BAB I LIMIT-LIMIT Limit-limit Fungsi

.. Limit-it Fungsi BAB I LIMIT-LIMIT... Definisi. Misalkan A R. Suatu titik c R adalah titik cluster dari A jika setiap lingkungan-δ dari c, V δ (c) = (c-δ,c+δ), memuat paling sedikit satu titik dari A yang berbeda dengan c. Catatan : Titik c merupakan anggota dari A atau bukan, tetapi meskipun demikian itu tidak menentukan apakah c suatu titik cluster dari A atau bukan, karena secara khusus yang diperlukan adalah bahwa adanya titiktitik dalam V δ (c) A yang berbeda dengan c agar c menjadi titik Cluster dari A, dengan demikian c akan menjadi titik cluster dari A jika dan hanya jika V δ (c) A\{c}.... Teorema. Suatu bilangan c R merupakan titik cluster dari A R jika dan hanya jika terdapat barisan bilangan real (a n ) dalam A dengan a n c untuk semua n N sedemikian sehingga (a n ) = c. Bukti. Jika c merupakan titik cluster dari A, maka untuk setiap n N, lingkungan-(/n) dari c, V /n (c), memuat paling sedikit satu titik yang berbeda dengan c. Jika titik yang dimaksud adalah a n, maka a n A, a n c, dan (a n ) = c. Sebaliknya, jika terdapat suatu barisan (a n ) dalam A\{c} dengan (a n ) = c, maka untuk sebarang δ>0 terdapat bilangan asli K(δ) sedemikian sehingga jika n K(δ), maka a n V δ (c). Oleh karena itu lingkungan-δ dari c, V δ (c), memuat titik-titik a n, n K(δ), yang mana termuat dalam A dan berbeda dengan c. Contoh-contoh berikut ini menekankan bahwa suatu titik cluster dari suatu himpunan dapat masuk dalam himpunan tersebut atau tidak. Bahkan lebih dari itu, suatu himpunan bisa mungkin tidak mempunyai titik cluster...3. Contoh-contoh. (a) Jika A = (0,), maka setiap titik dalam interval tutup [0,] merupakan titik cluster dari A. Perhatikan bahwa 0 dan adalah titik cluster dari A, meskipun titiktitik itu tidak termuat dalam A. Semua titik dalam A adalah titik cluster dari A (mengapa?) (b) Suatu himpunan berhingga tidak mempunyai titik cluster (mengapa?) (c) Himpunan tak berhingga N tidak mempunyai titik cluster. (d) Himpunan A 4 = {/n : n N} hanya mempunyai 0 sebagai titik clusternya. Tidak satu pun titik dalam A 4 yang merupakan titik cluster dari A 4. (e) Himpunan A 5 = I Q yaitu himpunan semua bilangan rasional dalam interval tutup I=[0,]. Ini menunjukkan bahwa setiap titik dalam I merupakan titik cluster dari A 5. Definisi Limit Sekarang kita kembali kepada pengertian it dari suatu fungsi pada titik cluster domainnya...4 Definisi. Misalkan A R, f : A R, dan c suatu titik cluster dari A. Kita katakan bahwa suatu bilangan real L merupakan it dari f pada c jika diberikan sebarang lingkungan-ε dari L, V ε (L),

terdapat lingkungan-δ dari c, V δ (c) sedemikian sehingga jika c sebarang titik dari V δ (c) A, maka f() termasuk dalam V ε (L). (Lihat Gambar..) y f ( Diberikan V ε (L) Lo ( Gambar.. Limit dari f pada c adalah L Jika L merupakan suatu it dari f pada c, maka kita juga mengatakan bahwa f konvergen ke L pada c. Sering dituliskan L = f atau L = f ( ) Kita juga mengatakan bahwa f() menuju L sebagaimana mendekat ke c, atau f() menuju L sebagaimana menuju ke c. Simbol F() L sebagaimana c juga dipergunakan untuk menyatakan fakta bahwa f mempunyai it L pada c. Jika f tidak mempunyai suatu it pada c, kita akan sering mengatakan bahwa f divergen pada c...5. Teorema. Jika f : A R dan c suatu titik cluster dari A, maka f hanya dapat mempunyai satu it pada c. Bukti. Andaikan kontradiksi, yaitu terdapat bilangan real L L yang memenuhi definisi..4. Kita pilih ε>0 sedemikain sehingga lingkungan-ε dari L daan L, yaitu V ε (L ) dan V ε (L ) saling lepas. Sebagai contoh, kita dapat mengambil sebarang ε yang lebih kecil dari ½ L L. Maka menurut definisi..4, terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika sebarang titik dalam A V δ (c) dan c, maka f() termuat dalam V ε (L ). Secara serupa, terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika sebarang titik dalam A V δ (c) dan c, maka f() termuat dalam V ε (L ). Sekarang ambil δ = inf{δ,δ }, dan misalkan V δ (c) lingkungan-δ dari c. Karena c titik cluster dari A, maka terdapat paling sedikit satu titik 0 c sedemikian sehingga 0 A V δ (c). Akibatnya, f( 0 ) mesti termasuk dalam V ε (L ) dan V ε (L ), yang mana kontradiksi dengan fakta bahwa kedua himpunan ini saling lepas. Jadi asumsi bahwa L L merupakan it-it f pada c menimbulkan kontradiksi. Kriteria ε-δ untuk Limit..6 Teorema. Misalkan f : A R dan c suatu titik cluster dari A, maka (i) f = L jika dan hanya jika ( o c Ada V δ (c) (

(ii) untuk sebarang ε > 0 terdapat suatu δ(ε) > 0 sedemikian sehingga jika A dan 0 < - c < δ(ε), maka f() - L < ε. Bukti. (i) (ii) Anggaplah bahwa f mempunyai it L pada c. Maka diberikan ε > 0 sebarang, terdapat δ = δ(ε) > 0 sedemikian sehingga untuk setiap dalam A yang merupakan unsur dalam lingkungan-δ dari c, V δ c), c, nilai f() termasuk dalam lingkungan-ε dari L, V ε (L). Akan tetapi, V δ (c) dan c jika dan hanya jika 0 < - c < δ. (Perhatikan bahwa 0 < - c adalah cara lain untuk menyatakan bahwa c). Juga, f() termasuk dalam V ε (L) jika dan hanya jika f() L < ε. Jadi jika A memenuhi 0 < - c < δ, maka f() memenuhi f() - L <ε. (ii) (i) Jika syarat yang dinyatakan dalam (ii) berlaku, maka kita ambil lingkungan-δ dari c, V δ (c) = (c - δ,c + δ) dan lingkungan-ε dari L, V ε (L) = (L - ε,l + ε). Maka syarat (ii) berakibat jika masuk dalam V δ (c), dimana A dan c, maka f() termasuk dalam V ε (L). Oleh karena itu, menurut definisi..4, f mempunyai it L pada c. Sekarang akan memberikan beberapa contoh untuk menunjukkan bagaimana Teorema..6. sering dipergunakan...7. Contoh-contoh. (a) b = b. Untuk menjadi lebih eksplisit, misalkan f() = b untuk semua R; kita claim bahwa = b. Memang, jika diberikan ε > 0, misalkan δ = ε. Maka jika 0 < - c < ε, kita mempunyai f() - b = b - b = 0 < δ =ε. Karena ε > 0 sebarang, kita simpulkan dari..6(ii) bahwa f = b. f (b). = c. c Misalkan g() = untuk semua R. Jika ε > 0 misalkan δ(ε) = ε. Maka jika 0 < - c < δ(ε), maka secara trivial kita mempunyai g() - c = - c < ε. Karena ε > 0 sebarang, maka kita berkesimpulan bahwa (c). g = c. = c. Misalkan h() = untuk semua R. Kita ingin membuat selisih h() c = c lebih kecil dari suatu ε > 0 yang diberikan dengan pengambilan yang cukup dekat dengan c. Untuk itu, kita perhatikan bahwa c = ( c)( + c). Selain itu, jka - c <, maka c + dengan demikian + c + c c +. Oleh karena itu, jika - c <, kita mempunyai (*) c = c + c ( c + ) - c 3

