ANALISIS NUMERIK UNTUK PERSOALAN WATER FLOODING DENGAN MENGGUNAKAN METODE VOLUME HINGGA

ANALISIS NUMERIK UNTUK PERSOALAN WATER FLOODING DENGAN MENGGUNAKAN METODE VOLUME HINGGA SKRIPSI NUR AISYAH 110803010 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2015

ANALISIS NUMERIK UNTUK PERSOALAN WATER FLOODING DENGAN MENGGUNAKAN METODE VOLUME HINGGA SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas akhir dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains NUR AISYAH 110803010 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2015

PERSETUJUAN Judul : Analisis Numerik untuk Persoalan Water Flooding dengan Menggunakan Metode Volume Hingga Kategori : SKRIPSI Nama : Nur Aisyah Nomor Induk Mahasiswa : 110803010 Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETA- HUAN ALAM Medan, Agustus 2015 Komisi Pembimbing : Pembimbing 2 Pembimbing 1 Dr. Esther S.M. Nababan, M.Sc Dr. Mardiningsih, M.Si NIP. 19610318 198711 2 001 NIP. 19630405 198811 2 001 Diketahui oleh : Departemen Matematika FMIPA USU Ketua, Prof. Dr. Tulus, M.Si NIP. 19620901 198803 1 002 i

PERNYATAAN ANALISIS NUMERIK UNTUK PERSOALAN WATER FLOODING DENGAN MENGGUNAKAN METODE VOLUME HINGGA SKRIPSI Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan penting yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Agustus 2015 NUR AISYAH 110803010 ii

PENGHARGAAN Puji Syukur penulis ucapkan kehadirat Allah Subhanahu wa Ta ala, yang telah melimpahkan rahmat dan karunianya serta memberikan banyak kemudahan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul Analisis Numerik pada Persoalan Waterflooding dengan Menggunakan Metode Volume Hingga. Shalawat dan salam penulis ucapkan kepada Rasulullah Shallallahu Alaihi wa Sallam, keluarga, para sahabat dan orang-orang yang mengikutinya. Terima kasih sebesar-besarnya penulis ucapkan kepada orang tua penulis yang begitu sabar dan selalu mendukung penulis baik secara moril maupun materi, kepada abangda Rahmat Hidayat dan adinda Ade Irma Suryani selalu setia mengingatkan, setia mendengar curahan, memberikan nasihat dan memberi motivasi kepada penulis. Dengan tulus penulis ucapkan terima kasih kepada Bapak Prof. Tulus, M.Si selaku ketua Departemen Matematika yang banyak berjasa kepada penulis dimana beliau telah banyak meluangkan waktu untuk memberikan masukan, kritik, saran dan perbaikan untuk skripsi ini. Beliau telah memberikan berbagai fasilitas yang lebih dari apa yang dibutuhkan oleh penulis, sehingga penulis merasa fokus dan nyaman dalam mengerjakan skripsi, kepedulian beliau terhadap penulis tidak akan pernah penulis lupakan dan penulis sangat bersyukur pernah mengenal beliau dan menjadi pembimbing bagi penulis. Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku pembimbing I yang telah meluangkan waktu, pikiran dan bersedia mendengarkan keluhan dan curahan penulis serta banyak memberikan nasehat kepada penulis, kepada Ibu Dr. Esther Sorta Nababan, M.Sc selaku pembimbing II yang telah meluangkan waktu, fikiran dan saran untuk perbaikan skripsi ini serta memberikan motivasi kepada penulis bahkan disela kesibukannya masi meluangkan waktu kepada penulis untuk mendengarkan keluhan dan curahan penulis. Terima kasih penulis ucapkan kepada bapak Dr. Sawaluddin M.IT selaku penguji I dan Bapak Dr. Syahriol M.IT selaku penguji II yang telah meluangkan waktu, fikiran dan memberikan kritik maupun saran untuk perbaikan skripsi ini dan sebagai pembelajaran bagi penulis. Terkhusus untuk Bapak Dr.Victor Eralingga Ginting yang merupakan pengaiii

