ODEL DNAK NTEAK ANTAA VEKTO TENFEK LEPTOPO DAN POPULA ANUA TUGA AKH Disusu seagai ala atu yarat utuk emperole Gelar arjaa ais pada Jurusa atematika Ole UHAAD ZAL 84474 FAKULTA AN DAN TEKNOLOG UNVETA LA NEGE ULTAN YAF KA AU PEKANBAU
ODEL DNAK TEAK ANTAA VEKTO TENFEK LEPTOPO DAN POPULA ANUA UHAAD ZAL 84474 Taggal idag : ei Periode Wisuda : Jurusa atematika Fakultas ais da Tekologi Uiersitas slam Negeri ulta yari Kasim iau Jl. H. oeratas No. Pekaaru ABTAK Tugas Akir ii memaas model peyeara peyakit Leptospirosis. odel ii merupaka gauga dua model oliear pada populasi mausia da ektor. Hasil yag diperole yaitu jika da > titik kesetimaga eas peyakit stail asimtotik lokal da selajutya titik kesetimaga edemik peyakit selalu stail asimtotik lokal. Ditujukka juga awa jika > titik kesetimaga eas peyakit stail asimtotik gloal. Kata Kuci : Leptospirosis odel atematika Kestaila Titik Kesetimaga Fugsi Lyapuo.
ODELNG DYNACAL NTEACTON BETWEEN LEPTOPO NFECTED VECTO AND HUAN POPULATON UHAAD ZAL 84474 Date o Fial Eam : ei Graduatio Ceremoy Period: Departmet o atematics Faculty o ciece ad Tecology tate slamic Uiersity o ulta yari Kasim iau JL. H. oeratas o. Pekaaru ABTACK Tis Tessis discusses aout model te spread o iectious diseases Leptospirosis. Tis model is comie two oliear models o uma populatios ad ektor. Te result otaied tat is i ad > disease-ree equilirium is locally asymptotic stale ad ta edemic equilirium is always locally asymptotic stale. Also sow tat is i > disease-ree equilirium is gloal asymptotiac stale. Key word : Leptospirosis atematical odels taility Equilirium Lyapuo Fuctio.
KATA PENGANTA Puji eserta syukur keadirat Alla WT atas ramat da idaya-nya seigga peulis dapat meyelesaika Tugas Akir ii dega judul odel Diamik teraksi atara Vektor Terieksi Leptospirosis da Populasi ausia. alawat erserta salam kepada Nai uammad AW keluarga saaat-saaat serta para pegikut eliau. uda-mudaa kita termasuk kepada gologa umat eliau yag medapat syaa at-nya di akirat kelak. ami... Dalam peyusua da peyelesaia Tugas Akir ii peulis ayak sekali medapat imiga atua aseat peratia serta semagat dari eragai piak aik lagsug maupu tidak lagsug. Utuk itu pertama sekali peulis megucapka terima kasi yag tak terigga kepada kedua orag tuaku tersayag yag selalu medo ka memerika motiasi da kasi sayag. emoga Alla WT selalu meramati mereka serta memerika keaagiaa duia da akirat. ami... elajutya peulis juga megucapka ayak terima kasi kepada:. Bapak Pro. Dr. H.. Nazir selaku ektor Uiersitas slam Negri ulta yari Kasim iau.. u Dra. Hj. Yeita orea.i selaku Deka Fakultas ais da Tekologi Uiersitas slam Negri ulta yari Kasim iau.. Bapak Drs. Au Awar.Ag selaku Pematu Deka Fakultas ais da Tekologi Uiersitas slam Negeri ulta yari Kasim iau. 4. ri Basriati.c selaku Ketua Jurusa atematika Fakultas ais da Tekologi Uiersitas slam Negeri ulta yari Kasim iau.. Bapak oammad ole.c selaku pemimig yag tela ayak memerika atua meluagka ayak waktu kepada peulis megaraka medukug da memimig peulis dega peu kesaara dalam peulisa Tugas Akir ii. 6. Bapak Wartoo.c selaku peguji yag tela memerika kritika da sara serta dukuga dalam peulisa Tugas Akir ii. 4
7. Bapak. Nizam uaijir.i selaku peguji yag tela memerika kritika da sara serta dukuga dalam peulisa Tugas Akir ii igga selesai. 8. u Fitri Aryai.c selaku Peaseat Akademik yag tela ayak mematu dalam peyelesaia Tugas Akir ii. 9. emua Bapak da u dose Jurusa atematika Fakultas ais da Tekologi yag tela memimig peulis selama kulia.. Orag tuaku yada da yamsidar yag tela memerika ayak kasi sayag kepada peulis da juga mematu aik moril maupu materil.. Kakak da aagku (dra Yai da atoso) yag tela ayak mematu peulis aik moril maupu materil.. Adik-adikku tersayag (. usli iti Jumia. Jumali Ea Noiati yarul da Yuliza Hidaya) yag tela ayak mematu peulis aik moril maupu materil.. Tema-temaku Yuzi se Dedi Agus Hary Fikos Lizar iti ilia Oli da Dei yag tela mematu peulis dega semagat da do a. 4. eluru tema di jurusa atematika agkata 8 kakak da adik tigkat agkata pertama sampai terakir serta tema-tema yag tak dapat diseutka satu persatu. semoga amal keaika yag mereka erika kepada peulis mejadi amal keaika da medapat alasa yag setimpal dari Alla WT. Ami... Peulis sagat meyadari dalam peulisa Tugas Akir ii masi ayak kekuraga da kesalaa ole karea itu peulis sagat megarapka kritik da sara dari semua piak yag ersiat memagu demi kesempuraa Tugas Akir ii. Akirya peulis erarap Tugas Akir ii dapat ermaaat agi peulis da piak yag memerlukaya. Pekaaru ei Peulis uammad izal
