BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Ilmu matematika merupakan ilmu dasar yang digunakan di berbagai bidang. Teori titik tetap merupakan salah satu cabang dalam ilmu matematika, khususnya matematika analisis yang banyak digunakan dalam cabang ilmu yang lain, misalnya untuk menyelesaikan persamaan integral. Teori titik tetap mulai dikembangkan sejak dikemukakannya Prinsip Kontraksi Banach (Banach Contraction Principle) pada tahun 1922, yang menunjukkan eksistensi dan ketunggalan titik tetap dari pemetaan kontraksi (contraction mapping) yang terdefinisi pada ruang metrik lengkap. Pada tahun 1974 pemetaan kontraksi kemudian diperumum oleh iri ke dalam bentuk quasi kontraksi (quasi-contraction). iri (1974) telah membuktikan bahwa pemetaan quasi kontraksi memiliki titik tetap tunggal jika ruang metrik orbitally complete. Ruang metrik dikatakan orbitally complete apabila setiap barisan Cauchy di ( ) * + untuk suatu konvergen di. Dalam papernya, iri (1974) juga membuktikan eksistensi dan ketunggalan titik tetap dari suatu pemetaan bernilai himpunan (multi-valued mapping) ( ) dengan orbitally complete. Dalam hal ini, yang dimaksud dengan ( ) adalah koleksi semua himpunan tak kosong, tertutup dan terbatas di ruang metrik. Dengan memperhatikan bahwa setiap ruang metrik lengkap pasti -orbitally complete untuk setiap ( ), maka Fisher (1981) membuktikan bahwa pemetaan ( ) memiliki titik tetap tunggal. Teori titik tetap dari satu pemetaan dapat dikembangkan menjadi teori titik tetap dari beberapa pemetaan. Kaneko dan Sessa (1989) mendefinisikan pemetaan kompatibel (compatible) untuk pasangan pemetaan bernilai himpunan ( ) dan pemetaan bernilai tunggal (single-valued mapping) yang merupakan perluasan definisi pemetaan kompatibel dari Jungck (1986). Di dalam papernya, Kaneko dan Sessa (1989) menunjukkan eksistensi titik koinsidensi (coincidence point) 1
dari pasangan pemetaan kompatibel tersebut. Titik koinsidensi yang dimaksud adalah sehingga ( ) ( ). Definisi pemetaan kompatibel tersebut kemudian diperluas menjadi definisi pemetaan kompatibel lemah- ( -weakly compatible) oleh Pathak (1995). Tujuannya adalah untuk dapat membuktikan teorema titik koinsidensi dari pasangan pemetaan bernilai himpunan ( ) dan bernilai tunggal yang kompatibel lemah- dan menetapkan beberapa teorema titik tetap bersama pasangan pemetaan tersebut. Selanjutnya, definisi pemetaan kompatibel lemah- dari Pathak (1995) dimodifikasi oleh iri dkk (2006) sehingga menghasilkan definisi baru yaitu pemetaan kompatibel lemah- ( -weakly compatible). iri dan Ume (2006) juga memodifikasi definisi dari Pathak (1995) sehingga diperoleh definisi pemetaan kompatibel lemah (weakly compatible ). Dalam tesis ini dibahas eksistensi titik koinsidensi dari pasangan pemetaan bernilai himpunan ( ) dan bernilai tunggal yang kompatibel lemah- seperti pada Pathak (1995). Selain itu, dibicarakan eksistensi titik tetap bersama dari pasangan pemetaan dan dengan dan kompatibel lemah- seperti pada iri dkk (2006). Lebih lanjut, akan dibahas eksistensi titik tetap bersama dari tiga pemetaan yaitu, pemetaan non self bernilai himpunan ( ) dan pemetaan non self bernilai tunggal dengan pasangan * + dan * + kompatibel lemah. 1.2. Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah di atas, diberikan rumusan masalah sebagai berikut : 1. Eksistensi titik koinsidensi dari dua pemetaan, yaitu pemetaan bernilai himpunan ( ) dan pemetaan bernilai tunggal dengan dan pasangan kompatibel lemah-. 2. Eksistensi titik tetap bersama dari pemetaan bernilai himpunan ( ) dan pemetaan bernilai tunggal dengan dan pasangan kompatibel lemah. 2