Selain itu suku terakhir ini akan lebih kecil dari ε asalkan kita mengambil - c < ε/( c + ). Akibatnya, jika kita memilih δ(ε) = inf ε,, maka jika 0 < - c < δ(ε), pertama akan berlaku c + bahwa - c < dengan demikian (*) valid. Selanjutnya, karena - c < ε/( c + ) maka c < ε/( c + ) - c < ε. Karena kita mempunyai pilihan δ(ε) > 0 untuk sebarang pilihan dari ε > 0, maka dengan demikian kita telah menunjukkan bahwa h( ) = = c. (d) =, jika c > 0. c Misalkan ϕ() = / untuk > 0 dan misalkan c > 0. Untuk menunjukkan bahwa ϕ c = /c kita ingin membuat selisih ( ) ϕ = c lebih kecil dari ε > 0 yang diberikan dengan c pengambilan cukup dekat dengan c > 0. Pertama kita perhatikan bahwa = ( c ) c c = c c untuk > 0. Itu berguna untuk mendapatkan batas atas dari /(c) yang berlaku dalam suatu lingkungan c. Khususnya, jika - c < c, maka c < < 3 c (mengapa?), dengan demikian 0 < < c c untuk - c < c. Oleh karena itu, untuk nilai-nilai ini kita mempunyai (#) ( ) ϕ < c c c. Agar suku terakhir lebih kecil dar ε, maka cukup mengambil c < c ε. Akibatnya, jika kita memilih δ(ε) = inf{ c, c ε}, maka apabila 0 < - c < δ(ε), pertama yang berlaku bahwa - c < c dengan demikian (#) valid, dan olehnya itu, karena c < c ε maka berlaku ( ) ϕ = c < ε. Karena kita mempunyai pilihan δ(ε) > 0 untuk sebarang pilihan dari ε > 0, maka dengan c demikian kita telah menunjukkan bahwa ϕ( ) = = c. c (e). memberikan 3 4 = + 4 5 Misalkan ψ() = ( 3 4)/( + ) untuk R. Maka sedikit manipulasi secara aljabar 4

4 ψ ( ) = 5 5 3 4 5 ( + ) 4 5 + 6 = - 5 ( + ) Untuk mendapatkan suatu batas dari koefisien -, kita membatasi dengan syarat < < 3. Untuk dalam interval ini, kita mempunyai 5 + 6 + 5(3 ) + 6(3) + =75 dan 5( + ) 5( + ) = 0, dengan demikian ( ) 4 75 5 ψ - = -. 5 0 Sekarang diberikan ε > 0, kita pilih δ(ε) = inf, ε. Maka jika 0 < - < δ(ε), kita mempunyai 5 ψ() (4/5) (5/) - < ε. Karena ε > 0 sebarang, maka contoh (e) terbukti. Kriteria Barisan Untuk Limit maka :..8. Teorema. (Kriteria Barisan) Misalkan f : A R dan c suatu titik cluster dari A; (i) f = L jika dan hanya jika (ii) untuk sebarang barisan ( n ) dalam A yang konvergen ke c sedemikian sehingga c untuk semua n N, barisan (f( n )) konvergen ke L. Bukti. (i) (ii). Anggaplah f mempunyai it L pada c, dan asumsikan ( n ) barisan dalam A dengan ( ) = c dan n c untuk semua n N. Kita mesti membuktikan bahwa barisan (f( n )) n konvergen ke L. Misalkan ε > 0 sebarang, maka dengan Kriteria ε-δ..6, terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika memenuhi 0 < - c < δ, dimana A maka f() memenuhi f() - L < ε. Sekarang kita akan menggunakan definisi kekonvergenan barisan untuk δ yang diberikan untuk memperoleh bilangan asli K(δ) sedemikian sehingga jika n > K(δ) maka n c < δ. Akan tetapi untuk setiap n yang demikian kita mempunyai f( n ) - L < ε. Jadi, jika n > K(δ), maka f( n ) - L < ε. Oleh karena itu, barisan (f( n )) konvergen ke L. (ii) (i). [Pembuktian ini merupakan argumen kontrapositif.] Jika (i) tidak benar, maka terdapat suatu lingkungan-ε 0 dari L, ( L) Vε 0, sedemikian sehingga lingkunga-δ dari c apapun yang kita pilih, akan selalu terdapat paling kurang satu δ dalam A V δ (c) dengan δ c sedemikian sehingga f( δ ) ( L) Vε 0. Dari sini untuk setiap n N, lingkungan-(/n) dari c memuat suatu bilangan n sedemikian sehingga 0 < n - c < /n dan n A, tetapi sedemikian sehingga f( n ) - L ε 0 untuk semua n N. Kita menyimpulkan bahwa barisan ( n ) dalam A\{c} konvergen ke c, tetapi barisan (f( n )) tidak konvergen ke L. Oleh karena itu kita telah menunjukkan bahwa jika (i) tidak benar, maka (ii) juga tidak benar. Kita simpulkan bahwa (ii) menyebabkan (i). 5

Kriteria Kedivergenan..9. Kriteria Divergensi. Misalkan A R, f : A R dan c R suatu titik cluster dari A. (a). Jika L R, maka f tidak mempunyai it L pada c jika dan hanya jika terdapat suatu barisan ( n ) dalam A dengan n c untuk semua n N sedemikian sehingga barisan ( n ) konvergen ke c tetapi barisan (f( n )) tidak konvergen ke L. (b). Fungsi f tidak mempunyai it pada c jika dan hanya jika terdapat suatu barisan ( n ) dalam A dengan n c untuk semua n N sedemikian sehingga barisan ( n ) konvergen ke c tetapi barisan (f( n )) tidak konvergen dalam R...0. Contoh-contoh. (a). ( / ) tidak ada dalam R. 0 Seperti Contoh dalam..7(d), misalkan ϕ() = / untuk > 0. Akan tetapi, disini kita menyelidiki pada c = 0. Argumen yang diberikan pada contoh..7(d) gagal berlaku jika c = 0 karena kita tidak akan memperoleh suatu batas sebagaimana dalam (#) pada contoh tersebut. Jika kita mengambil barisan ( n ) dengan n = /n untuk n N, maka ( n ) = 0, tetapi ϕ( n ) = //n = n. Seperti kita ketahui bahwa barisan (ϕ( n )) = (n) tidak konvergen dalam R, karena barisan ini tidak terbatas. Dari sini, dengan Teorema..9(b), ( / ) (b) sgn( ) tidak ada. 0 Misalkan fungsi signum didefinisikan dengan +, sgn() = 0,, untuk > 0 untuk = 0 untuk < 0 tidak ada dalam R. [Akan tetapi, lihat contoh.3.9(a).].( 0 ) - Gambar 4.. Fungsi Signum Perhatikan bahwa sgn() = / untuk 0. (Lihat Gambar..) Kita akan menunjukkan bahwa sgn tidak mempunyai it pada = 0. Kita akan mengerjakan ini dengan menunjukkan bahwa terdapat barisan ( n ) sedemikian sehingga ( n ) = 0, tetapi sedemikian sehingga (sgn( n )) tidak konvergen. Misalkan n = (-) n /n untuk n N dengan demikian ( n ) = 0. Akan tetapi, karena sgn( n ) = (-) n untuk n N, maka (sgn( n )) tidak konvergen. Oleh karena itu (sgn( n )) tidak ada. 6

(c) sin(/) tidak ada dalam R. Misalkan g() = sin(/) untuk 0. (Lihat Gambar..3.) Kita akan menunjukkan bahwa g tidak mempunyai it pada c = 0, dengan memperlihatkan dua barisan ( n ) dan (y n ) dengan n 0 dan y n 0 untuk semua n N dan sedemikian sehingga ( n ) = 0 = (y n ), tetapi sedemikian sehingga (g( n )) (g(y n )). Mengingat Teorema..9, ini mengakibatkan mengapa.) g tidak ada. (Jelaskan Gambar. 3. Grafik f() = sin(/), 0 Kita mengingat kembali dari kalkulus bahwa sin t = 0 jika t = nπ untuk n Z, dan sin t = + jika t = ½π + πn untuk n Z. Sekarang misalkan n = untuk n N; maka ( nπ n ) = 0 dan g( n ) = 0 untuk semua n N, dengan demikian (g( n )) = 0. Di pihak lain, misalkan y n = (½π + πn) - untuk n N; maka (y n ) = 0 dan g(y n ) = sin(½π + πn) = untuk semua n N, dengan demikian (g(y n )) =. Kita simpulkan bahwa sin(/) tidak ada. Soal-soal Latihan. Tentukan suatu syarat pada - yang akan menjamin bahhwa : (a) - < ½, (b) - < /0 3 (c) (d) - < /n untuk suatu n N yang diberikan, 3 - < /n untuk suatu n N yang diberikan.. Misalkan c suatu titik cluster dari A R dan f : A R. Buktikan bahwa ( ) f = L jika dan hanya jika f ( ) L = 0. 3. Misalkan f : R R, dan c R. Tunjukkan bahwa f ( ) = L jika dan hanya jika f ( + c) = L. 7

