PENGUKURAN DESKRIPTIF STATISTIK INDUSTRI I Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 1
PENGUKURAN DESKRIPTIF Suatu pengukuran yang bertujuan untuk memberikan gambaran tentang data yang diperoleh Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 2
UKURAN PEMUSATAN DATA Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 3
UKURAN PEMUSATAN DATA Suatu nilai yang mewakili semua nilai observasi dalam suatu data dan dianggap sebagai gambaran dari kondisi suatu data. Beberapa macam ukuran pemusatan data: Rata-rata hitung (Mean) Median Modus Kuartil Desil Persentil Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 4
Rata rata Hitung ( Mean ) Nilai khas yang mewakili sifat tengah atau posisi pusat dari sekumpulan data Contoh : Tentukan nilai rata-rata dari data: 2,3,4,5,6 x 2 3 4 5 5 6 4 Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 5
Data berbobot Contoh : Berat paket yang diterima oleh suatu perusahaan selama 1 minggu tercatat seperti pada tabel disamping ini. Rata-rata berat paket dalam minggu tersebut adalah Berat (kg) x 5 6 7 8 Frekuensi f. x f 6 8 12 4 Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
Jawab: Berat (kg) X 5 6 7 8 Frekuensi F 6 8 12 4 F. X 30 48 84 32 x = = = 6,47 f.x f 194 30 Jumlah 30 194 Jadi rata-rata berat paket = 6,47 kg Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
Data kelompok Cara I: f. x x f Contoh : Tentukan mean nilai tes Matematika 20 orang siswa yang disajikan pada tabel disamping ini! x = Nilai tengah Nilai Frekuensi 3-4 2 5-6 4 7-8 8 9-10 6 Jumlah 20 Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
Jawab : Nilai Frekuensi x F. x 3-4 2 3,5 7 5-6 4 5,5 22 7-8 8 7,5 60 9-10 6 9,5 57 Jumlah 20 146 x = 146 20 = 7,3 Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
Cara II: x x 0 f.d f x o = rata-rata sementara, d = x - x o x = nilai tengah Contoh : Jika rata-rata sementara pada tabel adalah 67, maka nilai rata-rata data tersebut adalah.. Nilai f x 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 4 10 17 14 5 57 62 67 72 77 Jumlah 50 Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
Jawab : Nilai f x d f. d 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 4 10 17 14 5 57 62 67 72 77-10 - 5 0 5 10-40 - 50 0 70 50 Jumlah 50 30 = 67 + 30 50 = 67,6 Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 11
Median bilangan yang ditengah-tengah setelah bilangan-bilangan itu diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar. a. Data tunggal Jika n ganjil Letak Me = data ke- Jika n genap ( n 1) 2 Letak Me = ½ ( X n/2 + X n/2 + 1 ) Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
Contoh : Nilai ulangan Mata Pelajaran Matematika dari 12 siswa adalah sebagai berikut: 6,8,5,7,6,8,5,9,6,6,8,7. Tentukan median dari data tersebut! Jawab : Data diurutkan : 5,5,6,6,6,6,7,7,8,8,8,9 jumlah data ( n ) = 12 ( genap ) Letak Me = data ke ½ ( X 6 + X 7 ) = ½ ( 6 + 7 ) = 6,5 Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
Dengan: Data berkelompok Li = tepi bawah dari kelas median n = banyaknya data Median = L i + (f)l = jumlah frekuensi seluruh kelas yang lebih rendah dari kelas median fmedian = frekuensi kelas median c = lebar interval kelas median n 2 f l f median c Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 14
Contoh Pengujian tegangan rusak (Breaking stress) pada suatu logam Breaking stress (kn/m2) Jumlah (f) 900 999 4 1000 1099 19 1100 1199 29 1200 1299 28 1300 1399 13 1400 1499 7 Total (N) 100 Median = L i + n 2 f l f median c = 1099,5 + 100 2 23 29 99 = 1191,7 Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 15
