METODE KEKAKUAN (METODE DEORMASI) (DISPLACEMENT METHOD ATAU STINESS METHOD) Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS
DEINISI MATRIK KEKAKUAN Matri eauan elemen: ˆ sehingga persamaan sistem aalah: imana ˆ beraa alam sistem oorinat loal an emiian pula eormasi loal an gaya loal ˆ alam satu elemen. ( xˆ,ŷ,ẑ ) ˆ ˆ ˆ ˆ Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS
ELEMEN PEER atau RANGKA atau BATANG (Spring or Truss or Bar) ˆ xˆ, ˆ xˆ L ˆ xˆ, ˆ xˆ xˆ onstanta peer (eauan peer) Noe (titi) Noe (titi) xˆ arah oorinat loal ˆ xˆ ˆ xˆ gaya titi loal erajat ebebasan ˆ xˆ ˆ xˆ gaya titi loal erajat ebebasan Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 3
Penurunan Matri Keauan Elemen Peer (Spring) Beberapa contoh Konstanta eauan: Elemen Peer: EA/L, E aalah moulus elastisitas, A: luas penampang, L: panjang elemen. Elemen Torsi: GJ/L, G: moulus geser, J:momen inersia polar penampang. Elemen onusi panas: A K xx /L, K xx aalah oe. Konusi panas. Elemen aliran air alam meia berpori: A K xx /L, K xx aalah oe. Permeabilitas. Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 4
Penurunan Matri Keauan Elemen Peer (Spring) Stanar persamaan matri sistem elemen peer: ˆ ˆ x x ˆ ˆ x x Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 5
Penurunan Matri Keauan Elemen Peer (Spring) (lanj.) Aa 4 Tahap: Menentuan jenis elemen: elemen peer. Menentuan ungsi Deormasi. Menentuan hubungan Regangan gn. Deormasi an hubungan Tegangan gn. Regangan. Menurunan Matri Keauan Elemen an Persamaan Sistem. Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 6
Penurunan Matri Keauan Elemen Peer (Spring) (lanj.). Menentuan jenis elemen: elemen peer. Elemen peer mempunyai gaya T paa eua titinya engan panjang elemen L. T T xˆ ˆ xˆ ˆ xˆ L Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 7
Penurunan Matri Keauan Elemen Peer (Spring) (lanj.) Menentuan ungsi Deormasi û sehingga persamaan eormasinya:linier û a axˆ Jumlah erajat ebebasan (o) jumlah parameter. Dalam bentu matri: û [ xˆ ] a a Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 8
Penurunan Matri Keauan Elemen Peer (Spring) (lanj.) Persamaan eormasi paa masing- oorinat titi ari elemen sebagai ungsi eormasi paa titi tersebut, ˆ û() û(l) a a a a (L) û () ˆ x ˆ ˆ x a a x L ˆ x Selesaian a : a ˆ x L ˆ x Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 9
Penurunan Matri Keauan Elemen Peer (Spring) (lanj.) Disubstitusian alam: Diapatan: Dalam bentu matri: û a axˆ ˆ ˆ û L x x xˆ ˆ x xˆ uˆ L imana : N xˆ ˆ x ; L ˆ x xˆ L uˆ ; [ N N ] N xˆ L ˆ ˆ x x Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS
Penurunan Matri Keauan Elemen Peer (Spring) (lanj.) ungsi Deormasi N an N isebut ungsi Deormasi (Shape unctions or Interpolation unctions). Keuanya menyataan asumsi eormasi yang terjai. N N paa titi N N paa titi N N Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS
Penurunan Matri Keauan Elemen Peer (Spring) (lanj.) N N L L N N L Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS
Penurunan Matri Keauan Elemen Peer (Spring) (lanj.) Menentuan hubungan Regangan gn. Deormasi an hubungan Tegangan gn. Regangan. T δ δ u(l) ˆ u() ˆ δ ε ˆ δ x ; L ˆ σ x Eε ˆ xˆ L ˆ xˆ Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 3
ˆ ˆ Penurunan Matri Keauan Elemen Peer (Spring) (lanj.) Menurunan Matri Keauan Elemen an Persamaan Sistem. ˆ T x x [ ] ˆ ˆ ˆ x x ( ˆ ) x ˆ x ( ˆ ) x ˆ x ( ˆ ) x ˆ x ( ˆ ˆ ) Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 4 ˆ T T ˆ ˆ x x x x ˆ ˆ T x x x x
Penyelesaian Matri Keauan an Persamaan Sistem Peer (Spring) Aa 6 tahap umum: Menentuan jenis elemen an isritisasi. Menentuan gaya luar yang beerja paa titi (noes) Menggabungan matri eauan elemen- menjai matri eauan global, beriut persamaan global ari sistem. Menentuan syarat batas. Menyelesaian eormasi ari erajat ebebasan yang ta ietahui. Menghitung gaya alam elemen, tegangan, an regangan elemen. Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 5
Penyelesaian Matri Keauan an Persamaan Sistem Peer (Spring) Contoh paa Sistem ua peer. 3 x x Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 6
Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 7 Penyelesaian Matri Keauan an Persamaan Sistem Peer (Spring) x x x x Elemen : Elemen : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Persamaan ari masing- elemen:
Penyelesaian Matri Keauan an Persamaan Sistem Peer (Spring) Elemen an berhubungan paa titi (noe) 3. Hal ini isebut sebagai persyaratan continuitas atau compatibilitas. Sehingga: () () Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 8
Penyelesaian Matri Keauan an Persamaan Sistem Peer (Spring) Penggabungan matri gaya global ˆ () ˆ () x ˆ () x x ˆ () x Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 9
Penyelesaian Matri Keauan an Persamaan Sistem Peer (Spring) Gaya paa titi onsisten engan asumsi vetor gaya paa elemen 3 () () () () x x x x Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS
Penyelesaian Matri Keauan an Persamaan Sistem Peer (Spring) x x alam bentu matri : or x x x x [ ] [ K]{} x x x x Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS
Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS Penyelesaian Matri Keauan an Persamaan Sistem Peer (Spring) 3 3 x x x x x x : Matri Keauan Global : Global Matri Deormasi : Matri Gaya Global
Penyelesaian Matri Keauan an Persamaan Sistem Peer (Spring) Cara lain membentu matri eauan global. [ () ] ˆ x ˆ [ () ] ˆ ˆ x Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 3
Penyelesaian Matri Keauan an Persamaan Sistem Peer (Spring) Menyataan matri eauan elemen alam sistem global ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ () x () x () () x () x () () x () x () () x () x () Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 4
Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 5 Penyelesaian Matri Keauan an Persamaan Sistem Peer (Spring) Kesetimbangan gaya x x () () x () () x x x () () x () x () () x () x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 6 Penyelesaian Matri Keauan an Persamaan Sistem Peer (Spring) x x x x x x () () x () x () () x () x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Kompatibilitas
Penyelesaian Matri Keauan an Persamaan Sistem Peer (Spring) Syarat Batas (Bounary Conition, BC) Harus menentuan syarat batas untu menghinari geraan bena pejal (rigi boy). Aa ua macam syarat batas: Deormasi homogen (homogeneous - isplacement) Deormasi ta homogen (Nonhomogeneous - isplacements) harga tia nol Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 7
Penyelesaian Matri Keauan an Persamaan Sistem Peer (Spring) Penyelesaian engan Prinsip Partisi Anggap sebagai erajat ebebasan yang bebas Anggap sebagai erajat ebebasan yang tia bebas K K K K K K K K Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 8
Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 9 Penyelesaian Matri Keauan an Persamaan Sistem Peer (Spring) Titi sebagai perletaan: x, x x x x x x
Penyelesaian Matri Keauan an Persamaan Sistem Peer (Spring) Syarat Batas paa onisi perletaan tanpa eormasi. Hilangan persamaan yg berenaan gn. Syarat batas. Selesaian persamaan untu erajat ebebasan yang tia ietahui. Hitung reasi paa perletaan menggunaan persamaan yg berenaan gn syarat batas. Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 3
Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 3 Penyelesaian Matri Keauan an Persamaan Sistem Peer (Spring) Syarat Batas engan harga eormasi perletaan. δ x x x δ x x
Penyelesaian Matri Keauan an Persamaan Sistem Peer (Spring) Syarat Batas engan harga eormasi perletaan. Pinahan esebelah anan persamaan yg berenaan gn eormasi yg ietahui. Selesaian eormasi ari erajat ebebasan yg tia ietahui. Hitung reasi perletaan ari persamaan global yg berenaan gn syarat batas. Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 3
Penyelesaian Matri Keauan an Persamaan Sistem Peer (Spring) Siat ari matri eauan: [] an [K] Simetris thp iagonal. [K] singular (et[k]). Dgn menghilangan persamaan paa syarat batas > [K] nonsingular (et[k] ). Komponen iagonal ( ii, K ii ) matri [] an [K] aalah positi. Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 33
Contoh Rangaian 3 Peer lb/in lb/in 3 3 lb/in 3 4 x 5 lb 3 () () (3) 3 3 [ ] [ ] [ ] 3 3 [ K] 3 3 3 3 Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 34
Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 35 Contoh Rangaian 3 Peer (lanj.) Persamaan sistem peer: 5 ; 5 3 3 3 3 x x x x x x x x 5 5 3 5 3 x x x x x x
Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 36 Contoh Rangaian 3 Peer (lanj.) 5 49.9 99. 5 5 3 3 3 3 in 5 in x x x x
Contoh Rangaian 3 Peer (lanj.) Gaya Elemen : ˆ ˆ ˆ x 99. ˆ 99. Gaya Elemen : x 99. lb 3 99. lb xˆ ˆ ˆ 5 99. 99. ˆ ˆ 99. lb 3 4 99. lb xˆ Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 37
