METODE SIMPLEKS PRIMAL-DUAL PADA PROGRAM LINIER FUZZY PENUH DENGAN BILANGAN TRAPEZOIDAL Bambang Irawanto 1,Djwandi 2, Sryoto 3, Rizky Handayani 41,2,3 Departemen Matematika Faktas Sains dan Matematika Universitas Diponegoro J. Prof. H. Soedarto, SH, Tembaang, Semarang 50275 4 Mahasiswa S2 matematika Universitas Gadjah Mada 1 b_irawanto@yahoo.co.id, 4 rizkyhandayani93@yahoo.co.id Abstract. Program inier dengan koefisien fngsi tjan biangan trapezoida fzzy (FNLP) dan program inier dengan variabe trapezoida fzzy (FVLP) merpakan bentk dari program inier fzzy tidak penh. FNLP memiiki bentk biangan trapezoida fzzy hanya pada koefisien fngsi tjannya saja, sedangkan FVLP memiiki bentk biangan trapezoida fzzy pada variabe keptsan dan konstanta ras kanannya. Kass minimasi dari FNLP dan FVLP dapat diseesaikan dengan metode simpeks da. Bentk biangan trapezoida fzzy hars dibah ke bentk biangan crisp terebih dah dengan menggnakan fngsi peringkat ntk menentkan entering variabe dan eaving variabenya.niai fngsi tjan optimayang dihasikan berpa biangan trapezoida fzzy dan biangan crisp. Kata knci : Program Linier Fzzy Tidak Penh, Biangan Trapezoida Fzzy, Metode Simpeks Da. 1. PENDAHULUAN Teori himpnan fzzymerpakan pendekatan ntk menyeesaikan masaah ketidakpastian tersebt dengan memperkenakan himpnan yang dinyatakan dengan sat fngsi keanggotaan yang memetakan setiap domain pada himpnan fzzy ke tepat sat biangan rea pada interva terttp [0,1] [1]. Teori himpnan fzzy banyak diterapkan daam berbagai disipin im seperti daam program inier.[2,3] meneiti mengenai daitas pada program inier dengan variabe trapezoida fzzy (FVLP) seanjtnya membahas Metode Simpeks Da ntk menyeesaikan masaah program inier dengan variabe trapezoida fzzy (FVLP).Tisan ini akan membahas Metode Simpeks Da ntk menyeesaikan masaah program inier fzzy tidak penh dengan biangan trapezoida fzzy non simetris khssnya pada bentk program inier dengan koefisien fngsi tjan biangan trapezoida fzzy (FNLP) dan program inier dengan variabe trapezoida fzzy (FVLP).. 2. HASIL DAN PEMBAHASAN Daam pembahasan ini di berikan beberapa pengertian yang mendkng 2.1. Biangan Trapezoida Fzzy Daam himpnan fzzy dikena dengan sat biangan fzzy yang di definisikan sebagai Definisi 2.1 [4] Biangan fzzy disebt biangan trapezoida fzzy apabia memiiki fngsi keanggotaan sebagai berikt: 1, < 1, 1, < + 0,. Secara geometris digambarkan seperti gambar dibawah ini Gambar 2.1 Fngsi Keanggotaan BianganFzzy 127
Bambang Irawanto, Djwandi, Sryoto dan Rizky Handayani (Metode Simpeks Prima-Da pada ) Definisi 2.2[4]Biangan trapezoida fzzy dapat dinyatakan dengan,,, dengan <,>0,>0 dan,,, R. Core dari biangan trapezoida fzzy adaah [, ] dan spport dari biangan trapezoida fzzy adaah, +. Operasi operasi antara biangan biangan fzzy di definisikan sebagai Definisi 2.3. [4] Diberikan da biangan trapezoida fzzy yait,,, dan,,,, dengan, R dan,,,,,,, R. Operasi dari biangan trapezoida fzzy didefinisikan sebagai berikt: 1. Negasi:,,, 2. Penjmahan: + +, +,+,+ 3. Pengrangan:,,+,+ 4. Perkaian dengan skaar: ntk 0, R maka,,, ntk <0, R