Prakata Puji syukur kita panjatkan kepada Allah SWT, yang telah memberikan banyak sekali nikmat-nya, terutama kepada penyusun sehingga makalah ini dapat selesai pada waktunya. Shalawat serta salam marilah kita sampaikan kepada junjungan kita Nabi Muhammad SAW, beserta para keluarganya, para sahabatnya, dan umatnya sampai akhir jaman. Dalam proses pendalaman materi ini, tentunya penyusun mendapatkan bimbingan dan saran untuk menyelesaikan Buku Ajar yang berjudul Operasi Aljabar. Untuk itu rasa terima kasih penyusun sampaikan kepada Bapak Dede Tri Kurniawan, S.Pd, M.Pd. selaku dosen Program Komputer, orang tua penyusun yang ikut membimbing dan mendoakan agar mendapatkan hasil yang maksimal, serta teman-teman penyusun yang telah banyak memberikan masukan dalam penyusunan Buku Ajar ini. Penyusun menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penyusunan Buku Ajaran ini, oleh karena itu penyusun mengharapkan kritik dan saran yang membangun. Sehingga Buku Ajar ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan dapat digunakan untuk kepentingan ilmu pengetahuan, khususnya dalam materi Aljabar. Cirebon, Oktober 2013 Penyusun II D Coorporation 1
DAFTAR ISI Kata Pengantar 1 Daftar Isi 2 Kata Motivasi 3 Tujuan Pembelajaran 4 Materi Bentuk Aljabar 5 A. Bentuk Aljabar dan Unsur-unsurnya 5 1. Variabel, Koefesien, dan Konstanta 5 2. Suku Sejenis dan Tak-Sejenis 5 B. Operasi Hitung pada Aljabar 6 1. Penjumlahan dan Pengurangan Aljabar 6 2. Perkalian 7 3. Pembagian 7 4. Subtitusi pada Bentuk Aljabar 7 5. Menentukan KPK dan FPB Bentuk Aljabar 8 C. Pecahan Bentuk Aljabar 8 1. Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar 8 2. Hitung Pecahan Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal 8 a. Penjumlahan dan pengurangan 8 b. Perkalian dan pembagian 9 Aplikasi dalam Kehidupan Sehari-hari 10 Soal Latihan 11 Daftar Pustaka 12 Cara Penggunaan Quis Maker 13 Biodata Penyusun 14 II D Coorporation 2
KATA MOTIVASI Sekalipun ada keuntungan untuk menjadi yang pertama, tetapi terdapat lebih banyak keuntungan dalam mejadi yang terbaik. Di dunia yang serba instan dan segera ini, layaklah kita melihat bagaimana melakukan sesuatu secara sepantasnya. Ketidaksabaran bisa berakibat fatal dan rentan terhadap kesalahan. Pelajarilah nilai kesabaran. Sekalipun kamu seperti tertinggal jauh dibelakang, tetapi dengan usaha yang terukur dan tekun, lebih mungkin kamu akan berada didepan. Kesabaran bukan berarti menunda-nunda pekerjaan. Kesabaran berarti mengambil tindakan SEKARANG, yang akan membawa hasil dimasa depan. Kesabaran berfokus pada hasil terbaik bukan hasil termudah atau tercepat. Kesabaran berarti mengerti bahwa perjalanan panjang memiliki hasil yang panjang pula. Mulailah dari sekarang dan bersabarlah. Siapa yang mencari hasil segera (akan segera pula kehilangan hasilnya) itupun jika mereka mendapatkan hasil. Memang makan waktu untuk menghasilkan yang terbaik, tetapi Kamu sendiri yang akan menikmati hasilnya. Begitupun belajar MATEMATIKA memang harus diakui belajar MATEMATIKA sangat sulit, namun sulit bukan berarti tidak bisa. Melalui belajar dengan tekun dan sabar kelak MATEMATIKA akan terasa lebih mudah. II D Coorporation 3
KOMPETENSI DASAR Memahami dan dapat menggunakan bentuk aljabar untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Sebuah Mobil akan melaju dengan kecepatan (3x + 10) km/jam selama 0,5 jam. Berapakah kecepatannya jika jarak yang ditempuh mobil tersebut? Variabel, Koefesien dan Konstanta Faktor dan Suku Operasi hitung bentuk aljabar Pecahan bentuk aljabar Tujuan Pembelajaran Setelah memepelajari materi ini, siswa diharapkan mampu: dapat menjelaskan pengertian variabel, konstanta, faktor, suku, serta suku sejenis dan tak-sejenis dapat melakukan operasi hitung tambah, kurang, kali, bagi, subsitusi bentuk aljabar, serta menentukan FPB dan KPK bentuk aljabar. dapat melakukan operasi hitung pecahan. II D Coorporation 4
