JMP : Volume 4 omor, Juni 22, hal. 35-46 KAJIA PEMODELA DERET WAKTU: METODE VARIASI KALEDER YAG DIPEGARUHI OLEH EFEK VARIASI LIBURA Winda Triyani Universias Jenderal Soedirman winda.riyani@gmail.com Rina Reoria Universias Jenderal Soedirman reo.rina@yahoo.com ABSTRACT. Calendar variaion mehod is a echnique ha combines ARIMA modeling and regression modeling. Calendar variaion is a cyclical paern wih varying periods due o he differen calendar dae posiion for each year. There are wo ypes of calendar variaion, rading day variaion and holiday variaion. In his research, modeling of ime series wih holiday variaion was sudied and modificaion of he modeling was developed for he case of holiday effec due o Eid s day occur. The case sudy was conduced o he daa of rain passenger number a DAOP V Purwokero. I was found ha he las model for he underlying daa was he regression model wih he residual following seasonal ARIMA (,,)(,,) 2 wihou consan parameer. Keyword : ime series, calendar variaion, holiday variaion, regression, ARIMA ABSTRAK. Meode variasi kalender merupakan eknik pemodelan yang mengkombinasikan model ARIMA dan model regresi. Variasi kalender merupakan pola berulang dengan panjang periode yang bervariasi akiba pengaruh penanggalan kalender yang berbeda-beda seiap ahunnya. Variasi kalender erdiri dari dua jenis yaiu variasi perdagangan dan variasi liburan. Pada peneliian ini, pemodelan dere waku dengan variasi kalender yang dipengaruhi efek variasi liburan dipelajari dan dimodifikasi khususnya unuk efek liburan akiba hari Lebaran. Sudi kasus pemodelan pada daa jumlah penumpang kerea api DAOP V Purwokero. Model variasi kalender yang diperoleh unuk daa jumlah penumpang kerea api adalah model regresi dengan sisaan regresi yang berupa model musiman ARIMA (,,)(,,) 2 anpa parameer konsana. Kaa kunci : dere waku, variasi kalender, variasi liburan, regresi, ARIMA. PEDAHULUA Banyak kegiaan ekonomi yang berganung pada jumlah masing-masing hari iap bulannya. Karena jumlah masing-masing hari berbeda-beda dari bulan ke bulan dan ahun ke ahun, maka dere waku ersebu dapa dipengaruhi efek variasi kalender. Efek variasi yang disebabkan oleh banyaknya hari perdagangan
36 Winda Triyani dan Rina Reoria iap bulannya dinamakan efek variasi hari perdagangan (rading day variaion). Selain variasi akiba perbedaan banyaknya hari perdagangan, beberapa hari libur yang wakunya dapa beragam mengikui sisem kalender bulan juga mempengaruhi kegiaan ekonomi. Efek kalender demikian disebu efek variasi liburan aau holiday variaion (Bell dan Hilmer, 983). Analisis dere waku yang memiliki pola variasi kalender memerlukan penanganan khusus. Hal ini dikarenakan analisis dere waku yang umum digunakan menganggap bahwa seiap hari adalah sama idak berganung pada penanggalan kalender. Apabila analisis ini dilakukan pada daa yang dipengaruhi variasi kalender maka hasil yang diperoleh menjadi kurang epa. Beberapa peneliian mengenai analisis dere waku yang mengandung efek variasi kalender elah dilakukan dianaranya Liu (986) sera Bell dan Hilmer (983). Indonesia sebagai negara yang mayorias beragama Islam, menggunakan kalender Hijriyah unuk menenukan hari besar agama seperi hari raya Idul Firi (Lebaran). Variasi