BAB IV PENGEMBANGAN MODEL KAPLAN

BAB IV PENGEMBANGAN MODEL KAPLAN Pada bab ini akan dibahas model yang dikembangkan dari model Kaplan. Terdapat beberapa asumsi Kaplan yang akan dimodifikasi. Selain itu, pada bab ini juga diberikan analisis titik kesetimbangan dan syarat kestabilan dari model. 4. Pengembangan Model Pada bab sebelumnya, Kaplan mengasumsikan bahwa semua pecandu mengunjungi galeri-galeri suntik dengan laju kedatangan yang sama. Bagaimanapun juga, beberapa pecandu tahu bahwa dirinya terinfeksi HIV. Oleh karena itu, diasumsikan bahwa laju kedatangan pecandu tersebut ke galeri suntik akan lebih rendah dibandingkan dengan pecandu yang susceptible dan pecandu yang tidak tahu dirinya terinfeksi HIV. Diasumsikan bahwa suatu fraksi p dari pecandu yang terinfeksi mengetahui jika dirinya terinfeksi HIV dan para pecandu ini mengunjungi galeri-galeri suntik dengan laju kedatangan sebesar λ 2. Pecandu yang susceptible dan pecandu yang terinfeksi tetapi tidak mengetahui jika dirinya terinfeksi mengunjungi galeri-galeri suntik dengan laju kedatangan yang lebih tinggi, yaitu sebesar λ. Kemudian diasumsikan juga bahwa suatu fraksi ξ dari seluruh pecandu (baik yang 4

susceptible maupun yang tidak) membersihkan alat suntik setelah digunakan, serta dimisalkan cara tersebut efektif dalam mendisinfektan alat suntik. Kaplan menetapkan θ sebagai fraksi dari pecandu yang susceptible yang membilas jarum yang tercemar dan α sebagai fraksi dari pecandu yang susceptible yang terinfeksi karena menggunakan jarum yang tercemar. Akan tetapi Kaplan tidak membahas lebih rinci mengenai peluang yang ada dari kejadian ini. Misalkan seorang pecandu yang susceptible menggunakan jarum yang tercemar, maka: i. P adalah peluang jarum terbilas dan pecandu menjadi terinfeksi, ii. P 2 adalah peluang jarum terbilas dan pecandu tetap susceptible, iii. P 3 adalah peluang pecandu menjadi terinfeksi tanpa membilas jarum, iv. P 4 adalah peluang pecandu tetap susceptible dan jarum tetap tercemar. Dengan P, P 2, P 3, dan P 4 bilangan positif dan P+ P2 + P3 + P4 =. Dalam modelnya, Kaplan mengasumsikan bahwa meskipun pecandu yang susceptible menggunakan jarum yang tercemar, maka jarum akan menjadi bersih kembali dengan suatu fraksi θ pada saat t. Jika pecandu yang terinfeksi menggunakan jarum suntik, maka jarum tersebut akan tercemar sebelum dibersihkan. Akan tetapi, itu bukanlah satu-satunya kemungkinan karena jarum dikatakan tercemar mungkin bergantung pada hal lain, yaitu banyaknya darah yang tertinggal di jarum dan jumlah virus yang terkandung dalam darah tersebut (meskipun tidak ada batasan aman untuk jumlah virus). Oleh karena itu, model Kaplan akan diperluas dengan memasukkan peluang bahwa pecandu yang terinfeksi tidak selalu meninggalkan jarum dalam keadaan tercemar bahkan tanpa disinfektan. Dimisalkan jika pecandu yang terinfeksi menggunakan: i. jarum yang bersih, maka jarum akan tercemar (tanpa disinfektan) dengan fraksi φ. 5

