Jrnal Matematika UNAND Vol. No. 2 Hal. 39 43 ISSN : 233 29 c Jrsan Matematika FMIPA UNAND EKSISTENSI BAGIAN IMAJINER PADA INTEGRAL FORMULA INVERSI FUNGSI KARAKTERISTIK YULIANA PERMATASARI Program Stdi Matematika, Fakltas Matematika Ilm Pengetahan Alam, Uniersitas Andalas Pag, Kamps UNAND Lima Manis Pag, Indonesia anazharian@gmail.com Abstrak. Formla inersi dari fngsi karakteristik ϕ X (t dengan fngsi distribsi F adalah T F (x F ( lim ntk setiap < x <. Syarat perl ckp ntk ( T lim Im ada adalah ada, dimana lim + G(, x (, d G(, x F ( + x F ( + x. Kata Knci: Fngsi distribsi, fngsi karakteristik, formla inersi.. Pendahlan Misalkan F (x adalah fngsi distribsi ϕ X (t fngsi karakteristik yang didefinisikan sebagai berikt ϕ X (t E[e itx ], di mana e itx cos(tx+i sin(tx. Formla inersi dari fngsi karakteristik ϕ X (t, yait T e x F (x F ( lim. (. Formla inersi ( dapat dipisahkan menjadi bagian real bagian imajiner, yait ( T ( Re Re ( Im ( Im 39
4 Yliana Permatasari karena bagian imajiner pada T e x tidak selal ada, dalam paper ini dibahas kajian eksistensi integral pada formla inersi ntk bagian imajiner. 2. Eksistensi Bagian Imajiner Pada Integral Formla Inersi Fngsi Karakteristik Teorema 2.. [3] Syarat perl ckp ntk ( lim Im T ada adalah ada, di mana lim + (2. G(, x (, d (2.2 G(, x F ( + x F ( + x (2.3 Bkti. Perhatikan bahwa bentk integral (3 ada pada lingkngan tak hingga. Kemdian misalkan Misalkan G(, x G(, [F ( + x F (] [F ( + x F ( ] (2.4 Dapat dilihat bahwa I(x, T F (x + F ( L(,. ( I(x, T Im df ( df ( df ( df ( x cos T. x sin xt sin t cos t + cos xt cos t t cos( xt cos t t sin t d x cos T d +x [G(, x G(, ] Berdasarkan Lema Riemann-Lebesge [2] maka lim [G(, x G(, ] cos T d df ( cos T d. d ntk setiap >.
Eksistensi Bagian Imajiner pada Integral Formla Inersi Fngsi Karakteristik 4 Untk > sebarang T dapat ditlis bahwa I(x, T [G(, x G(, ] (cos T d + ( Misalkan terdapat sebarang > di mana /T K G(, x G(, ( cos T d /T CT + /T K + K 2, cos T G(, x G(, d /T G(, x G(, d [G(, x G(, ] d + o( (2.5 (2.6 (2.7 ntk sat konstanta C. Karena F fngsi tak trn maka lim [G(, x G(, ], sehingga (8 konergen ke nol. Jadi dapat diperoleh Definisikan K o( ntk T. (2.8 χ( G(, x G(,. (2.9 Pilih > sedemikian sehingga χ( < δ ntk, ntk sebarang δ. Karena χ(/ terbatas pada [/T, ], dengan menggnakan Teorema Nilai Tengah Keda [] diperoleh K 2 /T /T cos T G(, x G(, χ( T χ ntk /T < ξ <. Maka K 2 d ( ξ cos T d T /T /T χ( Oleh karena (6 (7 diperoleh I(x, T d 2χ /T χ( ( χ( cos T d ξ (2. ( + 2χ( 4δ (2. T d 2δ + o(. (2.2 π Ini mennjkkan syarat ckp sekaligs menyatakan (3 ada. ( Misalkan χ( didefinisikan seperti (. Dapat dilihat bahwa lim + χ( c. Jika c, maka dengan menggnakan (6 diperoleh I(x, T c cos T d [χ( c]( cos T d + χ( d + o(. (2.3
42 Yliana Permatasari Perhatikan bahwa diperoleh /T [χ( c]( cos T d + L + L 2, /T L Dari (4 diperoleh I(x, T c cos T ntk sat konstanta C. /T CT cos T [χ( c]( cos T d /T χ( c d. d χ( /T d T d 2 χ( d C δ + o(, (2.4 sin 2 /2 d C 2 log T, (2.5 ntk sat konstanta C 2. Pilih sebarang >, diberikan η < C 2 sedemikian sehingga χ( c < η ntk < <. Maka χ( c d η log T. (2.6 /T Jika limit I(x, T ada ntk T, maka karena (6 (7, implikasi (5 kontradiksi. Oleh karena it maka c, sehingga I(x, T χ( d C δ + o(. (2.7 Syarat perl terbkti. /T 3. Ilstrasi Fngsi karakteristik dari sebaran U(, adalah ϕ X (t i( exp(it/t dengan fngsi distribsi F (x x. Maka formla inersi dari sebaran U(, adalah F (x F ( lim lim + i lim cos(t tx cos tx cos t + sin tx + sin(t tx + sin t
Diperoleh Eksistensi Bagian Imajiner pada Integral Formla Inersi Fngsi Karakteristik 43 I(x, T lim T Kemdian akan ditnjkkan ( lim Im T Perhatikan bahwa, I(x, T lim lim Sedemikian sehingga diperoleh, lim + sin tx + sin(t tx + sin t sin tx + sin(t tx + sin t G(, x G(, d cos T x + cos( + T x + xt sin T + cos T t 3 G(, x F ( + x F ( + x 2 G(, F ( + F ( + 2 G(, x G(, d lim + Dalam hal ini dapat dilihat bahwa, ( lim Im T lim + 2 2 d G(, x G(, d 4. Ucapan Terima kasih Penlis mengcapkan terima kasih kepada Bapak Dodi Deianto, Bapak Admi Nazra, Ib Hazmzra Yozza, Ib Lyra Ylianti, Bapak Syafrizal Sy, yang telah memberikan maskan saran sehingga makalah ini dapat diselesaikan dengan baik. Daftar Pstaka [] Bartle, R.G. Donald R.S. 927. Introdction to Real Analysis, 2 nd Edition. John Wiley and Sons Inc., Singapore. [2] Jain, P.K. V.P. Gpta. 976. Lebesge Measre and Integration. Wiley Eastern Limited, New Delhi. [3] Kawata, T. 969. On The Inersion Formla For The Characteristic Fnction. Pacific Jornal of Mathematics.