3. Eksistensi titik tetap bersama dari tiga pemetaan yaitu, pemetaan non self bernilai himpunan ( ) dan pemetaan non self bernilai tunggal dengan * + dan * + pasangan kompatibel lemah. 1.3. Tujuan dan Manfaat Penelitian Berdasarkan masalah yang telah dirumuskan, tujuan penelitian ini adalah untuk memberikan pemahaman tentang teorema titik tetap bersama, khususnya dalam menunjukkan eksistensi titik koinsidensi dari pasangan pemetaan bernilai himpunan ( ) dan bernilai tunggal yang kompatibel lemah-, menunjukkan eksistensi titik tetap bersama dari pemetaan dan dengan dan pasangan kompatibel lemah-, dan menunjukkan titik tetap bersama dari pemetaan non self bernilai himpunan ( ) dan pemetaan non self bernilai tunggal dengan * + dan * + pasangan kompatibel lemah. Penelitian ini diharapkan dapat memberikan kontribusi di dalam teori titik tetap, khususnya teorema titik tetap dari pasangan pemetaan kompatibel lemah. Lebih lanjut, penelitian ini diharapkan dapat memberi ide untuk memecahkan masalah lebih lanjut tentang teori titik tetap. 1.4. Tinjauan Pustaka Eksistensi dan ketunggalan titik tetap dari suatu pemetaan kontraksi bernilai tunggal dan bernilai himpunan telah dijelaskan oleh Agarwal dkk (2009). Pemetaan quasi kontraksi merupakan perumuman dari pemetaan kontraksi. Suatu pemetaan quasi kontraksi memiliki titik tetap tunggal jika -orbitally complete. Eksistensi dan ketunggalan titik tetap juga berlaku untuk pemetaan bernilai himpunan ( ) dengan ( ) adalah koleksi semua himpunan terbatas di, memenuhi kondisi kontraksi tertentu dan -ortbitally complete. Teorema-teorema tersebut telah ditunjukkan oleh iri (1974). Dengan mengganti kondisi dari orbitally complete menjadi ruang metrik lengkap, dapat ditunjukkan eksistensi dan ketunggalan titik tetap dari pemetaan bernilai himpunan ( ) yang memenuhi kondisi kontraksi tertentu. Akibatnya, suatu pemetaan quasi kontraksi yang 3
terdefinisi pada ruang metrik lengkap juga memiliki titik tetap tunggal (Fisher, (1981)). Definisi pemetaan kompatibel dari pasangan pemetaan bernilai tunggal telah diperumum menjadi definisi pemetaan kompatibel untuk pemetaan bernilai tunggal dan bernilai himpunan. Dengan menggunakan definisi tersebut, dapat ditunjukkan bahwa pasangan kompatibel dari pemetaan bernilai tunggal dan pemetaan bernilai himpunan ( ) dengan ruang metrik lengkap dan memenuhi ketaksamaan tertentu memiliki titik koinsidensi. Eksistensi titik koinsidensi dari pasangan pemetaan tersebut, dijelaskan oleh Kaneko dan Sessa (1989). Definisi pemetaan kompatibel kemudian diperumum ke dalam definisi pemetaan kompatibel lemah- oleh Pathak (1995). Dengan definisi tersebut dapat dibuktikan eksistensi titik koinsidensi dari pasangan pemetaan bernilai himpunan ( ) dan bernilai tunggal yang kompatibel lemah-. Selain itu, dapat dibuktikan eksistensi titik tetap bersama pemetaan tersebut dengan beberapa asumsi tambahan. Selanjutnya, dengan memodifikasi definisi pemetaan kompatibel lemah-, iri dkk (2006) dan iri dan Ume (2006) masing-masing memberikan definisi kelas baru dari pemetaan kompatibel lemah untuk bisa menujukkan eksistensi titik tetap bersama dari pemetaanpemetaan tersebut. Di dalam penelitian ini dibahas paper yang ditulis oleh Pathak (1995), iri dkk (2006) dan iri dan Ume (2006). Paper yang pertama membahas tentang eksistensi titik koinsidensi dari pasangan pemetaan pemetaan kompatibel lemah- yaitu ( ) dan dengan ruang metrik lengkap dan dan memenuhi kondisi kontraksi tertentu. Selain itu, juga dibahas tentang eksistensi titik tetap bersama dari pasangan pemetaan tersebut dengan beberapa asumsi tambahan. Paper yang kedua membahas tentang eksistensi dan ketunggalan titik tetap bersama dari pasangan pemetaan kompatibel lemah- yaitu dan ( ) dengan ruang metrik lengkap dan dan memenuhi kondisi kontraksi tertentu. Paper yang ketiga membahas tentang eksistensi titik tetap bersama dari pemetaan non-self ( ) dan dengan * + dan * + masing-masing adalah 4
