5.3 RECURSIVE DEFINITIONS AND STRUCTURAL INDUCTION

5.3 RECURSIVE DEFINITIONS AND STRUCTURAL INDUCTION

Rekursif Ada kalanya kita mengalami kesulitan untuk mendefinisikan suatu obyek secara eksplisit. Mungkin lebih mudah untuk mendefinisikan obyek tersebut dengan menggunakan dirinya sendiri. Ini merupakan proses rekursif. Kita dapat mendefinisikan barisan, fungsi dan himpunan secara rekursif.

Fungsi yang Didefinisikan secara Rekursif Langkah-langkah untuk mendefinisikan fungsi dengan domain bilangan cacah secara rekursif: 1.Langkah basis: Definisikan nilai fungsi pada saat nol. 2.Langkah rekursif: Berikan aturan untuk mencari nilai fungsi untuk setiap bilangan bulat berdasarkan nilai fungsi pada bilangan bulat yang lebih kecil

Contoh 1 f(0) = 3 f(n + 1) = 2f(n) + 3 Maka f(0) = 3 f(1) = 2f(0) + 3 = 2 3 + 3 = 9 f(2) = 2f(1) + 3 = 2 9 + 3 = 21 f(3) = 2f(2) + 3 = 2 21 + 3 = 45 f(4) = 2f(3) + 3 = 2 45 + 3 = 93

Contoh 2 Bagaimana kita dapat mendefinisikan fungsi faktorial f(n) = n! secara rekursif? f(0) = 1 Karena (n+1)! = n! (n+1) maka f(n + 1) = (n + 1)f(n) f(0) = 1 f(1) = 1 f(0) = 1 1 = 1 f(2) = 2 f(1) = 2 1 = 2 f(3) = 3 f(2) = 3 2 = 6 f(4) = 4 f(3) = 4 6 = 24

Soal 1 Bagaimana kita dapat mendefinisikan fungsi f ( n) n a k secara rekursif? k 0

Barisan Yang Didefinisikan Secara Rekursif Contoh 3. Barisan bilangan pangkat dari 2 a n = 2 n untuk n = 0, 1, 2,. Barisan ini dapat didefinisikan secara rekursif: a 0 = 1 a n+1 = 2a n untuk n = 0, 1, 2, Langkah-langkah untuk mendefinisikan barisan secara rekursif: 1. Langkah basis: Spesifikasi anggota awal. 2. Langkah rekursif: Berikan aturan untuk membangun anggota baru dari anggota yang telah ada.

Contoh 4 Berikan definisi rekursif dari a n =r n, dengan r N, r 0 dan n bilangan bulat positif. Solusi. Definisikan a 0 =r 0 =1 dan a n+1 =r. a n untuk n = 0, 1, 2,

Contoh 5 Barisan Hanoi 0, 1, 3, 7, 15, 31,... h 0 = 0 h n = 2h n 1 + 1 untuk n 1 Barisan Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, f 0 = 0, f 1 = 1 f n = f n-1 + f n-2, untuk n 2 Tunjukkan bahwa untuk n 3, f n > n-2 dengan = (1+ 5)/2.

Kompleksitas Algoritma gcd(a,b) procedure gcd(a,b: bulat) x := a; y := b; while y 0 r := x mod y x := y y := r return x (x = gcd(a,b)) Misalkan a,b dan a b. Misalkan r 0 = a dan r 1 = b. Diperoleh: r 0 = r 1 q 1 + r 2 0 r 2 < r 1, r 1 = r 2 q 2 + r 3 0 r 3 < r 2, : : r n -2 = r n -1 q n -1 + r n 0 r n < r n-1, r n-1 = r n q n. Algoritma ini didasarkan pada Lemma berikut: Lemma Misalkan a = bq + r, dengan a, b, q, dan r bilangan bulat. Maka, gcd(a,b) = gcd(b,r).

Kompleksitas Algoritma gcd(a,b) Lemma Misalkan a = bq + r, dengan a, b, q, dan r bilangan bulat. Maka, gcd(a,b) = gcd(b,r). Bukti Misalkan d a dan d b. Maka, d r, karena r = a bq. Jadi, setiap pembagi bersama dari a dan b juga pembagi bersama bagi b dan r. Misalkan d b dan d r. Maka, d a, karena a = bq + r. Jadi, setiap pembagi bersama dari b dan r juga pembagi bersama bagi a dan b. Jadi, gcd(a,b)=gcd(b,r).

