PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR KOMPLEKS MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SVD) TUGAS AKHIR. Oleh : DEWI YULIANTI

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR KOMPLEKS MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SVD) TUGAS AKHIR Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Pada Jurusan Matematika Oleh : DEWI YULIANTI 85445 FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SULTAN SYARIF KASIM RIAU PEKANBARU

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR KOMPLEKS MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SVD) DEWI YULIANTI 85445 Tanggal Sidang : 6 Juni Tanggal Wisuda : Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau Jl HR Soebrantas No55 Pekanbaru ABSTRAK Sistem Persamaan Linear (SPL) dapat dibentuk ke dalam persamaan matriks AX B Koefisien pada sistem persamaan linear ada yang berbentuk bilangan riil dan ada yang berbentuk bilangan kompleks Sistem persamaan linear dengan koefisien bilangan kompleks dapat diselesaikan dengan menggunakan metode Singular Value Decomposition (SVD) Metode SVD merupakan suatu metode yang mendekomposisikan suatu matriks A menjadi tiga komponen matriks USV H Metode SVD dapat digunakan untuk mencari solusi dari sistem persamaan linear kompleks yang konsisten maupun sistem persamaan linear kompleks yang tidak konsisten Solusi yang diperoleh dari sistem persamaan linear kompleks yang konsisten adalah solusi tunggal dan banyak solusi Sedangkan solusi yang diperoleh dari sistem persamaan linear kompleks yang tidak konsisten adalah solusi pendekatan terbaik Katakunci: basis ortonormal sistem persamaan linear kompleks Singular Value Decomposition (SVD) vii

KATA PENGANTAR Alhamdulillahirabbil alamin puji syukur penulis ucapkan kehadirat Allah SWT atas segala limpahan rahmat dan hidayah-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir dengan judul PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR KOMPLEKS MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR ( SVD) Penulisan tugas akhir ini dimaksudkan untuk memenuhi salah satu syarat dalam rangka menyelesaikan studi Strata (S) di UIN Suska Riau Shalawat beserta salam selalu tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW mudah-mudahan kita semua selalu mendapat syafa at dan dalam lindungan Allah SWT amin Dalam penyusunan dan penyelesaian tugas akhir ini penulis tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak baik langsung maupun tidak langsung Untuk itu penulis mengucapkan terimakasih yang tak terhingga kepada kedua orang tua tercinta ayahanda dan ibunda yang tidak pernah lelah dalam mencurahkan kasih sayang perhatian do a dan dukungan untuk menyelesaikan tugas akhir ini Selanjutnya ucapan terimakasih kepada : Bapak Prof Dr H M Nazir selaku Rektor Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau Ibu Dra Hj Yenita Morena MSi selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau 3 Ibu Sri Basriati MSc selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau 4 Ibu Fitri Aryani MSc selaku pembimbing sekaligus koordinator tugas akhir yang telah banyak membantu mengarahkan mendukung dan membimbing penulis dengan penuh kesabarannya dalam penulisan tugas akhir ini 5 Ibu Sri Basriati MSc selaku penguji I yang telah banyak membantu memberikan kritikan dan saran serta dukungan dalam penulisan tugas akhir ini ix

6 Bapak Wartono MSc selaku penguji II yang telah banyak membantu mendukung dan memberikan saran dalam penulisan tugas akhir ini 7 Semua dosen-dosen Jurusan Matematika yang telah memberikan dukungan serta saran dalam menyelesaikan tugas akhir ini Dalam penyusunan tugas akhir ini penulis telah berusaha semaksimal mungkin Walaupun demikian tidak tertutup kemungkinan adanya kesalahan dan kekurangan baik dalam penulisan maupun dalam penyajian materi Untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran dari berbagai pihak demi kesempurnaan tugas akhir ini Pekanbaru 6 Juni Dewi Yulianti x

