BILANGAN BULAT. Oprersi Hitung pd Bilngn Bult Bilngn ult (integer) memut semu ilngn cch dn lwn (negtif) ilngn sli, yitu:,, 4,,, 1, 0, 1, 2, 3, 4,, Bilngn ult disjikn dlm gris ilngn segi erikut. Bilngn ult negtif Bilngn cch Bilngn ult positif (ilngn sli) 4 1 0 1 2 3 4 1. Opersi Penjumlhn Opersi penjumlhn ilngn ult dpt diselesikn menggunkn gris ilngn. Bilngn ult positif sepdn dengn lngkh ke rh knn dn ilngn ult negtif sepdn dengn lngkh ke rh kiri. Dengn menggunkn gris ilngn, hitunglh. 2 + 3 c. + ( 2) e. 2 + ( ). + ( 3) d. + f. + 3. Prosedur yng ditempuh untuk menentukn 2 + 3 dlh segi erikut ini. Lngkh 1: Lngkhkn 2 stun ke knn muli dri 0. Lngkh 2: Lngkhkn 3 stun ke knn muli dri ujung lngkh 1. pd ujung lngkh 2, yitu. Jdi, 2 + 3 =. 1 0 1 2 3 4. Prosedur yng ditempuh untuk menentukn + ( 3) dlh segi erikut ini. Lngkh 1: Lngkhkn stun ke knn muli dri 0. Lngkh 2: Lngkhkn 3 stun ke kiri muli dri ujung lngkh 1. pd ujung lngkh 2, yitu 2. Jdi, + ( 3) = 2. 1 0 2 2 c. Prosedur yng ditempuh untuk menentukn 3 + ( 2) dlh segi erikut ini. Lngkh 1: Lngkhkn 3 stun ke kiri muli dri 0. Lngkh 2: Lngkhkn 2 stun ke kiri muli dri ujung lngkh 1. pd ujung lngkh 2, yitu. Jdi, 3 + ( 2) =. 3 1 2 3 4 1 Husein Tmpoms, Rumus-rumus Dsr Mtemtik
4 d. Prosedur yng ditempuh untuk menentukn + dlh segi erikut ini. Lngkh 1: Lngkhkn 3 stun ke kiri muli dri 0. Lngkh 2: Lngkhkn stun ke knn muli dri ujung lngkh 1. pd ujung lngkh 2, yitu 2. Jdi, + = 2. 1 0 1 2 3 2 1 0 1 2 3 4 e. Prosedur yng ditempuh untuk menentukn 2 + () dlh segi erikut ini. Lngkh 1: Lngkhkn 2 stun ke knn muli dri 0. Lngkh 2: Lngkhkn stun ke kiri muli dri ujung lngkh 1. pd ujung lngkh 2, yitu. Jdi, 2 + () =. 2 1 0 1 2 3 4 f. Prosedur yng ditempuh untuk menentukn + 3 dlh segi erikut ini. Lngkh 1: Lngkhkn stun ke kiri muli dri 0. Lngkh 2: Lngkhkn 3 stun ke knn muli dri ujung lngkh 1. pd ujung lngkh 2, yitu. Jdi, + 3 =. Berdsrkn urin di ts dpt dikemukkn hw: Jik dn dlh ilngn cch, mk penjumlhn yng melitkn ilngn ult,,, dn dpt dilkukn segi erikut. 1. 2. ( ) ( ) 3. ( ), jik > 4. ( ) 0, jik =. ( ) ( ), jik <. 4 ( 7). 12 ( 8) c. 6 ( 6) d. ( 9). 4 ( 7) ( 4 7) 11 c. 6 ( 6) 6 6 0 2 Husein Tmpoms, Rumus-rumus Dsr Mtemtik 4 1 0 1 2 3