MATERI BENTUK ALJABAR A. Bentuk Aljabar dan Unsur-Unsurnya Bentuk aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Unsur-unsur adalah sebagai berikut: 1. Variabel, Konstanta, dan Faktor Misal: 1. Pada bentuk aljabar 3a, 3 disebut koefisien a dan a disebut variabel. 2. Pada bentuk aljabar 2n + 5, 2 disebut koefisien n, n disebut variabel, dan 5 disebut konstanta. Hal ini penting kita ketahui dan agar penulisan singkat dalam aljabar dapat kita gunakan untuk menyelesaikan masalah agarr lebih mudah dipahami. Sebagai Contoh: 1. 3a berarti 3 a atau (a + a + a) 6. a 1 3 3 berarti a a 2. berarti a 3 atau 1 dari a 7. 3 3 3. 2ab berarti 2 a b atau (ab + ab) 4. a( b) berarti a ( b) atau ab 5. (3a) 2 berarti 3a 3a atau 3 a 3 a atau 3 2 a 2 a 2 1 4 berarti (a a 1) 4 a. 2x + 3x = 2 + 3 x = 5x b. 1 4 dari s = 1 4 s = s 4 c. 2 p q = 2pq d. 2q 2q 2q = 2 2 2 q q q = 8q 3 e. 2n n n = 2 n n n = 2n 3 Contoh soal: Sederhanakan bentuk aljabar berikut: a. 2x + 3x b. 1 4 dari s c. 2 p q d. 2q 2q 2q e. 2n n n Pada bilangan bulat, apabila ditulis a = b c, maka b dan c disebut faktor-faktor dari a, Sedangkan dalam bentuk aljabar, apabila ditulis 3 (x + 2), maka 3 dan (x + 2) disebut faktor-faktor perkalian. 2. Suku Sejenis dan Suku Tak Sejenis a. Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih. Suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama. Contoh: 5x dan 2x, 3a 2 dan a 2, y dan 4y,... Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masingmasing variabel yang tidak sama. Contoh: 2x dan 3x 2, y dan x 3, 5x dan 2y,... II D Coorporation 5
Hiduplah seolah engkau mati besok. Belajarlah seolah engkau hidup selamanya. (Mahatma Gandhi) b. Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih. Contoh: 3x, 2a 2, 4xy,... c. Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. Contoh: 2x + 3, a 2 4, 3x 2 4x,... d. Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih. Contoh: 2x 2 x + 1, 3x + y xy,... e. Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak. Contoh soal: Dengan menggunakan sifat-sifat penjumlahan, susunlah bentukbentuk aljabar berikut agar sukusuku sejenisnya berdekatan! a. 2a 3 + a 2 b 5a 3 + 3a 2 b + 2ab ab b. 4 3b + 4a + 6b a. 2a 3 + a 2 b 5a 3 + 3a 2 b + 2ab ab = 2a 3 5a 3 + a 2 b + 3a 2 b + 2ab ab Suku sejenis Suku sejenis Suku sejenis b. 4 3b + 4a + 6b = 4 3b + 6b + 4a Suku sejenis B. Operasi Hitung pada Aljabar 1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar Contoh soal: Sederhanakan bentuk berikut! 1. 5x + 3x 2. 2.6a 2 3a + 12a 4a 2 + 9 + 2 Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada sukusuku yang sejenis. Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis. 1. 5x + 3x = (5 + 3)x (sifat distributif) = 8x 2. 6a 2 3a + 12a 4a 2 + 9 + 2 = 6a 2 4a 2 3a + 12a + 9 + 2 (suku yang sejenis dikelompokkan) = 6 4 a 2 + 12 3 a + (9 + 2) = 2a 2 + 9a + 11 Orang-orang yang berhenti belajar akan menjadi pemilik masa lalu. Orang-orang yang masih terus belajar, akan menjadi pemilik masa depan. (Mario Teguh) II D Coorporation 6
2. Perkalian Contoh soal : Jabarkanlah! 1. (6 x)x 2. x 2 + 3 (x 2 5) Perlu kalian ingat kembali bahwa pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan pengurangan, yaitu a (b + c) = (a b) + (a c) a b c = a b (a c) 1. 6 x x = 6 x x x = 6x x 2 2. x 2 + 3 (x 2 5) = x 2 x 2 5 + 3 x 2 5 = x 2 x 2 x 2 5 + ( 3 x 2 3 5 ) = x 4 5x 2 + 3x 2 15 = x 4 2x 2 15 3. Pembagian Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh dengan menentukan terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilang dan penyebutnya. 1. 8a 3 b 2 4 = 8a 3 b 2 4 = 8 4 a3 b 2 = 2 a 3 b 2 2. 26a 2 b 3 13ab 4 = 26a 2 b 3 Contoh soal : Tulislah dalam bentuk sederahana! 1. 8a 3 b 2 4 2. 26a 2 b 3 13ab 13ab 4 = 26 a 2 b3 13 a b 4 = 2a b 4. Substitusi pada Bentuk Aljabar Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan cara menyubstitusikan sebarang bilangan pada variabel-variabel bentuk aljabar tersebut. Contoh soal: Jika p = 3 dan q = 6, tentukan nilai dari! 1. p 2 + q 2 2. 2p 2 + 3q 2 + 6 1. p 2 + q 2 = 3 2 + 6 2 = 9 + 36 = 45 2. 2p 2 + 3q 2 + 6 = 2. 3 2 + 3. 6 2 + 6 = 2. 9 + 3. 36 + 6 = 18 + 108 + 6 = 132 II D Coorporation 7
