Pogam Pekuliahan Dasa Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Integal Gais [MA]
Integal Gais Definisi Integal gais Integal gais di bidang Misalkan pesamaan paamete kuva mulus ( di bidang (t (t ; a t b maka b f ( ds f (t (t '(t '(t dt ( ( ( a Integal gais di uang Misalkan pesamaan paamete kuva mulus ( di uang (t (t zz(t ; a t b maka ( (t (tz(t ( '(t ( '(t ( z'(t f ( zds f b a dt 7/6/7 [MA ]
Sifat-sifat integal gais. Jika U U U n maka f ( ds f ( ds f ( ds... n. Jika adalah kuva dengan aah belawanan denga maka f ( ds f ( ds A f ( ds n B 7/6/7 [MA ]
ontoh (. Hitung ds adalah kuva t; t ; t Jawab. (t; (tt ( ds ( t t t dt ( ( 8t 9 9t dt 8 t t dt / 8 ( t 6 ( / t ( 7/6/7 [MA ]
ontoh (. Hitung ds adalah tedii dai busu paabola dai ( ke ( diikuti oleh uas gais vetikal dai ( ke (. ( ( Jawab. Untuk : ( ( beupa busu. Pesamaan paamete : misalkan t t Sehingga (t ( ds t ( t (tt dt t t t dt 7/6/7 [MA ] 5
ontoh (Lanjutan ( ds t t dt. ( t / ( 5 5 6 Untuk : ( ( (beupa uas gais Pesamaan paamete : misalkan t (t (t t Sehingga ( Jadi ds dt t ( ( ds ( ds ( 6 6 ( 5 5 ( 5 5 ds 7/6/7 [MA ] 6
Latihan (. Hitung ds adalah setengah bagian atas lingkaan lingkaan satuan (. Hitung sin cos ds adalah uas gais dai ( ke (ππ. Hitung ( 9z ds adalah kuva t; t ; zt ; t 7/6/7 [MA ] 7
Keja Misalkan F ( M( î N( ĵ adalah gaa ang bekeja pada pada suatu titik ( di bidang Q F T A (t B Akan dicai: Beapa keja (W ang dilakukan oleh gaa F untuk memindahkan sebuah patikel menelusui kuva dai A ke B? Misal î ĵ adalah vekto posisi Q( d T vekto singgung satuan di Q ds d d dt T '(t ds dt ds '(t 7/6/7 [MA ] 8
Keja ( Maka F.T F T cosθ adalah komponen singgung F di Q Keja ang dilakukan oleh F untuk memindahkan patikel sejauh s adalah W F.T s Keja ang dilakukan oleh gaa F untuk memindahkan patikel dai A ke B adalah d dt W F.Tds F. ds F.d dt ds d d d diketahui î ĵ d d î d ĵ dt dt dt W M( î N( ĵ. d î d ĵ Jadi didapat ( ( M( d N( d 7/6/7 [MA ] 9
7/6/7 [MA ] Keja Keja ( ( Dengan caa ang sama untuk gaa ang bekeja pada suatu titik di uang maka k z P j z N i z M z F ˆ ( ˆ ( ˆ ( ( dz z P d z N d z M W ( ( (
ontoh. Tentukan keja ang dilakukan oleh medan gaa F( ( ˆ i 7/6/7 [MA ] ˆj dalam memindahkan patikel sepanjang kuva : t t - t Jawab. Keja ang dilakukan medan gaa F adalah W M d N d ; d t dt dt dt ( d d ( ( t t t dt t ( t t dt 7 7 ( t t t dt ( t t 7 dt 8 t t
ontoh. Hitung integal gais d d dengan kuva : t t - t Jawab. Keja ang dilakukan adalah W d d ; d dt dtdt ( t dt ( t t dt ( t 8t dt 6 8 6 t t t 7/6/7 [MA ]
Latihan. Tentukan keja ang dilakukan oleh medan gaa F( z ( ˆ i z ˆj ( z kˆ dalam memindahkan patikel sepanjang dimana adalah uas gais dai ( ke (. Hitung integal gais d gais dai ( ke (-. Hitung F.d dengan F d î a. U b. dengan kuva adalah uas ĵ sepanjang (5 ( ( 7/6/7 [MA ]
Integal Gais Bebas Lintasan PENDAHULUAN Hitung F.d dengan F î ĵ atas lintasan a. gais dai ( ke ( b. gais dai ( ke ( c. gais dai ( ke ( TEOREMA A: DASAR INTEGRAL GARIS Misalkan F ( M( î N( ĵ dengan adalah kuva mulus sepotong-potong dengan titik pangkal ( dan titik ujung (. Jika F( f ( maka F.d f ( f ( 7/6/7 [MA ]
Integal Gais Bebas Lintasan( Jika F( f ( ontoh: F î ĵ F î ĵ f makaf disebut gaa konsevatif dan f disebut fungsi potensial dai F f f f î ĵ dengan kuva dai ( ke ( maka F.d f ( f (.. dengan fungsi potensial f Masalah: Bagaimana mengetahui bahwa F konsevatif? (F(gadien dai suatu fungsi f. Bagaimana mempeoleh f( jika F( konsevatif? 7/6/7 [MA ] 5
