GOMTRI LINGKRN YNG MNNTNG entuk lingkaran banyak ditemui dalam kehidupan sehari-hari, mulai dari ban kendaraan, logo, cermin, tatakan gelas, dan masih banyak lagi yang lainnya. kan menjadi sangat menarik jika kita dapat menghitung unsur-unsur dalam lingkaran tersebut. Modul ini memberikan kumpulan bermacam-macam soal-soal lingkaran yang diambil dari berbagai kompetisi matematika yang diselenggarakan oleh berbagai Negara di dunia. Tujuannya untuk lebih meningkatkan minat siswa dalam matematika melalui pemecahan masalah. Sedangkan tujuan akhirnya adalah lebih kepada kesiapan siswa menghadapi tantangan dalam kompetisi-kompetisi yang akan datang. Pembahasan mencakup tidak hanya pada perhitungan luas dan keliling lingkaran ataupun menghitung sudut-sudut dalam lingkaran, tapi juga dikaitkan dengan bangun datar lain seperti persegi dan segitiga. erikut ini adalah beberapa tipe soal lingkaran yang sering diberikan dalam kompetisi-kompetisi matematika dan contoh penyelesaiannya. 1. 4 buah lingkaran yang kongruen saling bersinggungan dan menyinggung persegi seperti tampak pada S R gambar. Titik pusat keempat lingkaran merupakan titik sudut persegi PQRS. Jika luas persegi PQRS = P Q 4 cm, maka tentukan luas persegi. Penyelesaian: ( ara I ) S R Karena luas PQRS = 4 kecil = 1 ( Math ontests, New Jersey 198 ) cm, berarti luas tiap persegi cm, maka luas persegi = 16 cm. P Q ( ara II ) Karena luas PQRS = 4 cm, berarti panjang sisinya cm dan panjang jari-jari lingkaran = 1 cm. Panjang sisi persegi = 4 x panjang jari-jari lingkaran = 4 cm 1
Jadi luas = 16 cm.. iketahui diameter lingkaran O. = 50 dan = 50. Tentukanlah besar. ( Math ontests, New Jersey 198 ) O F Penyelesaian: G 50 15 50 O 5 dan F, berarti F dan F merupakan garis tinggi. dan F berpotongan di titik. Jika diperpanjang hingga titik G, maka G juga berpotongan dengan dan F di titik. erarti G juga merupakan F garis tinggi. Maka = 15. 3. Tiap-tiap lingkaran di samping berjari-jari 1cm dan saling bersinggungan luar. Hitung luas daerah yang diarsir! ( Math ontests, New Jersey 1983 ) Penyelesaian: ( ara I ) Gambar jajar genjang dan garis tinggi. Karena = 4 cm dan = cm, = 3cm. Luas daerah yang diarsir = Luas - x Luas lingkaran = ( 4 3 π) cm
(ara II ) Pindahkan lingkaran ke bawah seperti pada gambar. Luas daerah yang diarsir = Luas - (3xLuas 1 lingkaran + 3xLuas juring 60 ) 4. 3 1 1 = (3. π r + 3. πr ) 6 = ( 4 3 π) cm 4. H dan G adalah dua buah seperempat lingkaran dengan jari-jari 10 cm. Hitung luas daerah yang diarsir! (KomMat KI/MGMP tkt Semifinal 009 ) Penyelesaian: LI = Luas G Luas L 1 4 I lingkaran 1 = 100 - π.100 L II 4 L yang diarsir = Luas H (LI+LII) = 100-5 π = 150 100 LII = Luas 1 4 lingkaran = 50 cm 3
= 5 π 5. // dan berjarak 8. Tentukan panjang jari-jari lingkaran! 18 14 O Penyelesaian: 9 7 r O 8-x x r r =81+x... ( i ) r =49+(8-x) =x -16x+113... ( ii ) Maka: 81+x = x -16x+113 16x = 3 x = Sehingga: r =81+x r =85 r = 85 Jakarta, 6 November 010 Suhartoyo SMK 4 PNUR 4
