Penyelesin Persmn Linier Simultn
Persmn Linier Simultn Persmn linier simultn dlh sutu bentuk persmn-persmn yng secr bersm-sm menyjikn bnyk vribel bebs Bentuk persmn linier simultn dengn m persmn dn n vribel bebs ij untuk i s/d m dn j s/d n dlh koefisien tu persmn simultn i untuk i s/d n dlh vribel bebs pd persmn simultn
Persmn Linier Simultn Penyelesin persmn linier simultn dlh penentun nili i untuk semu i s/d n yng memenuhi semu persmn yng diberikn. AX B m Mtrik A Mtrik Koefisien/ Jcobin. Vektor vektor vribel vektor B vektor konstnt. m n n mn b b n bn
Persmn Linier Simultn Persmn Linier Simultn tu Sistem Persmn Linier mempunyi kemungkinn solusi : Tidk mempunyi solusi Tept stu solusi Bnyk solusi
Augmented Mtri mtrik yng merupkn perlusn mtrik A dengn menmbhkn vector B pd kolom terkhirny, dn dituliskn: Augmented (A) [A B] m m m n n mn b b b m
Contoh : Seorng pembut bonek ingin membut du mcm bonek yitu bonek A dn bonek B. Kedu bonek tersebut dibut dengn menggunkn du mcm bhn yitu potongn kin dn kncing. Bonek A membutuhkn potongn kin dn kncing, sedngkn bonek B membutuhkn 8 potongn kin dn 8 kncing. Permslhnny dlh berp buh bonek A dn bonek B yng dpt dibut dri 8 potongn kin dn kncing?
Contoh Permslhn ini dpt dimodelkn dengn menytkn : jumlh bonek A y jumlh bonek B Untuk setip bhn dpt dinytkn bhw: Potongn kin untuk bonek A 8 untuk bonek B 8 Kncing untuk bonek A 8 untuk bonek B Atu dpt dituliskn dengn : 8 y 8 8 y Penyelesin dri permslhn di ts dlh penentun nili dn y yng memenuhi kedu persmn di ts.
Contoh : Perhtikn potongn pet yng sudh diperbesr (zoom) sebgi berikut : Perhtikn bhw pd ke- titik tersebut dihubungkn dengn gris lurus, sehingg tmpk ksr. Untuk menghlusknny dilkukn pendektn gris dengn kurv yng dibentuk dengn fungsi pendektn polinomil. Dri fungsi polinomil yng dihsilkn kurv dpt digmbrkn dengn lebih hlus.
Contoh : titik yng ditunjuk dlh (,), (7,), (8,) dn (,). titik ini dpt didekti dengn fungsi polinom pngkt yitu : y b c Bil nili dn y dri titik dimsukkn ke dlm persmn di ts kn diperoleh model persmn simultn sebgi berikut : Titik 8 b c d Titik 9 b 7 c d Titik 5 b 8 c d Titik 78 b c d Nili, b, c dn d dlh penyelesin dri permslhn di ts. d
Contoh : Setelh nili, b, c dn d diperoleh mk persmn polinomilny didptkn dn dengn menggunkn step yng lebih kecil dpt digmbrkn grfikny dengn lebih hlus.
Theorem.. Sutu persmn linier simultn mempunyi penyelesin tunggl bil memenuhi syrtsyrt sebgi berikut. Ukurn persmn linier simultn bujursngkr, dimn jumlh persmn sm dengn jumlh vrible bebs. Persmn linier simultn non-homogen dimn miniml d stu nili vector konstnt B tidk nol tu d bn. Determinn dri mtrik koefisien persmn linier simultn tidk sm dengn nol.
Metode Anlitik metode grfis turn Crmmer invers mtrik
Metode Numerik Metode Eliminsi Guss Metode Eliminsi Guss-Jordn Metode Itersi Guss-Seidel
Metode Eliminsi Guss Metode Eliminsi Guss merupkn metode yng dikembngkn dri metode eliminsi, yitu menghilngkn tu mengurngi jumlh vrible sehingg dpt diperoleh nili dri sutu vrible bebs mtrik diubh menjdi ugmented mtrik : n n n n nn b b bn
Metode Eliminsi Guss ubh mtrik menjdi mtrik segitig ts tu segitig bwh dengn menggunkn OBE (Opersi Bris Elementer). n n n n n n nn b b b b n c c c c c c c c c c n n n nn d d d d n
Opersi Bris Elementer Metode dsr untuk menyelesikn Sistem Persmn Linier dlh menggnti sistem yng d dengn sistem yng bru yng mempunyi himp solusi yng sm dn lebih mudh untuk diselesikn Sistem yng bru diperoleh dengn serngkin step yng menerpkn tipe opersi. Opersi ini disebut Opersi Bris Elementer. Multiply n eqution through by n nonzero constnt.. Interchnge two eqution.. Add multiple of one eqution to nother.
Metode Eliminsi Guss Sehingg penyelesin dpt diperoleh dengn: ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n n n nn n n c c c d c c c c d c d c c c d,,.