Integal Gais Bebas Lintasan( DEFINISI: Misal maka TEOREMA B Misalkan F M î N ĵ P kˆ ulf ot F F î ĵ kˆ z M N P F M î N ĵ P kˆ ul F ot F N M Khusus jika F M î N ĵ P N î z M P N M ĵ kˆ z maka F konsevatif jika dan hana jika atau jika dan hana jika P N z M z P makaf konsevatif jika dan hana jika N M 7/6/7 [MA ] 6
ontoh: ˆ ( j ˆ. Diketahui F i a. Tunjukkan bahwa F konsevatif dan tentukan f b. Hitung F.d dengan sebaang kuva dai ( ke ( Jawab. M N a. (i F Konsevatif M N Jadi F Konsevatif ˆ M N 6 6 (ii F i ( j ˆ f ˆi M f f f ˆj N f. (. ( 7/6/7 [MA ] 7
7/6/7 [MA ] 8 ontoh ontoh (Lanjutan Lanjutan Integalkan ( tehadap dipeoleh d f ( ( ( f. ( Tuunkan ( tehadap dipeoleh ( ' f. ( Dai ( dan ( dipeoleh ( ' f ( ' ( Jadi fungsi potensialna adalah f (
b. ontoh (Lanjutan ( F. d d ( d ( f ( f ( (. (. f ( 68 58 7/6/7 [MA ] 9
. Diketahui ontoh F ( z a. Tunjukkan bahwa F konsevatif dan tentukan f b. Hitung F. d dengan sebaang kuva dai (ke ( Jawab. a. (i F Me cosz Nz e sin P Jadi F Konsevatif Konsevatif 7/6/7 [MA ] ( e cos z ˆi ( z e sin ˆj k M N P M e e Sehingga dipeoleh bahwa sin sin M N z P z P N P M P z M z N z M z P ˆ N z N z
ontoh (lanjutan (ii F ( e z i ( z e j k f e f z cos ˆ sin ˆ ˆ f f f ˆi ˆj f cos z. ( z e sin. (. ( Integalkan ( tehadap dipeoleh kˆ f f ( z ( e cos z d f ( z e cos z ( z. ( Tuunkan ( tehadap dipeoleh f e sin z ( z. (5 7/6/7 [MA ]
ontoh (Lanjutan Dai ( dan (5 dipeoleh f e sin z ( z z e ( z ( z ( z f ( z e cos z ( z sin. (6 Masukan (6 ke ( dipeoleh. (7 Tuunkan (7 tehadap z dipeoleh f z ' ( z. (8 Dai ( dan (8 dipeoleh f '( z ' ( z ( z. (9 7/6/7 [MA ]
ontoh (Lanjutan Masukan (9 ke (7 dipeoleh f ( z e cos z b. Jadi fungsi potensialna adalah f ( z e cos z ( F. d ( e cos z d ( z e sin d dz ( f ( f ( ( e cos.. ( cos e f ( z e cos z e 7/6/7 [MA ]
. F f Penataan beikut ekivalen F.d.. F.d untuk suatu f (F konsevatif bebas lintasan Sudah Jelas??? 7/6/7 [MA ]
Latihan Tentukan apakah F konsevatif? Jika a tentukan f ( F f. F ( 7 î ( 7 ĵ. F ( 5 î ( 6 5ĵ. F ( cos( î ( 8 cos( ĵ Hitung integal gais beikut: ( 6. ( d ( ( ( π 7. ( e sin d ( e cos ( ( d d dz 8. ( 6 z d ( 9 d ( z ( ( π π. F ( e e î ( e e ĵ 5. F ( z î ĵ ( z πcosπzkˆ 9. ( cos z d ( sin z d ( z ( (. ( ( z e d z e d ( ( dz dz. ( 6z d ( z d ( z dz adalah uas gais dai ( ke ( 7/6/7 [MA ] 5
Teoema Geen di Bidang a Misalkan kuva mulus sepotong-potong tetutup sedehana ang membentuk batas dai suatu daeah di bidang XOY. Jika M( dan N( kontinu dan mempunai tuunan kontinu pada S dan batasna maka N M M d N d da Bukti. S Pehatikan U U U S {( a b g( f(} S f( g( b Md Md Md Md 7/6/7 [MA ] b a Md b b Md M( g(d M(f (d M(f (d M(g( d a b a a b f ( b f ( M( M Md dd da a g( a g( 6
Teoema Geen di Bidang Sama halna dengan mempelakukan S sebagai himpunan sedehana kita peoleh Sehingga dipeoleh N Nd S M N da da M d S Nd 7/6/7 [MA ] 7
Hitung d ontoh d dengan adalah kuva tetutup ang tedii dai busu paabola dai titik asal ke titik( dan segmen gais ( ke titik ( Jawab. Akan kita coba mengejakan dengan dua caa aitu dengan Integal gais biasa dan teoema Geen. Integal gais Untuk : ( ( beupa busu. Pesamaan paamete : misalkan t t ( ( d d ( t dt. t. t. t dt Sehingga (t 7/6/7 [MA ] (tt t ( t t 8 dt 8
