LAMPIRAN
33 Lampiran A. Beberapa Definisi dan Lema Teknis Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Definisi A.1 (Ruang contoh dan kejadian) Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak dapat diprediksi secara tepat tapi kita dapat mengetahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak. Himpunan semua hasil yang mungkin dari percobaan acak disebut ruang contoh dan dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian adalah himpunan bagian dari rung contoh. (Ross 1996) Definisi A.2 (Medan -) Suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari Ω disebut dengan medan - jika memenuhi syarat sebagai berikut: (i) (ii). Jika maka. (iii) Jika,, maka. (Grimmet dan Stirzaker 1992) Medan-terkecil yang mengandung semua selang berbentuk,, disebut medan Borel, dinotasikan B( dan anggota dari medan Borel disebut himpunan Borel. Definisi A.3 (Ukuran peluang) Ukuran peluang P pada Ω, adalah fungsi P : 0,1 yang memenuhi: (i) P 0, PΩ 1. (ii) Jika,, adalah himpunan disjoin yang merupakan anggota dari, yaitu untuk setiap i, j dengan maka P P. Tripel (Ω,, P) disebut sebagai ruang peluang.
34 Definisi A.4 (Kejadian saling bebas) Kejadian dan dikatakan saling bebas jika P P P. Secara umum, himpunan kejadian, dikatakan saling bebas jika P P untuk setiap himpunan bagian dari. Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi A.5 (Peubah acak) Peubah acak adalah fungsi : Ω dengan Ω; untuk setiap. Definisi A.6 (Fungsi sebaran) Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah : 0,1, yang didefinisikan oleh P. Definisi A.7 (Peubah acak diskret) Peubah acak dikatakan diskret jika semua himpunan nilai,, merupakan himpunan tercacah. Untuk peubah acak diskret fungsi kepekatan peluang didefinisikan sebagai berikut: Definisi A.8 (Fungsi kerapatan peluang) Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret adalah fungsi : 0,1 dengan P.
35 Definisi A.9 (Peubah acak Poisson) Suatu peubah acak disebut peubah acak Poisson dengan parameter, 0, jika fungsi kerapatan peluangnya diberikan oleh P, untuk 0,1,2,! (Ghahramani 2005) Kekonvergenan Definisi A.10 (Kekonvergenan barisan bilangan nyata) Barisan disebut mempunyai limit dan dituliskan lim atau jika, apabila untuk setiap 0 terdapat sebuah bilangan sedemikian sehingga jika maka. Jika lim ada, dikatakan barisan tersebut konvergen. Jika tidak, barisan tersebut dikatakan divergen. (Stewart 1999) Lema A.1 (Deret-p) Deret (disebut juga deret-p) konvergen jika 1, dan divergen jika 1. Bukti: Lihat Stewart (1999). Definisi A.11 ( Konvergen dalam peluang) Misalkan,,, adalah peubah acak dalam ruang peluang Ω,, P. Barisan peubah acak konvergen dalam peluang ke, dinotasikan, jika untuk setiap 0, P 0 untuk. Nilai Harapan, Ragam dan Momen Definisi A.12 (Nilai harapan) Misalkan adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang P. Nilai harapan dari dinotasikan E, adalah
36 jika jumlah diatas konvergen mutlak. E P, Lema A.2 Jika,,, adalah peubah acak dan,,, adalah konstanta sembarang, maka Bukti: Lihat Ghahramani (2005). E E. Definisi A.13 (Ragam) Misalkan adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang dan nilai harapan E, ragam dari dinotasikan dengan Var atau, adalah E E E. Lema A.3 Jika adalah peubah acak maka untuk sembarang konstanta a dan b berlaku Var Var. (Ghahramani 2005) Bukti: Dari definisi dapat dituliskan bahwa Var E E E E E E E E E E
37 Var. Dengan demikian Lema A.3 terbukti. Definisi A.14 (Covarian) Misalkan dan adalah peubah acak, covarian dari dan didefinisikan sebagai Cov, E E E. (Ghahramani 2005) Lema A.4 Misalkan dan adalah peubah acak dan misalkan pula a dan b adalah konstanta sembarang, maka Var Var 2Cov,. Jika dan adalah peubah acak yang saling bebas, maka Var Var. (Ghahramani 2005) Bukti: Dari definisi dapat dituliskan bahwa E E E E E E E E E E E 2 E E Var Var 2Cov,. Dengan demikian Lema A.4 terbukti. Definisi A.15 (Momen ke-k) Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen ke-k atau dari peubah acak adalah E.