DAFTA Halama COVE... KATA PENGANTA... ABTAK... 4 ABTACT... DAFTA... 6 DAFTA BOL... 8 DAFTA GABA... 9 BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag.... umusa asala.... Batasa asala....4 Tujua Peelitia.... istematika Peulisa... BAB LANDAAN TEO. Leptospirosis..... Pegertia..... Cara Peulara... 4.. Gejala Kliis.....4 Peaga da Pecegaa... 6. istem Persamaa Dieresial... 7. Titik Kesetimaga... 8.4 Kestaila Titik Kesetimaga... 8. Fugsi Lyapuo... BAB ETODOLOG PENELTAN... 6 BAB V PEBAHAAN DAN HAL 4. Asumsi da Parameter dalam odel... 8 4. odel Diamik teraksi atara Vektor Terieksi Leptospirosis da Populasi ausia... 4. Titik Kesetimaga (equilirium)... 4.. Titik Kesetimaga Beas Peyakit... 4.. Titik Kesetimaga Edemik Peyakit... 9 4.4 Kestaila Titik Kesetimaga... 4 4.4. Kestaila Lokal Titik Kesetimaga Beas Peyakit... 4 4.4. Kestaila Lokal Titik Kesetimaga Edemik Peyakit... 4 4.4. Kestaila Gloal Titik Kesetimaga Beas Peyakit... 6
4. imulasi... BAB V PENUTUP. Kesimpula.... ara... DAFTA PUTAKA 7
BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Leptospirosis merupaka masala keseata masyarakat di seluru duia kususya di egara-egara yag eriklim tropis da sutropis serta memiliki cura uja yag tiggi. WHO meyeutka kejadia Leptospirosis utuk egara sutropis adala erkisar atara - kejadia tiap. peduduk per tau sedagka di egara tropis erkisar atara - kejadia tiap. peduduk per tau (asiari Poloega da yep Komala Artikel Peelitia PB). Leptospirosis diseaka ole akteri Leptospira terrogas patoge pada mausia da ewa. Gejala dii Leptospirosis umumya adala demam sakit kepala para yeri otot gera muta da mata mera. Pederita Leptospirosis lajut isa mederita peyakit Weil seperti: gagal gijal sakit kuig (meguigya kulit yag meadaka peyakit ati) da perdaraa masuk ke kulit da selaput ledir aka isa meyeaka pemegkaka selaput otak. Bayak model tela diusulka utuk mempelajari peyeara peyakit terseut. Pogsumpu dkk (8) dalam jural yag erjudul Age tructural Trasmissio odel or Leptospirosis jural terseut megemagka model matematika utuk mempelajari perilaku peyakit leptospirosis pada mausia da tikus. Populasi mausia diagi lagi mejadi dua utama kelompok remaja da orag dewasa. ujira Koguy () dalam jural yag erjudul Local taility o Equiliria: Leptospirosis megemagka model peulara peyakit leptospirosis pada mausia da tikus yag maa populasi mausia da tikus aya tertular ole tikus yag terieksi peyakit. Perkemaga selajutya Gul Zama dkk ( ) dalam juralya yag erjudul odelig Dyamical teractios etwee Leptospirosis ected Vector ad Huma Populatio yaitu suatu model iteraksi atara ektor terieksi leptospirosis da populasi mausia dega megkomiasika atara 8
dua model oliear dari populasi mausia da ektor. Berekal dari peelitia yag dilakuka ole Gul Zama dkk maka peulis tertarik utuk megulas jural terseut seigga Tugas Akir ii erjudul odel Diamik teraksi atara Vektor Terieksi Leptospirosis da Populasi ausia.. umusa asala umusa masala pada peyelesaia Tugas Akir ii yaitu: a. Bagaimaa meetuka model diamik iteraksi atara ektor terieksi leptospirosis da populasi mausia?. Bagaimaa megaalisa kestaila titik kesetimaga model?. Batasa asala Agar peulisa Tugas Akir ii lei terara maka peulis mematasi permasalaa pada model diamik iteraksi atara ektor terieksi leptospirosis da populasi mausia..4 Tujua Peulisa Tujua dari peulisa tugas akir ii yaitu: a. edapatka model diamik iteraksi atara ektor terieksi leptospirosis da populasi mausia.. egetaui kestaila titik kesetimaga model.. istematika Peulisa istematika dalam peulisa tugas akir ii terdiri dari eerapa a yaitu seagai erikut: BAB Pedaulua Ba ii erisika latar elakag masala rumusa masala atasa masala tujua peelitia da sistematika peulisa. 9
BAB Ladasa Teori Ba ii erisika ladasa teori seperti: pegertia Leptospirosis pemodela matematika sistem persamaa dieresial titik kesetimaga kestaila titik kesetimaga serta ugsi Lyapuo. BAB etodologi Peelitia Ba ii erisika lagka-lagka yag peulis guaka utuk meyelesaika model diamik iteraksi atara ektor terieksi Leptospirosis da populasi mausia. BAB V Pemaasa Ba ii erisika tetag pemetuka model diamik iteraksi atara ektor terieksi leptospirosis da populasi mausia serta aalisa teradap model. BAB V Peutup Ba ii erisika kesimpula dari pemaasa da sara-sara utuk pemaca.