kalender yang disebabkan hari besar ini merupakan sau conoh efek variasi liburan. Libur Lebaran mempunyai keunikan ersendiri. Pada libur biasa, umumnya efek liburan erjadi sebelum hari libur ersebu erjadi. amun, pada libur Lebaran efek liburan erjadi sekiar ujuh hari sebelum dan ujuh hari seelah hari Lebaran. Karena iu, pembenukan model dere waku dengan meode variasi kalender yang mengandung efek variasi liburan, khususnya karena hari Lebaran merupakan suau hal yang menarik unuk dikaji. Tujuan dari peneliian ini adalah mengkaji pemodelan dere waku meode variasi kalender dengan memasukkan efek variasi liburan akiba hari Lebaran. Hasil ini diharapkan dapa dijadikan acuan dasar unuk mempelajari meode variasi kalender lebih lanju, misalnya dengan menambahkan efek variasi hari perdagangan dan efek variasi liburan pada model variasi kalender. 2. METODE PEELITIA Pemodelan diawali dengan menenukan variabel yang mewakili variasi kalender dan melakukan pemodelan regresi, menaksir sera menguji parameernya. Kemudian dilanjukan dengan mengidenifikasi keberadaan sifa
Kajian Pemodelan Dere Waku: Model Variasi Kalender 37 whie noise pada sisaan regresi, jika belum whie noise dilanjukan ke pemodelan ARIMA. Tahap selanjunya menaksir parameer model variasi kalender yaiu gabungan model regresi dan ARIMA, kemudian menguji kesignifikanannya. Tahap akhir dilakukan dengan memeriksa kesesuaian model dengan asumsi pada sisaan. Pada peneliian ini daa yang digunakan yaiu jumlah penumpang kerea api DAOP V Purwokero dari Januari 26 sampai Desember 2. 3. HASIL DA PEMBAHASA 3. Benuk Dasar Model Variasi Kalender Menuru Bell dan Hilmer (983), dere waku Z yang mengandung variasi kalender dapa dinyaakan sebagai Z f ( X ; ξ ) () dengan f ( X ; ξ ) adalah fungsi dari vekor parameer ξ dan vekor X yang erdiri dari variabel-variabel bebas yang diamai saa, sedangkan merupakan proses sokasik yang disebu gangguan aau noise. Jika bukan whie noise, maka (p,d,q) yaiu belum enu sasioner dan dapa dipandang sebagai model ARIMA d ( B)( B) ( B) a p q q( Ba ) d ( B)( B) p (2) k dengan B merupakan operaor mundur ( B ), k ( B) B... B p p p, q q ( B) B... B, ( B) d merupakan operaor diferensi dan a merupakan barisan variabel acak IID dengan raa-raa dan variansi 2. q 3.2 Fungsi Efek Variasi Liburan Pada persamaan (), fungsi f ( X ; ξ) dapa dianggap sebagai model regresi yang memua efek variasi kalender. Apabila efek yang berpengaruh erhadap
38 Winda Triyani dan Rina Reoria variasi kalender hanya efek liburan, maka fungsi f ( X ; ξ) disebu fungsi efek variasi liburan, dinoasikan dengan persamaan () dapa dinyaakan sebagai L, sehingga model variasi kalender pada Z L. (3) Pada peneliian ini akan dibahas cara mengkonsruksi fungsi efek variasi liburan L akiba hari Lebaran unuk dua kasus. Perama, jika efek Lebaran hanya erjadi selama 7 hari sebelum hari Lebaran dan kedua jika efek Lebaran erjadi selama 7 hari sebelum dan 7 hari seelah hari Lebaran. 