Kompleksitas Algoritma gcd(a,b) Teorema Lame. Misalkan a, b bulat. Maka, banyaknya pembagian yang digunakan dalam Algoritma Euclid gcd(a,b) lebih kecil atau sama dengan 5 kali banyaknya digit desimal dari b. Algoritma Euclid r 0 = r 1 q 1 + r 2 0 r 2 < r 1, r 1 = r 2 q 2 + r 3 0 r 3 < r 2, : : r n -2 = r n -1 q n -1 + r n 0 r n < r n-1, r n-1 = r n q n. f n adalah barisan Fibonacci, dan telah ditunjukkan bahwa: f n > n-2 dengan = (1+ 5)/2. Terdapat n pembagian. Bilangan q 1, q 2,, q n - 1 1. Dan, q n 2 karena r n < r n -1. r n 1 = f 2, r n-1 2r n 2f 2 = f 3, r n-2 r n-1 + r n f 3 + f 2 = f 4, : : r 2 r 3 + r 4 f n-1 + f n-2 = f n, b = r 1 r 2 + r 3 f n + f n-1 = f n+1.

Kompleksitas Algoritma gcd(a,b) Karena, b = r 1 r 2 + r 3 f n + f n-1 = f n+1, dan f n > n-2 dengan = (1+ 5)/2, maka, b f n+1 > n-1. Ini berarti bahwa log 10 b > (n-1) log 10 > (n-1)/5, karena log 10 0.208 > 1/5. Sehingga, n < 1+ 5log 10 b. Maka, banyaknya pembagian lebih kecil atau sama dengan 5 kali banyak digit dari b.

Himpunan yang Didefinisikan secara Rekursif Langkah-langkah dalam mendefinisikan suatu himpunan secara rekursif: 1.Langkah basis: Spesifikasi koleksi awal dari anggota 2.Langkah rekursif: Mendefinisikan aturan konstruksi anggota baru dari anggota yang telah diketahui

Contoh 6 Misalkan S didefinisikan secara rekursif oleh: 3 S (x+y) S jika x S dan y S Maka S adalah himpunan bilangan bulat positif yang habis dibagi 3. Bukti Misalkan A himpunan yang beranggotakan semua bilangan bulat positif yang habis dibagi 3. Untuk membuktikan bahwa A = S, harus ditunjukkan A S and S A.

Contoh 6 (2) Bagian I: Akan dibuktikan A S, yaitu menunjukkan bahwa setiap bilangan bulat positif yang habis dibagi 3 ada di S (dengan menggunakan induksi matematika). Misalkan P(n): proposisi 3n anggota S untuk setiap n bilangan asli. 1. Langkah basis: P(1) benar, karena 3 S. 2. Langkah induktif: Asumsikan P(k) benar, yaitu 3k S. Akan ditunjukkan P(k+1) juga benar, yaitu 3(k+1) S Karena 3k S dan 3 S, berdasarkan definisi rekursif dari S, 3k+3 = 3(k+1) juga ada di S. 3. Konklusi: Jadi, setiap bilangan bulat positif yang habis dibagi 3 anggota S. Jadi, A S.

Contoh 6 (3) Bagian II: Akan ditunjukkan S A dengan menggunakan definisi rekursif dari S. Langkah basis: Akan ditunjukkan setiap anggota awal S ada di A. Karena 3 habis dibagi 3 maka 3 A. Langkah rekursif: Akan ditunjukkan bahwa setiap bilangan bulat yang dibangun dengan mengunakan langkah rekursif juga merupakan anggota A, yaitu (x+y) A jika x,y S (yang diasumsikan A). Jika x dan y keduanya di A, maka 3 x dan 3 y. Akibatnya, 3 (x+y). Jadi, S A. Dengan demikian, secara keseluruhan, berlaku A = S.

Induksi Struktural Dalam membuktikan hasil-hasil yang berkaitan dengan himpunan yang didefinisikan secara rekursif, akan lebih mudah apabila digunakan suatu bentuk induksi matematika yang disebut induksi struktural. Langkah-langkah dalam induksi struktural: 1. Langkah basis: Menunjukkan bahwa hasil yang akan dibuktikan berlaku untuk semua anggota awal. 2. Langkah rekursif: Menunjukkan bahwa jika hasil yang akan dibuktikan berlaku untuk anggota-anggota yang digunakan untuk membangun anggota baru, maka hasil tersebut juga berlaku untuk anggota yang baru dibangun.