ontoh (Lanjutan 9t dt 9 t 5 5 88 5 Untuk : ( ( (beupa uas gais Pesamaan paamete : misalkan ( ( t ( - ( t t Sehingga (t- (t- d d ( t ( dt ( t ( t ( dt ( t 6t 6 dt t 7/6/7 [MA ] 9
Jadi ontoh (lanjutan d d ( 6 t 6t dt 6 6t t t 6 d d d d d 88 5 6 5 6 d 7/6/7 [MA ]
ontoh (Lanjutan. Teoema Geen. ( M S Dengan: M N N ( d d S S{( } N M ( d d 5 5 da d d 5 6 5 7/6/7 [MA ]
Latihan. Tentukan keja ang dilakukan oleh medan gaa F( (sin î (e ĵ dalam menggeakkan suatu obek mengitai satu kali dalam aah positif.. Hitung d d dengan kuva tetutup ang tebentuk oleh / dan antaa ( dan (. Hitung d ( d ( ( dan ( dengan segitiga g titik-titik sudutna. Hitung ( e d ( sin d dengan pesegipanjang g titik titik sudutna ( (6 (6 dan ( 5. Hitung ( d ( d dengan ellips 9 6 7/6/7 [MA ]
Pogam Pekuliahan Dasa Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Integal Pemukaan [MA]
G Luas Pemukaan Misalkan diketahui patisi pemukaan G beupa gafik z f( atau F(z f( z F γ T i γ k γ S i R i cosγ cosγ secγ i i i F.kˆ F kˆ f f f f b a dengan F f R i f f c G i d R î f ĵ kˆ S i ~ T i R i sec γ i S i luas G i dan R i luas R i i i T i luas bidang singgung ang teletak diatas R i γ i sudut antaa R i dan T i Jadi S f f R LuasPemukaan G adalah ds f f da G i R i 7/6/7 [MA ]
ontoh Hitung luas pemukaan G : z dibawah bidang z Z G z S Jawab. Bagian G ang dimaksud dipoeksikan pada daeah S (daeah ang dibatasi oleh lingkaan. Misalkan f(. Maka didapat f f Sehingga luas pemukaan G adalah f f da G ds S dengan S{( - } S da 7/6/7 [MA ] 5
ontoh (Lanjutan Dengan koodinat pola batasan S beubah menjadi S{(θ θ π } Jadi G ds S π π da d dθ (. 8 / dθ π ( 7 7 π ( 7 7.θ 6 7/6/7 [MA ] 6
Latihan Luas Pemukaan. Hitung luas pemukaan G : z dibawah bidang z. Hitung luas pemukaan G : z ang tepat beada di atas pesegi panjang dengan titik sudut (( ((. Hitung luas pemukaan G : silinde z 6 di oktan I ang dipotong oleh bidang. Hitung luas pemukaan G : silinde z 9 di oktan I antaa 7/6/7 [MA ] 7
Integal Pemukaan Misalkan g(z tedefinisi pada pemukaan G Misalkan pemukaan G beupa gafik z G z f( atau F(z f( z ( i i zi G -Misalkan R poeksi G pada bidang i XOY -Patisi R menjadi n bagian; R R R n -Pilih ( R dan ( z G i i i i i i i c d a (patisi G ang besesuaian dgn R -Bentuk jumlah iemann R ( i i n b R i i 7/6/7 [MA ] g ( z G dengan G luasg i i i i Integal pemukaan dai g atas G n adalah atau g( zds lim g( z i i i P G i g( zds g( z f f G R i i G i da 8
Integal Pemukaan ( Dengan caa ang sama dipeoleh. Jika pemukaan G beupa gafik f(z (z R (Poeksi G pada bidang YOZ maka g( zds g(f (z z f G R. Jika pemukaan G beupa gafik f(z (z R (Poeksi G pada bidang XOZ maka g( zds g(f (zz f G R f z f z da da 7/6/7 [MA ] 9
7/6/7 [MA ] ontoh ontoh G ds z G adalah pemukaan z. Hitung Jawab. z z z G bagian atas kulit bola dengan jai-jai. R (poeksi G pada XOY beupa lingkaan. Z R z ( /. f ( /. f f f Kita puna maka G
Jadi ontoh (lanjutan ds z f f G z da R R R da dimana daeah R{(θ θ π } sehingga ds G z R π da d dθ 8π da 7/6/7 [MA ]
Latihan Integal Pemukaan G z ds. Hitung dengan G bagian keucut z di antaa z dan z. Hitung G g( zds a. g(z z dengan G: z b. g(z dengan G: z c. g(z dengan G: z d. g(z dengan G: z - e. g(z dengan G adalah pemukaan kubus z 7/6/7 [MA ]