ii. jarum yang tercemar, maka proses penyuntikan akan membilas jarum dengan fraksi θ. Jumlah φ dan θ sebanding dengan peluang terbilas θ yang diperkenalkan oleh Kaplan, masing-masing parameter tersebut mengacu pada pecandu yang terinfeksi menggunakan jarum yang bersih, pecandu yang terinfeksi menggunakan jarum yang tercemar, dan pecandu yang susceptible menggunakan jarum yang tercemar. Akan dikembangkan model penyebaran HIV pada komunitas pecandu berdasarkan perluasan dari model Kaplan yang lebih realistis. Misalkan π () t adalah proporsi pecandu yang terinfeksi pada saat t, dan misalkan β () t adalah proporsi jarum yang tercemar pada saat t. Misalkan terdapat i buah jarum yang tercemar dan I pecandu yang terinfeksi pada saat t. Banyaknya jarum yang tercemar pada t+ Δ t : i. Galeri-galeri suntik dikunjungi oleh n( pπ ) orang pecandu dengan laju λ, dan npπ orang pecandu dengan laju λ 2. Masing-masing pecandu mengunjungi m galeri suntik secara acak. Oleh karena itu, rata-rata kedatangan di satu galeri suntik adalah sebanyak ( ) dengan γ = n, maka m { λ( π) + λ2 π γδ } p p t i λ pπ + λ pπ γ 2 dari i jarum yang tercemar pada saat t tidak digunakan oleh pecandu dalam interval [ tt, t) + Δ. ii. Rata-rata kedatangan pecandu yang terinfeksi pada satu galeri suntik adalah ( ) λ p + λ2p πγ. Jika seorang pecandu yang terinfeksi menggunakan peralatan menyuntik, maka alat tersebut akan tercemar sebelum dibersihkan dengan fraksi ( β )( φ ) β( θ ) +. Maka banyaknya jarum yang tercemar setelah digunakan oleh pecandu yang terinfeksi pada selang waktu yang sangat kecil [ tt, t) + Δ adalah 6

iii. ( ) ( ) ( ) m λ p + λ p πγ ξ βθ β φ Δt 2 Rata-rata kedatangan pecandu yang susceptible pada satu galeri suntik adalah λ γ ( π). Jika seorang pecandu yang susceptible menggunakan peralatan menyuntik yang tercemar, maka alat tersebut akan tercemar dengan fraksi ( P P )( ξ ). Oleh karena itu, banyaknya jarum yang 2 tercemar setelah digunakan oleh pecandu yang susceptible dalam interval yang sangat kecil [ tt, t) Sehingga diperoleh + Δ adalah ( ) ( )( ) λγ π i P P ξ Δ t 2 { λ( π) λ2 π γ } ( ) ( ) ( ) λγ( π) i( P P )( ξ) t it ( +Δ t) = p + p Δt i + m λ p + λ p πγ ξ βθ β φ Δt 2 + Δ 2 karena Δt dan β () t = it (), maka m β ( t+δt) β ( t) lim = λ( p) π + λ( π) + λ2pπ γβ Δt + λ + λ πγ ξ βθ β φ Δ t Sehingga diperoleh ( p) p ( ) ( ) ( ) ( P P )( ) 2 + λγ π β ξ 2 dβ = ( p) 2p {( ) ( ) } dt λ + λ πγ ξ βθ β φ β λγ ( π) β ( P P2)( ξ) (4.) Sekarang akan ditentukan banyaknya pecandu yang terinfeksi pada t+δ t. Pada saat t terdapat n I() t pecandu yang susceptible. Fraksi () t ( P P ) β + dari 3 pecandu tersebut menggunakan jarum yang tercemar dan menjadi terinfeksi. Maka banyaknya pecandu susceptible yang terinfeksi pada [ tt, t) +Δ adalah 7

[ ()] λβ() ( ) n I t t P + P Δ t. Karena sebesar μit () Δ tdari pecandu yang terinfeksi 3 berhenti menggunakan alat suntik dalam [ tt, t) karena Δt dan + Δ, maka [ ] λβ ( ) I( t+δ t) = I() t + n I() t () t P + P Δt μi() t Δt 3 It ( +Δt) It ( ) = {[ π( t) ] λβ ( t) ( P+ P3) μπ( t) } Δ t n π () t = It (), maka n π ( t+δt) π ( t) lim = [ π () t ] λβ () t ( P+ P3) μπ() t Δ t Δt Sehingga diperoleh dπ = ( π ) λβ ( P+ P3) μπ dt (4.2) Persamaan 4. dan 4.2 dapat ditulis sebagai dengan dβ = π ( σ τβ) ( π) ρβ, dt dπ = ( π) υβ μπ. dt (4.3) ( p) 2p ( )( ), ( p) 2p ( ) ( ) ( )( P P ), ( P P ). σ = λ + λ γ ξ φ τ = λ + λ γ φ ξ + θ ξ, ρ = λγ ξ 2 υ = λ + 3 sehingga σ, τ, ρ, dan υ bernilai positif dengan σ τ. (4.4) Tabel Variabel dan Parameter Simbol Parameter Satuan π proporsi pecandu yang terinfeksi - β proporsi jarum yang tercemar - n jumlah pecandu orang 8