5. Menentukan KPK dan FPB Bentuk Aljabar KPK merupakan hasil perkalian dari faktor yang berbeda dan berpangkat tinggi, sedangkan FPB merupakan hasil perkalian dari faktor yang sama dan berpangkat rendah. Untuk menentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menyatakan bentuk-bentuk aljabar tersebut menjadi perkalian faktorfaktor primanya. Contoh soal: Tentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar berikut! 1. 12 pq dan 8pq 2 2. 45x 5 y 2 dan 50x 4 y 3 1. 12 pq = 2 2 3 p q 8pq 2 = 2 3 p q 2 KPK = 2 3 3 p q 2 = 24pq 2 FPB = 2 2 p q = 4pq 2. 45x 5 y 2 = 3 2 5 x 5 y 2 50x 4 y 3 = 2 5 2 x 4 y 3 KPK = 2 3 2 5 2 x 5 y 3 = 450x 5 y 3 FPB = 5 x 4 y 2 = 5x 4 y 2 C. Pecahan Bentuk Aljabar 1. Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar Suatu pecahan bentuk aljabar dikatakan paling sederhana apabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor persekutuan kecuali 1, dan penyebutnya tidak sama dengan nol. Untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dapat dilakukan dengan cara membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan FPB dari keduanya. 2. Operasi Hitung Pecahan Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal a. Penjumlahan dan pengurangan Pada poin sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa hasil operasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya. Kalian pasti Contoh soal: Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan pecahan berikut! 1. 1 + 5 2p 3q 2. 3a 4b2 2b 2a 2 juga masih ingat bahwa untuk menyamakan penyebut kedua pecahan, tentukan KPK dari penyebut-penyebutnya. Dengan cara yang sama, hal itu juga berlaku pada operasi 1. 1 + 5 2p 3q = 1 3q 2p 3q + 5 2p 3q 2p = 3q + 10p 6pq 6pq = 3q+10p 6pq 2. 3a 4b2 = 3a 2a 2 4b2 2b 2b 2a 2 2b 2a 2 2a 2 2b = 6a 3 8b3 4a 2 b 4a 2 b = 6a 3 8b 3 4a 2 b penjumlahan dan pengurangan bentuk pecahan aljabar. II D Coorporation 8
b. Perkalian dan pembagian Perkalian pecahan aljabar tidak jauh berbeda dengan perkalian bilangan pecahan. Contoh soal : Tentukan hasil perkalian pecahan bentuk aljabar berikut! 1. 4 2. ab 3a 2 6x 2 y 5x 5 4x(x 1) 15x 3 1. 4 ab = 4 ab 3a 2 3a 2 = 4ab 6a (hilangkan variabel a dan sederhanakan koefesiennya) 2. = 2b 3 6x 2 y 5x 5 = 6x 2 y 4x(x 1) 15x 3 5(x 1) 4x(x 1) 15x = 6x 2 y 4x 5 15x 3 = 1x 2 y 2x x 3 = 1y 2x 2 3 (hilangkan (x 1)) (sederhanakan koefesiennya) (sederhanakan variabel x) Cara terbaik untuk menjadi cerdas adalah tidak menjadi bodoh, agar tidak menjadi bodoh harus belajar, maka belajarlah tiada kata terlambat untuk Belajar. (Unknown) II D Coorporation 9
APLIKASI DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI Pasti anda sering sekali bertanya-tanya, terutama pelajar, apasih sebenarnya fungsi aljabar di kehidupan sehari - hari? Sebenarnya aljabar tanpa kita sadari sering sekali dan melekat pada kehidupan sehari-hari kita, kita bisa dengan cepat menyelesasikan masalah persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel, masalah aritmetika sosial, bahkan kita juga bisa menggunakan perbandingan untuk menyelesaikan suatu masalah, masih terlihat tidak familiar? Berikut contoh simplenya di kehidupan sehari-hari: Aktifitas yang dilakukan oleh manusia banyak sekali, ada yang melakukan aktifitas jual-beli, baik menggunakan uang atau sistem barter. Dengan cepat mereka bisa menghitung keuntungan ataupun kerugian yang mereka dapat. Contoh : Uang saku Opiq 2.000 rupiah lebih banyak dari