jar tetap University of Wyoming (USA) yang telah banyak membantu penulis, bahkan telah membantu secara penuh kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Mengajarkan penulis akan segala sesuatu tentang materi skripsi dimana penulis tidak memiliki ilmu tentangnya sama sekali sebelum memulai menulis skripsi ini. Untuk beliau, penulis ucapkan terima kasih sebesar-besarnya karena pengorbanannya akan waktu, fikiran dan tenaga yang diberikan bagi penulis. Banyak hal yang penulis pelajari dari beliau bahkan kesabaran yang ditunjukkan kepada penulis terlebih ketika berdiskusi tentang code MATLAB. Walaupun terpaut jarak yang cukup jauh namun beliau bersedia menghubungi penulis untuk menjelaskan materi yang tidak penulis fahami hingga penulis dapat memahami materi, beliau juga bersedia mendengarkan keluhan penulis dalam mengerjakan skripsi dan membantu semampunya. Penulis sangat bersyukur karena telah dipertemukan dengan beliau sebagai dosen dan sahabat bagi penulis. Terima kasih penulis ucapkan kepada seluruh dosen Matematika USU yang telah membagikan ilmunya kepada penulis selama perkuliahan, terutama Bapak Prof. Saib Suwilo yang memiliki kesan tersendiri bagi penulis ketika belajar dengan beliau. Mudah-mudahan ilmu yang diberi dapat bermanfaat bagi penulis dan orang lain, kepada seluruh staff administrasi FMIPA USU yang telah membantu mengurus syarat-syarat kelengkapan administrasi tugas akhir, terlebih kepada bang Bandi yang selalu mengingatkan penulis agar segera menyelesaikan tugas akhir sebagai syarat kelulusan. Terima kasih sebesar-besarnya penulis ucapakan kepada teman-teman seperjuangan matematika stambuk 2011 (GOLDEN GENERATION) terutama Tilsa dimana kami memiliki dosen pembimbing yang sama sehingga selalu bebagi keluh kesah bersama dan saling membantu dan berbagi ilmu dalam mengerjakan skripsi, Sundari dan khairunisa yang selalu mendengar curahan, memberikan nasihat, dukungan, berbagi ilmu dan saran kepada penulis sehingga dapat memberikan ketenangan bagi penulis, kepada Meriyanti, Mantari, Ratih dan Indah yang memberikan motivasi dan berbagi ilmu kepada penulis, kepada kawan-kawan bidang murni (joseph, tilsa, sundari, mantari, merryanty, ratih). Seluruh kawan-kawan yang tidak dapat penulis sebutkan namanya satu persatu yang telah memberikan dukungan kepada penulis, kawan-kawan IM Kubik dan adik-adik stambuk yang selalu mengingatkan penulis agar segera menyelesaikan skripsi ini. iv

Penulis sadar bahwa banyak kekurangan dari skripsi ini dikarenakan keterbatasan ilmu, oleh karenanya penulis mohon kritik dan saran yang membangun dari pembaca untuk perbaikan skripsi ini. Atas perhatiannya penulis ucapkan terima kasih, penulis berharap tulisan ini bermanfaat bagi penulis sendiri maupun bagi orang lain. Medan, Juli 2015 Penulis NUR AISYAH v