4. Misalkan f : R R, I R suatu interval buka, dan c I. Jika f merupakan pembatasan dari f pada I, tunjukkan bahwa f mempunyai suatu it pada c jika dan hanya jika f mempunyai suatu it pada c dan tunjukkan pula bahwa f = f. 5. Misalkan f : R R, J R suatu interval tutup, dan c J. Jika f merupakan pembatasan dari f pada I, tunjukkan bahwa jika f mempunyai suatu it pada c dan hanya jika f mempunyai suatu it pada c. Tunjukkan bahwa tidak berlaku bahwa jika f mempunyai suatu it pada c dan hanya jika f mempunyai suatu it pada c. 6. Misalkan I = (0,a), a > 0, dan misalkan g() = untuk I. Untuk sebarang,c dalam I, tunjukkan bahwa g() c a - c. Gunakan ketaksamaan ini untuk membuktikan bahwa = c untuk sebarang c I. 7. Misalkan I R suatu interval, f : I R, dan c I. Misalkan pula terdapat K dan L sedemikian sehingga f() - L K - c untuk I. Tunjukkan bahwa f = L. 8. Tunjukkan bahwa 3 = c 3 untuk sebarang c R. 9. Tunjukkan bahwa = c untuk sebatang c 0. 0. Gunakan formulasi ε-δ dan formulasi formulasi barisan dari pengertian it untuk memperlihatkan berikut : (a) = - ( > ), (b) = + ( > 0), (c) = 0 ( 0), (d) + = + ( > 0).. Tunjukkan bahwa it-it berikut ini tidak ada dalam R: (a) ( > 0), (b) ( > 0), (c). ( + sgn( ) ), (d) sin ( 0).. Misalkan fungsi f : R R mempunyai it L pada 0, dan misalkan pula a > 0. Jika g : R R didefinisikan oleh g() = f(a) untuk R, tunjukkan bahwa 3. Misalkan c titik cluster dari A R dan f : A R sedemikian sehingga ( f ( ) ) bahwa jika L =,0, maka f ( ) tidak mempunyai suatu it pada c. g = L. = L. Tunjukkan = 0. Tnjukkan dengan contoh bahwa jika L 0, maka f bisa mungkin 4. Misalkna f : R R didefinisikan oleh f() = jika rasional, dan f() = 0 jika irasional. Tunjukkan bahwa f mempunyai suatu it pada = 0. Gunakan argumen barisan untuk menunjukkan bahwa jika c 0, maka f tidak mempunyai it pada c... Teorema-teorema Limit 8

.. Definisi. Misalkan A R, f : R R, dan c R suatu titik cluster dari A. Kita mengatakan bahwa f terbatas pada suatu lingkungan dari c jika terdapat lingkungan-δ dari c, V δ (c) dan suatu konstanta M > 0 sedemikian sehingga f() M untuk semua A V δ (c)... Teorema Jika A R dan f : A R mempunyai suatu it pada c R, maka f terbatas pada suatu lingkungan dari c. Bukti. Jika L = f ( ), maka oleh Teorema..6, dengan ε =, terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika 0 < - c < δ, maka f() - L < ; dari sini f() - L f() - L <. Oleh karena itu, jika A V δ (c), c, maka f() L +. Jika c A, kita pilih M = L +, sedangkan jika c A kita pilih M = sup{ f(c), L +}. Ini berarti bahwa jika c A V δ (c), maka f() M. Ini menunjukkan bahwa f terbatas pada V δ (c) suatu lingkungan-δ dari c...3 Definisi Misalkan A R dan misalkan pula f dan g fungsi-fungsi yang terdefinisi pada A ke R. Kita mendefinisikan jumlah f + g, selisih f g, dan hasil kali fg pada A ke R sebagai fungsifungsi yang diberikan oleh (f + g)() = f() + g(), (f - g)() = f() - g(), dan (fg)() = f()g(), untuk semua A. Selanjutnya, jika b R, kita definisikan kelipatan bf sebagai fungsi yang diberikan oleh (bf)() = bf() untuk semua A. Akhirnya, jika h() 0 untuk A, kita definisikan hasil bagi f/h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai f h ( ) f = h ( ) ( ) untuk semua A...4 Teorema. Misalkan A R, f dan g fungsi-fungsi pada A ke R, dan c R titik cluster dari A. Selanjutnya, misalkan b R. (a) Jika f = L dan g = M, maka ( f + g) = L + M, ( f g) = L - M, ( fg) = LM, ( bf ) f L =. h H = bl. (b) Jika h : A R, h() 0 untuk semua A, dan jika h = H 0, maka 9

Bukti. Salah satu cara pembuktian dari teorema-teorema ini sangat serupa dengan pembuktian Teorema 3..3. Secara alternatif, teorema ini dapat dibuktikan dengan menggunakan Teorema 3..3 dan Teorema..8. Sebagai contoh, misalkan ( n ) sebarang barisan dalam A sedemikain sehingga n c untuk semua n N,dan c = ( n ). Menurut Teorema..8, bahwa Lim (f( n )) = L, (g( n )) = M. Di pihak lain, Definisi..3 mengakibatkan (fg)( n ) = f( n )g( n ) untuk semua n N. Oleh karena itu suatu aplikasi dari Teorema 3..3 menghasilkan Lim ((fg)( n )) = (f( n )g( n )) = ( f( n )) ( (g( n ))) = LM. Bagian lain dari teorema ini dibuktikan dengan cara yang serupa. Kita tinggalkan untuk dilakukan oleh pembaca. Catatan () Kita perhatikan bahwa, dalam bagian (b), asumsi tambahan dibuat bahwa H = ( ) ( ) h 0. f Jika asumsi ini tidak dipenuhi, maka tidak ada. Akan tetapi jika it ini ada, kita tidak dapat c h menggunakan Teorema..4(b) untuk menghitungnya. () Misalkan A R, dan f, f,, f n fungsi-fungsi pada A ke R, dan c suatu titk cluster dari A. Jika L k = f k untuk k =,,, n, maka,menurut Teorema..4 dengan argumen induksi kita peroleh bahwa L + L + + L n = ( f + f + L + f ) dan L L L n = ( f f L f ) (3) Khususnya, kita deduksi dari () bahwa jika L = f n dan n N, maka L n = ( f ( ) ) n..5 Contoh-contoh (a) Beberapa it yang diperlihatkan dalam Pasal. dapat dibuktikan dengan menggunakan Teorema..4. Sebagai contoh, mengikuti hasil ini bahwa karena n = c, c maka (b) 4)) = 5(4) = 0. = c, dan jika c > 0, maka ( + )( 3 4) = 0 =. c Berdasarkan Teorema..4, kita peroleh bahwa ( + )( 3 4) = ( ( + ))( ( 3 3 4 4 (c) =. + 5 Jika kita menggunakan Teorema..4(b), maka kita mempunyai 3 4 = + 3 ( 4) ( + ) Perhatikan bahwa karena it pada penyebut [yaitu ( + ) Teorema..4(b) dapat dipergunakan. = 4. 5 = 5] tidak sama dengan 0, maka 0