BAB LANDAAN TEO. Leptospirosis.. Pegertia Leptospirosis adala peyakit zooosis yag diseaka ole ieksi akteri yag eretuk spiral dari geus Leptospira yag meyerag ewa da mausia. Peelitia tetag leptospirosis pertama dilakuka ole Adol Heil pada Tau 886. Dia melaporka adaya peyakit terseut pada mausia dega gamara kliis demam pemesara ati da limpa ikterus da ada tada-tada kerusaka pada gijal (asiari P oloega da yep Komala Artikel Peelitia PB). ampai saat ii dikeal dua spesies Leptospira yaitu Leptospira iterogas da Leptospira ilea. pesies pertama dikeal patoge teradap mausia da ewa sedagka spesies kedua merupaka saroit yag idup eas di peraira dagkal da jarag dijumpai ieksi pada mausia. Gamar. Bakteri Leptospira megguaka mikroskop elektro tipe scaig umer :ttp://id.wikipedia.org/wiki/leptospirosis.. Cara Peulara Peulara akteri Leptospira terjadi dega dua cara yaitu: a. Peulara secara lagsug Peulara secara lagsug dapat terjadi melalui dara uri atau caira tuu lai yag megadug kuma leptospira masuk kedalam tuu pejamu. Dari ewa ke mausia merupaka peyakit akiat pekerjaa terjadi pada
orag yag merawat ewa atau meagai orga tuu ewa misalya pekerja potog ewa atau seseorag yag tertular dari ewa peliaraa. Dari mausia ke mausia meskipu jarag dapat terjadi melalui uuga seksual atau dari iu pederita leptospirosis ke jai melalui sawar plaseta da air susu iu.. Peulara tidak lagsug Peulara tidak lagsug dapat terjadi melalui geaga air sugai daau seloka salura air lumpur da tempat pemuaga sampa yag tercemacar akteri Leptospira. Gamar. iklus peyeara akteri Leptospira umer: ttp://www.dautic.com/peyea-da-gejala-peyakit-leptospirosis.tml Peulara akteri Leptospira isa melalui tikus ai sapi kamig kuda ajig seragga urug ladak kelelawar da tupai. Keayaka peularaya diseaka ole tikus. eksi ole Leptospira umumya didapat karea kotak kulit atau selaput ledir ( mucous memrae) misalya mata ( kojuktia) karea keciprata selaput ledir agia atau lecet-lecet kulit dega uri atau cemara ole keluara urogeitalis laiya atau megkosumsi makaa da miuma yag tercemar ole akteri terseut.
.. Gejala Kliis Gejala da tada yag ditimulka tergatug kepada erat rigaya ieksi yag dapat diedaka mejadi tiga stadium yaitu: a. tadium Pertama Pada stadium ii ditadai dega eerapa gejala seperti: demam meggigil sakit kepala malaise muta kojugtiis rasa yeri pada otot terutama otot etis da puggug. Gejala-gejala terseut aka tampak atara 4-9 ari.. tadium Kedua Pada stadium ii iasaya tela teretuk atiodi di dalam tuu pederita gejala-gejala yag tampak pada stadium ii lei erariasi diadig pada stadium pertama atara lai: ikterus (kekuiga) apaila demam da gejala-gejala lai timul lagi esar kemugkia aka terjadi meigitis. Biasaya stadium ii terjadi atara miggu kedua da keempat. c. tadium Ketiga Pada stadium ii komplikasi leptospirosis dapat meimulka gejalagejala erikut: pada gijal; real ailure yag dapat meyeaka kematia pada mata; kojugtia yag tertutup meggamarka ase septisemi yag erat uugaya dega keadaa otoia da kojugtia emorragic pada ati; jaudice (kekuiga) yag terjadi pada ari keempat da keeam dega adaya pemesara ati da kosistesi luak pada jatug; aritmia kegagala jatug yag dapat meyeaka kematia medadak pada paruparu; emoragic peumoitis dega atuk dara yeri dada respiratory distress da cyaosis pedaraa karea adaya kerusaka pemulu dara (ascular damage) dari salura perapasa salura peceraa gijal da salura geitalia ieksi pada keamila meyeaka aortus lair mati premature da kecacata pada ayi (asiari Poloega da yep Komala Artikel Peelitia PB).
