BB 6 PRINSIP INKLUSI DN EKSKLUSI Pada baga aka ddskuska topk berkutya yatu eumeras yag damaka Prsp Iklus da Eksklus. Kosep dalam bab merupaka perluasa de dalam Dagram Ve beserta oepras rsa da gabuga, amu dalam bab kosep tersebut dperluas, da dperkaya dega lustras peerapa yag bervaras dalam matematka kombatork. Kta awal dega sebuah lustras: Sebuah perkulaha umum dhadr oleh 0 mahasswa yag memlk kegemara membaca da 0 mahasswa yag memlk kegemara meuls. Berapa mahasswa d dalam perkulaha tersebut yag memlk kegemara membaca atau meuls? Dar permasalaha terlhat bahwa formas yag dketahu belum memada. Bayakya mahasswa yag memlk kegemara membaca atau meuls haya dapat dketahu jka bayakya mahasswa yag meggemar kedua kegata tersebut dketahu. 6. Prsp Iklus-Eksklus Bayakya aggota hmpua gabuga atara hmpua da hmpua B merupaka jumlah bayakya aggota dalam hmpua tersebut dkurag bayakya aggota d dalam rsaya. Dega demka, B=B- B Cotoh 6. Dalam sebuah program stud peddka matematka yag terdr atas 50 mahasswa, terdapat 75 mahasswa yag megambl mata kulah persamaa dferesal da 5 mahasswa yag megambl mata kulah aalss kompleks, da 50 mahasswa yag megambl mata kulah persamaa dferesal da aalss kompleks. da berapa mahasswa d dalam perkulaha tu jka setap mahasswa megambl mata kulah persamaa dferesal, aalss kompleks, atau kedua-duaya? Peyelesaa: 56
Msalka adalah bayakya mahasswa yag megambl mata kulah persamaa dferesal da B meyataka mahasswa yag megambl mata kulah aalss kompleks. Maka B merupaka hmpua mahasswa yag megambl kedua mata kulah tersebut. Bayakya mahasswa d dalam kelas tu yag megambl mata kulah persamaa dferesal, aalss kompleks, atau kedua-duaya adalah B = B - B = 75 5 50 = 50. I berart, terdapat 50 mahasswa d dalam kelas yag megambl mata kulah persamaa dferesal, aalss kompleks, atau kedua-duaya. Karea bayakya sswa keseluruha d dalam kelas tersebut adalah 50 mahasswa, artya tdak terdapat mahasswa yag tdak memlh salah satu dar kedua kosetras tu. Perhatka dlustras berkut. B B S Gambar 6.. Dagram hmpua mahasswa peserta kulah Cotoh 6. D sebuah jurusa dalam suatu pergurua tgg terdapat 4 mahasswa tgkat. Dar seka bayak mahasswa tersebut, 87 d ataraya megambl mata kulah teor graf dskrt, 7 megambl mata kulah matematka ekoom, da 9 megambl mata kulah teor graf da matematka ekoom. Berapa bayak mahasswa yag tdak megambl sebuah mata kulah bak dalam teor graf maupu dalam matematka ekoom? Peyelesaa: Utuk meetuka bayakya mahasswa tgkat yag tdak megambl mata kulah teor graf ataupu matematka ekoom, kuraglah bayakya mahasswa yag megambl mata kulah dar salah satu mata kulah dar keseluruha bayakya mahasswa tgkat. Msalka merupaka hmpua semua mahaswa tgkat yag megambl mata kulah teor graf, da B adalah hmpua mahasswa yag megambl mata kulah matematka 57