4 4 (d) =. 3 6 3 Jika kita misalkan f() = 4 dan h() = 3 6 untuk R, maka kita tidak dapat menggunakan Teorema..4(b) untuk meneghitung (f()/h()) sebab H = h( ) = ( 3 6) ( )( + ) 3( ) = 3-6 = 3() 6 = 0. Akan tetapi, jika, maka berarti bahwa = ( + ). Oleh karena itu kita mempunyai 3 3 4 6 4 3 6 = 3 ( + ) = = + = 4 3 ( + ) = 3 3 Perhatikan bahwa fungsi g() = ( 4)/(3 6) mempunyai it pada = meskipun tidak terdefinisi pada titik tersebut. (e) tidak ada dalam R. 0 Tentu saja = dan H = 0 menggunakan Teorema..4(b) untuk menghitung = 0. Akan tetapi, karena H = 0, kita tidak dapat. Kenyataannya, seperti kita telah lihat 0 pada Contoh..0(a), fungsi ϕ() = / tidak mempunyai it pada = 0. Kesimpulan ini mengikuti juga Teorema.. karena fungsi ϕ() = / tidak terbatas pada lingkungan dari = 0. (Mengapa?) (f) Jika p fungsi polinimial, maka p( ) = p(c). Misalkan p fungsi polinimial pada R dengan demikian p() = a n n + a n- n- + + a + a 0 untuk semua R. Menurut Teorema..4 dan fakta bahwa p( ) k n n = [ a + a + + a + a ] n + ( a ) n + a0 Dari sini p( ) = p(c) untuk ssebarang fungsi polinomial p. 0 = c k, maka L = ( a ) + ( a ) + n n = a n c n + a n- c n- + + a c + a 0 = p(c). (g) Jika p dan q fungsi-fungsi polinomial pada R dan jika q(c) 0, maka ( ) n n ( c) ( c) p( ) p =. q q Karena q() suatu fungsi polinomial, berarti menurut sutu teorema dalam aljabar bahwa terdapat paling banyak sejumlah hingga bilangan real α, α,,α m [pembuat nol dari q()] sedemikain sehingga q(α j ) = 0 dan sedemikian sehingga jika {α, α,, α m } maka q() 0. Dari sini, jika

{α, α,, α m } kita dapat mendefinisikan r() = p q ( ) ( ) q(c) 0, dari berdasarkan bagian (f) bahwa q( ) c. Jika c bukan pembuat nol dari q(), maka = q(c). 0. Oleh karena itu kita dapat menggunakan Teorema..4(b) untuk menyimpulkan bahwa p( ) p( ) p = =. q q ( ) q( ) ( c) ( c)..6 Teorema Misalkan A R. f : A R dan c R suatu titik cluster dari A. Jika a f() b untuk semua A, c, dan jika f ada, maka a f b. c c Bukti. Jika L = c f, maka menurut Teorema..8 bahwa jika ( n ) sebarang barisan bilangan real sedemikain sehingga c n A untuk semua n N dan jika barisan ( n ) konvergen ke c, maka barisan (f( n )) konvergen ke L. Karena a f( n ) b untuk semua n N, berarti menurut Teorema 3..6 bahwa a L b...7 Teorema Apit. Misalkan A R, f,g,h : A R, dan c R suatu titik cluster dari A. Jika f() g() h() untuk semua A, c, dan jika f = L = h, maka g = L. c c c..8 Contoh-contoh (a) 3/ = 0 ( > 0). Misalkan f() = 3/ untuk > 0. Karena ketaksamaan < / berlaku untuk 0 <, maka berarti bahwa < f() = 3/ untuk 0 <. Karena = 0 dan = 0, maka dengan menggunakan Teorema Apit..7 diperoleh 3/ = 0. (b) sin = 0. 0 Dapat dibuktikan dengan menggunakan pendekatan deret Taylor (akan dibahas pada lanjutan dari tulisan ini) bahwa - sin untuk semua 0. Karena ( ± ) Teorema Apit bahwa sin = 0. 0 (c) cos =. 0 0 = 0, maka menurut Dapat dibuktikan dengan menggunakan pendekatan deret Taylor (akan dibahas pada lanjutan dari tulisan ini) bahwa (*) - ½ cos untuk semua R. Karena ( ) =, maka menurut Teorema Apit bahwa cos =. 0

(d) cos = 0. 0 Kita tidak dapat menggunakan Teorema..4 (b) secara langsung untuk menghitung it ini. (Mengapa?) Akan tetapi, dari ketaksamaan (*) dalam bagian (c) bahwa -½ (cos )/ 0 untuk > 0 dan juga bahwa 0 (cos )/ ½ untuk < 0. Sekarang misalkan f() = - / untuk 0 dan f() = 0 untuk < 0, dan misalkan pula h() = 0 untuk 0 dan h() = -/ untuk < 0. Maka kita mempunyai f() (cos )/ h() untuk 0. Karena, mudah dilihat (Bagaimana?) bahwa f = h, maka menurut Teorema Apit bahwa cos = 0. 0 0 0 (e) sin =. 0 Sekali lagi, kita tidak dapat menggunakan Teorema..4(b) untuk menghitung it ini. Akan te-tapi, dapat dibuktikan (pada lanjutan diktat ini) bahwa - 6 3 sin untuk 0 dan bahwa sin - 6 3 untuk 0. Oleh karena itu berarti (Mengapa?) bahwa - 6 (sin )/ untuk semua 0. Tetapi karena ( ) Apit bahwa sin =. 0 (f) ( sin( / ) ) = 0. 0 6 = - 6 =, kita simpulkan dari Teorema Misalkan f() = sin (/) untuk 0. Karena sin z untuk semua z R, kita mempunyai ketaksamaan - f() = sin(/) untuk semua R, 0. Karena = 0, 0 maka dari Teorema Apit diperoleh bahwa f = 0. 0..9 Teorema Misalkan A R, f : A R dan c R suatu titik cluster dari A. Jika f > 0 [ atau, f < 0], maka terdapat suatu lingkungan dari c V δ (c) sedemikian sehingga f() > 0 [atau f() < 0] untuk semua A V δ (c), c. Bukti. Misalkan L = f and anggaplah L > 0. Kita ambil ε = ½L > 0 dalam Teorema..6(b), dan diperoleh suatu bilangan δ > 0 sedemikain sehingga jika 0 < - c < δ dan A, maka f() - L < ½L. Oleh karena itu (Mengapa?) berarti bbahwa jika A V δ (c), c, maka f()>½l>0. Jika L < 0, dapat digunakan argumen yang serupa. Latihan.. Gunakan Teorema..4 untuk menentukan it-it berikut : 3

(a) + ( + )( + 3) ( R), (b) ( > 0), (c) + + ( > 0), (d) 0 ( R) +. Tentukan it-it berikut dan nyatakan teorema-teorema mana yang digunakan dalam setiap kasus. (Anda bisa menggunakan latihan 4 di bawah.) (a) (c) + ( > 0), (b) + 3 ( + ) ( > 0), (d) 4 ( > 0), ( > 0) 3. Carilah + + 3 0 + dimana > 0. 4. Buktikan bahwa cos( / ) tidak ada, akan tetapi cos( / ) = 0. 5. Misalkan f,g fungsi-fungsi yang didefinisikan pada A R ke R, dan misalkan c suatu titik cluster dari A. Anggaplah bahwa f terbatas pada suatu lingkungan dari c dan = 0. Buktikan bahwa fg = 0. 6. Gunakanlah formuasi ε-δ dari it fungsi untuk membuktikan pernyataan pertama dalam Teorema..4(a). g 7. Gunakanlah formulasi sekuensial untuk it fungsi untuk membuktikan Teorema..4(b). 8. Misalkan n N sedemikian sehingga n 3. Buktikan ketaksamaan n untuk < <. Selanjutnya, gunakan fakta bahwa = 0 untuk menunjukkan bahwa 0 n = 0. 9. Misalkan f,g fungsi-fungsi yang didefinisikan pada A R ke R, dan misalkan c suatu titik cluster dari A. (a) Tunjukkan bahwa jika f dan ( f + g) ada, tunjukkanlah bahwa f ada. (b) Jika f dan fg ada, apakah juga g ada? 0. Berikan contoh fungsi-fungsi f dan g sedemikian sehingga f dan g tidak mempunyai it pada suatu titik c, tetapi sedemikian sehingga fungsi-fungsi f + g dan fg mempunyai it pada c.. Tentukan apakah it-it berikut ada dalam R. (a) sin( / ) ( 0), (b) sin( / ) (c) sgn sin( / ) ( 0), (d) sin( / ) ( 0), ( > 0). Misalkan f : R R sedemikian sehingga f( + y) = f() + f(y) untuk semua,y dalam R. Anggaplah f = L ada. Buktikan bahwa L = 0, dan selanjutnya buktikan bahwa f mempunyai suatu it pada setiap titik c R. [Petunjuk : Pertama-tama catat bahwa f() = f() + f() = f() untuk semua R. Juga perhatikan bahwa f() = f( c) + f(c) untuk semua,c dalam R.] 3. Misalkan A R, f : A R dan c suatu titik cluster dari A. Jika f yang terdefinisi untuk A dengan f () = f(), buktikan bahwa ada, dan jika f menyatakan fungsi f = f. 4