3.2. Fungsi Efek Variasi Liburan Sebelum Hari Lebaran Penenuan fungsi efek variasi liburan sebelum hari Lebaran dapa diadapasi dari Bell dan Hilmer (983) yang membahas efek variasi liburan pada hari libur Paskah. Pada model ini diasumsikan sauan waku dari dere waku adalah bulan. Misal menyaakan banyaknya hari sebelum hari Lebaran dan menyaakan efek liburan pada hari ke-i sebelum hari Lebaran. Jika diasumsikan sama unuk hari ke- i, 2,..., dan didefinisikan unuk lainnya maka oal efek libur Lebaran dapa diulis... =. Fungsi efek variasi liburan pada bulan ke- dapa dinyaakan sebagai L H(, ) (5) dengan H(, ) menyaakan proporsi periode waku hari sebelum hari Lebaran pada bulan, aau i i i (4) H (, ) h( i, ) (6) dan h( i, ) merupakan fungsi indikaor yang bernilai keika hari ke-i sebelum hari libur jauh pada bulan dan bernilai unuk lainnya. 3.2.2 Fungsi Efek Variasi Liburan Sebelum dan Seelah Hari Lebaran Pada bagian ini fungsi efek variasi liburan akan dimodifikasi dengan menambahkan efek hari seelah hari Lebaran. Misalkan menyaakan
Kajian Pemodelan Dere Waku: Model Variasi Kalender 39 banyaknya hari sebelum hari Lebaran dan menyaakan banyaknya hari seelah hari Lebaran. Pola unuk efek liburan i didefinisikan sebagai, i,2,..., dan i,2,..., i, lainnya, maka oal efek selama hari sebelum hari Lebaran dan hari seelah hari Lebaran dapa diuliskan sebagai ( ). (7) Fungsi efek variasi liburan saa dapa diuliskan sebagai L H (, ; ) (8) dengan H(, ; ) menyaakan proporsi periode waku hari sebelum dan hari seelah hari Lebaran pada bulan, yang dapa dinyaakan sebagai H (, ; ) h( i, ) h( i, ). (9) i i 3.3 Conoh Aplikasi Pemodelan Beriku conoh pemodelan meode variasi kalender dengan memasukkan efek variasi liburan akiba hari Lebaran pada daa jumlah penumpang kerea api DAOP V Purwokero. Berdasarkan Gambar erliha bahwa pada bulan-bulan yang berepaan dengan libur Lebaran erjadi peningkaan jumlah penumpang yang cukup inggi dibanding dengan bulan-bulan yang lain. Lonjakan penumpang pada bulan erjadinya Lebaran erjadi karena adanya budaya mudik yang dilakukan oleh masyaraka selama periode libur Lebaran. Oleh karena iu, cukup beralasan jika daa jumlah penumpang kerea api dimodelkan dengan meode variasi kalender dengan efek libur Lebaran yang berpengaruh diasumsikan erjadi pada 7 hari sebelum dan 7 hari sesudah hari Lebaran. Model regresi yang erbenuk adalah Z 238 9582 H(7,7 ; )
4 Winda Triyani dan Rina Reoria 45 Time Series Plo of Z 4 35 3 Z 25 2 5 Jan-6 Jun-6 Des-6 Jun-7 Des-7 Jun-8 Des-8 Bulan Jun-9 Des-9 Jun- Des- Gambar. Time Series Plo Jumlah Penumpang Kerea Api Time Series Plo of Time Series Plo of diff 5 3 2 5 diff -5 - - -2 Jan-6 Jun-6 Des-6 Jun-7 Des-7 Jun-8 Des-8 Jun-9 Des-9 Jun- Des- Jan-6 Jun-6 Des-6 Jun-7 Des-7 Jun-8 Des-8 Jun-9 Des-9 Jun- Des- Bulan Bulan Gambar 2. Plo Dere Waku Gambar 3. Plo Hasil Diferensi Selanjunya yaiu pengujian asumsi sisaan regresi. Keidaksasioneran pada dapa diaasi dengan proses diferensi. Berdasarkan plo hasil diferensi pada Gambar 3, maka dapa dikaakan elah sasioner. Langkah selanjunya yaiu mengidenifikasi plo FAK dan FAKP unuk menenukan orde dari AR dan MA. Auocorrelaion Funcion for diff (wih 5% significance limis for he auocorrelaions) Parial Auocorrelaion Funcion for diff (wih 5% significance limis for he parial auocorrelaions),,8,,8 Auocorrelaion,6,4,2, -,2 -,4 -,6 -,8 -, Parial Auocorrelaion,6,4,2, -,2 -,4 -,6 -,8 -, 2 3 4 5 6 7 8 Lag 9 2 3 4 5 2 3 4 5 6 7 8 Lag 9 2 3 4 5 Gambar 4. Plo FAK dan FAKP Hasil Diferensi.