. 12 ( 8) 12 8 4 d. ( 9) ( 9 ) 4 1) Invers Jumlh tu Lwn Sutu Bilngn Jik dlh ilngn rsionl, mk dlh lwn tu invers jumlh dri dn selikny lwn tu invers jumlh dri. 1. Tentuknlh lwn (invers) dri dn 19. Lwn (invers) dri dlh. Lwn (invers) dri 19 dlh 19. 2. Tentuknlh penggnti n dri setip persmn erikut ini.. n 9. n ( 17) 26. n 9 (tmhkn kedu rus/sisi dengn, gr rus kiri tersis n) ( ) n 9 ( ) 0 n 4 n 4. n ( 17) 26 (tmhkn kedu rus/sisi dengn 17, gr rus kiri tersis n) n ( 17) 17 26 17 n 0 43 n 43 2) Sift-sift Opersi Penjumlhn 1. Sift Ketertutupn (Ketunggln) Jik dn dlh ilngn-ilngn ult, mk terdpt hny stu ilngn ult yng dinytkn dengn +.. 1 + (7) = 1 7 = 8 Perhtikn 1 dn 7 B (B dlh himpunn ilngn ult) dn 1 + (7) = 8 B. Opersi penjumlhn ilngn ult memerikn solusi tertutup (pd ilngn ult) dn hny stu jwn yng memenuhi (tunggl).. 23 + (9) = (9 23) = 6 Perhtikn 23 dn 9 B (B dlh himpunn ilngn ult) dn 23 + (9) = 6 B. Opersi penjumlhn ilngn ult memerikn solusi tertutup (pd ilngn ult) dn hny stu jwn yng memenuhi (tunggl). 2. Sift Komuttif Jik dn dlh ilngn-ilngn ult, mk erlku + = +. Perikslh pkh 29 + (1) = 1 + 29? Berilh komentrmu! 29 + (1) = (31 29) = dn 1 + 29 = (31 29) =. Jelslh hw 29 + (1) = 1 + 29. Jdi, dlm opersi ilngn ult erlku sift komuttif. 3. Sift Asositif Jik,, dn c dlh ilngn-ilngn ult, mk ( + ) + c = + ( + c). dengn cr yng pling mudh.. 24 + 789 + (4). 12 + (9) + (61) 3 Husein Tmpoms, Rumus-rumus Dsr Mtemtik
. 24 + 789 + (4) = (24 4) + 789 = 200 + 789 = 989. 12 + (9) + (61) = 12 (39 + 261) = 12 0 = (0 12) = 17 4. Unsur Identits Jik dlh ilngn ult serng, mk erlku + 0 = 0 + =. Bilngn 0 dinmkn unsur identits tu elemen netrl. 1.. 13 + 0 = 0 + 13 = 13. 0 + () = + 0 = c. 0 + 0 = 0 2. Sederhnknlh. n 67 ( n). 2 + (73) + 48 + 73. n 67 ( n) = ( n) 67 n = 0 + 67 = 67. 2 + (73) + 48 + 73 = (2 + 48) + [(73) + 73] = 100 + 0 = 100 2. Opersi Pengurngn Opersi pengurngn ilngn ult dpt diselesikn menggunkn gris ilngn. Bilngn ult positif sepdn dengn lngkh ke rh knn dn ilngn ult negtif sepdn dengn lngkh ke rh kiri. Dengn menggunkn gris ilngn, hitunglh. 6 4. ( 3). Prosedur yng ditempuh untuk menentukn 6 4 dlh segi erikut ini. Lngkh 1: Lngkhkn 2 stun ke knn muli dri 0. Lngkh 2: Lngkhkn 3 stun ke knn muli dri ujung lngkh 1. pd ujung lngkh 2, yitu. Jdi, 2 + 3 =. 1) Pengurngn Segi Penjumlhn dengn Lwn Pengurngn Untuk setip ilngn ult dn sellu erlku huungn = + ().. 7 2. 9 c. ( 3) d. 6 ( 2). 7 2 = 7 + () = c. ( 3) = + [ ( 3)] = + 3 = 8. 9 = (9 + ) = 14 d. 6 ( 2) = 6 + [ ( 2)] = 6 + 2 = (6 2) = 4 Berdsrkn urin di ts dpt dikemukkn hw jik dn dlh ilngn cch, mk penjumlhn yng melitkn ilngn ult,,, dn dpt dilkukn segi erikut. 1. ( ) 2. ( ) 3. ( ) 4. ( ) ( ) 4 Husein Tmpoms, Rumus-rumus Dsr Mtemtik 1 0 2 3 1 2 3 4