maka,,,. Teorema2.1 [4]Diberikan biangan trapezoida fzzy,,,) dengan,,, R. Fngsi Peringkat (Ranking Fnction)dari biangan trapezoida fzzy adaahr + Bkti : Diberikan biangantrapezoida fzzy,,,) dengan,,, R. Daam fngsi keanggotaan biangan fzzy ã dapat di gambarkan sebagaiberikt : Dengan memandang bahwa biangan crips yang diharapkan adaah teretak disekitar titik tengah antara da titik (( a α), 0) dan (( a + β),0) dengan maksd bahwa mencari sat titikγ yang mempnyai µ mendekati 1 yang akan di istrasikan di gambarberikt : Gambar 2.3IstrasiTitik γ PadaFngsiKeanggotaanBianganFzzy Untk mencari sat titik di sekitar titik tengah antara da titik (( a α), 0) dan (( a + β ),0), maka akan dicari dengan cara mencari rata-rata dari keempat titik adaah sebagai berikt : DidefinisikanR adaah rata-rata dari keempat titik (( a α),0), ( a,0), ( a,0), (( a + β ),0) padasmb x maka R 1 µ 0 ( a ) γ + ( a α) + a + a + ( a + β ) 4 2( a + a ) + β α 4 a + a β α + 1 0 + Gambar 2.2 128
Jrna Matematika Vo. 19, No. 3, Desember 2016 : 121-131 Diberikan R adaah himpnan dari biangan trapezoida fzzy dan, R dengan Rdan R niaicrips, Definisi 2.5. [4] Sifat-sifat reasi yang dignakan ntk mengrtkan setiap biangan trapezoida fzzy, Rdan skaar Rdidefinisikan sebagai berikt: >jika R>R, <jika R<, dan jika R R. 2.2. Program Linier Fzzy Tidak Penh Secara mm bentk kass minimasi masaah program inier dengan koefisien fngsi tjan biangan trapezoida fzzy (FNLP) dirmskan sebagai berikt [5]: Meminimakan terhadap, 1,2,, 0,1,2,,. (2.1) sedangkan secara mm bentk kass minimasi masaah program inier dengan variabe trapezoidafzzy (FVLP) dirmskan sebagai berikt [3]: Meminimakan terhadap, 1,2,, 0,1,2,, (2.2) Langkah-angkah metode simpeks da ntk menyeesaikan kass minimasi masaah FNLP ata FVLP dirmskan sebagai berikt [2,3]: 1. Mengbah tanda pertidaksamaan menjadi pada setiap kendaa dengan cara mengaikan keda ras kendaa dengan -1 pada bentk mm kass minimasi FNLP ata FVLP. 2. Mengbah bentk mm kass minimasi FNLP ata FVLP yang bar ke daam bentk standar kass minimasi FNLP ata FVLP, yait dengan menambah variabe tambahan ata variabe sem. 3. Menysn tabe simpeks awa kass minimasi FNLP ata FVLP daam bentk standar dengan syarat bahwa kendaa tama sdah terssn Gass- Jordan. 4. Memperbaiki tabe simpeks awa sehingga niai 0 ntk sema 1,2,,dengan mengganti sat variabe basis. Jika sema basis pada 0 maka sosi sdah fisibe dan jika 0 ntk sema maka tabe dikatakan optima. Mengganti variabe basis diakkan dengan da atran, yait: KUNCI I (Leaving Variabe) Piih, sehingga min. dengan adaah koom RHS yait R pada kass FVLP dan adaah variabe basis yang kear. KUNCI II (Entering Variabe) Piih koom ke- yang memenhi min <0, dengan R pada kass FNLP. Abaikan 0, apabia niai 0maka masaah tidak memiiki sosi fisibe. 5. Memiih sebagai nsr knci dan memperbari tabe simpeks fzzy. Apabia tabe simpeks bar masih terdapat niai <0, maka diakkan angkah keempat dan setersnya hingga diperoeh sosi fisibe dengan niai 0 ntk sema. Contoh 2.1 Diberikan kass minimasi FNLP seperti di bawah ini: Min 1,3,2,6 + 2,4,3,3 s.t 3 + 3 4 +3 6 +2 3, 0. Ubah tanda pertidaksamaan menjadi pada setiap kendaa dengan cara mengaikan keda ras kendaa dengan -1 pada bentk mm kass minimasi FNLP di atas sebagai berikt: s.t 3 + 3 3 3 4 +3 6 4 3 6 +2 3. 129