Kajian Pemodelan Dere Waku: Model Variasi Kalender 4 Berdasarkan Gambar 4, model dugaannya yaiu: a. Model Gabungan ARIMA (,,) dan H(7,7 ; ) Pada Tabel, parameer menunjukkan idak signifikan karena p value,5. Oleh karena iu, parameer konsana perlu dikeluarkan dari model sehingga model dugaan berubah menjadi gabungan ARIMA (,,), anpa konsana dan H(7,7 ; ). Hasil penaksiran Tabel 2 menunjukkan semua parameer elah signifikan karena p value, 5. Langkah selanjunya yaiu pengujian asumsi sisaan dari model variasi kalender. Berdasarkan Tabel 3 diperoleh p-value unuk lag 6, 2, 8, dan 24 kurang dari,5, maka sisaan idak whie noise, sehingga model dugaan idak dapa digunakan. Tabel. Hasil Taksiran Parameer Model Gabungan ARIMA (,,) dan H(7,7 ; ) Parameer Taksiran hiung p-value -76,7 -,47,46 44,5 4,23 <, -,6449-6,24 <, Tabel 2. Hasil Taksiran Parameer Model Gabungan ARIMA (,,), Tanpa Konsana dan H(7,7 ; ) Parameer Taksiran hiung p-value 85722,6 3,94 <,2 -,6398-6,23 <, Tabel 3. Hasil Uji Whie oise Model Gabungan ARIMA (,,), Tanpa Konsana dan H(7,7 ; ) Lag p-value 6,96 2 <, 8 <, 24 <,
42 Winda Triyani dan Rina Reoria b. Model Gabungan ARIMA (,,) dan H(7,7 ; ) Hasil aksiran parameer model pada Tabel 4 menunjukkan bahwa semua parameer model signifikan karena p value, 5. Langkah selanjunya yaiu pengujian asumsi sisaan model. Pada Tabel 5, p-value unuk lag 2, 8, dan 24 kurang dari, 5, maka disimpulkan sisaan idak whie noise, akibanya model dugaan idak dapa digunakan. c. Model Gabungan ARIMA (,,) dan H(7,7 ; ) Hasil aksiran parameer model pada Tabel 6 menunjukkan bahwa parameer idak signifikan. Hal ini dikarenakan p value,5, akibanya parameer konsana perlu dikeluarkan dari model. Model dugaan variasi kalender berubah menjadi gabungan ARIMA (,,), anpa konsana dan H(7,7 ; ). Berdasarkan Tabel 7, semua parameer model signifikan karena p value,5. Langkah selanjunya yaiu pengujian asumsi sisaan yang diampilkan pada Tabel 8. Unuk lag 2, 8, dan 24, p-value yang diperoleh kurang dari, 5, maka sisaan model idak whie noise akibanya model dugaan idak dapa digunakan. Tabel 4. Hasil Taksiran Parameer Model Gabungan ARIMA (,,) dan H(7,7 ; ) Parameer Taksiran hiung p-value -4435,2-2,4,458 76,3 3,5,35,877 3,6 <, Tabel 5. Hasil Uji Whie oise Model Gabungan ARIMA (,,) dan H(7,7 ; ) Lag p-value 6,229 2,9 8, 24 <,
Kajian Pemodelan Dere Waku: Model Variasi Kalender 43 Tabel 6. Hasil Taksiran Parameer Model Gabungan ARIMA (,,) dan H(7,7 ; ) Parameer Taksiran hiung p-value -298, -,44,557 575, 2,62,4,79363 7,89 <, -,386-2,6,446 Tabel 7. Hasil Taksiran Parameer Model Gabungan ARIMA (,,), Tanpa Konsana dan H(7,7 ; ) Parameer Taksiran hiung p-value 338,5 2,66,2,7633 7,58 <, -,3453-2,4,97 Tabel 8. Hasil Uji Whie oise Model Gabungan ARIMA (,,), anpa konsana dan H(7,7 ; ) Lag p-value 6,486 2,3 8,8 24 <, Berdasarkan hasil pengujian unuk keiga kemungkinan model menunjukkan bahwa model dugaan idak dapa digunakan karena idak memenuhi syara. Kemungkinan lain unuk mendapakan model yang lebih baik yaiu digunakan model ARIMA musiman. Hal ini dikarenakan daa jumlah penumpang berupa daa bulanan yang mengindikasikan adanya pola musiman. Berdasarkan Gambar 4, kemungkinan lain model dugaan variasi kalender adalah gabungan ARIMA (,,)(,,) 2 dan H(7,7 ; ). Hasil aksiran parameer model dugaan pada Tabel 9 menunjukkan parameer paling idak signifikan dibandingkan