Sejln dengn urin di ts, kit sepkt mengtkn hw mengurngi sutu ilngn rsionl dengn ilngn rsionl yng lin dlh ekuivlen (sm rtiny) dengn menmh ilngn yng pertm dengn lwn tu invers jumlh dri ilngn kedu. 2) Sift-sift Opersi Pengurngn 1. Sift Ketertutupn (Ketunggln) Jik dn dlh ilngn-ilngn ult, mk terdpt hny stu ilngn ult yng dinytkn dengn.. 12 = (12 ) = 7 Perhtikn dn 12 B (B dlh himpunn ilngn ult) dn 12 = (12 ) = 7 B. Opersi penjumlhn ilngn ult memerikn solusi tertutup (pd ilngn ult) dn hny stu jwn yng memenuhi (tunggl).. 3 () = 3 + = 8 Perhtikn 3 dn B (B dlh himpunn ilngn ult) dn 3 () = 3 + = 8 B. Opersi penjumlhn ilngn ult memerikn solusi tertutup (pd ilngn ult) dn hny stu jwn yng memenuhi (tunggl). 2. Pd opersi pengurngn tidk erlku sift komuttif Jik dn dlh ilngn-ilngn ult, mk erlku. Perikslh pkh 7 = 3 7? Berilh komentrmu! 7 3 = 4 dn 3 7 = (7 3) = 4. Jelslh hw 7 3 7. Jdi, dlm opersi ilngn ult erlku sift komuttif. 3. Pd opersi pengurngn tidk erlku sift sositif Jik,, dn c dlh ilngn-ilngn ult, mk ( ) c ( c). Perikslh pkh (19 ) 20 = 19 ( 20)? Berilh komentrmu! (19 ) 20 = 14 20 = (20 14) = 6 19 ( 20) = 19 { (20 )}= 19 ( 1) = 19 + 1 = 34 Jelslh hw (19 ) 20 19 ( 20). Jdi, dlm opersi pengurngn ilngn ult tidk erlku sift komuttif. 3. Opersi Perklin 1) Pengertin Perklin Bilngn Bult Pd perklin ilngn sli (ilngn ult positif) dengn ilngn ult negtif erlku pengertin yng sejln dengn opersi perklin pd ilngn cch, yitu segi penjumlhn erulng dengn ilngn yng sm.. 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10. () = () + () + () + () + () = 10 Secr umum, jik dn dlh ilngn-ilngn cch, mk perklin menyertkn ilngn-ilngn ult,,, dn dpt dirtikn segi erikut. 1. ( ) 2. ( ) ( ) 3. ( ) 4. ( ) ( ) Untuk mudh diingt Husein Tmpoms, Rumus-rumus Dsr Mtemtik 1. + + = + 2. = + 3. + = 4. + =
Kit dpt mengtkn hw, hsil opersi perklin du uh ilngn ertnd positif, jik ilngn-ilngn yng diklikn ertnd sm sedngkn ertnd negtif, jik ilngn-ilngn yng diklikn ertnd ered.. 1 12. 6 (8) c. 136 17 d. 10 (86). 1 12 = 180 c. 136 17 = (136 17) =.312. 6 (8) = +(28 8) = + 208 tu 208 d. 10 (86) = (10 86) = 12.900 Cttn: Tnd + di depn sutu ilngn dpt dihilngkn, mislny + dpt ditulis. Tetpi tnd + pd konteks penjumlhn 2 + 3 tidk oleh dihilngkn. 