m jumlah galeri suntik buah p fraksi dari pecandu yang terinfeksi yang tahu dirinya terinfeksi HIV λ 2 laju kedatangan p kali per tahun λ laju kedatangan p kali per tahun ξ P P 2 P 3 P 4 φ θ fraksi dari seluruh pecandu yang membersihkan alat suntik setelah digunakan peluang jarum terbilas dan pecandu menjadi terinfeksi jika jarum yang tercemar dipakai oleh pecandu yang susceptible peluang jarum terbilas dan pecandu tetap susceptible jika jarum yang tercemar dipakai oleh pecandu yang susceptible peluang pecandu menjadi terinfeksi tanpa membilas jarum jika jarum yang tercemar dipakai oleh pecandu yang susceptible peluang pecandu tetap susceptible dan jarum tetap tercemar jika jarum yang tercemar dipakai oleh pecandu yang susceptible fraksi jarum yang tercemar jika pecandu yang terinfeksi menggunakan jarum yang bersih (tanpa disinfektan) fraksi jarum menjadi bersih setelah digunakan oleh pecandu yang terinfeksi - - - - - - - i jumlah jarum yang tercemar buah I jumlah pecandu yang terinfeksi orang μ laju kematian pecandu orang per tahun 9

4.2 Titik Kesetimbangan dan Syarat Kestabilan Dari persamaan 4.3, akan dicari titik-titik kesetimbangan dan syarat kestabilan dari titik-titik tersebut. 4.2. Titik Kesetimbangan Persamaan 4.3 memiliki dua titik kesetimbangan, yaitu E ( π β ) = =, = dan συ ρμ συ ρμ E = π =, β = συ + τμ ρμ τυ. Titik kesetimbangan E terjadi pada saat seluruh pecandu tidak ada yang terinfeksi dan tidak ada jarum yang tercemar, disebut titik kesetimbangan bebas penyakit. Titik kesetimbangan E terjadi ketika terdapat pecandu yang terinfeksi HIV dan jarum yang tercemar. Eksistensi titik kesetimbangan E adalah pada saat π > dan β >. Pandang penyebut dari π, yaitu ( ) συ τμ ρμ συ μ τ ρ + = +. Agar συ+ τμ ρμ >, maka haruslah τ ρ. Oleh karena itu, π > diperoleh jika dan hanya jika συ ρμ > dan τ ρ. Begitu juga dengan β > diperoleh jika dan hanya jika pembilangnya positif atau συ ρμ >. Jadi, syarat eksistensi dari titik συ kesetimbangan E adalah τ ρ dan ρμ >. Dari syarat eksistensi E, diperoleh Basic Reproduction Ratio dari model 4.3, yaitu R συ = ρμ 2

4.2.2 Syarat Kestabilan Syarat kestabilan diperoleh dengan cara pelinieran di sekitar titik titik kesetimbangannya. Pelinieran mula-mula dilakukan dengan cara mencari matriks Jacobi dari persamaan 4.3 pada titik kesetimbangannya kemudian diperoleh persamaan karakteristiknya. Syarat kestabilan terbagi menjadi dua bagian berdasarkan titik kesetimbangan model, yaitu:. Kestabilan pada Titik Kesetimbangan Non Endemik (Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit) Matrik Jacobi dari persamaan 4.3 terhadap waktu di titik kesetimbangan bebas penyakit E ( π β ) = =, = adalah ρ σ υ μ Persamaan karakteristik dari matriks Jacobi di titik kesetimbangan bebas penyakit adalah 2 as + bs + c, dengan a =, b = μ+ ρ, c = συ+ ρμ. (4.4) Model akan stabil apabila nilai eigen dari persamaan karakteristiknya bernilai negatif. Dari Persamaan 4.4 terlihat bahwa a > dan b >, maka agar nilai eigennya bernilai negatif haruslah c >. c > diperoleh jika R < dengan συ R = ρμ Maka dapat diketahui bahwa titik kesetimbangan bebas penyakit dari persamaan 4.3 akan stabil asimtotik lokal jika dan hanya jika R < dan tidak stabil untuk R > 2. Kestabilan pada Titik Kesetimbangan Endemik Titik kesetimbangan endemiknya, yaitu 2