Contoh : Selesikn sistem persmn berikut: Augmented mtrik dri persmn linier simultn tersebut :
Contoh : Lkukn opersi bris elementer B B B B B B
Contoh : Penyelesin : ( ()) ( )
Echelon Forms This mtri which hve following properties is in reduced rowechelon form (Emple, ).. If row does not consist entirely of zeros, then the first nonzero number in the row is. We cll this leder.. If there re ny rows tht consist entirely of zeros, then they re grouped together t the bottom of the mtri.. In ny two successive rows tht do not consist entirely of zeros, the leder in the lower row occurs frther to the right thn the leder in the higher row.. Ech column tht contins leder hs zeros everywhere else. A mtri tht hs the first three properties is sid to be in rowechelon form (Emple, ). A mtri in reduced row-echelon form is of necessity in rowechelon form, but not conversely.
Emple Row-Echelon & Reduced Row-Echelon form reduced row-echelon form:,,, 7 row-echelon form:,, 5 7
Emple More on Row-Echelon nd Reduced Row-Echelon form All mtrices of the following types re in row-echelon form ( ny rel numbers substituted for the s. ) :,,,,,, All mtrices of the following types re in reduced rowechelon form ( ny rel numbers substituted for the s. ) :
Contoh Solusi dri Sistem Pers Linier Anggplh ini dlh mtrik dri Sistem Persmn Linier yng telh direduksi dengn bentuk row echelon. 5 () Solution () - 5 z y
Emple Solutions of Four Liner Systems (b) (b) Solution (b) - free vribles leding vribles
Emple Solutions of Four Liner Systems (b) - - - - Free vribel kit mislkn dengn t. Sehingg selnjutny dpt kit tentukn leding vribelny. t t t t,,, Sistem Persmn Linier menghsilkn bnyk solusi
Emple Solutions of Four Liner Systems (c) 5 (c) Solution (c). Pd bris ke- semuny nol sehingg persmn ini dpt dibikn 5-5 5 5
Emple Solutions of Four Liner Systems (c) Solution (c). Selesikn leding vribel dengn free vribel - - - -5 5 5-5. Free vribel kit mislkn dengn t (sembrng vlue). Sehingg Sistem Persmn Linier menghsilkn bnyk solusi - - s s - t - 5t, t - t,
Emple Solutions of Four Liner Systems (d) (d) Solution (d): Persmn terkhir pd Sistem Persmn Linier Kren persmn ini tidk konsisten, mk Sistem ini tidk mempunyi solusi
Emple Solutions of Four Liner Systems (d) (d) Solution (d): the lst eqution in the corresponding system of eqution is Since this eqution cnnot be stisfied, there is no solution to the system.
Elimintion Methods (/7) We shll give step-by-step elimintion procedure tht cn be used to reduce ny mtri to reduced row-echelon form. 5 7 5 8
Elimintion Methods (/7) Step. Locte the leftmost column tht does not consist entirely of zeros. 5 7 5 8 Leftmost nonzero column Step. Interchnge the top row with nother row, to bring nonzero entry to top of the column found in Step. 5 7 5 8 The th nd th rows in the preceding mtri were interchnged.
Elimintion Methods (/7) Step. If the entry tht is now t the top of the column found in Step is, multiply the first row by / in order to introduce leding. 5 5 7 5 The st row of the preceding mtri ws multiplied by /. Step. Add suitble multiples of the top row to the rows below so tht ll entires below the leding become zeros. 5 5 7 7 9 - times the st row of the preceding mtri ws dded to the rd row.
Elimintion Methods (/7) Step5. Now cover the top row in the mtri nd begin gin with Step pplied to the submtri tht remins. Continue in this wy until the entire mtri is in rowechelon form. 5 7 5 7 9 Leftmost nonzero column in the submtri 5 5 7 7 9 The st row in the submtri ws multiplied by -/ to introduce leding.
Elimintion Methods (5/7) Step5 (cont.) 5 7-5 times the st row of the submtri ws dded to the nd row of the submtri to introduce zero below the leding. 5 7 5 7 The top row in the submtri ws covered, nd we returned gin Step. The first (nd only) row in the new submetri ws multiplied by to introduce leding. Leftmost nonzero column in the new submtri The entire mtri is now in row-echelon form.
Elimintion Methods (/7) Step. Beginning with ls nonzero row nd working upwrd, dd suitble multiples of ech row to the rows bove to introduce zeros bove the leding s. 7 7/ times the rd row of the preceding mtri ws dded to the nd row. 5 5 - times the rd row ws dded to the st row. The lst mtri is in reduced row-echelon form. 5 times the nd row ws dded to the st row.
Elimintion Methods (7/7) Step~Step5: the bove procedure produces row-echelon form nd is clled Gussin elimintion. Step~Step: the bove procedure produces reduced row-echelon form nd is clled Gussin- Jordn elimintion. Every mtri hs unique reduced rowechelon form but row-echelon form of given mtri is not unique.