.. Peagaa da Pecegaa Peagaa dii sagat mematu karea akteri Leptospira muda mati dega atiiotik yag ayak dijumpai di Toko Oat seperti Peicilli da turuaya Amoyllie treptomycie Tetracyclie Erittromycie. Bila terjadi komplikasi atau gejala yag lei para segera eroat ke dokter karea ila terlamat ditagai maka aka erakiat atal atau kematia dimaa agka kematia akiat ateri ii isa mecapai %. Pecegaa dapat dilakuka dega eerapa cara yaitu:. emiasaka diri dega Perilaku Hidup Bersi da eat (PHB). eyimpa makaa da miuma dega aik agar teridar dari tikus.. ecucui taga dega sau seelum maka. 4. ecucui taga kaki serta agia tuu laiya dega sau setela ekerja di sawa/ keu/ sampa/ taa/ seloka da tempat-tempat yag tercemar laiya.. elidugi pekerja yag erisiko tiggi teradap leptospirosis (petugas keersia petai petugas pemotog ewa da lai-lai) dega megguaka sepatu ot da sarug taga. 6. ejaga keersia ligkuga 7. emersika tempat-tempat air da kolam reag. 8. egidari adaya tikus di dalam ruma/gedug. 9. egidari pecemara ole tikus.. elakuka desieksi teradap tempat-tempat tertetu yag tercemar ole tikus. eigkatka peagkapa tikus.. ejaga stamia tuu dega raji erolaraga. 4
. istem Persamaa Dieresial Persamaa dieresial adala suatu persamaa yag meliatka turua dari satu atau lei ariael terikat teradap satu atau lei ariael eas sedagka sistem persamaa dieresial terdiri dari eerapa persamaa dieresial. Di awa ii dierika sistem persamaa dieresial yag liear da oliear. Dideiisika: i : E i pada E dega i. Dierika sistem persamaa dieresial autoomous: sistem (.) dapat ditulis dalam etuk: d dt d dt d dt istem (.) dikataka liear jika adala ugsi kotiu (.) (.) masig masig liear dalam. ealikya diseut sistem persamaa dieresial oliear. jika istem (.) liear maka istem (.) dapat ditulis dalam etuk: a a a a a a a a a selajutya istem (.) dapat ditulis dalam etuk: dega A matriks ukura A da E. olusi istem (.) dierika ole Deiisi (.) erikut ii: (.)
Deiisi. (Perko 99) Dierika E E impua teruka da i CE i. Vektor t diseut peyelesaia istem (.) pada iteral jika t dieresiael pada da d t utuk setiap dt t da t E.. Titik Kesetimaga (Equilirium) uatu sistem diamik dikataka setimag jika sistem tidak erua sepajag waktu. ecara ormal titik kesetimaga ( equilirium) dari istem (.) dideiisika seagai erikut: Deiisi. (Perko 99) Titik diseut titik kesetimaga (equilirium) istem (.) jika. ecara umum model peyeara peyakit iasaya mempuyai dua titik kesetimaga yaitu titik kesetimaga eas peyakit da titik kesetimaga edemik peyakit. Titik kesetimaga eas peyakit artiya dalam populasi tidak ada idiidu yag terieksi peyakit sedagka titik kesetimaga edemik peyakit artiya selalu ada idiidu yag terieksi peyakit..4 Kestaila Titik Kesetimaga (Equilirium) Kosep perilaku sistem pada titik kesetimaga ( equilirium) dikeal seagai kestaila titik kesetimaga. Kestaila terseut merupaka iormasi utuk meggamarka perilaku sistem. Di awa ii deiisi ormal megeai kestaila titik kesetimaga: Deiisi. (Hale 99) Titik kesetimaga (equilirium) dari istem (.) dikataka: 6
a) tail lokal jika utuk setiap > terdapat > setiap solusi istem (.) t < utuk setiap t t. ) tail asimtotik lokal jika titik equilirium t yag memeui t < > seigga utuk setiap solusi t maka erakiat lim t t. sedemikia igga utuk maka erakiat stail da terdapat ilaga t < yag memeui c) Tidak stail jika titik equilirium tak memeui (a). Jika utuk semarag titik awal solusi sistem persamaa dieresial t erada dekat dega titik equilirium maka titik equilirium stail gloal. emetara itu jika utuk semarag titik awal solusi istem persamaa dieresial t utuk memesar meuju tak igga t equilirium erada dekat dega titik equilirium stail asimtotik gloal. koerge ke iat kestaila titik equilirium istem (.) dapat didekati da maka titik dega megguaka metode liearisasi. etode ii diguaka utuk megetaui perilaku sistem persamaa dieresial yag tidak dapat ditetuka peyelesaia eksakya. eelum peyelesaia dega metode liearisasi perlu ditetuka terlei daulu matriks Jacoia di titik. Berikut ii dierika deiisi matriks Jacoia di titik. Deiisi.4 (Hale 99) Dierika pada istem (.) dega i C E J i 7
diamaka matriks Jacoia dari di titik. etela ditetuka matriks Jacoia maka peyelesaia dega metode liearisasi dapat dilakuka utuk megetaui perilaku sistem yag tidak dapat ditetuka peyelesaia eksakya. Berikut deiisi megeai metode liearisasi: Deiisi. (Perko 99) istem J diseut liearisasi istem (.) di. Dega megguaka matriks Jacoia J siat kestaila titik equilirium dapat diketaui asalka titik terseut iperolik. Berikut dierika deiisi titik iperolik. Deiisi.6 (Wiggis 99) Titik equilirium diseut titik equilirium iperolik jika semua ilai eige J mempuyai agia real tak ol. Kestaila dari titik equilirium pada istem (.) dapat ditetuka erdasarka ilai eige matriks Jacoia pada metode liearisasi. Nilai eige dapat ditetuka melalui persamaa karakterisrik dari matriks Jacoia di titik. Kriteria kestaila titik equilirium pada istem (.) terseut disajika pada teorema diawa ii: Teorema. (Hale 99) a) Jika semua ilai eige dari matriks jacoia J mempuyai agia real egati maka titik equilirium dari istem (.) stail asimtotik. ) Jika terdapat ilai eige dari matriks maka titik equilirium dari istem (.) tidak stail. J mempuyai agia real positi 8