Contoh Rangaian 3 Peer (lanj.) Gaya Elemen 3: 3 3 3 5 3 ˆ ˆ x ˆ ˆ x 49.9 49.9 49.9 lb 3 49.9 lb 4 xˆ Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 38
Contoh: Syarat Batas 3 4 5 x 3 4 N/m δ.m [ ] [ ] [ ] [ ] () () (3) (4) [ K] 4 4 4 Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 39
Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 4 Contoh: Syarat Batas (lanj.) Persamaan sistem peer: 5x x x 5x x x 4 4 4 5x x x x 5x x. 4 4 4. m mm
Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 4 Contoh: Syarat Batas (lanj.). 4 4 4 x m.5. m m.5 4 4 4 4 x x
Contoh: Syarat Batas (lanj.) Penyelesaian Reasi Perletaan paa syarat batas x x 5x 4 4. N. N. N. N. N 4.5..5. x x 5x Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 4
Contoh: Syarat Batas (lanj.) Gaya Elemen : ˆ.5 ˆ ˆ x. N ˆ x. N x x. N. N xˆ Gaya Elemen :.5. ˆ ˆ. N x ˆ. N ˆ 3 x. N. N xˆ Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 43
Contoh: Syarat Batas (lanj.) Gaya Elemen 3:. ˆ.5 ˆ ˆ. N ˆ. N Gaya Elemen 4:.5. ˆ ˆ. N ˆ. N 5x 5x. N 3. N 3 4 ˆ 4 5. N xˆ 4. N xˆ Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 44
Rangaian 3 Peer () P 3 x Rigi Bar 3 3 4 Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 45
Rangaian 3 Peer () (lanj.) B.C.: x Compatibility : () x () x (3) x Noal equilibrium : x P () x () x () (3) () x (3) x Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 46
Rangaian 3 Peer () (lanj.) ree Boy Diagram x () x () () x x () x () x P (3) x () x 3 () 3 (3) x 3 4 Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 47 (3) 4
Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 48 Rangaian 3 Peer () (lanj.) Persamaan matri sistem: Memasuan beban & syarat batas: x x x x 3 3 3 3 x x 3 3 3 3 P
Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 49 Rangaian 3 Peer () (lanj.) ( ) ( ) 3 x x 3 x x 3 P P P x x x x x Reasi Perletaan:
Peneatan Energi Potensial Kesetimbangan terjai saat energi potensial minimum. Energi potensial total aalah jumlahan energi regangan U an energi potensial ari gaya luar Ω. π p U Ω Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 5
Peneatan Energi Potensial (lanj.) Suatu Sistem: x Kurva eormasi thp gaya: x Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 5
Peneatan Energi Potensial (lanj.) U U U π p x x U x Ω x x x x x x (x)x x x Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 5
Peneatan Energi Potensial (lanj.) Konisi Stationary G G G(x) maximum Harga 'Stationary' apat sbg titi maximun, minimum, atau netral netral sebagai ungsi ari x imana : G x minimum x π π (,, L, ) p p Turunan pertama ari igunaan untu meminimuman π n π π p p ({ i }) (inyataan sbg δπ p p ) Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 53
Peneatan Energi Potensial (lanj.) Prinsip ari Energi Potensial Minimum: Kesetimbangan terjai saat i paa onisi imana δπ p untu perubahan ecil yg apat iterima δ ari onisi setimbang Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 54
Peneatan Energi Potensial (lanj.) Variasi Deormasi yg apat iterima: Suatu variasi yg apat iterima aalah suatu harga eormasi yg terjai memenuhi syarat batas yg aa an ontinyuitas antar elemen. u ungsi Deormasi yg pt iterima u δu δu ungsi Deormasi sebenarnya Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 55 x
Peneatan Energi Potensial (lanj.) Konisi Variasi Deormasi yg apat iterima: δπ δπ π p p p π, p δ π p π p δ, L, L π p n π p n δ n π p ( i,,3, L,n) or π p {} Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 56
Peneatan Energi Potensial (lanj.) Contoh sistem peer: lb x 5 lb/in x Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 57
Peneatan Energi Potensial (lanj.) Contoh sistem peer (lanj.): π p U Ω U x Ω x πp x πp δπp x x δx π πp x πp 5x x x. in π p p 5x x lb in Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 58
Peneatan Energi Potensial (lanj.) Contoh sistem peer (lanj.): PE π p 5x x 8 Deormation Potential Energy -4. 8-3. 55 -. 3 -. 5.. -75. - 3. -75 4. 6 4-4. -... 4. 6. 8. - x Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 59
Peneatan Energi Potensial (lanj.) Contoh sistem 3 peer: lb/in lb/in 3 3 lb/in 3 4 x 5 lb 3 π p () x 3 π e x (e) p () ( ) ( ) ( ) () x () (3) (3) x x 3 x Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 6
Hanayanu Metoe Elemen Hingga (LL6) JTK-TK-ITS 6 Peneatan Energi Potensial (lanj.) π π π π (3) () 3 x 3 p (3) x 3 x 3 x p () () x p () x x x p x x (3) () () () (3) x () x (3) () () () (3) x () x x x 3 3 3 3 ; Contoh sistem 3 peer (lanj.):