Definisi Circular Definisi 1. Suatu definisi rekursif dikatakan circular jika looping tidak dapat dihentikan. Contoh 7. Definisi circular dari Index and Glossary of Knuth, Vol 1. Circular Definition, 260 see Definition, circular Definition, circular, see Circular definition

Himpunan String atas Alfabet Himpunan string * atas alfabet dapat didefinisikan secara rekursif oleh: 1.Langkah basis: * ( adalah string kosong yang tidak memuat simbol) 2.Langkah rekursif: Jika w * dan x, maka wx * Contoh 8. Jika = {0,1} maka string yang merupakan anggota * adalah: yang didefinisikan sebagai anggota * dalam langkah basis, 0 dan 1 yang dibentuk dalam langkah rekursif pertama, 00, 01, 10, dan 11 yang dibentuk dalam langkah rekursif kedua, dst

Konkatenasi Dua String Sebagai operasi dari dua string, konkatenasi didefinisikan secara rekursif sebagai: 1. Langkah basis: Jika w *, maka w. = w, dengan string kosong 2. Langkah rekursif: Jika w 1 * dan w 2 * dan x, maka w 1. (w 2 x) = (w 1. w 2 ) x w 1. w 2 seringkali ditulis sebagai w 1 w 2 Contoh 9. Konkatenasi dari w 1 = meng dan w 2 = apa adalah w 1 w 2 = mengapa

Panjang String Panjang dari string w, l (w) dapat didefinisikan secara rekursif oleh: l ( ) = 0, l (w x) = l (w) + 1 jika w * dan x. Soal 2. Gunakan induksi struktural untuk membuktikan l (x y) = l (x) + l (y).

Induksi yang Diperluas Induksi matematika dapat diperluas untuk membuktikan hasil-hasil mengenai himpunan yang memiliki sifat terurut dengan baik. Contoh 10. Pandang himpunan N x N di mana (x 1, y 1 ) < (x 2, y 2 ) jika x 1 < x 2, atau x 1 = x 2 dan y 1 < y 2. Setiap subhimpunan dari N x N memiliki elemen terkecil. Jadi, N x N merupakan himpunan yang terurut dengan baik.

a, Soal 3 Misalkan m n didefinisikan secara rekursif untuk (m,n) N x N oleh a 0 a,0 m, n 0 a a dan m 1, n m, n 1 Tunjukkan bahwa 1, jika n 0 dan m 0 n, jika n 0 a m n( n 1) / m, n untuk setiap (m,n) N x N. 2

Bahan Test I Logika Proposisi Predikat dan Kuantifikasi Kuantifikasi Bersusun Aturan Inferensi Bukti Metoda Pembuktian Strategi Pembuktian Struktur Diskrit Himpunan Fungsi Barisan Algoritma Algoritma Pertumbuhan Fungsi Kompleksitas Algoritma Induksi Induksi Matematika Induksi Kuat Rekursi Fungsi, Himpunan, Barisan yang Didefinisikan secara Rekursif Induksi Struktural Induksi yang Diperluas

Latihan Soal (1) 1. Misalkan kedua asumsi berikut benar: 1. Logika itu sulit atau tidak banyak mahasiswa yang menyukai logika. 2. Jika matematika mudah, maka logika tidak sulit. Berikan alasan mengapa kesimpulan berikut valid berdasarkan dua asumsi di atas. 1. Bahwa matematika tidak mudah, jika banyak mahasiswa yang menyukai logika. 2. Bahwa jika tidak banyak mahasiswa menyukai logika, maka matematika tidak mudah atau logika tidak sulit. 2. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan x y(x y 2 ) jika domain adalah a) himpunan bilangan real positif. b) himpunan bilangan bulat. c) himpunan bilangan real tak nol.

Latihan Soal (2) 3. Buktikan pernyataan berikut. Jika x dan y bilangan real, maka max(x, y) + min(x, y) = x + y. 4. Buktikan bahwa persamaan n 2 + n 3 = 100 tidak memiliki solusi bilangan bulat positif. 5. (a) Tunjukkan bahwa (x 3 + 2x)/(2x + 1) adalah O(x 2 ). (b) Periksa apakah fungsi log(n+1) adalah O(log n). 6. Berikan estimasi big-o untuk banyaknya operasi (penjumlahan atau perkalian) yang digunakan dalam algoritma berikut. t := 0 for i := 1 to n for j := 1 to n t := t + ij

Latihan Soal (3) 7. Buktikan bahwa n 2 7n + 12 adalah bilangan tak negatif untuk n bilangan bulat dengan n 3. 8. Apakah papan catur dengan ukuran 6 x 2 n, untuk setiap bulat positif n, dapat ditutupi dengan ubin berbentuk L?