συ ρμ συ ρμ E = π =, β = συ + τμ ρμ τυ dengan Matriks Jacobinya di titik tersebut adalah ( συ+ ρμ) τ συ + ρμ συ + ρμ ρ( συ+ ρμ) + ρ σ + συ + τμ ρμ συ + τμ ρμ υ τυ συ + ρμ συ + ρμ + υ μ συ + τμ ρμ τ Persamaan karakteristik dari matrik Jacobi di titik kesetimbangan endemik adalah 2 ps + qs+ r, dengan p =, 2 + 2 2 + + + q = ( συ + τμ ρμ ) τ 2 2 2 2 2 2 2 τσ υ 2τσυρμ + τ συμ τ μ ρ + τμ ρ r =. τ συ τμ ρμ 2 2 2 2 2 2 2 2 σ υ συρμ συτμ τμ ρ τ μ μ ρ τ συ ( + ) Selanjutnya dengan aturan Descartes akan ditentukan apakah akar dari polinom tersebut bernilai negatif. Dengan mensubstitusikan s = s ke dalam persamaan karakteristiknya, maka diperoleh persamaan koefisien-koefisien ˆp = p, ˆq = q, dan ˆr = r, yaitu, 2 ˆ ˆ ˆ ps + qs+ r dengan pˆ =, 2 2 2 2 2 2 2 2 σ υ 2συρμ+ 2συτμ 2τμ ρ + τ μ + μ ρ + τ συ qˆ =, συ τμ ρμ τ ( + ) 2 2 2 2 2 2 2 τσ υ 2τσυρμ + τ συμ τ μ ρ + τμ ρ rˆ =. τ συ τμ ρμ ( + ) (4.5) Agar memenuhi syarat akar-akar real negatif menurut aturan Descartes, maka haruslah terdapat dua kali pergantian tanda dari koefisien ˆp ke ˆq, dan dari ˆq ke ˆr. Dari persamaan 4.5 diketahui bahwa p ˆ >. Sedangkan q ˆ < dipenuhi jika dan hanya jika τ ρ. Agar memenuhi aturan Descartes untuk 22

akar-akar real negatif, maka haruslah r ˆ > atau συ ρμ >, dan συ ρμ > jika dan hanya jika R > dengan συ R = ρμ Maka kestabilan titik kesetimbangan endemik Model 4.3 akan stabil asimtotik lokal jika dan hanya jika τ ρ dan R >. 4.3 Simulasi Model Diasumsikan semua pecandu mengunjungi galeri suntik dengan laju kedatangan yang sama (baik yang terinfeksi maupun tidak), maka λ = λ 2 dan tanpa mengurangi keumuman p =. Selain itu, dimisalkan pecandu mengunjungi galeri suntik sebanyak satu kali per minggu sehingga λ =,43 per hari. Peluang pecandu yang susceptible menjadi terinfeksi karena menggunakan jarum yang tercemar P+ P3 (α pada model Kaplan) dipilih sebesar,. Peluang jarum yang tercemar menjadi bersih karena digunakan oleh pecandu yang susceptible P+ P2 (θ pada model Kaplan) dipilih sebesar,25. Nilai φ dan θ (peluang jarum tidak tercemar setelah dipakai oleh pecandu yang terinfeksi) sangat kecil sehingga pada simulasi ini keduanya dimisalkan bernilai nol. Misalkan laju kematian μ adalah,25 per tahun dan rasio galeri γ = (satu pecandu per alat menyuntik). Akan dilakukan empat simulasi dengan parameter-parameter di atas, namun dengan nilai ξ yang berbeda-beda. ξ = Dengan mensubstitusikan semua parameter ke dalam persamaan 4.4, diperoleh nilai σ = 52,95; τ = 52,95 ; ρ = 3,49 ; dan υ =,522. 23

Kemudian diperoleh nilai R = συ = 8,35. ρμ Karena τ > ρ dan R >, maka dengan syarat awal π () > atau β () >, nilai β () t dan π () t akan menuju titik kesetimbangan E συ ρμ π, β συ ρμ = = = untuk t. συ + τμ ρμ τυ Substitusikan nilai σ, τ, ρ, dan υ yang telah diperoleh dengan μ =, 25 ke dalam titik kesetimbangannya E sehingga diperoleh titik kesetimbangan π =,648 dan β =,88. Gambar 4. fase plot dengan τ > ρ, ξ =, dan R = 8, 352 Gambar 4. menunjukkan bahwa dengan τ > ρ dan R >, maka dengan mengambil empat nilai awal sembarang, yaitu ( π(),99; β(),9) = =, ( π(),648; β(),) = =, ( π(), 648; β() ) = =, dan 24