4. Misalkan A R, f : A R dan c suatu titik cluster dari A. Tambahan, anggaplah bahwa f() 0 untuk semua A, dan misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi pada A dengan f () = f ( ) untuk semua A. Jika f ada, buktikan bahwa f = f..3 Beberapa Perluasan dari Konsep Limit Limit-it Sepihak.3. Definisi. Misalkan A R dan f : A R (i) Jika c R suatu titik cluster dari A (c, ) = { A: > c}, maka kita mengatakan bahwa L R adalah suatu it-kanan dari f pada c dan dituliskan f = L jika diberikan sebarang ε > 0 + terdapat suatu δ = δ(ε)> 0 sedemikian sehingga untuk semua A dengan 0 < c < δ, maka f() L < ε. (ii) Jika c R suatu titik cluster dari A (-,c) = { A : < c}, maka kita mengatakan bahwa L R adalah suatu it-kiri dari f pada c dan dituliskan f = L jika diberikan sebarang ε > 0 terdapat suatu δ = δ(ε)> 0 sedemikian sehingga untuk semua A dengan 0 < c < δ, maka f() - L < ε. Catatan: () Jika L suatu it kanan dari f pada c, kita kadang-kadang mengatakan bahwa L adalah f = L. Terminologi dan notasi yang serupa it dari kanan pada c. Kita menggunakan notasi ( ) digunakan juga untuk it-kiri. () Limit-it f dan f + - + disebut it-it sepihak dari f pada c. Ini dimungkinkan kedua it sepihak dimaksud ada. Juga bisa mungkin salah satu saja yang ada. Serupa, seperti kasus pada fungsi f() = sgn () pada c = 0, it-it ini ada, meskipun berbeda. (3) Jika A suatu interval dengan titik ujung kiri c, maka jelas nampak bahwa f : A R mempunyai suatu it pada c jika dan hanya jika f mempunyai suatu it kanan pada c. Selain itu, dalam kasus ini it f dan it pihak kanan f sama. (Situasi serupa juga akan berlaku untuk it-kiri suatu interval dengan titik ujung kanan adalah c. +.3. Teorema Misalkan A R, f : A R dan c suatu titik cluster dari A (c, ). Maka pernyataan-pernyataan berikut ini eqivalen. (i) f = L R; + (ii) Untuk sebarang barisan ( n ) yang konvergen ke c sedemikian sehingga n A dan n > c untuk semua n N, barisan (f( n )) konvergen ke L R. Kita tinggalkan pembuktian Teorema ini (dan formulasi dan pembuktian dari teorema yang analog dengannya untuk it-kiri) untuk dilakukan oleh pembaca. A (-,c). Maka.3.3 Teorema. Misalkan A R, f : A R dan c R suatu titik Cluster dari A (c, ) dan f = L R jika dan hanya jika f = L = f. + 5

.3.4 Contoh-contoh (a) Misalkan f() = sgn(). Kita telah lihat dari contoh..0(b) bahwa sgn tidak mempunyai it pada c = 0. Ini jelas bahwa sgn( ) = + dan bahwa sgn( ) + = -. Karena it-it satu pihak ini berbeda, maka mengikuti Teorema.3.3 bahwa sgn tidak mempunyai it pada 0. (b) Misalkan g() = e / untuk 0. (Lihat gambar.3.) Pertama kita tunjukkan bahwa g tidak mempunyai it kanan hingga pada c = 0 karena g tidak terbatas pada sebarang lingkungan kanan (0, ) dari 0. Kita akan menggunakan ketaksamaan (*) 0 < t < e t untuk t > 0 yang pada bagian ini tidak akan diberikan pembuktiannya. Berdasarkan (*), jika > 0 maka 0 < / < e /. GAMBAR.3. Grafik dari g() = e / ( 0) Dari sini, jika kita mengambil n = /n, maka g( n ) > n untuk semua n N. Oleh karena itu tidak ada dalam R. + e / Akan tetapi, e / = 0. Kita perhatikan bahwa, jika < 0 dan kita mengambil t = / dalam (*) kita peroleh 0 < -/ < e -/. Karena < 0, ini mengakibatkan 0 < e / < - untuk semua < 0. Mengikuti ketaksamaan ini diperoleh < e / bahwa e / = 0. (c) Misalkan h() = /(e / + ) untuk 0. (lihat gambar.3.). Kita telah melihat bagian (b) bahwa 0 < / < e / untuk > 0, dengan demikian 0 < < yang mengakibatkan bahwa e / + + e / + h = 0. Karena kita telah melihat dalam bagian (b) = 0, maka dari analog Teorema..4(b) untuk untuk it-kiri, kita peroleh 6

+ = 0 / e / ( e + ) = Perhatikan bahwa untuk fungsi ini, it sepihak keduaduanya ada, akan tetapi tidak sama. = 0 + GAMBAR.3.. Grafik dari h() = /(e / +) ( 0) Limit-it Tak Hingga.3.5 Definisi. Misalkan A R, f : A R dan c R suatu titik cluster dari A. (i) Kita katakan bahwa f menuju ke apabila, dan ditulis f = jika untuk setiap α R terdapat δ = δ(α) > 0 sedemikain sehinggauntuk semua A dengan 0 < -c < δ, maka f()>α. (ii) Kita katakan bahwa f menuju ke apabila, dan ditulis f = jika untuk setiap β R terdapat δ = δ(β) > 0 sedemikian sehingga untuk semua A dengan 0 < - c < δ, maka f() < β..3.6 Contoh-contoh (a) ( / ) = Karena, jika α > 0 diberikan, misalkan δ = / α. Ini erarti bahwa jika 0 < <δ, maka < /α dengan demikian / > α. (b) Misalkan g() = / untuk 0. (Lihat Gambar.3.4) Fungsi g tidak menuju ke atau ke - sebagaimana. Karena, jika α > 0 maka g() < α untuk semua < 0, dengan demikian g tidak menuju ke apabila. Serupa juga, jika β < 0 maka g() > β untuk semua > 0, dengan demikian g tidak menuju ke - apabila. Hasil berikut analog dengan Teorema Apit..7. (Lihat juga Teorema 3.6.4)..3.7 Teorema Misalkan A R, f,g : A R dan c R suatu titik cluster dari A. Anggaplah bahwa f() g() untuk semua A, c.. 7

(a) Jika f =, maka g =. (b) Jika =, maka f =. g Bukti. (a) Jika f = dan α R diberikan, maka terdapat δ(α) > 0 sedemikian sehingga jika 0 < - c < δ(α) dan A, maka f() > α. Akan tetapi, jika f() g() untuk semua A c, maka berarti jika 0 < - c < δ(α) dan A, maka g() > 0. Oleh karena itu g =. Pembuktian bagian (b) dilakukan dengan cara serupa. Fungsi g() = / dalam Contoh.3.6(b) menyarankan bahwa itu dapat berguna untuk memandang it-it sepihaknya. GAMBAR.3.3 Grafik dari f() = / ( 0).3.8 Definisi Misalkan A R dan f : A R. GAMBAR.3.4 Grafik dari g() = / ( 0) 8

(i) Jika c R suatu titik cluster dari A (c, ) ={ A: > 0}, maka kita mengatakan bahwa f menuju [atau - ] apabila +, dan ditulis + f = atau, + f =, jika untuk setiap α R terdapat δ=δ(α) sedemikian sehingga untuk semua A dengan 0 < c < δ, maka f() > α [atau, f() < α]. (ii) Jika c R suatu titik cluster dari A (-,c) ={ A: < 0}, maka kita mengatakan bahwa f menuju [atau - ] apabila -, dan ditulis f = atau, f =, jika untuk setiap α R terdapat δ=δ(α) sedemikian sehingga untuk semua A dengan 0 < c < δ, maka f() > α [atau, f() < α]..3.9 Contoh-contoh (a) Misalkan g() = / untuk 0. Kita telah mencatat dalam Contoh.3.6(b) bahwa g tidak ada. Akan tetapi suatu latihan yang mudah untuk menunjukkan bahwa 0 + ( / ) = / dan ( ) = (b) Telah diperoleh pada Contoh.3.4(b) bahwa fungsi g() = e / untuk 0 tidak terbatas pada sebarang interval (0,δ), δ > 0. Dari sini it-kanan dari e / apabila + tidak ada dalam pengertian Definisi.3.(I). Akan tetapi, karena / < e / melihat bahwa ( ) = + e / dalam pengertian dari Definisi.3.8. Limit-it pada Ketakhinggaan.3.0 Definisi Misalkan A R dan f : A R. untuk > 0, maka secara mudah kita (i) Anggaplah bahwa (a, ) A untuk suatu a R. Kita mengatakan bahwa L R merupakan it dari f apabila, dan ditulis f = L, jika diberikan sebarang ε > 0 terdapat K=K(ε) > a sedemikian sehingga untuk sebarang > K, maka f() - L < ε. (ii) Anggaplah bahwa (-,b) A untuk suatu b R. Kita mengatakan bahwa L R merupakan it dari f apabila -, dan ditulis f = L, jika diberikan sebarang ε > 0 terdapat K=K(ε) < b sedemikian sehingga untuk sebarang < K, maka f() - L < ε..3. Teorema Misalkan A R, f : A R, dan anggaplah bahwa (a, ) A untuk suatu a R. Maka pernyataan-pernyataan berikut ini eqivalen : (i) L = f ; (ii) Untuk sebarang barisan ( n ) dalam A (a, ) sedemikian sehingga ( n ) =, barisan (f( n )) konvergen ke L. 9