adiknya. Setiap hari Ibunya memberi uang pada Opiq dan adiknya setinggi-tingginya 15.000 rupiah. Tentukan batas maksimal uang saku Opiq dan adiknya! Selain contoh di atas kita juga bisa mengambil contoh lainnya. misalnya saja ada seorang developer yang ingin membeli tanah untuk membangun perumahan, developer itu bisa memperkirakan berapa luas tanah yang harus dibeli, dan berapa jumlah rumah yang harus dibangun supaya bisa mendapat Jawab: Misalkan uangsaku Opiq adalah x, maka uang saku adik adalah (x 2.000). Sehingga: Uang saku Opiq + uang saku adik 15.000 x + (x 2.000) 15.000 2x 2.000 15.000 2x 15.000 + 2.000 2x 17.000 x 8.500 Jadi, uang saku Opiq maksimal Rp. 8.500,00, sedangkan uang saku adiknya adalah maksimal Rp. 6.500,00. keuntungan, dan bahkan saat anda kebingungan untuk memilih jajanan atau menu makan siang yang mengenyangkan dengan sejumlah uang, secara tidak langsung keputusan yang anda ambil adalah contoh penggunaan aljabar pada setiap harinya, ataupun membagi uang saku yang orang tua anda berikan. Selain perhitungan sederhana seperti di atas, aljabar juga dapat diterapkan dalam menentukan untung-rugi serta presentasenya dalam perdagangan, persentase bunga dan perhitungan-perhitungan utang piutang dalam bidang perbankan, perhitungan skala dalam bidang geografi. Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan seharihari. Hal-hal yang tidak diketahui seperti banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuah bis dalam tiap minggu, jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu, atau banyaknya makanan ternak yang dibutuhkan dalam 3 hari, dapat dicari dengan menggunakan aljabar. II D Coorporation 10
SOAL LATIHAN 1. Tentukan koefisien dari x² dan factor dari 3x² + 5! 2. Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan dari (3a² + 5) (4a² - 3a + 2)! 3. Tentukan hasil perkalian dari (x + 2) (x -2)! 4. Jabarkan bentuk aljabar dari (x 3)(x + 5)! 5. Jika x = -4 dan y = 3, tentukan nilai dari 2x² - xy + 3y²! 6. Tentukan KPK dan FPB dari : a. 28pq 2 dan 24p 2 q 7 b. 15x2y dan 9x 2 y 3 7. Tentukan pecahan dari a. 5a 2b 2 b 6a 2 b. 7x x 2 5y 2 y c. 25xyz2 8xy 2 z 4 24x 2 yz 5x 4 y 3 z 2 Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan. (Q.S.Al-Insyirah :6) II D Coorporation 11 11
DAFTAR PUSTAKA A, Titut, dkk. (2010). Buku Ajar Acuan Pengayaan Matematika. Solo: CV. Sindunata Anwar, Zainul. (2012). A-Z Psikologi. Yogyakarta: ANDI Yogyakarta. Manik, Dame Rosida. (2009). Penunjang Belajar Matematika. Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. Maiyasari, Devi. (2013). Kumpulan Materi Matematika SMP. [online]. Tersedia: http://devi-maiyasari.blogspot.com/2013/01/rumus-aljabar-matematika-kelasvii.html. [14 Oktober 2013]. Nuharini, Dewi, dkk. (2008). Matematika Konsep dan Penerapannya. Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. Pendidikan. (2013). Contoh Penggunaan Aljabar Dalam Kehidupan Sehari-Hari. [online]. Tersedia: http://fgftuyia.blogspot.com/2013/04/contoh-penggunaanaljabar-dalam.html. [14 Oktober 2013]. Simangunsong, Wilson dan Sukino. (2004). Matematika untuk SMP Kelas VII. Jakarta: Erlangga. II D Coorporation 12
CARA PENGGUNAAN QUIS MAKERS Langkah-langkah Masukkan CD ke dalam komputer atau laptop Buka file Operasi Aljabar Isikan password, passwordnya janganlupa. Lalu klik OK Lalu klik continue untuk memulai mengerjakan quis Isilah jawaban dengan benar dan teliti. SELAMAT MENCOBA!!! Lebih baik mencoba daripada tidak sama sekali karena kegagalan adalah pengalaman yang membuat kita menjadi sempurna. (unknown) II D Coorporation 13 13
Biodata Penyusun Nama : Robbi Fadlurreja Kelas : II D NPM : 112070234 FKIP Pend. Matematika Pesan Penyusun Nama : Husni H. Malik Kelas : II D NPM : 112070042 FKIP Pend. Matematika Teruslah Belajar karena tak ada istilah tua untuk Belajar. (unknown) II D Coorporation 14