44 Winda Triyani dan Rina Reoria parameer yang lain. Hal ini dikarenakan p value, 5 sehingga parameer konsana perlu dikeluarkan dari model. Tabel 9. Hasil Taksiran Parameer Model Gabungan ARIMA (,,)(,,) 2 dan H(7,7 ; ) Parameer Taksiran hiung p-value -3766, -,73,885 59938,7 2,88,58,8282 8,88 <, -,7826-7, <, -,2923 -,92,596 Tabel. Hasil Taksiran Parameer Model Gabungan ARIMA (,,)(,,) 2, Tanpa Konsana dan H(7,7 ; ) Parameer Taksiran hiung p-value 33344,9 2,5,5,76395 7,4 <, -,76335-6,95 <, -,33724-2,28,264 Tabel. Hasil Uji Whie oise Model Gabungan ARIMA (,,)(,,) 2, Tanpa Konsana dan H(7,7 ; ) Lag p-value 6,6688 2,92 8,9328 24,272 Selanjunya, model dugaan variasi kalender berubah menjadi gabungan ARIMA (,,)(,,) 2, anpa konsana dan H(7,7 ; ). Berdasarkan Tabel, semua parameer model elah signifikan karena p-value <, 5. Langkah selanjunya yaiu pengujian asumsi sisaan model. Pada Tabel sisaan model dikaakan elah memenuhi asumsi whie noise karena p-value unuk lag 6, 2, 8
Kajian Pemodelan Dere Waku: Model Variasi Kalender 45 dan 24 kurang dari, 5. Asumsi kenormalan dilakukan dengan uji Kolmogorov-Smirnov diperoleh p-value yaiu >,5, sehingga sisaan dikaakan berdisribusi normal. Karena semua parameer model signifikan, sisaannya memenuhi syara maka model dapa digunakan unuk memodelkan daa jumlah penumpang kerea api. Model ersebu dapa diuliskan sebagai 2 ( B)( B ) Z H (7,7 ; ) a. ( B)( B) Dengan mensubsiusikan nilai-nilai aksiran parameer pada Tabel diperoleh Z H H H - - - 33344,9 (7,7 ; ) 2299,7 (7,7 ; ) 3792,34 (7,7 ; 2), 66276Z,33724Z, 76395a, 76335a,5836 a. 2 2 3 () Berdasarkan persamaan (), maka dapa disimpulkan bahwa jumlah penumpang kerea api DAOP V Purwokero iap bulannya dipengaruhi oleh proporsi periode waku 7 hari sebelum dan 7 hari seelah hari Lebaran pada bulan ersebu sera sau dan dua bulan sebelumnya. Selain iu, jumlah penumpang juga dipengaruhi oleh jumlah penumpang pada sau dan dua bulan sebelumnya, sera dipengaruhi oleh sisaan dari model pada sau, dua belas dan iga belas bulan sebelumnya. 4. KESIMPULA DA SARA Berdasarkan hasil di aas dapa diberikan kesimpulan sebagai beriku:. Fungsi efek variasi liburan yang dipengaruhi hari sebelum dan hari seelah hari libur Lebaran dapa diuliskan sebagai L H (, ; ) dengan ( ) dan H (, ; ) h( i, ) h( i, ). i i 2. Pada conoh kasus daa jumlah penumpang kerea api DAOP V Purwokero, model variasi kalender yang diperoleh adalah Z H H H - - - 33344,9 (7,7 ; ) 2299,7 (7,7 ; ) 3792,34 (7,7 ; 2), 66276Z,33724Z, 76395a, 76335a,5836 a. 2 2 3
46 Winda Triyani dan Rina Reoria Saran yang dapa diberikan pada peneliian ini yaiu pemodelan variasi kalender dapa diperluas dengan menambahkan efek variasi hari perdagangan sera efek variasi liburan dalam model variasi kalender. UCAPA TERIMAKASIH urhayai. Arikel ini adalah hasil peneliian skripsi penulis perama Dr. unung DAFTAR PUSTAKA Aswi dan Sukarna, (26). Analisis Dere Waku: Teori dan Aplikasi. Andira Publisher: Makasar. Bell, W. R. dan Hilmer, S., (983). Modelling Time Series Wih Calendar Variaion. Journal of American Saisical Associaion, 78, 526-534. Liu, L. M., (986). Idenificaion of Time Series Models in The Presence of Calendar Variaion. Inernaional Journal of Forecasing, 2, 357-372. Wei, W. W. S., (26). Time Series Analysis: Univariae and Mulivariae Mehods, 2 nd Ediion. Addison Wesley: Canada.