Bambang Irawanto, Djwandi, Sryoto dan Rizky Handayani (Metode Simpeks Prima-Da pada ) Ubah bentk mm kass minimasi FNLP yang bar ke daam bentk standar kass minimasi FNLP, yait dengan menambah variabe tambahan ata variabe sem sebagai berikt: 1,3,2,6 2,4,3,3 0 0 0 0 3 + 3 dengan, 130 4 3 + 6 +2 + 3,,,, 0. Ssnah bentk standar kass minimasi FNLP di atas ke daam tabe simpeks awa: Tabe 2.1 Tabe Simpeks Iterasi 0 BV RHS 1 3,1,6,2 4,2,3,3 0 0 0 0 0 3 1 1 0 0 3 0 4 3 0 1 0 6 0 1 2 0 0 1 3 R 3,1,6,2 3+1 + 2 6 2 2 + 4 4 1 1 2 R 4,2,3,3 4+2 + 3 3 2 2 +0 4 1+0 1 Memperbaiki tabe simpeks awa sehingga niai 0 ntk sema 1,2,,dengan mengganti sat variabe basis. Piih min,, 3, 6 6, sehingga terpiih sebagai eaving variabe dan piih min,, sehingga terpiih sebagai variabe basis yang bar (entering variabe) dengan demikian 3 terpiih sebagai nsr knci. Memperbari tabe simpeks di atas dengan menjadikan nsr knci berniai 1 sedangkan entri koom yang ainnya berniai 0 dengan meakkan operasi baris eementer. Iterasi ters diakkan sampai diperoeh tabe simpeks optima. Diperoeh niai sosi penyeesaian crisp optimanya adaah,,, niai fngsi tjan fzzy optimanya adaah 3,,,12, dan niai fngsi tjan crisp optimanya adaah R 3,,,12. + + Contoh 2.2Diberikan kass minimasi FVLP seperti di bawah ini: Min 48 +20 +8 s.t 8 +4 +2 20,80,20,60 6 +2 + 3 2 20,34,10,22 + 3 2 + 1 2 10,26,2,10,, 0 Dengan cara yang sama seperti pada Contoh 1, maka diperoeh niai sosi penyeesaian fzzy optimanya adaah, 20,42,34,30, 74,80,70,98, niai sosi penyeesaian crisp optimanya adaah, R 20,42,34,30,R 74,80,70,98 10,10, niai fngsi tjan fzzy optimanya adaah 0,488,216,360, dan niai fngsi tjan crisp optimanya adaah R0,488,216,360 + 280. + 3. PENUTUP Metode Simpeks Da dapat dignakan ntk menyeesaikan kass minimasi masaah program inier dengan koefisien fngsi tjan biangan
Jrna Matematika Vo. 19, No. 3, Desember 2016 : 121-131 trapezoida fzzy (FNLP) dan program inier dengan variabe trapezoida fzzy (FVLP).Niai fngsi tjan optima fzzy yang dihasikan kemdian dicrispkan dengan menggnakan fngsi ranking sehingga diperoeh niai fngsi tjan optima crisp nya. 4. DAFTAR PUSTAKA [1] Ssio, Frans. 2006. Himpnan dan Logika Kabr. Yogyakarta: Graha Im [2] Nezam Mahdavi-Amiri, Seyed Hadi Nasseri, (2005), Daity in Fzzy Variabe Linear Programming,Word Academy of Science, Engineering, and Techonoogy,6: 115-117. [3] Nezam Mahdavi-Amiri, Seyed Hadi Nasseri, (2007), Daity Rests and A Da Simpex Method for Linear Programming Probems with Trapezoida Fzzy Variabe, Fzzy Sets and Systems, 158 : 1961-1978. [4] Nezam Mahdavi-Amiri, Seyed Hadi Nasseri, Aahbakhsh Yazdani,(2009),Fzzy Prima Simpex Agorithms for Soving Fzzy Linear Programming Probems, Iranian Jorna of Operation Research.2:68-84. [5] Ebrahimnejad, Ai, (2011), A Prima- Da Agorithm for Soving Linear Programming Probems with Symmetric Trapezoida Fzzy Nmber, Appied Mathematica, 2 : 676-684. 131