2) Sift-sift Opersi Perklin 1. Sift Ketertutupn (Ketunggln) Jik, B (B dlh himpunn ilngn cch), mk terdpt hny stu ilngn cch yng dinytkn dengn tu. 12 (9) = 108 Perhtikn 12 dn 9 B dn 12 (9) = 108 B. Opersi perklin pd ilngn ult memerikn solusi tertutup (pd ilngn ult) dn hny stu jwn yng memenuhi (tunggl). 2. Sift Komuttif Jik dn dlh ilngn-ilngn ult, mk erlku. Perikslh pkh (18) = (18)? Berilh komentrmu! (18) = ( 18) = 90 dn 18 = (18 ) = 90 Jelslh hw (18) = (18). Jdi, dlm opersi perklin ilngn ult erlku sift komuttif. 3. Sift Asositif Jik,, dn c dlh ilngn-ilngn ult, mk erlku huungn ( ) c ( c). Perikslh pkh [ (7)] 9 = (7 9)? Berilh komentrmu! [ (7)] 9 = +( 7) 9 = 31 (7 9) = [(7 9)] = (63) = +( 63) = +31 tu 31. Jelslh hw [ (7)] 9 = (7 9). Jdi, dlm opersi perklin ilngn ult erlku sift sositif. 4. Sift Distriutif Pd opersi perklin ilngn ult erlku sift distriutif perklin terhdp penjumlhn. Untuk ilngn-ilngn ult,, dn c erlku ( c) c tu ( c) c. Perikslh pkh 6 {4 + (9)} = 6 4 + 6 (9)? Berilh komentrmu! 6 {4 + (9)} = 6 [(9 4)] = 6 () = +(6 ) = + tu. 6 Husein Tmpoms, Rumus-rumus Dsr Mtemtik
6 4 + 6 (9) = (6 4) + (6 9) = 4 + 4 = Jelslh hw 6 [4 + (9)] = 6 4 + 6 (9). Jdi, dlm opersi perklin ilngn ult erlku sift distriutif. 3) Unsur Identits Untuk setip ilngn ult serng erlku 1 1. Setip perklin ilngn ult dengn 1 tu selikny hsilny dlh ilngn itu sendiri. Bilngn 1 dinmkn unsur (elemen) identits.. 1. 1 (17). 1 = ( 1) =. 1 (17) = +( 1 17) = +17 tu 17 4) Sift Bilngn Nol Untuk setip ilngn ult serng erlku 0 0 0. Setip perklin ilngn ult dengn 0 tu selikny hsilny dlh 0.. 0 = 0. 0 (17) = 0 4. Opersi Pemgin 1) Pengertin Opersi Pemgin pd Bilngn Bult Pemgin ilngn ult dirtikn segi opersi kelikn dri perklin. Untuk setip ilngn ult positif dn, dengn 0, erlku 1. : ( : ), kren. Untuk mudh diingt 2. : ( : ), kren. 1. + : + = + tu 2. : = + tu 3. : ( ) ( : ), kren. 3. : + = tu 4. : ( ) ( : ), kren. 4. + : = tu. 20 :. 6 : () c. 4 : 9 d. 90 : (1) 20. 20 : = + 4 tu 4, kren 4 20 6. 6 : () = + (6 : 3) = +2, kren 3 2 6 3 4 c. 4 : 9 = (4 : 9) = 6, kren 9 9 6 4 9 90 d. 90 : (1) = (90 : 1) = 8, kren 1 1 ( 8) 90 1 2) Sift-sift Opersi Pemgin 1. Pd opersi pemgin tidk erlku sift ketertutupn (ketunggln).. 4 : (9). 4 : 12 7 Husein Tmpoms, Rumus-rumus Dsr Mtemtik
