KAJIAN STABILITAS MODEL TINGKAT BUNGA RENDLEMAN-BARTTER

Mahemaical Science KAJIAN STABILITAS MODEL TINGKAT BUNGA RENDLEMAN-BARTTER Tri Handhika dan Mrni Program Magiser Maemaika, Deparemen Maemaika, Universias Indonesia, Depok ri.handhika@i.ac.id ; mrni@i.ac.id Absrak Ummnya invesor dalam pasar keangan ergolong risk averse di mana risiko erseb berhbngan era dengan pergerakan ingka bnga. Keidakpasian pergerakan ingka bnga di masa depan merpakan bagian pening dalam eori pengambilan kepsan keangan, misalnya dalam menenkan harga sa prodk rnan ingka bnga aa dalam hal manajemen risiko. Peneliian ini mengkaji daerah sabilias model ingka bnga Rendleman- Barer (RB) yang dipengarhi oleh parameer model RB erseb. Krieria sabilias yang akan dibahas adalah krieria sabilias sokasik asimoik dan sabilias mean-sqare. Kajian ini sanga dibhkan nk mengji apakah hasil aksiran parameer model RB menghasilkan solsi yang masih mendekai solsi masalah sebenarnya aa idak. Hal ini berdasarkan solsi sa model ingka bnga, idak hanya dienkan oleh meode penaksiran parameer yang dignakan eapi jga dipengarhi oleh sabilias model. Kaa knci: Model Rendleman-Barer; Sabilias model sokasik. 1. PENDAHULUAN Ummnya invesor dalam pasar keangan ergolong risk averse di mana risiko erseb berhbngan era dengan pergerakan ingka bnga. Keidakpasian pergerakan ingka bnga di masa depan merpakan bagian pening dalam eori pengambilan kepsan keangan. Keidakpasian ini jga merpakan kendala dalam menenkan harga sa prodk rnan ingka bnga mapn dalam hal manajemen risiko. Secara maemais, fenomena perbahan ingka bnga dapa dimodelkan dengan Persamaan Diferensial Sokasik (PDS). Solsi PDS berganng pada parameer yang kenyaaannya idak dikeahi nilainya. Masalah perilak model PDS di sembarang wak diseb jga sebagai sabilias model sokasik yang merpakan krieria pening dalam melakkan peramalan (forecasing). Hal ini berdasarkan solsi sa model ingka bnga, idak hanya dienkan oleh meode penaksiran parameer yang dignakan eapi jga dipengarhi oleh sabilias model. Krieria sabilias model sokasik yang akan dibahas adalah krieria sabilias sokasik asimoik dan sabilias mean-sqare dari salah sa model ingka bnga, yakni model Rendleman-Barer (model RB). Model RB ini mendeskripsikan pergerakan ingka bnga (shor rae) menr sa smber risiko aa sa variabel keidakpasian, yai Berdasarkan krieria-krieria sabilias erseb, dapa dikeahi nilai parameer yang mengakibakan model RB menjadi sabil. Hal ini Prosiding Seminar Nasional Sains III; Bogor, 13 November 1 38

Mahemaical Science diperoleh melali idenifikasi apakah parameer yang dimaksd erleak pada daerah sabiliasnya aa idak. Pada akhir makalah, akan dilengkapi pla dengan ilsrasi daerah sabilias model RB.. BAHAN DAN METODE Permasalahan pada peneliian ini diselesaikan melali sdi lierar. Prosedr awal yang dilakkan dalam peneliian ini adalah menenkan solsi eksplisi model RB melali penerapan Rms Io dengan erlebih dahl diberikan Lemma berik ini [4]: U U Misalkan U :, [ T ] R R memiliki rnan-rnan parsial yang konin, x, dan U. Maka nk sembarang, +Δ [, T] dan xx, + Δx R erdapa konsanakonsana α 1, β 1 sedemikian x sehingga U U U( + Δ x, +Δx) U( x, ) = ( + αδx, ) Δ + ( x, ) Δx x 1 U + ( x, + βδ x )( Δ x ). x Selanjnya, dari Lemma di aas dapa dikembangkan menjadi Rms Io sebagai berik [4]: Misalkan Y = U(, ) nk T di mana U seperi dalam Lemma di aas dan memenhi ( ω) ( ω) = (, ω) + (, ω) ( ) ω e d f dw s s s ω dengan e, f L T. Maka U U 1 U Y Ys = (, ) + e (, ) + f (, ) d s x x U + f (, ) dw s x (1) dengan probabilias 1, nk sembarang s T. Penerapan Rms Io erseb diperlkan karena model RB ermask dalam kaegori PDS, yakni persamaan diferensial dengan efek random yang memiliki variasi ak erbaas [4]. Solsi PDS idak dapa diperoleh dengan menerapkan Inegral Riemann, Prosiding Seminar Nasional Sains III; Bogor, 13 November 1 383