38 Definisi A.16 (Momen pusat ke-k) Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen pusat ke-k atau dari peubah acak adalah E. Nilai harapan peubah acak merupakan momen pertama dari. Nilai harapan dari kuadrat perbedaan jarak antara peubah acaka dengan nilai harapannya disebut ragam dari. Ragam merupakan momen pusat ke-2 dari peubah acak. Definisi A.17 (Fungsi pembangkit peluang) Fungsi pembangkit peluang dari suatu peubah acak X adalah E untuk suatu sehingga nilai harapan di atas ada. Lema A.5 Jika memiliki fungsi pembangkit peluang, maka (i) 1 E, (ii) Secara umum dapat ditulis E 1 2.. 1 1. Bukti:Lihat Grimmet and Stirzaker (1992). Lema A.6 Jika adalah peubah acak Poisson dengan parameter, maka (i) E, (ii) E, (iii)e 3, (iv) E 7 6, (v) E 3. Bukti: Dari Definisi A.17 diperoleh A. 1 A. 2 A. 3 A. 4 A. 5
39 E.! Berdasarkan Lema A.5 dan persamaan A. 6 diperoleh E, Sehingga persamaan A. 1 terbukti. Dari persamaan A. 6 dan A. 7 diperoleh E 1 E E, A. 6 A. 7 A. 8 sehingga persamaan A. 2 terbukti. Dari persamaan A. 6, A. 7, dan A. 8 diperoleh E 1 2 E 3E 2E E 3 2 E 3, A. 9 sehingga persamaan A. 3 terbukti. Dengan menggunakan persamaan A. 6, A. 7, A. 8, dan A. 9 diperoleh E 1 2 3 E 6E 11E 6E E 6 3 11 6 E 7 6. A. 10 sehingga persamaan A. 4 terbukti. Dengan menggunakan persamaan A. 6, A. 7, A. 8, A. 9 dan A. 10 diperoleh E E 4 6 4 E E 4E 6 E 4 E E 7 6 4 3 6 4 E 7 6 4 12 4 6 6 4 E 3. sehingga persamaan A. 5 terbukti. Dengan demikian Lema A.6 terbukti.
40 Penduga Definisi A.18 (Statistik) Statistik merupakan suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui. Definisi A.19 (Penduga) Misalkan,,, adalah contoh acak. Suatu statistik,,, yang digunakan untuk menduga fungsi parameter, dikatakan sebagai penduga bagi, dilambangkan oleh. Nilai amatan,,, dari dengan nilai amatan,,,, disebut sebagai dugaan bagi. Definisi A.20 (Penduga tak bias) disebut penduga tak bias bagi, bila E. Bila E, maka disebut bias bagi penduga. Bila lim E, maka disebut sebagai penduga tak bias asimtotik bagi. Definisi A.21 (Penduga konsisten) Suatu statistik,,, yang konvergen dalam peluang ke parameter, yaitu disebut penduga konsisten bagi. Definisi A.22 (Mean Square Error) Mean Square Error (MSE) dari penduga untuk parameter adalah fungsi dari yang didefinisikan oleh E. Dengan kata lain MSE adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara penduga dan parameter. Dari sini diperoleh E Var E Var. (Cassela and Berger 1990)
41 Definisi A.23 (O(1) dan o(1)) (i) Suatu barisan bilangan nyata disebut terbatas dan ditulis 1 untuk, jika ada bilangan terhingga dan sehingga untuk semua bilangan asli n. (ii) Suatu barisan yang konvergen ke nol untuk, dapat ditulis 1 untuk. (Purcell and Varberg 1998) Definisi A.24 (Fungsi indikator) Fungsi indikator dari himpunan, sering ditulis I, didefinisikan sebagai fungsi I 1, jika 0, jika. (Cassela and Berger 1990) Lema A.7 (Ketaksamaan Markov) Jika adalah peubah acak, maka untuk suatu 0, P. Bukti: (Ghahramani 2005) Misalkan, maka I, dengan I adalah fungsi indikator dari. Jika ditentukan nilai harapannya, maka diperoleh E EI EI P P E. Dengan demikian Lema A.7 terbukti. Lema A.8 (Ketaksamaan Chebyshev) Jika adalah peubah acak dengan nilai harapan dan ragam, maka untuk setiap 0, P. (Ghahramani 2005)
42 Bukti: Karena, dengan ketaksamaan Markov diperoleh P E. Oleh karena adalah ekuivalen, dengan demikian Lema A.8 terbukti. Lema A.9 (Ketaksamaan Chaucy-Schwarz) Jika dan adalah peubah acak, maka berlaku E E E. (Ghahramani 2005) Bukti: Untuk semua bilangan real, 0. Oleh karena untuk semua nilai dari, 2 0. Karena peubah acak non-negatif mempunyai nilai harapan non-negatif, maka E 2 0. Hal ini berimplikasi bahwa E 2E E 0. Jika ditulis dalam bentuk polinomial dalam yang berderajat 2, maka didapatkan E 2E E 0. Jika suatu polinomial berderajat 2 adalah positif maka diskriminannya adalah negatif, sehingga persamaan di atas dapat ditulis 4E 4E E 0 E E E Dengan demikian Lema A.9 terbukti. E E E. Lema A.10 (Formula Young dari Teorema Taylor) Misalkan g mempunyai nilai turunan ke-n yang terhingga pada suatu titik x, maka.! Untuk. Bukti: Lihat Serfling (1980).
43 Lema A.11 (Teorema deret Taylor) Misal f suatu fungsi maka deret Taylor dari f di a (atau di sekitar a atau yang berpusat di a) adalah! 1! " 2! (Stewart 1999) Definisi A.25 (Terintegralkan Lokal) Fungsi intensitas disebut terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas diperoleh. (Dudley 1989) Definisi A.26 (Titik Lebesgue) Suatu titik s disebut titik Lebesgue dari suatu fungsi, jika 1 lim 0. 2 (Wheeden and Zygmund 1977) Lema A.12 (Teorema Limit Pusat (CLT)) Misalkan adalah barisan peubah acak yang bebas dengan masing-masing memiliki nilai harapan dan ragamnya bernilai berhingga. Jika dan untuk suatu 2,,, maka menyebar normal asimtotik dengan nilai harapan dan ragam,dinotasikan Bukti: Lihat Serfling (1980). 1 1, 1.