Berikut ii dierika coto megeai kestaila titik kesetimaga utuk sistem liear dua ariael terikat. padag istem liear: d dt a dy c dt dega a c da d kosta. misalka ilai eige dari matriks karakteristik d y a A c a d ad c erdasarka persamaa (.) di atas diperole: dega... (.4) maka diperole persamaa d (.) a d a d 4ad c p a d da q ad c. atau. p tailitas istem (.4) dapat diteragka seagai erikut: real da ereda jika D p 4q > ). sama tada jika q > : a). semua positi jika p > tidak stail. ). )... semua egati jika p < stail. eda tada jika q < tidak stail. ) ala satu dari. ol jika q. a) Akar laiya positi jika p > tidak stail. ) Akar laiya egati jika p < stail etral. real da sama jika D p 4q ). sama tada: a). keduaya positi jika p > tidak stail. ). keduaya egati jika p < stail. 9
) ila p >.. kompleks jika D < tidak stail. ) e. sama tada: a) e. semua positi jika p > ) e. semua egati jika p < tidak stail. stail. ) e. jika p stail etral tail tail tail etral Tidak Tidak Tidak P Tidak Tidak Gamar. Bidag ase sistem liier. Fugsi Lyapuo etode Lyapuo adala sala satu metode utuk megaalisa kestaila (sistem liear maupu oliear) dikeal seagai metode Lyapuo pertama da metode Lyapuo kedua (lagsug). etode Lyapuo kedua adala metode yag diguaka utuk meetuka kestaila sistem tapa meyelesaika persamaa dieresial oliear sistem. Dasar pemikira dari metode Lyapuo kedua dalam meyelidiki kelakua sistem diamis erkaita erat dega eergi dari sistem terseut jika laju peruaa d dt dega merupaka eergi dari suatu sistem diamis adala egati utuk setiap kecuali dalam keadaa setimag eergi aka terus meuru sampai akirya mecapai keadaa miimum. Dega kata lai sistem aka stail saat erada pada titik kesetimagaya ii
merupaka kosep stailitas. Pada Tau 89 Lyapuo meujukka awa ugsi-ugsi tertetu laiya (selai eergi) juga dapat diguaka utuk meetuka kestaila titik ekuilirium. Pertimagka kemali istem (.) dega E merupaka titik ekuilirium istem (.). Dierika ugsi V : E dieresiael kotiu pada E. Turua V teradap t pada istem (.) diotasika dega V adala: turua V V i V V V i i i V i i V. V. teradap t pada istem (.) sagat ergatug pada persamaa sistem. Ole karea itu V aka ereda utuk sistem yag ereda. Fugsi V diseut ugsi Lyapuo jika memeui peryataa erikut: V utuk E dega. a. V dega.. > c. V utuk setiap E. Teorema. (Kalil 996) Dierika merupaka titik ekuilirium istem (.). Jika terdapat ugsi Lyapuo V : V C da V > utuk dega V dega dega: da V utuk a c V utuk setiap da : V tidak memuat solusi lai kecuali titik ekuilirium maka stail asimtotik gloal. Coto.: Berikut coto pegguaa ugsi Lyapuo:
Dierika istem persamaa dieresial: z yw y z y z y z w y w dega y z w ; w z y ; kostata > ; da dierika titik ekuilirium w z y E. Dierika ugsi Lyapuo pada : 4 w z y w z y ; dega < yaitu: w z y t V (.8) dari persamaa (.8) terseut diperole: z y yw y z z t V ' w y w w yw y z yw y z z z w yw w yw z y z y w w z z z z dega meggati ilai diperole: w w z z z z w w z z z z w w z z z z (.7)
w z w z karea z da < seigga V utuk setiap w z y da V dipeui jika da aya jika w z y. eigga erdasarka Teorema (.) Ê stail asimtotik gloal pada.
BAB ETODOLOG PENELTAN etode yag diguaka dalam peulisa Tugas Akir ii adala studi kepustakaa. Adapu lagka-lagka dalam peulisaya yaitu: a eetuka asumsi da parameter yag diperluka. Pada model yag aka dietuk diasumsika awa: ) Peyakit atal pada ieksi tertetu seigga dalam populasi terjadi kematia alami maupu kematia yag diseaka ole peyakit. ) diidu yag semu pada populasi mausia tidak keal teradap peyakit artiya kemugkia aka kemali ke kelompok reta. ) Populasi mausia tertular dega dua cara yaitu ole mausia terieksi atau ektor terieksi. edagka populasi ektor aya tertular ole mausia terieksi. edagka parameter yag diguaka yaitu: ) Laju recruitmet pada populasi mausia diyataka dega ( ) sedagka laju recruitmet pada populasi ektor diyataka dega ( ). ) Laju peulara mausia yag reta ole mausia terieksi diyataka dega ( ) sedagka laju peulara mausia yag reta ole ektor terieksi diyataka dega ( ). ) Laju kematia alami pada populasi mausia diyataka dega ( ) sedagka laju kematia akiat peyakit pada populasi mausia diyataka dega ( ). 4) Laju kesemua pada populasi mausia diyataka dega ( ) sedagka laju perpidaa idiidu yag semu ke kelompok reta pada populasi mausia diyataka dega ( ). ) Laju peulara ektor yag reta ole mausia terieksi diyataka dega ( ). 4
6) Laju kematia alami pada populasi ektor diyataka dega ( ) sedagka laju kematia akiat peyakit pada populasi ektor diyataka dega ( ). c d e eetuka model matematika. Dega megguaka asumsi-asumsi da parameter-parameter pada poi (a) dapat ditetuka model diamik iterkasi atara ektor terieksi leptospirosis da populasi mausia. eetuka titik kesetimaga model. Berdasarka model matematika yag tela diuat kemudia ditetuka titik kesetimaga ( equilirium) yaitu titik kesetimaga eas peyakit da titik kesetimaga edemik peyakit. egaalisa kestaila dari titik kesetimaga. etela ditetuka titik kesetimaga selajutya megaalisa kestaila dari titik kesetimaga terseut megguaka matriks Jakoia utuk kestaila lokal da ugsi Lyapuo utuk kestaila gloal. eyimpulka asil dari aalisa kestaila titik kesetimaga.