Mahemaical Science inegral Lebesge, mapn inegral Riemann-Sieljes, melainkan dengan menerapkan Inegral Io aapn Inegral Sraonovich yang memerlkan Rms Io di aas. Prosedr selanjnya adalah menenkan sabilias model RB. Namn, sebelmnya akan dibahas beberapa krieria sabilias model sokasik. Misalkan diberikan masalah nilai awal sokasik berik ini: dengan f ( ) ( ) ( ) ( ) d = f d + g dw nk T, x, = () = g =, maka merpakan solsi sasioner dari masalah nilai awal sokasik erseb. Terdapa banyak cara dalam mendefinisikan sabilias model sokasik nk solsi sasioner. Dalam peneliian ini, hanya akan dibahas sabilias sokasik asimoik dan sabilias mean-sqare. Selanjnya, asmsikan bahwa, maka sabilias sokasik asimoik dan sabilias mean-sqare masing-masing didefinisikan sebagai berik [1]: a) Jika lim = dengan probabilias 1, maka sabil secara sokasik asimoik. b) Jika m E( ) li =, maka sabil secara mean-sqare. (3) Berdasarkan definisi di aas, akan dienkan sabilias model RB. 3. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada Hasil dan Pembahasan berik, perama-ama akan dinjkkan solsi eksplisi besera krieria sabilias model PDS d = a d + b dw (4) dengan ab, dan W merpakan sa proses Wiener pada wak. Selanjnya, solsi eksplisi dan krieria sabilias erseb dapa diimplemenasikan ke dalam model RB yang persamaannya ekivalen dengan PDS persamaan (4). Pada makalah ini akan dilengkapi pla ilsrasi krieria sabilias model RB yang dinyaakan sebagai sa daerah sabilias. Kemdian, dilakkan ji kesabilan model RB menggnakan parameerparameer yang erleak di dalam mapn di lar daerah sabilias erseb. Sebelm menenkan krieria sabilias model PDS erseb, erlebih dahl akan diselesaikan solsi eksplisi model PDS dengan menggnakan Rms Io yang elah dibahas pada Bab II di aas. Misalkan (, ) berdasarkan persamaan (1) diperoleh Y = U dengan U, x = lnx, maka ( ) Prosiding Seminar Nasional Sains III; Bogor, 13 November 1 384

Mahemaical Science Dengan pemisalan 1 1 1 1 Y Y = + a, + b d b + dw ( ) j+ 1 j N 1 1 = lim ;,, a b d+ b W W j = jδ δ = δ j = N N 1 1 = a b d b lim ( W ), + W j 1 j N + j = 1 = + Y a b bw. = U(, ) di mana U(, x) = lnx diperoleh 1 = a b + bw exp. (5) g( ) Selanjnya, pandang persamaan () dengan mensbsisikan ( ) = b diperoleh d = a d + b dw nk T, x, f = a dan = (6) dengan ab, dan W merpakan sa proses Wiener pada wak. Sekarang, akan dinjkkan sabilias sokasik asimoik dari. Berdasarkan persamaan (5) diperoleh benk mlak berik ini: 1 exp( a) exp ( bw). exp = b (7) Misalkan a = + vi dan b= m+ ni, maka persamaan (7) menjadi 1 = exp( mw) exp ( m n ), 1 = ( mw ) a b exp exp Re, dengan benk limi 1 lim = lim exp( mw) exp Re a b. (8) Kemdian, pembkian ini akan dilanjkan melali da ahap sebagai berik: Prosiding Seminar Nasional Sains III; Bogor, 13 November 1 385