ANALISIS NUMERIK UNTUK PERSOALAN WATER FLOODING DENGAN MENGGUNAKAN METODE VOLUME HINGGA ABSTRAK Simulasi waterflooding biasanya dilakukan dengan menggunakan persamaan Buckley-Leverett (BL), yaitu persamaan transportasi pada fluida dinamik yang menggambarkan dua fase aliran fluida yang immiscible pada media berpori. Dalam hal ini, penulis memfokuskan diri pada efek nonekuilibrium dalam permeabilitas relatif dengan mengabaikan tekanan kapiler yang dapat digambarkan oleh model Barenblatt yaitu model dari tekanan kapiler nonekuilibrium dan permeabilitas relatif. Pada kasus ini, flux dari setiap fase pada persamaan BL tidak bergantung pada saturasi saat ini saja (saturasi aktual), akan tetapi juga bergantung pada saturasi efektif (saturasi yang akan datang). Sehingga pada penyelesaiannya diperlukan persamaan evolusi yang diajukan oleh Barenblatt. Tulisan ini merupakan kajian ulang dari apa yang telah dilakukan oleh Juanes. Namun, penulis melakukan diskritisasi dengan menggunakan vertex centered finite volume pada hukum kekekalan masa (persamaan diferensial parsial) dan persamaan evolusi (persamaan diferensial biasa). Kata kunci: waterflooding, Buckley-Leverett, immiscible, vertex centered finite volume. vi

NUMERICAL ANALYSIS FOR WATER FLOODING PROBLEM USING FINITE VOLUME METHOD ABSTRACT Waterflooding simulation is usually done using Buckley-Leverett (BL) equation, which is the transport equation on dynamic fluid that describe two phase flow immiscible in porous media. In this case, we focus on nonequilibrium effect in the relative permeability with neglible capillary pressure, described by Barenblatt model, which includes both nonequilibrium capillary pressure and relative permeability. In this case, flux fluid of each phase on BL equation does not only depend on the current saturation (actual saturation) but also on the so called effective saturation. This paper is a review of what has been done by Juanes. However, the numerical discretization employs vertex centered finite volume for conservation laws (partial differential equation) and evolution relation (ordinary differential equation). Keywords: waterflooding, Buckley-Leverett, immiscible. vertex centered finite volume vii

DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN......................................... PERNYATAAN......................................... PENGHARGAAN....................................... ABSTRAK............................................ ABSTRACT............................................ DAFTAR ISI........................................... DAFTAR GAMBAR...................................... DAFTAR ISTILAH....................................... i ii iii vi vii viii x xi BAB 1 PENDAHULUAN.................................. 1 1.1 Latar Belakang................................. 1 1.1.1 Sifat Fisik Batuan Reservoir................... 3 1.2 Perumusan Masalah.............................. 8 1.3 Batasan Masalah................................ 8 1.4 Tujuan Penelitian............................... 9 1.5 Manfaat Penelitian.............................. 9 1.6 Metodologi Penelitian............................ 9 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA.............................. 11 2.1 Model Aliran Dua-Fase Nonekulibrium pada Media Berpori.. 11 2.2 Deret Taylor................................... 12 2.3 Metode Iterasi Newton Pada Sistem Aljabar............. 12 2.4 Integrasi Numerik............................... 13 2.4.1 Aturan Trapesium.......................... 15 2.4.2 Aturan Titik Tengah........................ 15 2.4.3 Aturan Titik Kanan......................... 16 viii

2.4.4 Aturan Titik Kiri........................... 16 2.5 Galat........................................ 17 2.5.1 Galat Iterasi Newton........................ 18 2.5.2 Galat Aturan Trapesium...................... 18 2.5.3 Galat Aturan Titik Tengah.................... 20 2.5.4 Galat Aturan Titik Kanan..................... 20 2.5.5 Galat Aturan Titik Kiri....................... 21 2.6 Solusi Numerik pada Persamaan Diferensial Partial........ 22 2.6.1 Metode Volume Hingga...................... 24 BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN......................... 29 3.1 Solusi Persamaan Hiperbolik Orde Satu Menggunakan Upwinding........................................ 30 3.1.1 Aliran Dua-Fase Fluida...................... 31 3.1.2 Metode Volume Hingga...................... 34 3.1.3 Kondisi CFL............................. 35 3.1.4 Saturasi Efektif............................ 39 3.1.5 Aliran Dua Fase dengan Saturasi Efektif........... 41 BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN......................... 48 4.1 Kesimpulan................................... 48 4.2 Saran....................................... 48 DAFTAR PUSTAKA...................................... 49 LAMPIRAN............................................ 50 1. Iterasi Newton................................ 50 2. Aliran Satu Fase............................... 51 3. Aliran Dua Fase............................... 52 4. Aliran Dua Fase Nonekuilibrium.................... 54 ix

DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Halaman 2.1 Metode Pias.................................... 14 2.2 Trapezoidal..................................... 15 2.3 Aturan Titik Tengah............................... 15 2.4 Aturan Titik Kanan............................... 16 2.5 Aturan Titik Kiri................................. 17 2.6 Control Volume.................................. 25 2.7 Upwinding..................................... 26 2.8 Persamaan Burger dengan batas 1 x 2, t = 0.5 dan x = 0.3. 28 3.1 Proses Injeksi................................... 29 3.2 Aliran Dua fase dengan v R = 5....................... 38 3.3 Aliran Dua Fase dengan v R = 10...................... 39 3.4 Aliran Dua Fase dengan Efek Nonekuilibrium dimana v R = 3 dan τ = 0.01...................................... 46 3.5 Aliran Dua Fase dengan Efek Nonekuilibrium dimana v R = 7 dan τ = 0.02....................................... 47 x

DAFTAR ISTILAH control volume : istilah yang digunakan untuk membetuk grid pada diskritisasi ketika menggunakan metode volume hingga diskritisasi : membagi sebuah objek kontinu menjadi sejumlah bilangan berhingga dari unsur diskrit equilibrium : setimbang fluida : suatu zat yang dapat mengalir hukum Darcy : persamaan yang mendefinisikan kemampuan suatu fluida mengalir melalui media berpori hukum konservasi : hukum kesetimbangan dalam suatu proses alam immiscible : tidak dapat tercampur incompressible : suatu aliran tidak mengalami perubahan massa jenis ketika diberi tekanan isothermal : perubahan yang terjadi pada suatu sistem dimana suhunya tetap kapilaritas : peristiwa naik atau turunnya zat cair pada bahan yang terdiri atas beberapa pembuluh halus akibat gaya adhesi atau kohesi massa jenis : ukuran kerapatan benda yang homogen mobilitas : perbandingan permeabiltas terhadap viskositas fluida nonequilibrium : ketidaksetimbangan permeabilitas : kemampuan batuan dalam mendistribusiikan fluida permeabilitas absolut : kemampuan batuan dalam mendistribusiikan semua fase fluida yang terkandung didalam batuan permeabilitas efektif : kemampuan batuan dalam mendistribusiikan salah satu fluida yang terkandung didalam batuan permeabilitas relatif : perbandingan dari permeabilitas efektif terhadap permeabilitas absolut porositas : perbandingan antara volume pori batuan yang berisi fluida dengan total volume batuan reservoir : tempat berkumpulnya minyak dan gas bumi saturasi : perbandingan antara volume pori batuan yang berisi fluida tertentu terhadap total volume pori batuan simulasi : salah satu teknik numerik untuk melakukan percobaan yang melibatkan bentuk fungsi matematika dan fungsi logika tertentu untuk menjelaskan tingkah laku dan struktur suatu sistem nyata xi

steady state : kondisi dimana suatu system tidak mengalami perubahan walaupun waktu terus mengalaami perubahan atau disebut konstan tekanan kapiler : selisih tekanan antara fluida yang dapat membasahi batuan terhadap fluida yang tidak dapat membasahi batuan upwind : salah satu teknik pendekatan numerik pada persamaaan diferensial parsial viskositas : ketahanan internal suatu fluida untuk mengalir viskositas relatif : perbandingan antara viskositas fluida yang didorong (minyak) terhadap viskositas pendorong (air) waterflooding : salah satu teknik untuk meningkatkan produksi minyak bumi dimana air yang diinjeksikan berfungsi sebagai media pendorong xii