SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016 Invers Tergeneralisasi Matriks atas Z p Evi Yuliza 1 1 Fakultas MIPA Universitas Sriwijaya evibc3@yahoocom PM A-1 - Abstrak Sebuah matriks bujursangkar yang memiliki invers disebut matriks non singular Untuk setiap matriks non singular memiliki invers matriks tunggal Matriks tidak persegi juga memiliki invers matriks yang kemudian dikenal sebagai invers tergeneralisasi matriks Penelitian ini bertujuan untuk menentukan invers tergeneralisasi matriks yang entri-entrinya atas Dalam penelitian ini ditunjukkan bahwa jika suatu matriks A atas (bujursangkar atau persegi panjang) maka terdapat tidak tunggal matriks X yang memenuhi AXA = A Kata kunci: matriks, invers tergeneralisasi, rank I PENDAHULUAN Suatu matriks A dengan jumlah baris n dan jumlah kolom n disebut matriks bujur sangkar ordo n (square matrix of order n) [1] Matriks-matriks bujur sangkar dapat dijumlahkan, dikurangkan dan dikalikan sesuai dengan kebutuhan Suatu matriks bujur sangkar yang mempunyai invers disebut matriks nonsingular Untuk setiap matriks non singular A mempunyai invers matriks unik, dinotasikan dengan A -1 sehingga AA -1 = A -1 A = I untuk I adalah matriks identitas [2] Matriks A dikatakan non singular atau determinan matriks A tidak sama dengan nol, maka matriks A mempunyai invers Misalkan matriks A dan B masing-masing adalah matriks bujur sangkar Dalam matriks, jika AB = I maka matriks B merupakan invers matriks A untuk I adalah matriks identitas dan sebaliknya Matriks A dan matriks B saling invers Apabila matriks B tidak dapat didefinisikan, maka A dinyatakan sebagai matriks singular Suatu matriks yang invertibel disebut matriks nonsingular dan matriks yang tidak invertibel disebut matriks singular Secara umum, matriks bujur sangkar mempunyai invers matriks dan non singular Untuk menentukan invers dari suatu matriks dapat dilakukan dengan beberapa cara, yaitu menentukan invers matriks dengan adjoint, menentukan invers matriks dengan operasi baris elementer dan menentukan invers matriks dengan partisi [3] Sedangkan matriks yang tidak bujur sangkar atau jumlah baris tidak sama dengan jumlah kolom invers matriks tidak terdefinisi Matriks yang tidak bujur sangkar juga mempunyai invers matriks yang kemudian dikenal dengan matriks invers tergeneralisasi Pada tahun 1955 Penrose mendefinisikan invers tergeneralisasi matriks Selanjutnya, Rao dan Mitra pada tahun 1971 membahas beberapa penyelesaian sistem persamaan linear matriks degan menggunakan invers tergeneralisasi matriks Invers tergeneralisasi matriks merupakan metode untuk menentukan matriks invers selain caracara lain tersebut [4] Invers matriks tergeneralisasi semakin berkembang Saat ini, penerapan matriks invers tergeneralisasi semakin berkembang, diantaranya dalam bidang statistik, rantai markov, persamaan diferensial dan teori kontrol [5] Referensi [3] menyelidiki matriks invers tergeneralisasi dari suatu matriks A Untuk menentukan matriks invers tergeneralisasi dari suatu matriks A dapat dilakukan dengan cara operasi elementer dan menentukan minor utama matriks non singular apabila matriks A simetris Referensi [6] telah menyelidiki reguler matriks atas ring komutatif dengan elemen satuan Referensi [7] memperkenalkan konsep himpunan sandwich matriks yang bermanfaat untuk mencari matriks invers tergeneralisasi dari perkalian matriks Selanjutnya, matriks invers tergeneralisasi dalam penelitian ini adalah matriks yang entri-entrinya atas Z p, dengan p bilangan prima Dalam penelitian ini dikhususkan untuk sebab merupakan lapangan II HASIL DAN PEMBAHASAN Referensi [8] menyatakan bahwa suatu invers tergeneralisasi dari matriks A adalah sebarang matriks X yang memenuhi persamaan berikut AXA = A (1) Matriks X yang terdefinisi pada (1) tidak tunggal untuk sebarang matriks A yang diberikan dan disimbolkan dengan MA 1
ISBN 978-602-73403-1-2 Di tunjukkan eksistensi dan tidak ketunggalan matriks X Andaikan A matriks nonsingular, kalikan kedua ruas dengan A -1 sehingga X = A -1 Ini menunjukkan bahwa matriks invers merupakan kejadian khusus pada invers matriks tergeneralisasi Dengan kata lain, menunjukkan bahwa eksistensi dari invers matriks tergeneralisasi Selanjutnya, akan ditunjukkan tidak ketunggalan matriks X Langkah pertama, dibentuk diagonal ekuivalensi dari matriks A Jika A berordo p x q maka reduksi bentuk diagonalnya dapat ditulis sebagai berikut: (2) dimana matriks P dan matriks diperoleh dari operasi elementer dengan rank A = r dan matriks B merupakan matriks diagonal berordo r x r Matriks O merupakan matriks nol berordo yang ditentukan oleh konteks Langkah kedua, penurunan matriks X yang diperoleh dari (2) Dari (2) didefinisikan, yakni = sehingga X = (3) Matriks X adalah matriks invers tergeneralisasi dari matriks A Secara umum, persamaan (3) tidak tunggal untuk sebarang matriks P dan Q Dari definisi dan definisi diperoleh (4) Dari (4) menunjukkan bahwa matriks adalah matriks invers tergeneralisasi dari matriks Untuk sebarang matriks P dan matriks diperoleh matriks X pada (3) tidak tunggal Dari (2), diperoleh (5) dengan matriks dan matriks ada karena matriks P dan matriks merupakan hasil dari operasi elementer Dari (2), (3) dan (4) diperoleh, (6) Jadi, matriks X adalah matriks invers tergeneralisasi dari suatu matriks A yang memenuhi (1) dan matriks X tidak tunggal Selanjutnya, diberikan beberapa cara menentukan invers matriks tergeneralisasi dari matriks A atas himpunan bilangan bulat Berikut ini diberikan beberapa contoh menentukan matriks invers tergeneralisasi dari suatu matriks A Di berikan matriks Langkah pertama, menentukan matriks P dengan operasi baris elementer 2 B1+ B2 5 B2 + B3 Di peroleh rank matriks 2 sehingga matriks Langkah kedua, menentukan matriks dengan operasi kolom elementer K1 + K2 4 K1 + K3 5 K2 + K3 MA 2
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016 Di peroleh matriks Langkah ketiga, mereduksi matriks A ke dalam bentuk Langkah keempat, menentukan matriks B2 B3 2 B3 + B2 Di peroleh matriks Langkah kelima, menentukan matriks Langkah keenam, mengecek apakah Jadi, matriks invers tergeneralisasi dari matriks adalah Di peroleh matriks A berordo 3x3 memenuh (1) Dengan kata lain, matriks A bujur sangkar mempunyai matriks invers tergeneralisasi Selanjutnya, diberikan matriks Langkah pertama, menentukan matriks P dengan operasi baris elementer B1 B2 3B1 + B2 4B1 + B3 4B2 + B3 Di peroleh rank A = 2 sehingga matriks P = Langkah kedua, menentukan matriks dengan operasi kolom elementer MA 3
ISBN 978-602-73403-1-2 6K1 +K2 2K1 + K3 6K1 + K4 K2 + K3 K2 + K4 Di peroleh rank A = 2 sehingga matriks Langkah ketiga, mereduksi matriks A ke dalam bentuk = = = Di peroleh, Langkah keempat, menentukan matriks Di peroleh = Langkah kelima, menentukan matriks = Langkah keenam, mengecek apakah MA 4
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016 Jadi, invers matriks tergeneralisasi dari matriks A = adalah (7) Ada cara lain untuk menentukan matriks invers tergeneralisasi dari suatu matriks A Andaikan matriks A berordo p x q dan memenuhi (2) Misalkan X matriks q x p dan didefinisikan maka X adalah matriks invers tergeneralisasi dari matriks dengan, dan sebarang matriks Matriks X adalah matriks invers tergeneneralisasi dari matriks apabila Z = B -1 [9] Di berikan matriks A = Langkah pertama, menentukan matriks P dengan operasi baris elementer B1 B2 3B1 + B2 4B1 + B3 4B2 + B3 Di peroleh, rank A = 2 sehingga matriks P = Langkah kedua, hasil dari matriks P ditranspose untuk menentukan matriks operasi baris elementer Kemudian lakukan 6B1 + B2 2B1 + B3 6B1 + B4 6B3 + B4 B2 + B3 Di peroleh matriks Langkah ketiga, mereduksi matriks A ke dalam bentuk, yakni MA 5
ISBN 978-602-73403-1-2 Langkah keempat, membentuk matriks Langkah kelima, menentukan Langkah keenam, mengecek apakah Jadi, matriks invers tergeneralisasi dari matriks adalah (8) Dari (7) dan (8) menunjukkan bahwa matriks invers dari sebarang matriks A tidak tunggal III SIMPULAN DAN SARAN Suatu matriks A bujur sangkar (atau persegi panjang) mempunyai invers matriks tergeneralisasi yang memenuhi AXA = A invers matriks tergeneralisasi dari suatu matriks A sebarang tidak tunggal DAFTAR PUSTAKA [1] H Anton, C Rorres, Aljabar Linier Elementer Versi Aplikasi, Edisi Kedelapan, Jilid 1, Erlangga, 2004 [2] A Ben Israel, TNE Greville, Generalized Inverses: Theory and Applications, 2-nd ed, 2002 [3] Tasari, Matriks Invers Tergeneralisir, Prosiding Seminar Nasional Matematika, Universitas Muhammadiyah Surakarta, 20011, pp 111-119 [4] Aim, 2015, Apa itu matriks invers tergeneralisasi, dapat diakses di https://aimprof08wordpresscom/2015/01/17/apa-itumatriks-invers-tergeneralisasi/ pada tanggal 24 Juni 2016 [5] Bapat RB, 2001, General Article, Volume 6 Issue 12 p19-28 dapat diakses di linkspringercom/article/101007%2fbf02913763 [6] Prasad KM, 1994, Generalized Inverse of Matrices Over Commutative Rings, Linear Algebra and Its Applications 211: 35-52 dapat diakses diwwwsciencedirectcom//0024379594900817 [7] Ren XM, Wang Y,2005, PUMA Volume 16 No3, 191-197, dapat diakses di wwwmatunisiit/newsito/puma/public/191pdf [8] TL Boullion, P L Odell, Generalized Inverse Matrices, Wiley-Interscience, 1971 [9] Aim, 2015, Matriks Invers Tergeneralisasi, dapat diakses di https://aimprof08wordpresscom/2015/01/19/matriks-inverstergeneralisasi/ pada tanggal 24 juni 2016 MA 6