Mahemaical Science Tahap perama, jika dikeahi 1 < Re a b sabil secara sokasik asimoik pada wak, maka akan dinjkkan besar. Berdasarkan definisi pada persamaan (3.a), sabil secara sokasik asimoik pada wak besar, berari bahwa lim = dengan probabilias 1. Oleh karena persamaan (8) menjadi 1 Re a b <, maka dengan probabilias 1. ( ) lim = lim exp mw = Selanjnya pada ahap keda, jika dikeahi sabil secara sokasik asimoik pada wak besar, maka akan dinjkkan 1 Re a b >, maka dari persamaan (8) diperoleh 1 < Re a b 1 lim = lim exp( mw) exp Re a b.. Misalkan Karena dikeahi bahwa sabil secara sokasik asimoik pada wak besar maka persamaan di aas menjadi 1 ( mw ) a b = lim exp exp Re, 1 mw a b ( ) lim exp exp Re =. Persamaan erakhir di aas hanya erpenhi jika ( mw ) lim exp = aa 1 lim exp Rea b =. Oleh karena 1 > Re a b, maka 1 lim exp Rea b Akan eapi, sehingga lim exp( mw ) harslah aa mw. < mw <. Hal ini konradiksi dengan yang dikeahi bahwa lim = dengan probabilias 1. Oleh karena i, harslah 1 < Re a b. Prosiding Seminar Nasional Sains III; Bogor, 13 November 1 386

Mahemaical Science Dengan pembkian da ahap erseb, elah erbki bahwa solsi sasioner sabil secara sokasik asimoik pada wak besar jika dan hanya jika 1 < (9) Re a b. Berik ini akan dinjkkan pla bahwa solsi sasioner jga sabil secara mean-sqare. Berdasarkan persamaan (5) diperoleh benk mlak kadra sebagai berik: ( ) 1 = ( ) exp a exp b exp bw. Misalkan a = + vi dan b= m+ ni, maka menjadi { } ( ) ( ) ( ) = exp exp m n exp mw, sehingga dengan benk limi ( ) = {( + ( + )) } = exp ( Re ( a) + b ). E exp m n, { } { } ( ) ( ( ) = + ) lim E lim exp Re a b. (1) Kemdian, pembkian ini jga akan dilakkan melali da ahap sebagai berik: Tahap perama, jika dikeahi sabil secara mean-sqare, maka akan dinjkkan ( a) Re + b <. Berdasarkan definisi pada persamaan (3.b), sabil secara mean-sqare, berari bahwa menjadi ( ) lim E =. Dengan demikian persamaan (1) { } ( ) ( ( ) ) lim E = lim exp Re a + b =, aa {( ( a) b ) } lim exp Re + =. Prosiding Seminar Nasional Sains III; Bogor, 13 November 1 387

Mahemaical Science Persamaan erakhir ini hanya dipenhi jika ( a) Re + b <. Selanjnya pada ahap keda, jika dikeahi ( a) Re + b <, maka akan dinjkkan sabil secara mean-sqare. Oleh karena Re( a) + b <, maka persamaan (1) menjadi ( ) lim E = =. Dengan pembkian da ahap erseb, solsi sasioner jga sabil secara meansqare jika dan hanya jika ( a) Re + b <. Krieria sabilias pada persamaan (9) dan (11) di aas dapa dierapkan pada salah sa model ingka bnga dalam bidang keangan, dalam hal ini model RB yang persamaannya ekivalen dengan model PDS persamaan (4) nk ab, seperi diberikan berik ini [5]: (11) dr = ard + brdw, (1) dengan r adalah ingka bnga (shor rae) pada wak, a adalah parameer ekspekasi laj pengembalian, b adalah parameer sandar deviasi yang mennjkkan volailias shor rae, sedangkan W adalah sa proses Wiener pada wak. Berdasarkan persamaan (8), sabilias sokasik asimoik model RB memenhi b > a. Sedangkan, berdasarkan persamaan (9) sabilias mean-sqare model RB memenhi b < a. Krieria sabilias sokasik asimoik dan sabilias mean-sqare model RB di aas dapa diilsrasikan sebagai daerah sabilias model sokasik dengan menggnakan sofware Maple 11 sebagai berik: b b Gambar 1.a Daerah sabilias sokasik asimoik model RB a Gambar 1.b Daerah sabilias meansqare model RB a Prosiding Seminar Nasional Sains III; Bogor, 13 November 1 388