1. 4 : (9) = (4 : 9) =. 4 : 12 = (4 : 12) = 3 Pd contoh, 4 dn 9 B (B dlh himpunn ilngn ult) dn (9) = (4 : 9) = B. Dlm ksus ini opersi pemgin pd ilngn ult memerikn solusi tertutup (pd ilngn ult) dn hny stu jwn yng memenuhi (tunggl). Tetpi pd contoh, 4 dn 12 B dn 4 : 12 = = (4 : 1 12) = Q (Q dlh himpunn ilngn rsionl). Dlm ksus ini opersi 3 pemgin pd ilngn ult memerikn solusi yng tidk tertutup pd ilngn ult (ilngn rsionl). 2. Pd opersi pemgin tidk erlku sift komuttif. Jik dn ilngn-ilngn ult, mk erlku : : (tidk komuttif). Perikslh pkh 6 : 9 = 9 : (6)? Berilh komentrmu! 1 6 : 9 = (36 : 9) = 4 dn 9 : (6) = (9 : 36) = 4 Jelslh hw 6 : 9 9 : (6). Jdi, dlm opersi ilngn ult tidk erlku sift komuttif. 3. Pd opersi pemgin tidk erlku sift sositif. Jik,, dn c dlh ilngn-ilngn ult, mk erlku ( : ) : c : ( : c) (tidk sositif). Perikslh pkh (48 : 6) : () = 48 : [6 : ()]? Berilh komentrmu! (48 : 6) : () = (48 : 6) : () = 8 : = +(8 : 2) = 4 48 : [6 : ()]= 48 : [(6 : 2)] = 48 : () = +(48 : 3) = 12 Jelslh hw (48 : 6) : () 48 : {6 : ()}. Jdi, dlm opersi ilngn ult tidk erlku sift sositif.. Opersi Hitung Cmpurn 1. Tnd Kurung dlm Opersi Hitung Cmpurn Dlm opersi hitung sering kli digunkn tnd kurung yng meliputi tnd kurung kecil tu tnd kurung is (prentheses) ( ), tnd kurung kurwl (rces) { }, tnd kurung esr tu kurung siku tu kurung siku (rckets) [ ], dn tnd iktn (r) digunkn untuk tujun yng sm. Tnd kurung dlm opersi hitung dipergunkn pil kit hendk menyimpng dri urutn yng is. Segi ilustrsi ( + ) : c errti hw jumlh dn hrus digi dengn c, kn tetpi + : c, errti hrus dijumlhkn dengn hsil gi : c. Dengn demikin, tnd kurung itu menunjukkn hw + hrus dipndng segi kestun terhdp tnd gi yng terdpt di elkngny tu menunjukkn urutn pengerjn yng hrus dilksnkn. 79 628:13 9 9: 79 628:13 9 9: 1261 :13 9 27: 979 27: 8 Husein Tmpoms, Rumus-rumus Dsr Mtemtik
979 27: 873 27: 900: = 2. Periorits pd Opersi Hitung Cmpurn Dlm opersi hitung terdpt periorits-periorits opersi segi erikut. 1. Perpngktn tu kr. 2. Perklin tu pemgin dikerjkn dri kiri ke knn. 3. Penjumlhn tu pengurngn dikerjkn dri kiri ke knn. Segi ilustrsi:. 11 + 6 mksudny 11 + ( 6) = 11 + = 41.. 16 : 8 7 mksudny (16 : 8) 7 = 2 7 = (7 2) =. c. 9 3 4 mksudny (9 ) (3 4) = 4 12 = 33. d. 36 : 9 2 mksudny (36 : 9) 2 = 4 2 = 100.. {[(83 + 7 : 3) : 27] 21} (19 23). (16 : 4 8) : (16 8 : 4). {[(83 + 7 : 3) : 27] 21} (19 23) = {[(83 + 2) : 27] 21} ( 4) = [(108 : 27) 21] ( 4) = (4 21) ( 4) = (17) ( 4) = 68. (16 : 4 8) : (16 8 : 4) = (4 8) : (128 : 4) = 32 : 32 = 1. Menksir Hsil Opersi Hitung Bilngn Bult 1) Pendektn Memilng dlh mengtkn ilngn sli erurutn dri stu smpi dengn nykny end yng kn diilng. Jdi, hsilny esrn yng psti tu eksk, tetpi mengukur tidk demikin. Mislny pnjng sutu end logm dlh cm, klu pnjng end itu diukur seteliti mungkin tidk persis cm, kemungkinnny dlh 4, cm smpi, cm. Bilngn seperti ini dinmkn pendektn tu proksimsi. Perhitungn pendektn dilkukn dengn pemultn. Pemultn dpt dikelommpokkn menjdi 3 mcm, yitu pemultn ke ukurn stun terdekt, pemultn ke ngk desiml, dn pemultn ke ngk signifikn. 