( π(),; β(),) = =. Semua kurva akan menuju ke satu titik kesetimbangan π =,648 dan β =,88. ξ =, 25 Dengan mensubstitusikan semua parameter ke dalam persamaan 4.4, diperoleh σ = 39,46 ; τ = 52,95 ; ρ = 22,835; dan υ =,522 sehingga dapat dihitung nilai R, yaitu R = συ = 3,579. ρμ Karena τ > ρ dan R >, maka dengan syarat awal β () > atau π () >, nilai β () t dan π () t akan menuju titik kesetimbangan E συ ρμ π, β συ ρμ = = = untuk t. συ + τμ ρμ τυ Substitusikan nilai σ, τ, ρ, dan υ yang telah diperoleh dengan μ =, 25 ke dalam titik kesetimbangannya E sehingga diperoleh titik kesetimbangan π =, 53 dan β =,54. Gambar 4.2 fase plot dengan τ > ρ, ξ =, 25, dan R = 3, 5798575 25

Gambar 4.2 menunjukkan bahwa dengan τ > ρ dan R >, maka dengan mengambil empat nilai awal sembarang, yaitu ( π(),99; β(),9) = =, ( π(),53; β(),) = =, ( π(),53; β() ) = =, dan ( π(),; β(),) = =. Semua kurva akan menuju ke satu titik kesetimbangan π =, 53 dan β =,54. ξ =,5 Dengan mensubstitusikan semua parameter ke dalam persamaan 4.4, diperoleh σ = 26,98 ; τ = 52,95 ; ρ = 32,622 ; dan υ =,522 sehingga dapat dihitung nilai R, yaitu R = συ =, 67. ρμ Karena τ > ρ dan R >, maka dengan syarat awal β () > atau π () >, nilai β () t dan π () t akan menuju titik kesetimbangan E συ ρμ π, β συ ρμ = = = untuk t. συ + τμ ρμ τυ Substitusikan nilai σ, τ, ρ, dan υ yang telah diperoleh dengan μ =, 25 ke dalam titik kesetimbangannya E sehingga diperoleh titik kesetimbangan π =,295 dan β =, 2. 26

Gambar 4.3 fase plot dengan τ > ρ, ξ =, 5, dan R =, 67239999 Gambar 4.3 menunjukkan bahwa dengan τ > ρ dan R >, maka dengan mengambil empat nilai awal sembarang, yaitu ( π(),99; β(),9) = =, ( π(), 295; β(),) = =, ( π(), 295; β() ) = =, dan ( π(),; β(),) = =. Semua kurva akan menuju ke satu titik kesetimbangan π =,295 dan β =,2. ξ =,75 Dengan mensubstitusikan semua parameter ke dalam persamaan 4.4, diperoleh σ = 3,49 ; τ = 52,95 ; ρ = 42, 48 ; dan υ =,522 sehingga dapat dihitung nilai R, yaitu R = συ =,642. ρμ 27

Karena R <, maka dengan syarat awal β () > atau π () >, nilai β () t dan () t untuk t. π akan menuju titik kesetimbangan E = ( π = β = ), Gambar 4.4 fase plot dengan τ > ρ, ξ =, 75, dan R =, 6424 Gambar 4.4 menunjukkan bahwa dengan R <, maka dengan mengambil empat nilai awal sembarang, yaitu ( π(),99; β(),9) = =, ( π(),53; β(),) = =, ( π(),53; β() ) ( π(),; β(),8) = =, dan = =. Semua kurva akan menuju ke titik kesetimbangan π = dan β =. Pada keadaan R > (gambar 4., 4.2, dan 4.3), semua kurva konvergen menuju satu titik kesetimbangan, sedangkan pada keadaan R < (gambar 4.4), kurva konvergen ke titik kesetimbangan dimana penularan HIV tidak lagi 28

terjadi. Oleh karena itu, dengan nilai parameter tersebut, sekitar 65% pecandu harus membersihkan alat suntik setelah digunakan. Hal itu dilakukan agar diperoleh nilai R < sehingga menghilangkan HIV dalam waktu yang cukup lama. 29