Algoritm Metode Eliminsi Guss
Metode Eliminsi Guss Jordn Metode ini merupkn pengembngn metode eliminsi Guss, hny sj ugmented mtrik, pd sebelh kiri diubh menjdi mtrik digonl n n n b b b n n n nn bn d n Penyelesin dri persmn linier simultn dits dlh nili d,d,d,,dn dn tu: d, d, d,., n d n d d d
Contoh : 8 Selesikn persmn linier simultn: Augmented mtrik dri persmn linier simultn Lkukn opersi bris elementer 8 / B B B b B Penyelesin persmn linier simultn : dn
Contoh : 5 9 z y z y z y 5 7 7 9 z y z y z y B -B B -B 5 7 7 9 5 9 B -B B -B
Emple Using Elementry row Opertions(/) ½B 9 7 7 z y z y z y 7 7 7 9 z y z y z y B -B ½B 7 9 7 7 7 7 7 9 B -B
Emple Using Elementry row Opertions(/) 7 7 9 z z y z y 9 7 7 z z y z y - B B -B 9 7 7 7 7 9 - B B -B
Emple Using Elementry row Opertions(/) 7 7 5 z z y z z y B 7/ B B - / B 7 7 5 B 7/ B B - / B Solusi, y dn z
Algoritm Metode Eliminsi Guss-Jordn
Metode Itersi Guss- Seidel Metode intersi Guss-Seidel dlh metode yng menggunkn proses itersi hingg diperoleh nili-nili yng berubh. Bil dikethui persmn linier simultn n n n n n n b b b n n n nn n b n
Metode Itersi Guss- Seidel Berikn nili wl dri setip i (i s/d n) kemudin persmn linier simultn dits dituliskn menjdi: ( b. ). n ( b. ). nn. ( b. ) n n. n. n n. n nn n n
Metode Itersi Guss- Seidel Dengn menghitung nili-nili i (i s/d n) menggunkn persmn-persmn di ts secr terus-menerus hingg nili untuk setip i (i s/d n) sudh sm dengn nili i pd itersi sebelumny mk diperoleh penyelesin dri persmn linier simultn tersebut. Atu dengn kt lin proses itersi dihentikn bil selisih nili i (i s/d n) dengn nili i pd itersi sebelumny kurng dri nili tolersi error yng ditentukn. Untuk mengecek kekonvergenn
Cttn Hti-hti dlm menyusun sistem persmn linier ketik menggunkn metode itersi Guss-Seidel ini. Perhtikn setip koefisien dri msing-msing i pd semu persmn di digonl utm ( ii ). Letkkn nili-nili terbesr dri koefisien untuk setip i pd digonl utm. Mslh ini dlh mslh pivoting yng hrus benr-benr diperhtikn, kren penyusun yng slh kn menyebbkn itersi menjdi divergen dn tidk diperoleh hsil yng benr.
Contoh 5 Berikn nili wl : dn Susun persmn menjdi: 5 (5,) ( ) (,/) (7/,7/)
Contoh (/, 5/8) (5/8, /) (9/, / ) (97/, 7/)
Contoh : Selesikn sistem persmn berikut: Augmented mtrik dri persmn linier simultn tersebut :
Hsil Divergen
Hsil Konvergen
Algoritm Metode Itersi Guss-Seidel
Sol Selesikn dg Eliminsi Guss-Jordn 8-7 y z w - y - z -w - - y z w - w - y z y z y 5z 9
Selesikn dg Guss Seidel 5 - X X 7 X 5
Contoh Penyelesin Permslhn Persmn Linier Simultn Mr.X membut mcm bonek A dn B. Bonek A memerlukn bhn blok B dn blok B, sedngkn bonek B memerlukn bhn 5 blok B dn blok B. Berp jumlh bonek yng dpt dihsilkn bil tersedi 8 blok bhn B dn blok bhn B. Model Sistem Persmn Linier : Vribel yng dicri dlh jumlh bonek, nggp: dlh jumlh bonek A dlh jumlh bonek B Perhtikn dri pemkin bhn : B: bhn untuk bonek A 5 bhn untuk bonek B 8 B: bhn untuk bonek A bhn untuk bonek B Diperoleh model sistem persmn linier 5 8
Contoh : metode eliminsi Guss-Jordn Diperoleh dn, rtiny bhn yng tersedi dpt dibut bonek A dn bonek B.
Contoh :Penghlusn Kurv Dengn Fungsi Pendektn Polinomil Perhtikn bhw pd ke- titik tersebut dihubungkn dengn gris lurus, sehingg tmpk ksr. Untuk menghlusknny dilkukn pendektn gris dengn kurv yng dibentuk dengn fungsi pendektn polinomil. Dri fungsi polinomil yng dihsilkn kurv dpt digmbrkn dengn lebih hlus.
Contoh : Mislkn pd contoh dits, titik yng ditunjuk dlh (,), (7,), (8,) dn (,). titik ini dpt didekti dengn fungsi polinom pngkt yitu : Bil nili dn y dri titik dimsukkn ke dlm persmn di ts kn diperoleh model persmn simultn sebgi berikut : Titik 8 b c d Titik 9 b 7 c d Titik 5 b 8 c d Titik 78 b c d
Dengn menggunkn Metode Eliminsi Guss-Jordn -, b,9 c -,59 d 5, y -,,9,59 5,