1. Pemultn ke Ukurn Stun Terdekt Aturnny, ilmn ngk yng diung leih esr tu sm dengn, mk ngk di depnny ditmh 1, sedngkn ilmn ngk yng diung kurng dri, mk ngk di depnny tetp. Segi ilustrsi 37,7 diultkn menjdi 37 dn 8,49 diultkn menjdi 8. 2. Pemultn ke Angk Desiml Pemultn ini dpt diliht pd pemhsn ilngn pechn. 3. Pemultn ke Angk Signifikn Pemultn ke ngk signifikn menytkn ketelitin pendektn erdsrkn ngk yng terpki. Segi ilustrsi: 70,4 mempunyi 3 ngk signifikn; 6,92 mempunyi 4 9 Husein Tmpoms, Rumus-rumus Dsr Mtemtik
ngk signifikn; 9,0 mempunyi 3 ngk signifikn; dn 0,0067 mempunyi 2 ngk signifikn. 2) Menksir Seuh nili tksirn mungkin leih esr sedikit tu leih kecil sedikit dri nili seenrny. Kit menksir sutu ilngn il kit menyeutkn ilngn lin yng mendekti ilngn pertm tdi. Hsil penksirn d 2 mcm, yitu tksirn rendh dn tksirn tinggi. Menksir tidk sm dengn menerk. Dlm menksir menggunkn fkt-fkt yng dikethui untuk menentukn hw hsil sutu pengerjn mendekti tu kir-kir sm dengn sutu ilngn tertentu. 1. Menksir Jumlh tu Selisih Du Bilngn Bult Menggunkn Keliptn 10 Tksirlh nili n erikut ini.. 107 64 n. 103 37 n. Tksirn rendh untuk n dlh 100 + 60 = 160. Tksirn tinggi untuk n dlh 110 + 70 = 180. Jdi, 160 n 180. Tksirn mnkh yng ik? Keliptn 10 yng terdekt ke 107 dlh 110. Keliptn 10 yng terdekt ke 64 dlh 60. Jdi, tksirn yng ik untk n dlh 110 + 60 = 170. Dengn demikin, n kir-kir 170.. Keliptn 10 yng terdekt ke 103 dlh 100. Keliptn 10 yng terdekt ke 37 dlh 40. Jdi, tksirn yng ik untuk n dlh 100 40 = 60. Dengn demikin, n kir-kir 60. 2. Menksir Hsil Kli Menggunkn Keliptn 10 Tksirlh nili n dri 78 4 n. Keliptn 10 yng terdekt ke 78 dlh 70 tu 80. Keliptn 10 yng terdekt ke 4 dlh 0 tu 60. Tksirn rendh untuk n dlh 70 0. Tksirn tinggi untuk n dlh 80 60 480. Jdi, n 480. Tksirn yng ik untk n dlh 80 0 400. 3. Menksir Hsil Bgi Menggunkn Keliptn 10 Tksirlh nili n dri 148 : 24. Keliptn 10 yng dekt dengn 148 dlh 140 tu 10. Keliptn 10 yng dekt dengn 24 dlh 20 dn. Tksirn rendh untuk n dlh 140 : 20 = 7 Tksirn tinggi untuk n dlh 10 : = Jdi, n 7 Tksirn yng ik untuk n dlh 10 : 20 = 7,. 10 Husein Tmpoms, Rumus-rumus Dsr Mtemtik