan sisi. Misalkan G = (V, E) adalah graf dengan n simpul dan m buah sisi. Matriks bersisian G adalah matriks yang berukuran n m. Baris menunjukkan label simpul, sedangkan kolom menunjukan label sisinya. a ij = 1 jika simpul i bersisian dengan sisi j, sebaliknya a ij = 0 jika simpul i tidak bersisian dengan sisi j.
44 Contoh : Memperlihatkan matriks bersisian untuk graf yang direpresentasikan. Jumlah elemen matriks adalah 6 5 = 30
45 Graf Isomorfik Definisi Dua buah graf, G 1 dan G 2 dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul-simpul keduanya dan antara sisi-sisi keduanya sedemikian sehingga jika sisi e bersisian dengan simpul u dan v di G 1, maka sisi e yang berkorespon di G 2 juga harus bersisian dengan simpul u dan v di G 2.
46 Tunjukkan graf G = (V, E) dan H = (W, F) adalah isomorfik. Perhatikan gambar G dan H dibawah ini.
47 Gambar (a) dan (b) merupakan isomorfik
48 D. KETERHUBUNGAN 1. Lintasan (Path) Definisi Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v 0 ke simpul tujuan v n di dalam graf G adalah barisan berselang-seling simpul-simpul dan sisisisi yang berbentuk v 0, e 1, v 1, e 2, v 2,..., v n-1, e n, v n sedemikian sehingga e 1 = (v 0, v 1 ), e 2 = (v 1, v 2 ),..., e n = (v n-1, v n ) adalah sisi-sisi dari graf G. Simpul dan sisi yang dilalui di dalam lintasan boleh berulang. Istilah dalam lintasan yaitu, lintasan sederhana (simple path) jika semua simpulnya berbeda (setiap sisi yang dilalui hanya satu kali), lintasan tertutup (closed path) lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama, dan lintasan terbuka (open path) lintasan yang tidak berawal dan berakhir pada simpul yang sama.
49 Contoh : Lintasan 1, 2, 4, 3 merupakan lintasan sederhana dan lintasan terbuka. Lintasan 1, 2, 4, 3, 1 merupakan lintasan sederhana dan lintasan tertutup. Lintasan 1, 2, 4, 3, 2 bukan lintasan sederhana, tetapi lintasan terbuka
50 2. Siklus (cycle) atau Sirkuit (circuit) Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama. Contoh : 1, 2, 3, 1 adalah sirkuit sederhana 1, 2, 4, 3, 2, 1 bukan sirkuit sederhana, sisi (1, 2) dilalui dua kali.
51 3. Terhubung (Connected) Definisi Graf tak berarah G disebut graf terhubung jika untuk setiap pasang simpul u dan v di dalam himpunan V terdapat lintasan dari u ke v. Jika tidak, maka G graf tak terhubung
52 Definisi Graf berarah G dikatakan terhubung jika graf tak berarahnya terhubung (graf tak berarah dari G diperoleh dengan menghilangkan arahnya). Keterhubungan dua buah simpul pada graf berarah dibedakan menjadi terhubung kuat dan terhubung lemah.
53 Definisi Graf berarah G disebut graf terhubung kuat (strongly connected graph) apabila untuk setiap pasang simpul sembarang u dan v Dua simpul u dan v pada graf berarah disebut terhubung kuat (strongly connected) jika terdapat lintasan berarah dari u ke v. Jika u dan v tidak terhubung kuat tetapi tetap terhubung pada graf tak berarah, maka u dan v dikatakan terhubung lemah (weakly connected).
Contoh : 54 Pada gambar (a), simpul 1 dan simpul 3 terhubung kuat karena terdapat lintasan dari 1 ke 3 (yaitu 1, 2, 3), begitu juga terdapat lintasan dari 3 ke 1 (yaitu 3, 4, 5, 1). Pada gambar (b), simpul 1 dan simpul 3 terhubung lemah karena hanya terdapat lintasan dari 3 ke 1 (yaitu 3, 5, 4, 1), tetapi tidak ada lintasan dari 1 ke 3. 1 1 5 2 5 2 4 (a) 3 4 (b) 3
55 Jawaban Latihan Soal
56 1. Graf perkenalan yang menunjukkan bahwa Tom dan Patricia, Tom dan Hope, Tom dan Sandi, Tom dan Amy, Tom dan Marika, Jeff dan Patricia, Jeff dan Mary, Patricia dan Hope, my dan Hope, Amy dan Marika saling mengenal, tetapi tidak ada pasangan lain yang saling mengenal. Solusi :
57 2. Berapa banyak sisi yang ada pada graf dengan derajat barisan 4, 3, 3, 2, 2? Gambarkanlah grafnya! Solusi : Misalkan banyak sisi pada graf adalah m maka, 4 + 3 + 3 + 2 + 2 = 2m 14 = 2m 7 = m jadi, banyak sisi pada graf tersebut adalah 7
58 3. Tunjukkan bahwa isomorfisma dari graf sederhana adalah relasi ekuivalen. Solusi : Misalkan G, H, dan K graf sederhana yang isomorfik. Refleksif, untuk semua graf sederhana, G G dengan f (V g ) = V g. Simetrik, jika G H maka H G. Artinya, terdapat fungsi korespondensi satu-satu f dari G ke H yang mempertahankan sisi bersisian dan sisi tak bersisian sehingga f -1 adalah fungsi korespondensi satu-satu dari H ke G yang juga mempertahankan sisi bersisian dan tak bersisian. Transitif, jika G H dan H K, maka G K. Artinya, terdapat fungsi korespondensi satu-satu f dari G ke H dan korespondensi satu-satu g dari H ke K yang mempertahankan sisi bersisian dan tak bersisian. Akibatnya, g f juga memenuhi fungsi korespondensi satu-satu dari G ke K yang mempertahankan sisi bersisian dan tak bersisian. Dengan demikian, isomorfisma graf sederhana merupakan relasi ekuivalen.
59 4. Tunjukkan bahwa setiap graf terhubung dengan n titik mempunyai paling sedikit n -1 sisi Solusi :
60 #Man Jadda Wa Jada