DAFTAR ISI LEMBAR PERSETUJUAN LEMBAR PENGESAHAN LEMBAR HAK ATAS KEKAYAAN INTELEKTUAL LEMBAR PERNYATAAN LEMBAR PERSEMBAHAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR DAFTAR ISI DAFTAR SIMBOL DAFTAR LAMPIRAN Halaman ii iii iv v vi vii viii ix xi xiii xiv BAB I BAB II PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah I- Rumusan Masalah I- 3 Batasan Masalah I- 4 Tujuan Penelitian I- 5 Manfaat Penulisan I-3 6 Sistematika Penulisan I-3 LANDASAN TEORI Bilangan Kompleks II- Konjugat Kompleks II-3 3 Sistem Persamaan Linear II-4 3 Sistem Persamaan Linear Riil II-5 3 Sistem Persamaan Linear Kompleks II-6 4 Metode Singular Value Decomposition (SVD) II-8 5 Ortogonal dan Basis Ortonormal II-4 5 Ortogonal II-4 5 Basis Ortonormal II-5 xi

6 Nilai Eigen dan Vektor Eigen II-7 7 Matriks Kompleks II-9 BAB III METODOLOGI PENELITIAN 3 Metodologi Penelitian III- BAB IV PEMBAHASAN 4 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Kompleks Menggunakan Metode SVD IV- BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5 Kesimpulan V- 5 Saran V- DAFTAR PUSTAKA DAFTAR RIWAYAT HIDUP xii

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Sistem persamaan linear merupakan sebuah materi dalam ilmu aljabar linear yang mana merupakan salah satu bahasan penting dalam matematika Sistem persamaan linear dapat dibentuk sebagai persamaan matriks (Lipschutz S 6) Sistem persamaan linear mempunyai beberapa bentuk pemecahan atau solusi yaitu solusi tunggal banyak solusi dan tidak ada solusi Sistem persamaan linear merupakan sekumpulan persamaan linear yang terdiri dari koefisien dan variabel Koefisien pada sistem persamaan linear ada yang berbentuk bilangan riil dan ada yang berbentuk bilangan kompleks Sistem persamaan linear yang berkoefisien bilangan riil telah banyak dipelajari atau dibahas di dalam perkuliahan sedangkan sistem persamaan linear yang berkoefisien bilangan kompleks sangat jarang dipelajari Metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear diantaranya Operasi Baris Elementer (OBE) dan Singular Value Decomposition (SVD) Metode SVD adalah suatu metode yang mendekomposisikan suatu matriks menjadi tiga komponen matriks di mana merupakan matriks uniter berukuran merupakan matriks yang berukuran yang semua entri di luar diagonalnya dan merupakan matriks uniter berukuran (Leon S ) Kelebihan metode SVD dalam menyelesaikan sistem persamaan linear yaitu solusi dari sistem persamaan linear dapat dicari meskipun matriks koefisien yang terbentuk bukanlah matriks persegi maupun matriks yang tidak mempunyai invers Kelebihan lain dari metode SVD adalah dapat menyelesaikan sistem persamaan linear yang tidak konsisten dalam hal ini solusi yang diperoleh adalah solusi pendekatan terbaik (Ahmad I ) Metode SVD telah digunakan oleh beberapa peneliti sebelumnya diantaranya oleh Dina Mariya (8) yang menggunakan SVD untuk menentukan

invers Moore Penrose dari suatu matriks Peneliti selanjutnya Adiwijaya dkk (9) yang menggunakan SVD untuk mengurangi noise yang terdapat pada citra digital dengan bantuan DFT ( Discrete Fourier Transform) Kemudian Irdam Haidir Ahmad dan Lucia Ratnasari () yang juga menggunakan SVD untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan koefisien bilangan riil Berdasarkan uraian di atas maka penulis tertarik untuk menggunakan SVD dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dengan koefisien bilangan kompleks Sehingga pada tugas akhir ini penulis melakukan penelitian dengan judul Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Kompleks Menggunakan Metode Dekomposisi Nilai Singular (SVD) Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan maka penulis merumuskan masalah yaitu Bagaimana penyelesaian sistem persamaan linear kompleks dengan menggunakan metode SVD 3 Batasan Masalah Agar tujuan dari penelitian ini dapat dicapai dengan baik dan tepat maka diperlukan adanya pembatasan masalah diantaranya: a Sistem persamaan linear kompleks yang akan diselesaikan adalah sistem persamaan linear kompleks yang tidak konsisten b Sistem persamaan linear kompleks dengan persamaan dan variabel yang dibatasi pada contoh yaitu: > dengan 6 dan 5 > dengan 8 dan 7 4 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah: a Mendapatkan penyelesaian sistem persamaan linear kompleks dengan menggunakan metode SVD I-