SOL-SOL LTIHN 1. Sebuah lingkaran dalam segitiga samasisi mempunyai jari-jari 6 cm. Tentukan luas segitiga. Jawab: 108 3 r = 6 cm. Lihat gambar di bawah ini! 5 6 dari daerah lingkaran besar diarsir dan 3 5 dari daerah lingkaran kecil diarsir. Tentukan nilai perbandingan dari daerah lingkaran besar yang diarsir dan daerah lingkaran kecil yang diarsir. Jawab: 10 : 3 3. Perhatikan gambar di bawah ini! O adalah titik pusat persekutuan lingkaran kecil dan lingkaran besar. Jika luas daerah arsiran adalah kali luas daerah arsiran, hitunglah: a. erapa bagiankah luas daerah arsiran dari luas daerah gambar? Jawab: 3 0 b. erapakah luas lingkaran besar, jika selisih luas kedua lingkaran itu 11 cm²? 140 5
4. Tali busur dan saling sejajar dan berjarak 3 cm. Jika = 18 cm and = 4 cm, tentukanlah panjang jari-jari lingkaran. Jawab: 15 5. Pada gambar di bawah,,, F dan F adalah garis lurus. = 40, F = 46. Tentukan besar. Jawab; 17 F 46 40 6. Lingkaran singgung luar segitiga menyentuh di. = 6 cm, = 5 cm dan = 4 cm. Panjang. Jawab : 3,5 O F 7. Kedua lingkaran besar berjari-jari sama yaitu 5 cm. Tentukan panjang jari-jari lingkaran kecil. Jawab : 5 4 6
8. adalah seperempat lingkaran dengan jari-jari 10 cm. Jika keliling persegi panjang PQR = 8 cm, tentukan luas daerah yang diarsir. Jawab : 5π 4 Q R P 9. MN adalah diameter lingkaran. Jarak MN dan KL = 1 cm. Perbandingan luas persegi 1 83 dan luas persegi FGH = 9 : 4. Hitunglah luas yang diarsir! 0 π 5 5 M N K F L H G 10. i dalam sebuah pipa yang berdiameter 40 cm terdapat air yang lebar permukaannya = 3 cm. Hitunglah dalamnya air dalam pipa tersebut! 8 11. Gambar di bawah merupakan dua buah setengah lingkaran. garis singgung setengah lingkaran kecil dan //. Jika panjang = 4 cm, tentukan luas daerah yang diarsir! 7π 7
1. merupakan diameter setengah lingkaran PQ dengan pusat O. POQ = 48. Tentukan besar XP =. 66 P 48 X Q O 13. Tentukan nilai x+y pada gambar berikut! 05 5 y x 14. Pada gambar di bawah, O adalah diameter lingkaran O. Tentukan besar. 140 130 O 15. Lingkaran O menyinggung sisi terpanjang siku-siku seperti tampak pada gambar di bawah. Jika = 4 cm dan = 3 cm, tentukan panjang diameter lingkaran O. 1 O 8
16. Pada gambar PQ dan RS adalah tali busur lingkaran dengan pusat O yang berjari-jari 10 cm. PQ dan RS saling berpotongan tegak lurus di titik T. Jika panjang PQ = 14 cm dan RS = 18 cm, tentukanlah panjang OT. 70 R P T O Q S 17. Lingkaran O merupakan lingkaran luar segitiga PQR. QR diperpanjang hingga T di mana PTQ = 68 dan PQT = 36. Jika PQ = QR, tentukan besar RPT. 8 P 68 36 T R Q 18. Titik-titik,,, dan terletak pada lingkaran O. dan berpotongan di titik K. = 100 dan = 130. Jika //, maka tentukanlah besar. K 19. ua buah lingkaran yang berjari-jari sama, yaitu 10 cm saling berpotongan dan mempunyai garis singgung persekutuan luar SR. Jika dua daerah diarsir mempunyai luas yang sama, hitunglah luas daerah segiempat PQRS. 157 9