Kita tinggalkan bagi pembaca untuk membuktikan teorema ini dan untuk merumuskan serta membuktikan teorema serupa dengannya untuk it dimana -..3. Contoh-contoh (a) Misalkan g() = / untuk 0. Ini merupakan suatu latihan dasar untuk membuktikan bahwa ( / ) = 0 = ( / ) (Lihat Gambar.3.4) (b) Misalkan f() = / untuk 0. Pembaca dapat menunjukkan bahwa bahwa ( / ) = 0 = ( / ). (Lihat Gambar.3.3). Cara lain untuk menunjukkan ini adalah dengan menunjukkan bahwa jika maka 0 / /. Mengingat bagian (a), ini mengakibatkan ( / ).3.3 Definisi Misalkan A R dan f : A R. (i) Anggaplah bahwa (a, ) A untuk suatu a A. Kita mengatakan bahwa f menuju ke [atau, - ] apabila, dan ditulis f = [ atau f = ], jika diberikan sebarang α R terdapat K = K(α) > a sedemikian sehingga untuk sebarang > K, maka f() > α [atau, f() < α]. (Lihat Gambar.3.5) (ii) Anggaplah bahwa (-,b) A untuk suatu b A. Kita mengatakan bahwa f menuju ke [atau, - ] apabila -, dan ditulis f = [ atau f = ], jika diberikan sebarang α R = 0. terdapat K = K(α) < b sedemikian sehingga untuk sebarang < K, maka f() > α [atau, f() < α].. y Κ(α) α GAMBAR.3.5 f = -.3.4 Teorema Misalkan A R, f : A R, dan anggaplah bahwa (a, ) A untuk suatu a R. Maka pernyataan-pernyataan berikut ini ekuivalen : (i) (ii) f = [atau, f = - ] Untuk sebarang barisan ( n ) dalam (a, ) sedemikian sehingga ( n ) =, maka (f( n )) = [atau (f( n )) = - ]. 0

.3.5 Teorema Misalkan A R, f,g : A R, dan anggaplah ahwa (a, ) A untuk suatu a R. Misalkan pula bahwa g()>0 untuk semua >a dan bahwa L 0. (i) Jika L > 0, maka f = jika dan hanya jika g =. ( ) ( ) f = L untuk suatu L R, g (ii) Jika L < 0, maka f = - jika dan hanya jika g = -. 0 < ½L < Bukti. (i) Karena L > 0, hipotesis mengakibatkan bahwa terdapat a > a sedemikian sehingga f g ( ) ( ) < 3 L untuk > a. Oleh karena itu kita mempunyai (½L)g() < f() < ( 3 L)g() untuk semua > a, dari sini dengan mudah kita peroleh kesimpulannya. Pembuktian bagian (ii) dikerjakan dengan cara serupa. Kita tinggalkan bagi pembaca untuk memformulasi hasil-hasil yang analogi dengan Teorema di atas, apabila -..3.6 Contoh-contoh (a) n = untuk n N. Misalkan g() = n untuk (0, ). Diberikan α R, misalkan K = sup{,α}. Maka untuk semua > K, kita mempunyai g() = n α. Karena α R sebarang, maka ini berarti g =. (b) n = untuk n N, n genap, dan n = - untuk n N, n ganjil. Kita akan mencoba kasus n ganjil, katakanlah n = k+ dengan k = 0,,. Diberikan α R, misalkan K = inf{α,-}. Untuk sebarang < K, maka karena ( ) k, kita mempunyai n = ( ) k < α. Karena α R sebarang, maka berarti n = -. (c) Misalkan p : R R fungsi polinomial p() = a n n + a n- n- + + a + a 0. Maka p =, jika a n > 0, dan p = - jika a n < 0. a n Misalkan g() = n dan gunakan Teorema.3.5. Karena + a 0, maka diperoleh n.3.5, p =. ( ) ( ) p g ( ) ( ) = a n + a n- + + p = a n. Karena g =, maka menurut Teorema g (d) Misalkan p fungsi polinomial dalam bagian (c). Maka p = [atau, - ] jika n genap [atau, ganjil] dan a n > 0. Kita tinggalkan detailnya untuk pemaca kerjakan. Latihan-latihan. Buktikan Teorema.3..

. Berikan contoh suatu fungsi yang mempunyai it-kanan, tetapi tidak mempunyai it-kiri pada suatu titik. 3. Misalkan f() = ½ untuk 0.. Tunjukkan bahwa f ( ) = f ( ) + = +. 4. Misalkan c R dan f didefinisikan untuk (c, ) dan f() > 0 untuk semua (c, ). Tunjukkan bahwa f = jika dan hanya jika ( f ) = 0. 5. Hitunglah it-it berikut, atau tunjukkan bahwa it-it ini tidak ada. (a) + ( ), (b) ( ), (c) + + ( > 0), (d) + ( > 0), (e) + 0 ( > -), (f) + ( > 0), (g) 5 ( > 0), (h) ( > 0). + 3 + 6. Buktikan Teorema.3.. 7. Misalkan f dan g masing-masing mempunyai it dalam R apabila dan f() g() untuk semua (α, ). Buktikan bahwa f g. 8. Misalkan f terdefinisi pada (0, ) ke R. Buktikan bahwa f ( ) = L jika dan hanya jika f ( ) 9. Tunjukkan bahwa jika f : (a, ) R sedemikian sehingga f ( ) = L dimana L R, maka f ( ) 0. Buktikan Teorema.3.4.. Lengkapkan bukti dari Teorema.3.5.. Misalkan f ( ) = L dimana L > 0, dan g( ) =. Tunjukkan bahwa f ( ) g( ) tunjukkan dengan contoh bahwa konklusi ini gagal. + = L. = 0. =. Jika L = 0, 3. Carilah fungsi-fungsi f dan g yang didefinisikan pada (0, ) sedemikain sehingga f = dan g =, akan tetapi ( f g) = 0. Dapatkan anda menemukan fungsi-fungsi demikian, dengan g() > 0 untuk semua (0, ), sedemikain sehingga f g = 0? 4. Misalkan f dan g terdefinisi pada (a, ) dan juga f = L dan g =. Buktikan bahwa f o g = L.

. Fungsi-fungsi Kontinu BAB II FUNGSI KONTINU.. Definisi Misalkan A R, f : A R dan c A. Kita katakan bahwa f kontinu pada c jika, diberikan sebarang lingkungan V ε (f(c)) dari f(c) terdapat suatu lingkungan V δ (c) dari c sedemikain sehingga jika sebarang titik pada A V δ (c), maka f() termuat dalam V ε (f(c)). (Lihat Gambar..). GAMBAR.. Diberikan V ε(f(c)), lingkungan V δ(c) ditentukan Peringatan () Jika c A merupakan titik cluster dari A, maka pembandingan dari Definisi..4 dan.. menunjukkan bahwa f kontinu pada c jika dan hanya jika () f(c) = f. Jadi, jika c titik cluster dari A, maka agar () berlaku, tiga syarat harus dipenuhi: (i) f harus terdefinisi pada c (dengan demikian f(c) dapat dimengerti), (ii) it dari f harus ada dalam R (dengan demikian f dapat dimengerti), dan (iii) nilai-nilai dari f(c) dan f harus sama. () Jika c bukan titik cluster dari A, maka terdapat lingkungan V δ (c) dari c sedemikian sehingga A V δ (c) = {c}. Jadi kita menyimpulkan bahwa suatu fungsi f kontinu secara otomatis pada c A yang bukan titik cluster dari A. Titik-titik demikian ini sering disebut titik-titik terisolasi dari A; titik-titik ini kurang menarik untuk kita bahas, karena far from the action. Karena kekontinuan berlaku secara otomatis untuk titik-titik terisolasi ini, kita akan secara umum menguji kekontinuan hanya pada titik-titik cluster. Jadi kita akan memandang kondisi () sebagai karakteristik untuk kekontinuan pada c... Definisi Misalkan A R, f : A R. Jika B A, kita katakan bahwa f kontinu pada B jika f kontinu pada setiap titik dalam B. ekivalen...3 Teorema Misalkan A R, f : A R, dan c A. Maka kondisi-kondisi berikut (i) f kontinu pada c; yaitu, diberikan sebarang lingkungan V ε (f(c)) dari f(c) terdapat suatu lingkungan V δ (c) dari c sedemikain sehingga jika sebarang titik pada A V δ (c), maka f() termuat dalam V ε (f(c)) (ii) Diberikan sebarang ε > 0 terdapat suatu δ > 0 sedemikian sehingga untuk semua A dengan - c < δ, maka f() f(c) < ε. 3