b Mendapatkan solusi dari sistem persamaan linear kompleks yang tidak konsisten 5 Manfaat Penulisan Manfaat dari penulisan ini adalah sebagai berikut: a Untuk memperdalam ilmu pengetahuan mengenai materi tentang sistem persamaan linear kompleks dan mengembangkan wawasan disiplin ilmu yang telah dipelajari untuk mengkaji suatu permasalahan aljabar linear khususnya dalam hal menyelesaikan sistem persamaan linear kompleks dengan menggunakan metode SVD b Memberikan informasi kepada pembaca bahwa SVD dapat juga digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear kompleks 6 Sistematika Penulisan Sistematika penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut: Bab I Pendahuluan Bab ini bersisi latar belakang masalah rumusan masalah batasan masalah tujuan penelitian manfaat penulisan dan sistematika penulisan Bab II Landasan Teori Bab ini menjelaskan tentang bilangan kompleks konjugat kompleks sistem persamaan linear sistem persamaan linear riil sistem persamaan linear kompleks metode Singular Value Decomposition (SVD) ortogonal dan basis ortonormal nilai eigen dan vektor eigen dan matriks kompleks Bab III Metodologi Penelitian Bab ini berisikan langkah-langkah atau prosedur dalam penyelesaian sistem persamaan linear kompleks dengan menggunakan metode Singular Value Decomposition (SVD) I-3

Bab IV Pembahasan Bab ini berisikan penjelasan bagaimana metode Singular Value Decomposition (SVD) dapat digunakan untuk penyelesaian suatu sistem persamaan linear kompleks Bab V Kesimpulan Dan Saran Bab ini berisikan kesimpulan dari hasil dan pembahasan yang telah dilakukan pada bab IV dan saran dari penulis I-4

BAB II LANDASAN TEORI Bab II ini membahas teori-teoripendukung yang digunakan untuk pembahasan selanjutnya yaitu tentangbilangan kompleks konjugat kompleks sistem persamaan linear sistem persamaan linear riil sistem persamaan linearkompleks metode Singular Value Decomposition (SVD) ortogonal dan basis ortonormal nilai eigen dan vektor eigen dan matriks kompleks Bilangan Kompleks Definisi (Churchill R 99): Bilangan kompleks ( ) yang mana sebagai pasangan berurut i Bagian rill atau Re( ) dapat didefinisikan ℝ ii Bagian imajiner atau Im( ) Selanjutnya akan dijelaskan tentang operasi aljabar terhadap bilangan kompleks: Operasi penjumlahan ( )( ) ( )( ) ( Operasi pengurangan 3 Operasi perkalian ( 4 Operasi pembagian ( ( ( ) ( ) ( )( ) ( ) ) )( ) ) )

Contoh : Diberikan dua buah bilangan kompleks sebagai berikut: 43 dan 54 Akan ditentukan penjumlahan pengurangan perkalian dan pembagian dari dua buah bilangan kompleks dan Penyelesaian: Penjumlahan (4 3 ) (5 4 ) (4 5) (3 4) 9 Pengurangan (4 3 ) (5 4 ) (4 5) 3 (4) 7 3 Perkalian (4 3 )(5 4 ) 6 5 3 4 Pembagian 43 54 54 54 6 5 5 6 3 8 3 4 4 4 II-