Modus bilangan yang paling sering muncul atau nilai yang memiliki frekuensi terbanyak. Data tunggal / berbobot Contoh : Tentukan modus dari masing-masing kumpulan bilangan di bawah ini: a. 5,3,5,7,5 c. 2,5,6,3,7,9,8 b. 4,3,3,4,4,7,6,8,7,7 d. 2,2,3,3,5,4,4,6,7 Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 16
Jawab : a. Modus data tersebut adalah 5 b. Modus data tersebut adalah 4 dan 7 c. Modus data tersebut tidak ada d. Modus data tersebut adalah 2,3,4 Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 17
Data berkelompok Modus = L i + 1 1 + 2 Dengan: Li = tepi bawah dari kelas modus 1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya 2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya c = lebar interval kelas modus c Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 18
Contoh Pengujian tegangan rusak (Breaking stress) pada suatu logam Breaking stress (kn/m2) Jumlah (f) 900 999 4 1000 1099 19 1100 1199 29 1200 1299 28 1300 1399 13 1400 1499 7 Total (N) 100 Modus = L i + 1 1 + 2 c = 1099,5 + 10 10+1 99 = 1189,5 Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 19
Contoh Distribusi frekuensi hasil produksi setrika listrik (dalam buah) selama 100 hari yang diproduksi adalah: Hasil Produksi Frekuensi Tepi Kelas Frekuensi Kumulatif 20-34 8 19,5 8 35-49 24 34.5 32 50-64 27 49,5 59 65 79 20 64,5 79 80 94 8 79,5 87 95 109 8 94,5 95 110 124 4 109,5 99 125-139 1 124,5 100 Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 20
Kuartil (Quartile) Kelompok data yang telah diurutkan kemudian dibagi menjadi 4 (empat) bagian sama banyak Data tidak berkelompok Q i Nilai ke - i n 1 4, i 1, 2, 3 Data berkelompok Q i in F L 4 0 c, i 1, f 2, 3 F: jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil L0 : tepi bawah kelas kuartil c : panjang interval kelas n : jumlah semua frekuensi f : frekuensi kelas kuartil Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 21
Contoh Untuk contoh soal pengujian tegangan rusak pada suatu logam; tentukan Q1, Q2, Q3 Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 22
Desil Kelompok data yang telah diurutkan dibagi menjadi 10 (sepuluh) bagian sama banyak Data tidak berkelompok Data berkelompok D i D i Nilai ke - i n 1 10 in F L 10 0 c, i 1, f, i 1, 2, 2, 3,...,9 3,...,9 F: jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas desil ke-i L0 : tepi bawah kelas desil ke-i c : panjang interval kelas desil ke-i n : jumlah semua frekuensi f : frekuensi kelas desil ke-i Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 23
Contoh Untuk contoh soal pengujian tegangan rusak pada suatu logam;, tentukan D3, D7, dan D9 Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 24
Persentil Kelompok data yang telah diurutkan dibagi menjadi 100 (seratus) bagian sama banyak Data tidak berkelompok in 1 P i Nilai ke - 100, i 1, 2, 3,...,99 Data berkelompok P i in F L 100 0 c, i 1, f 2, 3,...,99 F: jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas persentil ke-i L0 : tepi bawah kelas persentil ke-i c : panjang interval kelas persentil ke-i n : jumlah semua frekuensi f : frekuensi kelas persentil ke-i Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 25
Contoh Untuk contoh soal pengujian tegangan rusak pada suatu logam; tentukan P25 dan P75 Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 26
UKURAN DISPERSI Ukuran Penyebaran Data Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 27