(iii) Jika ( n ) sebarang barisan bilangan real sedemikian sehingga n A untuk semua n N dan ( n ) konvergen ke c, maka barisan (f( n )) konvergen ke f(c). Pembuktian teorema ini hanya memerlukan sedikit modifikasi pembuktian dari Teorema..6 dan..8. Kita tinggalkan detailnya sebagai suatu latihan penting bagi pembaca...4. Kriteria Diskontinu Misalkan A R, f : A R, dan c A. Maka f diskontinu pada c jika dan hanya jika terdapat suatu barisan ( n ) dalam A sedemikian sehingga ( n ) konvergen ke c, tetapi barisan (f( n )) tidak konvergen ke f(c)...5 Contoh-contoh (a) f() = b kontinu pada R Telah diperlihatkan pada Contoh..7(a) bahwa jika c R, maka kita mempunyai Karena f(c) = b, maka f kontinu pada setiap titik c R. Jadi f kontinu pada R. (b) g() = kontinu pada R. Telah diperlihatkan pada Contoh..7(b) bahwa jika c R, maka kita mempunyai f = b. g = c. Karena g(c) = c, maka g kontinu pada setiap titik c R. Jadi g kontinu pada R. (c) h() = kontinu pada R. Telah diperlihatkan pada Contoh..7(c) bahwa jika c R, maka kita mempunyai h(c) = c, maka h kontinu pada setiap titik c R. Jadi h kontinu pada R. (d) ϕ() = / kontinu pada A = { R : > 0}. Telah diperlihatkan pada Contoh..7(d) bahwa jika c A, maka kita mempunyai ϕ(c) = /c, maka ϕ kontinu pada setiap titik c A. Jadi ϕ kontinu pada A. (e) ϕ() = / tidak kontinu pada = 0 h = c. Karena ϕ = /c. Karena Memang, jika ϕ() = / untuk > 0, maka tidak terdefinisi pada = 0, dengan demikian tidak kontinu pada titik ini. Secara alternatif, telah diperlihatkan pada Contoh..0(a) bahwa ϕ tidak ada dalam R, dengan demikian ϕ tidak kontinu pada = 0. sgn (f) Fungsi sgn tidak kontinu pada = 0. Fungsi sgn telah didefinisikan pada contoh..0(b), dimana juga telah ditunjukkan bahwa ( ) terdefinisi. tidak ada dalam R. Oleh karena itu sgn tidak kontinu pada = 0 meskipun sgn 0 (g) Misalkan A = R dan f fungsi diskontinu Dirichlet yang didefinisikan oleh, f() = 0, jika rasional jika irrasional Kita claim bahwa f tidak kontinu pada sebarang titik pada R. (Fungsi ini diperkenalkan pada tahun 89 oleh Dirichlet) 4

Memang, jika c bilangan rasional, misalkan ( n ) suatu barisan bilangan irasional yang konvergen ke c. Karena f( n ) = 0 untuk semua n N, maka kita mempunyai (f( n )) = 0 sementara f(c) =. Oleh karena itu f tidak kontinu pada bilangan rasional c. Sebaliknya, jika b bilangan rasional, misalkan (y n ) suatu barisan bilangan irasional yang konvergen ke b. Karena f(y n ) = untuk semua n N, maka kita mempunyai (f(y n )) = sementara f(b) = 0. Oleh karena itu f tidak kontinu pada bilangan irasional b. Karena setiap bilangan real adalah bilangan rasional atau irasional, kita simpulkan bahwa f tidak kontinu pada setiap titik dalam R. (h) Misalkan A = { R : > 0}. Untuk sebarang bilangan irasional > 0 kita definisikan h() = 0. Untuk suatu bilangan rasional dalam A yang berbentuk m/n, dengan bilangan asli m,n tidak mempunyai faktor persektuan kecuali, kita definisikan h(m/n) = /n. (Lihat Gambar...) Kita claim bahwa h kontinu pada setiap bilangan irasional pada A, dan diskontinu pada setiap bilangan rasional dalam A. (Fungsi ini diperkenalkan pada tahun 875 oleh K.J. Thomae) Memang, jika a > 0 bilangan rasional, misalkan ( n ) suatu barisan bilangan irasional dalam A yang konvergen ke a. maka h( n ) = 0 sementara h(a) > 0. Dari sini h diskontinu pada a. Di pihak lain, jika b suatu bilangan irasional dan ε > 0, maka (dengan Sifat Arcimedean) terdapat bilangan asli n 0 sedemikian sehingga /n 0 < ε. Terdapat hanya sejumlah hingga bilangan rasional dengan penyebut lebih kecil dari n 0 dalam interval (b, b + ). (Mengapa?) Dari sini δ > 0 dapat dipilih sekecil mungkin yang mana lingkungan (b - δ,b + δ) tidak memuat tidak memuat bilangan rasional dengan penyebut lebih kecil dari n 0. Selanjutnya, bahwa untuk - b < δ, A, kita mempunyai h() h(b) = h() /n 0 < ε. Jadi h kontinu pada bilangan irasional b. Akibatnya, kita berkesimpulan bahwa fungsi Thomae h kontinu hanya pada titik-titik irasional dalam A. * * / * * /7 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * / 3/ GAMBAR.. Grafik Fungsi Thomae..6 Peringatan (a) Kadang-kadang suatu fungsi f : A R tidak kontinu pada suatu titik c, sebab tidak terdefinisi pada titik tersebut. Akan tetapi, jika fungsi f mempunyai suatu it L pada tiitik c dan jika kita definisikan F pada A {c} R dengan 5

L F( ) = f ( ) untuk untuk = c A maka F kontinu pada c. Untuk melihatnya, perlu mengecek bahwa (mengapa?), karena f = L F = L, tetapi ini berlaku (b) Jika fungsi g : A R tidak mempunyai suatu it pada c, maka tidak ada cara untuk memperoleh suatu fungsi G : A {c} R yang kontinu pada c dengan pendefinisian C G( ) = g( ) untuk untuk = c A Untuk melihatnya, amati bahwa jika sama dengan C. ada dan sama dengan C, maka g mesti ada juga dan G..7 Contoh-contoh (a) Fungsi g() = sin (/) untuk 0 (lihat Gambar..3) tidak mempunyai it pada = 0 (lihat contoh..0(c)). Jadi tidak terdapat nilai yang dapat kita berikan pada = 0. Untuk memperoleh suatu perluasan kontinu dari g pada = 0. (b) Misalkan f() = sin(/) untuk 0. (Lihat Gambar..3) Karena f tidak terdefinisi pada = 0, fungsi f tidak bisa kontinu pada titik ini. Akan tetapi, telah diperlihatkan pada Contoh..8(f) bahwa ( sin( ) ) definisikan F : R R dengan = 0. Oleh karena itu mengikuti Peringatan..6(a) bahwa jika kita 0 F ( ) = sin ( ) maka F kontinu pada = 0. untuk untuk = 0 0 Gambar..3 Grafik dari f() = sin(/) 0 6