BAB V PEBAHAAN DAN HAL Pemodela matematika merupaka sala satu terapa dari ilmu matematika yag dapat medeskripsika eerapa permasalaa dalam keidupa seari-ari ke dalam etuk matematis dega tujua utuk lei mempermuda meyelesaika suatu permasalaa terseut. Pemodela matematika juga diguaka utuk memodelka peyeara peyakit dalam suatu populasi kususya peyakit meular seperti Leptospirosis. Leptospirosis merupaka peyakit yag diseaka ole ieksi akteri Leptospira yag meyerag ewa da mausia. Dimisalka awa pada populasi mausia mausia yag reta pada saat t terieksi pada saat t da saat t. Jika N N t t t t meyataka jumla meyataka jumla mausia yag meyataka jumla mausia yag semu pada meyataka jumla populasi mausia pada saat t maka t t t t. edagka pada populasi ektor t jumla ektor reta pada saat t da terieksi pada saat t. Jika maka N t t t. t meyataka meyataka jumla ektor yag N t meyataka jumla populasi ektor pada saat t 4. Asumsi da Parameter dalam odel Utuk memetuk model diamik iteraksi atara ektor terieksi leptospirosis da populasi mausia diperluka asumsi da parameter yag dierika seagai erikut: a. Asumsi-asumsi yag diperluka dalam memetuk model yaitu: ) Peyakit atal pada ieksi tertetu seigga dalam populasi terjadi kematia alami maupu kematia yag diseaka ole peyakit. ) diidu yag semu pada populasi mausia tidak keal teradap peyakit artiya kemugkia aka kemali ke kelompok reta. 6
) Populasi mausia tertular dega dua cara yaitu ole mausia terieksi atau ektor terieksi. edagka populasi ektor aya tertular ole mausia terieksi.. Parameter yag diperluka dalam memetuk model yaitu: ) Laju recruitmet pada populasi mausia diyataka dega ( ) sedagka laju recruitmet pada populasi ektor diyataka dega ( ). ) Laju peulara mausia yag reta ole mausia terieksi diyataka dega ( ) sedagka laju peulara mausia yag reta ole ektor terieksi diyataka dega ( ). ) Laju kematia alami pada populasi mausia diyataka dega ( ) sedagka laju kematia akiat peyakit pada populasi mausia diyataka dega ( ). 4) Laju kesemua pada populasi mausia diyataka dega ( ) sedagka laju perpidaa idiidu yag semu ke kelompok reta pada populasi mausia diyataka dega ( ). ) Laju peulara ektor yag reta ole mausia terieksi diyataka dega ( ). 6) Laju kematia alami pada populasi ektor diyataka dega ( ) sedagka laju kematia akiat peyakit pada populasi ektor diyataka dega ( ). 4. odel Diamik teraksi atara Vektor Terieksi Leptospirosis da Populasi ausia Berdasarka asumsi da parameter yag tela ditetuka da utuk mempermuda dalam pemetuka model maka diperluka diagram alir erikut ii: 7
Gamar 4. Diagram alir model diamik iteraksi atara ektor terieksi Leptospirosis da populasi mausia Berdasarka diagram alir pada Gamar (4.) dega memisalka diperole sistem persamaa dieresial erikut: d dt d dt d (4.) dt d dt d dt dega ilai awal daera peyelesaiaya adala: (4.) : ; N ; N 8
9 Berdasarka istem (4.) jumla populasi mausia keselurua yaitu N dt d dt d dt d dt dn N dari peyelesaia di atas diperole: N dt dn (4.) Persamaa (4.) dapat ditulis: N dt dn (4.4) dari Persamaa (4.4) diperole: t t e e N N (4.) dari persamaa (4.) dapat di jelaska awa utuk t memesar maka t t N lim artiya jumla populasi mausia aka meuju kapasitas atas. Jika N > maka t N turu mooto meuju kapasitas atas da jika N < maka t N aik mooto meuju kapasitas atas. Jumla populasi ektor keselurua yaitu N dt d dt d dt dn
N dari peyelesaia di atas diperole: Persamaa (4.6) dapat ditulis: dari Persamaa (4.7) diperole: N dn dt dn dt N (4.6) N (4.7) t t e e N (4.8) dari Persamaa (4.8) dapat dijelaska aw a utuk t memesar maka lim N t t artiya jumla populasi ektor aka meuju kapasitas atas. Jika N > maka t N turu mooto meuju kapasitas atas da jika N < maka t N aik mooto meuju kapasitas atas. 4. Titik Kesetimaga (Equilirium) Titik kesetimaga istem (4.) dapat ditetuka dalam dua keadaa yaitu titik kesetimaga eas peyakit artiya tidak ada idiidu yag terserag peyakit da titik kesetimaga edemik peyakit artiya selalu ada idiidu yag terserag peyakit dalam populasi. Dideeisika: (4.9) Berikut ii dijelaska titik kesetimaga istem (4.) 4.. Titik Kesetimaga Beas Peyakit Titik kesetimaga eas peyakit artiya dalam populasi tidak ada peyakit. Utuk medapatka titik kesetimaga istem (4.) maka masig -
masig persamaa pada istem (4.) dieri ilai ol seigga istem (4.) mejadi: (4.) Peyakit tidak terjadi dalam populasi jika keadaa terseut meyeaka maka dari persamaa pertama pada istem (4.) diperole yaitu: seigga utuk titik kesetimaga eas peyakit adala. elajutya dari persamaa keempat pada istem (4.) diperole pada titik kesetimaga eas peyakit: seigga utuk titik kesetimaga eas peyakit adala. Berdasarka peyelesaia terseut diperole titik kesetimaga eas peyakit yaitu E.