Pengertian Dispersi Ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilainilai data dari nilai-nilai pusatnya Ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda dengan nilai-nilai pusatnya Dispersi serangkaian data akan lebih kecil bila nilai-nilai tersebut berkonsentrasi di sekitar rata-ratanya, dan sebaliknya Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 28
Ukuran Dispersi RENTANG (Range) SIMPANGAN RATA-RATA (Mean Deviasi) SIMPANGAN BAKU (Standard Deviation) VARIANSI (Variance) Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 29
Rentang/Range Rentang (range) : selisih bilangan terbesar dengan bilangan terkecil. Sebaran merupakan ukuran penyebaran yang sangat kasar, sebab hanya bersangkutan dengan bilangan terbesar dan terkecil. Contoh : X = 55 A : 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 B : 100 100 100 100 100 10 10 10 10 10 C : 100 100 100 90 80 30 20 10 10 10 r = 100 10 = 90 Rata-rata Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 30
Simpangan Rata-rata : nilai rata-rata dari harga mutlak semua simpangan terhadap rata-rata (mean) kelompoknya Simpangan Rata-rata Data Tunggal Kelompok A Kelompok B Nilai X X - X X X Nilai X X - X X X 100 45 45 100 45 45 90 35 35 100 45 45 Rata-rata 80 25 25 70 15 15 60 5 5 50-5 5 40-15 15 30-25 25 20-35 35 10-45 45 Jumlah 0 250 DR = 250 = 25 10 100 45 45 90 35 35 80 25 25 30-25 25 20-35 35 10-45 45 10-45 45 10-45 45 Jumlah 0 390 DR = 390 = 39 10 Rata-rata DR = n Xi X Σ n i=1 Makin besar simpangan,makin besar nilai deviasi rata-rata Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 31
Simpangan Rata-rata Data Berkelompok SR f = Simpangan rata-rata = frekuensi = titik tengah = rata-rata Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 32
Simpangan Rata-rata Data Berkelompok Contoh Jadi, rata-rata nilai statistik 70 orang mahasiswa sebesar 77,64 dengan simpangan rata-rata 5,5 Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 33
Varians & Deviasi Standar Varians : penyebaran berdasarkan jumlah kuadrat simpangan bilangan-bilangan terhadap rata-ratanya; melihat ketidaksamaan sekelompok data Deviasi Standar : penyebaran berdasarkan akar dari varians; menunjukkan keragaman kelompok data Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 34
Varians & Deviasi Standar Sampel Kecil (n < 30) Varians Sampel Kecil s 2 = n (Xi X) Σ 2 n-1 i=1 Deviasi Standar Sampel Kecil s = n (Xi X) Σ 2 i=1 n-1 Kelompok A Nilai X X -X (X X) 2 100 45 2025 90 35 1225 80 25 625 70 15 225 60 5 25 50-5 25 40-15 225 30-25 625 20-35 1225 10-45 2025 Jumlah 8250 s = 8250 9 Kelompok B Nilai X X -X (X X) 2 100 45 2025 100 45 2025 100 45 2025 90 35 1225 80 25 625 30-25 625 20-35 1225 10-45 2025 10-45 2025 10-45 2025 Jumlah 15850 = 30.28 s = 15850 9 = 41.97 Kesimpulan : Kelompok A : rata-rata = 55 ; DR = 25 ; s = 30.28 Kelompok B : rata-rata = 55 ; DR = 39 ; s = 41.97 Maka data kelompok B lebih tersebar daripada kelompok A Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 35
Varians & Deviasi Standar Sampel Besar (n 30) Varians Sampel Besar s 2 = n (Xi X) Σ 2 n i=1 Deviasi Standar Sampel Besar s = n (Xi X) Σ 2 i=1 n Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 36
Varians & Deviasi Standar Data Berkelompok Varians Sampel Kecil Varians Sampel Besar s 2 = n f(xi X) Σ 2 n-1 i=1 s 2 = n f(xi X) Σ 2 n i=1 Deviasi Standar Sampel Kecil Deviasi Standar Sampel Besar s = n f(xi X) Σ 2 i=1 n-1 s = n f(xi X) Σ 2 i=1 n Dimana Xi = titik tengah setiap kelas Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 37
Contoh Tentukan variansi dan standar deviasi untuk data berkelompok berikut: Hasil Produksi Frekuensi 20-34 8 35-49 24 50-64 27 65 79 20 80 94 8 95 109 8 110 124 4 125-139 1 Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang 38