Latihan-latihan. Buktikan Teorema..4.. Perlihatkan Kriteria Diskontinu..4. 3. Misalkan a < b < c. Misalkan pula bahwa f kontinu pada [a,b], g kontinu pada [b,c], dan f(b) = g(b). Definisikan h pada [a,c] dengan h() = f() untuk [a,b] dan h() = g() untuk (b,c]. Buktikan bahwa h kontinu pada [a,c]. 4. Jika R, kita definisikan adalah bilangan bulat terbesar n Z sedemikian sehingga n. (Jadi, sebagai contoh, 8,3 = 8, π = 3, -π = -4.) Fungsi a disebut fungsi bilangan bulat terbesar. Tentukan titik-titik dimana fungsi-fungsi berikut kontinu : (a). f() =, (b) g() =, (c). h() = sin, (d) k() = / ( 0). 5. Misalkan f terdefinisi untuk semua R,, dengan f() = ( + 6)/( ). Dapatkah f terdefinisi pada = dimana dengan ini menjadikan f kontinu pada titik ini? 6. Misalkan A R dan f : A R kontinu pada titik c A. Tunjukkan bahwa untuk sebarang ε > 0, terdapat lingkungan V δ (c) dari c sedemikian sehingga jika,y A V δ (c), maka f() f(y) < ε. 7. Misalkan f : R R kontinu pada c dan misalkan f(c) > 0. Tunjukkan bahwa terdapat V δ (c) suatu lingkungan dari c sedemikian sehingga untuk sebarang V δ (c) maka f() > 0. 8. Misalkan f : R R kontinu pada R dan misalkan S = { R : f() = 0} adalah himpunan nol dari f. Jika ( n ) S dan = ( n ), tunjukkan bahwa S. 9. Misalkan A B R, f : B R dan g pembatasan dari f pada A (yaitu, g() = f() untuk A). (a). Jika f kontinu pada c A, tunjukkan bahwa g kontinu pada c. (b). Tunjukkan dengan contoh bahwa jika g kontinu pada c, tidak perlu berlaku bahwa f kontinu pada c. 0. Tunjukkan bahwa fungsi nilai mutlak f() = kontinu pada setiap titik c R.. Misalkan K > 0 dan f : R memenuhi syarat f() f(y) K - y untuk semua,y R. Tunjukkan bahwa f kontinu pada setiap titik c R.. Misalkan bahwa f : R R kontinu pada R dan f(r) = 0 untuk setiap bilangan rasional r. Buktikan bahwa f() = 0 untuk semua R. 3. Definisikan g : R R dengan g() = untuk rasional, dan g() = + 3 untuk irasional. Tentukan semua titik dimana g kontinu. 4. Misalkan A = (0, ) dan k : A R didefinisikan sebagai berikut. Untuk A, rasional, kita definisikan k() = 0; untuk A rasional dan berbentuk = m/n dengan bilangan asli m, n tidak mempunyai faktor persekutuan kecuali, kita definisikan k() = n. Buktikan bahwa k tidak terbatas pada setiap interval terbuka dalam A. Simpulkan bahwa k tidak kontinu pada sebarang titik dari A.. Kombinasi dari Fungsi-fungsi Kontinu.. Teorema Misalkan A R, f dan g fungsi-fungsi yang terdefinisi pada A ke R dan b R. Andaikan bahwa c A dan f dan g kontinu pada c. (a) Maka f + g, f g, fg, dan bf kontinu pada c. 7

(b) Jika h : A R kontinu pada c A dan jika h() 0 untuk semua A, maka fungsi f/h kontinu pada c. Bukti. (a). Jika c bukan suatu titik cluster dari A, maka konklusi berlaku secara otomatis. Dari sini, kita asumsikan bahwa c titik cluster dari A. Karena f dan g kontinu pada c, maka f(c) = f dan g(c) = g Oleh karena itu mengikuti Teorema..4(a) diperoleh (f + g)(c) = f(c) + g(c) = ( f + g) Dengan demikian f + g kontinu pada c. Pernyataan-pernyataan lain pada bagian (a) dibuktikan dengan cara serupa. f h bahwa ( c) b R. A. (b) Karena c A, maka h(c) 0. Tetapi karena h(c) = = f h ( c) ( c) = f h h f =. Oleh karena itu f/h kontinu pada c. h, berikut dari Teorema..4(b).. Teorema Misalkan A R, f dan g fungsi-fungsi yang terdefinisi pada A ke R dan (a) Maka f + g, f g, fg, dan bf kontinu pada A. (b) Jika h : A R kontinu pada A dan h() 0 untuk A, maka fungsi f/h kontinu pada..3 Komentar Untuk mendefinisikan fungsi hasil bagi, kadang-kadang lebih cocok memulainya sebagai berikut : Jika ϕ : R, misalkan A = { A : ϕ() 0}. Kita akan mendefinisikan fungsi hasil bagi f/ϕ pada himpunan A dengan f f ( ) (*) ( ) = ϕ untuk A. ϕ( ) Jika ϕ kontinu pada titik c A, maka jelas bahwa pembatasan ϕ dari ϕ pada A juga kontinu pada c. Oleh karena itu mengikuti Teorema..(b) dipergunkan untuk ϕ bahwa f/ϕ kontinu pada c A. Serupa juga jika f dan ϕ kontinu pada A, maka fungsi f/ϕ, didefinisikan pada A oleh (*), kontinu pada A...4 Contoh-contoh (a) Fungsi-fungsi polinomial. Jika p suatu fungsi polinimial, dengan demikian p() = a n n + a n- n- + + a + a 0 untuk semua R, maka mengikuti Contoh..5(f) bahwa p(c) = polinomial kontinu pada R. (b) Fungsi-fungsi rasional p untuk sebarang c R. Jadi fungsi Jika p dan q fungsi-fungsi polinomial pada R, maka terdapat paling banyak sejumlah hingga α,α,, α n akar-akar real dari q. Jika {α,α,, α n } maka q() 0 dengan demikian kita dapat p( ) mendefinisikan fungsi rasional r dengan r() = untuk {α,α,, α n }. q( ) Telah diperlihatkan dalam Contoh..5(g) bahwa jika q(c) 0, maka r(c) = p( c) q( c) = p( ) q( ) = r( ). Dengan kata lain, r kontinu pada c. Karena c sebarang bilangan real yang bukan 8

akar dari q, kita katakan bahwa suatu fungsi rasional yang kontinu pada setiap bilangan real dimana fungsi tersebut terdefinisi. (c) Kita akan menunjukkan bahwa fungsi sinus kontinu pada R. Untuk mengerjakan ini kita akan menggunakan sifat-sifat dari fungsi sinus dan cosinus yang pada bagian ini tidak akan dibuktikan. Untuk semua,y,z R kita mempunyai sin z z, cos z, sin sin y = sin[½( y)]cos[½( + y)]. Dari sini, jika c R, maka kita mempunyai sin sin c (½ c )() = - c. Oleh karena itu sin kontinu pada c. Karena c R sebarang, maka ini berarti fungsi sin kontinu pada R. (d) Fungsi cosinus kontinu pada R. Untuk mengerjakan ini kita akan menggunakan sifat-sifat dari fungsi sinus dan cosinus yang pada bagian ini tidak akan dibuktikan. Untuk semua,y,z R kita mempunyai sin z z, sin z, cos cos y = sin[½( + y)]sin[½(y - )]. Dari sini, jika c R, maka kita mempunyai cos cos c ()(½ c ) = - c. Oleh karena itu cos kontinu pada c. Karena c R sebarang, maka ini berarti fungsi cos kontinu pada R. (Cara lain, kita dapat menggunakan hubungan cos = sin ( + π/).) (e) Fungsi-fungsi tan, cot, sec, csc kontinu dimana fungsi-fungsi ini terdefinisi. Sebagai contoh, fungsi cotangen didefinisikan dengan cot = cos sin asalkan sin 0 (yaitu, asalkan nπ, n Z). Karena sin dan cos kontinu pada R, maka mengikuti Komentar..3 bahwa fungsi cot kontinu pada domainnya. Fungsi-fungsi trigonometri yang lain dilakukan dengan proses pengerjaan yang serupa. = f()...5 Teorema Misalkan A R, f : A R dan f didefinisikan untuk A dengan f () (a) Jika f kontinu pada suatu titik c A, maka f kontinu pada c. (b) Jika f kontinu pada A, maka f kontinu pada A. Bukti. Ini merupakan konsekuensi dari Latihan..3...6 Teorema Misalkan A R, f : A R dan f() 0 untuk semua A. Kita misalkan f didefinisikan untuk A dengan f () = f (). (c) Jika f kontinu pada suatu titik c A, maka f kontinu pada c. (d) Jika f kontinu pada A, maka f kontinu pada A. Bukti. Ini merupakan konsekuensi dari Latihan..4. 9