Mahemaical Science Berdasarkan keda gambar di aas, erliha bahwa daerah sabilias mean-sqare model RB erleak di dalam daerah sabilias sokasik asimoik model RB aa dengan kaa lain solsi model RB yang sabil secara mean-sqare jga akan sabil secara sokasik asimoik eapi idak berlak sebaliknya. Dengan memilih salah sa nilai parameer yang erleak di dalam daerah sabilias model RB erseb dapa erliha bahwa r sabil secara sokasik asimoik dan sabil secara mean-sqare seperi diilsrasikan pada Gambar.a dan.b. Keda gambar erseb diperoleh melali implemenasi meode Eler-Maryama erhadap persamaan (1) dengan menggnakan sofware Malab 7.1 berik ini [3]: Gambar.a Uji kesabilan sokasik asimoik model RB dengan b = a =1 dan Gambar.b Uji kesabilan mean-sqare model RB dengan a = 1 dan b = 1 Gambar.a mengilsrasikan sebah linasan ingka bnga model RB erkai dengan kesabilan sokasik asimoik nk a = 1 dan b =. Sedangkan, Gambar.b mengilsrasikan sa linasan yang merpakan raa-raa dari 1. simlasi linasan model RB erkai dengan kesabilan mean-sqare nk a = 1 dan ( ) b = 1. Nilai r dan E r pada masing-masing linasan semakin lama akan menj nol sehingga r memenhi kesabilan sokasik asimoik mapn kesabilan mean-sqare. Akan eapi, jika dipilih nilai parameer yang erleak di lar daerah sabilias model RB, maka erliha bahwa r idak sabil baik secara sokasik asimoik mapn secara mean-sqare. Hal ini erjadi karena semakin lama baik nilai diilsrasikan pada gambar berik ini: r dan ( ) E r menj ak hingga, seperi Gambar 3.a Uji keidaksabilan sokasik asimoik model RB dengan dan a = b = 1 Gambar 3.b Uji keidaksabilan mean-sqare model RB dengan b = a =1 dan Prosiding Seminar Nasional Sains III; Bogor, 13 November 1 389

Mahemaical Science 4. KESIMPULAN DAN PROSPEK Berdasarkan Hasil dan Pembahasan di aas, dapa disimplkan bahwa model RB memiliki krieria sabilias mean-sqare dan sabilias sokasik asimoik. Jika diperoleh aksiran parameer model RB yang mask dalam krieria sabilias mean-sqare maka aksiran parameer erseb jga mask dalam krieria sabilias sokasik asimoik. Taksiran parameer yang mask dalam paling idak salah sa krieria erseb akan menghasilkan solsi model RB yang sabil. UCAPAN TERIMA KASIH Penlis mengcapkan erima kasih yang sebesar-besarnya kepada Ib Bevina D. Handari dan Bapak Gao F. Herono selak pembimbing. Pendanaan peneliian ini diperoleh melali dana Rise Ungglan Universias Indonesia (RUUI) ahn anggaran 1. DAFTAR PUSTAKA [1] Allen, E. (7), Modeling wih Io Sochasic Differenial Eqaions, Neherland: Springer. [] Anggono, S. (4), Kajian Sabilias pada Masalah dan Meode Nmerik nk Persamaan Diferensial Sokasik, Depok: Deparemen Maemaika, Universias Indonesia. [3] Higham, D. J. (1), An Algorihmic Inrodcion o Nmerical Simlaion of Sochasic Differenial Eqaions, SIAM Review, Vol. 43, No. 3, pp. 55-546. [4] Kloeden, P. E. and Plaen, E. (199), Nmerical Solion of Sochasic Differenial Eqaions, Heidelberg: Springer-Verlag. [5] Yolc, Y. (5), One-Facor Ineres Rae Models: Analyic Solions and Approximaions, Trkey: Deparmen of Financial Mahemaics, Middle Eas Technical Universiy. Prosiding Seminar Nasional Sains III; Bogor, 13 November 1 39