0. Pada gambar berikut, PUQ : PSQ = 1 : 4. r + t = 16 S T t r R P Q U 1. Kedua tali busur pada gambar di bawah saling berpotongan tegak lurus. Tentukan panjang jari-jari lingkaran! R = 5 4 6. mpat buah lingkaran kongruen saling bersinggungan luar dan masing-masing menyinggung sisi sebuah persegi yang luasnya 144 cm. Jika sebuah lingkaran kecil terletak di tengah dan menyinggung keempat lingkaran tadi, maka hitunglah diameter lingkaran kecil tersebut! = 6( 1) 3.. Sebuah persegi di atasnya terdapat bangun setengah lingkaran terletak di dalam sebuah segitiga samasisi yang kelilingnya 36 cm. Tentukan panjang jari-jari setengah lingkaran tersebut! 10
4. dan adalah garis tengah dari buah setengah lingkaran. Garis menyinggung setengah lingkaran kecil di titik P dan P = 7. Tentukan besar P! P 7 5. Lingkaran O dan P saling berpotongan. Pusat lingkaran O terletak pada keliling lingkaran P dan pusat lingkaran P terletak pada keliling lingkaran O. Titik dan merupakan titik potong kedua lingkaran. Jika panjang garis yang menghubungkan O dan P adalah 1 cm dan panjang garis yang menghubungkan dan adalah 3cm, maka hitunglah luas daerah yang diarsir! 6. Sebuah persegi panjang keempat titik sudutnya terletak pada keliling sebuah lingkaran. Jika keliling persegi panjang = 3 kali keliling lingkaran. Tentukanlah luas 4 persegi panjang tersebut! 7. Tentukan panjang jari-jari setengah lingkaran pada gambar di bawah! 5 3 4 11
8. ua buah lingkaran berjari-jari sama terletak di dalam segienam samasisi seperti tampak pada gambar. Jika panjang sisi segienam = 1 cm, dan panjang jari-jari lingkaran dapat dinyatakan dengan a 3 + bdengan a dan b merupakan bilangan bulat, tentukanlah a+b. T 9. i dalam seperempat lingkaran berjari-jari cm dibuat setengah lingkaran berjarijari 1 cm. Kemudian dibuat lagi setengah lingkaran yang lebih kecil seperti pada gambar. Tentukan panjang jari-jari setengah lingkaran yang lebih kecil tersebut! 30. Sebuah lingkaran berjari-jari cm dikelilingi oleh empat lingkaran yang saling bersinggungan seperti pada gambar dengan jari-jari masing-masing 3, r, 3 dan r (searah jarum jam). Tentukan r. 3 r 31. Setengah lingkaran dengan jari-jari 11 cm berpusat di dan sebuah lingkaran berjari-jari 7 cm berpusat di.. Hitunglah panjang a! 1 a cm
3. adalah sebuah segitiga dengan panjang = 6. ibuat sebuah lingkaran dalam yang menyinggung sisi di K, di L dan di M, Jika panjang L = 5, maka tentukan keliling segitiga! 33. iketahui sembarang segitiga samakaki dengan =. Jika R adalah jari-jari lingkaran luarnya dan r adalah jari-jari lingkaran dalamnya, dan d adalah jarak antara kedua titik pusat kedua lingkaran itu, maka tunjukkan d = R(R r) 34. Lingkaran dalam segitiga dengan jari-jari 1 menyinggung di P. Jika P = 3 dan P = 7, maka keliling segitiga sama dengan 35. Persegi pada tiga gambar di bawah ini adalah persegi satuan. Sisi-sisi persegi dan semua lingkaran yanga ada saling bersinggungan. agian dalam persegi dan di luar lingkaran diberi warna hitam. ari ketiga gambar di bawah, bagian yang diberi warna hitam akan memiliki luas terbesar pada 13
a. Gambar 1 b. Gambar c. Gambar 3 d. da dua yang sama e. Ketiganya sama 14