4.. Titik Kesetimaga Edemik Peyakit Titik kesetimaga edemik peyakit artiya selalu ada peyakit dalam populasi atau > da > dari persamaa ketiga pada istem (4.) diperole: seigga utuk titik kesetimaga edemik peyakit adala. Dari persamaa keempat pada istem (4.) diperole: seigga utuk titik kesetimaga edemik peyakit adala. Dari persamaa kelima pada istem (4.) diperole:
seigga utuk titik kesetimaga edemik peyakit adala. Dari persamaa kedua pada istem (4.) diperole: seigga utuk titik kesetimaga edemik peyakit adala. Berdasarka peyelesaia di atas diperole titik kesetimaga edemik peyakit E..
4 dikareaka dalam kasus edemik peyakit tidak terlalu erpegaru maka dapat diaaika. eigga titik kesetimaga edemik peyakit mejadi: E.. 4.4 Kestaila Titik Kesetimaga (equilirium) Kestaila titik kesetimaga artiya meyelidiki apaka titik kesetimaga yag diperole stail atau tidak stail pada istem (4.) dalam al ii aka diselidiki dua macam kestaila titik kesetimaga yaitu kestaila lokal da kestaila gloal. Kestaila lokal artiya meyelidiki kestaila di sekitar titik kesetimaga dijelaska dalam uraia erikut: isalka: (4.) 4 Kemudia dapatka matriks Jacoiaya dega cara masig-masig ugsi dituruka secara parsial teradap masig-masig ariael pada ugsi terseut yaitu: a. Fugsi dituruka teradap ariael :. Fugsi dituruka teradap ariael : c. Fugsi dituruka teradap ariael :
d. Fugsi dituruka teradap ariael : e. Fugsi dituruka teradap ariael :. Fugsi dituruka teradap ariael : g. Fugsi dituruka teradap ariael :. Fugsi dituruka teradap ariael : i. Fugsi dituruka teradap ariael : j. Fugsi dituruka teradap ariael : k. Fugsi dituruka teradap ariael : l. Fugsi dituruka teradap ariael : m. Fugsi dituruka teradap ariael :
6. Fugsi dituruka teradap ariael : o. Fugsi dituruka teradap ariael : d d d d p. Fugsi 4 dituruka teradap ariael : 4 q. Fugsi 4 dituruka teradap ariael : 4 r. Fugsi 4 dituruka teradap ariael : 4 s. Fugsi 4 dituruka teradap ariael : 4 t. Fugsi 4 dituruka teradap ariael : 4 u. Fugsi dituruka teradap ariael :. Fugsi dituruka teradap ariael : w. Fugsi dituruka teradap ariael :
7. Fugsi dituruka teradap ariael : y. Fugsi dituruka teradap ariael : Betuk umum matriks jacoia istem (4.) adala: J 4 4 4 4 4 etela didapatka turua parsial masig-masig ugsi terseut diperole matriks jacoia erikut: - J 4.4. Kestaila Lokal Titik Kesetimaga Beas Peyakit E. Kestaila lokal titik kesetimaga eas peyakit artiya memeriksa kestaila di sekitar titik E pada istem (4.). Dalam memeriksa kestaila lokal utuk titik kesetimaga eas peyakit megguaka matriks Jacoia.