pasangan pemetaan kompatibel lemah dan himpunan tertutup di ruang metrik yang metrically convex. Ketiga paper ini banyak menggunakan konsep-konsep dalam ruang metrik dan sistem bilangan real. Konsep tentang ruang metrik dibahas dalam Royden (1989). Dan konsep tentang sistem bilangan real dibahas dalam Bartle (1992). 1.5. Metodologi Penelitian Metode yang digunakan dalam penelitian tesis ini adalah studi literatur berkaitan dengan jurnal karya Pathak (1995), iri dan Ume (2006) dan iri dkk (2006). Penelitian ini menguraikan secara rinci teorema-teorema yang ada di dalam kedua referensi tersebut. Paper tersebut mempelajari teori titik tetap bersama dari pemetaan kompatibel lemah bernilai himpunan dan bernilai tunggal. Dengan menggunakan literatur pendukung, terlebih dahulu dipelajari konsep ruang metrik, ruang metrik yang metrically convex dan metrik Hausdorff. Untuk menentukan titik tetap bersama dari pasangan pemetaan kompatibel lemah bernilai himpunan dan bernilai tunggal, perlu dipelajari teorema titik tetap pemetaan kontraksi bernilai tunggal, pemetaan kontraksi bernilai himpunan, dan pemetaan quasi kontraksi. Selain itu, dipelajari tentang teorema titik tetap pemetaan non-self kontraksi bernilai himpunan. Perlu dipahami juga tentang teorema titik tetap pemetaan bernilai himpunan yang memenuhi kondisi kontraksi tertentu. Dalam hal ini, ditunjukkan oleh Fisher (1981). Teknik-teknik pembuktian dalam teorema tersebut akan digunakan pada pembahasan tesis ini. Di dalam pembahasan tesis, terbagi menjadi tiga sub bab. Pada Sub Bab I, akan ditunjukkan eksistensi titik koinsidensi dari pasangan pemetaan bernilai himpunan dan pemetaan bernilai tunggal yang kompatibel lemah-. Selain itu akan dibuktikan teorema titik tetap bersama dari pemetaan tersebut dengan beberapa asumsi tambahan. Pada Sub Bab II, terlebih dahulu akan ditunjukkan eksistensi titik koinsidensi pasangan pemetaan kompatibel lemah dari pemetaan bernilai himpunan dan pemetaan bernilai tunggal. Selanjutnya, dengan menggunakan definisi pemetaan kompatibel lemah- akan ditunjukkan eksistensi dan ketunggalan titik tetap bersama dari pasangan pemetaan kompatibel 5
lemah yang bernilai himpunan dan bernilai tunggal. Selain itu, akan dicari juga akibat lain apabila kondisi kontraksi pada teorema tersebut dirubah menjadi ( ) * ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ untuk. Pada Sub Bab III, akan ditunjukkan eksistensi titik tetap bersama untuk pemetaan bernilai himpunan ( ) dan pemetaan bernilai tunggal, dengan * + dan * + berturut-turut adalah pasangan kompatibel lemah dan memenuhi syarat-syarat tertentu. 1.6. Sistematika Penulisan Tesis ini terdiri dari 4 bab. Di dalam BAB I yaitu pendahuluan, memuat latar belakang permasalahan, tujuan penelitian, tinjauan pustaka, metodologi penelitian dan sistematika penulisan. Di dalam BAB II yaitu dasar teori, dibahas mengenai konsep yang akan digunakan dalam pembahasan selanjutnya, diantaranya konsep ruang metrik, metrik Hausdorff, pemetaan bernilai himpunan dan pemetaan kompatibel lemah. Dilanjutkan ke BAB III yaitu pembahasan dari hasil penelitian. Di dalam BAB III dibagi menjadi menjadi tiga Sub Bab. Sub Bab I dibahas tentang eksistensi titik koinsidensi dari pasangan pemetaan bernilai himpunan dan bernilai tunggal yang kompatibel lemah-. Selain itu dibahas juga mengenai titik tetap bersama dari pemetaan tersebut. Sub Bab II dibahas mengenai eksistensi dan ketunggalan titik tetap bersama dari pasangan pemetaan bernilai himpunan dan pemetaan bernilai tunggal yang kompatibel lemah-. Sub Bab III dibahas mengenai eksistensi titik tetap bersama dari pemetaan bernilai himpunan dan dan pemetaan bernilai tunggal yang kompatibel lemah. Selanjutnya, di dalam BAB IV yaitu kesimpulan dan saran berisi kesimpulan dari hasil penelitian dan saran untuk pengembangan lebih lanjut. 6