ekoom. Maka =87, B=7, da B = 9. Bayakya mahasswa tgkat yag megambl mata kulah teor graf atau matematka ekoom adalah B = B - B = 87 7-9 = 60-9 =. I artya terdapat sebayak 4 = mahasswa tgkat yag tdak megambl mata kulah teor graf ataupu matematka ekoom. Dalam baga berkutya pada bab aka duraka bagamaa cara-cara meetuka bayakya aggota dalam gabuga atara hmpua terhgga dar sebuah hmpua. Hasl kemuda aka dkembagka mejad sebuah prsp yag damaka Prsp Iklus-Eksklus. Sebelum membcaraka gabuga dar hmpua, dega sebaga blaga bulat postf, sebuah rumusa bag bayakya aggota dalam gabuga hmpua, B, da C aka dturuka. Utuk meyusu rumus perlu dgat bahwa BC memblag tap aggota tepat satu kal dar ketga hmpua tersebut satu kal, aggota yag tepat kal dar hmpua-hmpua tu adalah dua kal, da aggota-aggota dalam hmpua tersebut kal. I dlustraska dalam Gambar 6.. Utuk membuag perhtuga yag berlebh dar bayakya agota dalam lebh dar satu hmpua, kurag bayakya aggota dalam rsa semua pasaga hmpua, sehgga memberka hasl BC- B- C - B C B S C Gambar 6.. Dagram tga hmpua 58
Ekspres mash mecakup aggota-aggota yag mucul tepat satu kal dar hmpua sebayak satu kal. Sebuah aggota yag mucul tepat dua kal dar hmpua juga dhtug tepat satu kal, karea aggota aka mucul dalam satu dar rsa hmpua terambl dalam sekal waktu. Namu, semua aggota yag mucul dalam hmpua tu aka terhtug ol kal dalam ekspres, karea mereka mucul dalam keseluruha dar rsa hmpua yag dambl kal dalam satu kal pegambla. Utuk memperbak kekuraga perhtuga, tambahka bayakya aggota dalam rsa seluruh hmpua. Ekspres fal memblag tap aggota satu kal, apakah tu, atau dalam hmpua. Jad, B C = BC- B- C-B C B C. Teorema 6. (Prsp Iklus-Eksklus) Msalka,,, adalah hmpua terhgga. Maka j j ). j k j k ( Cotoh 6.. Berka rumus bag bayakya aggota dalam gabuga 4 hmpua. Peyelesaa: Prsp Iklus-Eksklus membuktka bahwa Perhatka bahwa rumus megadug 5 suku yag berlaa, satu bag tap-tap hmpua baga tak kosog dar,,, 4. 6.. Betuk lteratf Prsp Iklus-Eksklus Bayak sekal masalah pemblaga yag dapat dselesaka dega megguaka Prsp Iklus-Eksklus. Sebaga cotoh, kta dapat megguaka prsp utuk meetuka bayakya blaga prma yag kurag dar sebuah blaga bulat postf. Bayakya masalah pemblaga yag dapat dselesaka dega memblag bayakya fugs oto dar suatu hmpua terhgga ke hmpua laya. Prsp Iklus-Eksklus dapat dguaka utuk meetuka bayakya fugs yag demka. Masalah 59
meujukka probabltas bahwa tak ada orag yag medapat top yag tepat dar seorag pejaga top yag memberka topya kembal secara acak. Terdapat betuk la dar Prsp Iklus-Eksklus yag bergua dalam masalah pemblaga. Secara khusus, betuk dapat dguaka utuk meyelesaka masalah yag memta bayakya aggota dalam sebuah hmpua yag tdak memlk sfat-sfat P, P,..., P. Msalka bahwa adalah hmpua baga yag megadug aggota-aggota yag memlk sfat P. Bayakya aggota dega semua sfat-sfat P P,, P,, dyataka dega ( P, P,, P ). Dega meuls kuattas dalam betuk suku-suku hmpua, kta peroleh ( P P P ) k k. Jka bayakya aggota yag tdak memlk sfat-sfat P, P,..., P dyataka dega ( P, P,, P ), maka berlaku ( P, P,, P ) = S-. Dar Prsp Iklus-Eksklus, kta dapat melhat bahwa ( P P P ) S P P Pj j k Pj Pk ( ) PP P j k P. Cotoh 6. memperlhatka bahwa prsp Iklus-Eksklus dapat dguaka utuk meetuka bayakya peyelesaa dalam blaga bulat dar sebuah persamaa dega beberapa persyarata. Cotoh 6.4. Berapakah bayakya peyelesaa dar persamaa x x x =0, jka x,, adalah blaga bulat tak egatf dega x, 4, da x 5? Peyelesaa: x x da x Utuk meyelesakaya kta guaka prsp klus-eksklus. Msalka sebuah peyelesaa memlk () sfat P, yatu x ; 60
() sfat P, yatu x 4; da () sfat P, yatu x 5. Utuk meetuka bayakya peyelesaa yag memeuh x, x 4, da x 5, kta msalka S= bayakya seluruh peyelesaa = C(0-,0)= 66. P = bayakya peyelesaa yag memeuh x 4 adalah C(6-,6) =8. P = bayakya peyelesaa yag memeuh x 5 adalah C(5-,5) =. P = bayakya peyelesaa yag memeuh x 6 adalah C(4-,4) = 5. P P = bayakya peyelesaa yag memeuh x 4 da x 5 adalah. P = bayakya peyelesaa yag memeuh x 4 da x 6 adalah. P = bayakya peyelesaa yag memeuh x 5 da x 6 adalah 0. P P = bayakya peyelesaa yag memeuh x 4, x 5, da x 6 adalah 0. Maka bayakya peyelesaa yag memeuh pertdaksamaa x, x 4, da x 6 adalah P P = S P P P P P P P P P = 66 8 5 0 0 = 5. 6.. plkas Prsp Iklus-Eksklus Prsp Iklus-Eksklus memlk bayak aplkas, d ataraya dalam peyeldka bayakya blaga prma dalam yag tdak melebh suatu blaga bulat postf tertetu. Perhtuga dapat dmafaatka dalam mejawab permasalaha sarga Eratosthees. Dalam sarga Eratosthees, kta membuat suatu sarga yag mampu meyargg blaga-blaga, demka sehgga yag terss setelah dsarg hayalah blaga prma yag dmaksud. Utuk memaham prsp, pertama-tama kta kaj pegerta blaga bulat kompost. Blaga kompost adalah blaga yag habs dbag oleh blaga prma yag tdak melebh akar kuadratya. Sebaga cotoh, 50 adalah blaga kompost. Blaga 6
dapat dbag habs oleh blaga prma yag tdak lebh dar 50 7. Dalam hal 50 habs dbag da 5. Utuk mecar bayakya blaga prma yag tdak lebh dar 00, kta perlu mecar blaga kompost yag tdak melebh 00. Karea 00 0, maka blagabaga prma yag kurag dar 0 adalah,, 5, 7. Dega demka bayakya blaga rpma yag tdak lebh dar 00 adalah 4 dtambah dega bayakya blaga bulat postf atara 00 yag habs dbag,, 5, atau 7. msalka Utuk memecahka masalah aka kta guaka prsp Iklus-Eksklus. Kta P : sfat bahwa sebuah blaga bulat habs dbag ; P : sfat bahwa sebuah blaga bulat habs dbag ; P : sfat bahwa sebuah blaga bulat habs dbag 5; P 4 : sfat bahwa sebuah blaga bulat habs dbag 7. Maka bayakya blaga prma yag tdak melebh 00 adalah 4 P. ' P Meggat bahwa blaga postf atara da 00 seluruhya ada 99, maka P = 99 P P P P P P P P P P P ' P P 4 P P P P P P P P = 99 00 00 00 00 5 7 00 00 5 00 7 00 5 00 7 00 00 00 00 00 = 5 7 5 7 5 7 5 =. Dega demka, terdapat 4 = 5 blaga prma yag tdak melebh 00. 7 6