8 r r r o r Teorema 4.: Utuk titik kesetimaga eas peyakit E pada istem (4.) stail asimtotik lokal jika >. Bukti: Berdasarka matriks Jacoia di atas maka matriks Jacoia utuk titik kesetimaga eas peyakit atau E J mejadi: - E J dega melakuka eerapa OBE pada matriks Jacoia di atas diperole: E J -
9 - dimisalka matriks diatas mejadi - Lagka selajutya adala mecari determia E J utuk medapatka ilai eige dari matriks Jacoia eas peyakit. - -
4 dari determia terseut diperole persamaa karakteristik seigga ilai eigeilai eigeya diperole seagai erikut: < < < 4. Berdasarka ilai eige terseut dapat dijelaska awa < < < 4 dega meggati ilai diperole: > <. elajutya < < dega meggati ilai da diperole: < < < (4.) Persamaa (4.) dikalika dega diperole: < < < < <
4 seigga erdasarka Teorema (4.) dega maka dapat disimpulka awa titik kesetimaga eas peyakit E stail asimtotik lokal jika >. 4.4. Kestaila Lokal Titik Kesetimaga Edemik Peyakit E. Kestaila lokal titik kesetimaga edemik peyakit artiya memeriksa kestaila di sekitar titik E pada istem (4.). Dalam memeriksa kestaila lokal utuk titik kesetimaga edemik peyakit juga megguaka matriks Jacoia. Teorema 4.: Titik kesetimaga edemik peyakit E pada istem (4.) stail asimotik lokal. Bukti: ama alya dega peyelesaia pada titik kesetimaga eas peyakit seigga diperole matriks Jacoia utuk titik kesetimaga edemik peyakit yaitu: - E J - dimisalka da dilajutka dega melakuka eerapa OBE pada matriks di atas diperole:
4 r r r 4 r 4 r r 4 4 r r - E J - dimisalka da 4 matriks di atas mejadi 4-4 - 4 - dimisalka matriks di atas mejadi 4 -
4 4 - Lagka selajutya adala mecari determia E J utuk medapatka ilai eige dari matriks Jacoia eas peyakit. - 4-4 4 4 4 dari determia terseut diperole persamaa karakteristik 4 seigga ilai eige-ilai
44 eigeya diperole seagai erikut: < < 4 < 4. Dari ilai eige-ilai eige terseut dapat dijelaska awa: < < < 4 < (4.) Persamaa (4.) di atas dikalika dega diperole: < < dega meggati ilai diperole: < < dega meggati ilai da diperole: < < (4.4)
4 Persamaa (4.4) dikalika dega diperole: < < 4 <
46 4 < 4 < 4 < 4 <
47 seigga erdasarka Teorema (4.) maka dapat disimpulka awa titik kesetimaga edemik peyakit E stail asimtotik lokal. 4.4. Kestaila Gloal Titik Kesetimaga Beas Peyakit E. Kestaila gloal titik kesetimaga eas peyakit artiya memeriksa kestaila titik E pada istem (4.). Dalam memeriksa kestaila gloal utuk titik kesetimaga eas peyakit megguaka ugsi Lyapuo. Teorema 4.: Titik kesetimaga eas peyakit pada istem (4.) stail asimtotik gloal jika >. Bukti: Dierika ugsi Lyapuo utuk titik kesetimaga eas peyakit seagai erikut: t V (4.) Persamaa (4.) dituruka teradap t diperole: t V ' dega meggati ilai da diperole: t V '
' dari peyelesaia di atas dapat dijelaska awa V t > da V t ' aya terpeui ila seigga erdasarka Teorema (4.) dapat disimpulka awa pada. E stail asimtotik gloal 4. imulasi Dega megamil parameter:... 4. 4.4. 9...... Diperole 9.746 kemudia sustitusika ilai parameter ke istem (4.) dega ilai awal 4. egguaka aple diperole: Populasi mausia Gamar 4. Diamika populasi mausia Dari gamar di atas dapat dijelaska awa mausia yag reta megalami peurua mausia yag terieksi awalya megalami keaika amu dalam waktu yag lama megalami peurua sedagka mausia yag semu megalami keaika. 48
Populasi ektor Gamar 4. Diamika populasi ektor Dari gamar di atas dapat dijelaska awa ektor yag reta megalami peurua sedagka ektor yag terieksi awalya megalami keaika amu dalam waktu yag lama megalami peurua. 49
BAB V PENUTUP. Kesimpula Berdasarka pemaasa maka dapat disimpulka seagai erikut: a. odel diamik iteraksi atara ektor terieksi leptospirosis da populasi mausia adala: dt d dt d dt d dt d dt d dega. ilai awal Daera peyelesaiaya adala: N N ; ; :. Terdapat dua titik kesetimaga pada model diamik iteraksi atara ektor terieksi leptospirosis da populasi mausia yaitu: ) Titik kesetimaga eas peyakit E ) Titik kesetimaga edemik peyakit E.
c. Jika da > maka titik kesetimaga eas peyakit asimtotik lokal. d. Titik kesetimaga edemik peyakit E stail asimtotik lokal. E stail e. Jika > maka titik kesetimaga eas peyakit pada istem (4.) stail asimtotik gloal pada.. ara Pada tugas akir ii memaas tetag model diamik iterkasi atara ektor terieksi leptospirosis da populasi mausia dega megguaka asumsi da parameter tertetu utuk itu kepada pemaca disaraka utuk meamaka asumsi-asumsi lai yag mugki diperluka dalam perkemaga model terseut supaya lei sempura.
DAFTA PUTAKA Hale J. K. da Kocak H. Dyamic ad Biurcatio. priger-erlag. New York. 99. Koguy ujira. Local taility o Equiliria: Leptospirosis. Word Akademi o ciece Egieerig ad Tecology 66.. Kalil H. K. Noliear ystems. Pretice-all. Upper addle ier. NJ. d Editio.996. Kurdi N. A. Aalisis odel Diamika Virus dalam el Tuu da Pegaru espo mu CTL. akala Jurusa atematika FPA Uiersitas eelas aret. urakarta. Poloega asiari da yep Komala. ewaspadai Leptospirosis di doesia eagai Peyakit Zooosis. Artikel Peelitia Fakultas Peteraka PB Bogor. Perko L. Dieretial Equatios ad Dyamical ystems priger-erlag New York. 99. Pogsuumpu P. dkk. Age tructural Trasmissio odel or Leptospirosis Te Tird teratioal ymposium o Biomedical Egieerig 4-46 8. Umari H. A. odel (uspectile ecties uspectile) dega Pertumua Alami da Proses igrasi. Tugas Akir aasiswa UN UKA iau Pekaaru.. Wiggis. troductio to Applied Noliear Dyamical ystem ad Caos. priger-verlag New York. 99. Zama Gul dkk. odelig Dyamical teractios etwee Leptospirosis ected Vector ad Huma Populatio Applied atematical cieces ol. 6.