Konjugat Kompleks sebagai: Konjugat kompleks dari bilangan kompleks didefinisikan Perkalian antara bilangan kompleks dengan konjugat kompleksnya didefinisikan sebagai: ( )( ) Sedangkan modulus dan norma vektor dari bilangan kompleks didefinisikan sebagai: dan Akan diberikan contoh perkalian antara bilangan kompleks dengan konjugat kompleksnya dan norma vektor dari bilangan kompleks Contoh : Diberikan bilangan kompleks dengan konjugat kompleksnya sebagai berikut: 3 dan 3 Akan ditentukan perkalian antara bilangan kompleks dengan konjugat kompleksnya dan norma vektor dari bilangan kompleks Penyelesaian: Menentukan perkalian antara bilangan kompleks dengan konjugat kompleksnya (3 )(3 ) 96 6 4 3 Menentukan norma vektor dari bilangan kompleks (3 )(3 ) 9 4 3 II-3

3 Sistem Persamaan Linear Sistem persamaan linear adalah sekumpulan persamaan linear yang terdiri dari persamaan dengan disusun dalam bentuk standar yang mana dan pada persamaan adalah konstanta Huruf yang dapat () dan bilangan variabel adalah koefisiendari variabel adalah konstantadari persamaan Sistem persamaan linear pada persamaan () yang terdiri dari persamaan linear dengan yang mana variabel ekuivalen dengan persamaan matriks adalah matriks koefisien variabel-variabel dan () atau adalah vektor kolom dari [ ] adalah vektor kolom dari konstanta Beberapa bentuk pemecahan atau solusi dari sistem persamaan linear adalah sebagai berikut: Solusi tunggal Dikatakan memiliki solusi tunggal apabila terdapat satu titik potong dari sistem persamaan linear Banyak solusi Dikatakan memiliki banyak solusi apabila terdapat banyak titik potong dari sistem persamaan linear 3 Tidak ada solusi Dikatakan tidak ada solusi apabila tidak ada titik potong dari sistem persamaan linear Koefisien pada sistem persamaan linear ada yang berbentuk bilangan riil dan ada yang berbentuk bilangan kompleksselanjutnya akan diberikanpenjelasan II-4

tentang sistem persamaan linear yang berkoefisien bilangan riil dan sistem persamaan linear dengan koefisien bilangan kompleks 3 Sistem Persamaan Linear Riil Sebelum membahas sistem persamaan linear riil kita perlu mengetahui terlebih dahulu pengertian bilangan riil Bilangan riil adalah gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasional Sistem persamaan linear riil merupakan sistem persamaan linear dengan koefisien bilangan riilmetode dasar yang sering digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear riil adalah Operasi Baris Elementer (OBE) OBE merupakan suatu metode untuk menyelesaikan sistem persamaan lineardengan menerapkan tiga tipe operasi yaitu mengalikan sebuah baris dengan sebuah konstanta yang taksama dengan nol menukarkan dua barisdan menambahkan perkalian dari satu baris pada baris yang lainnya Selanjutnya akan diberikan contoh penyelesaian sistem persamaan linear riil Contoh 3: Selesaikan sistem persamaan linearriil berikut dengan menggunakan Operasi Baris Elementer: Penyelesaian: 3 9 6 5 4 3 Dari sistem persamaan linear riil di atas dapat dibuat ke dalam bentuk persamaan matriks sebagai berikut: 4 3 6 9 3 5 Dengan menambahkan baris ke dengan kali baris ke dan kemudianmenambahkan baris ke 3 dengan 3 kali baris ke maka akan diperoleh matriks sebagai berikut: II-5

3 9 7 7 3 7 Dengan mengalikan baris ke dengan maka akan diperoleh matriks sebagai berikut: 4 3 9 7 7 7 Dengan menambahkan baris ke dengan kali baris ke dan kemudianmenambahkan baris ke 3 dengan 3 kali baris ke maka akan diperoleh matriks sebagai berikut: 5 35 7 7 3 Dengan mengalikan baris ke 3 dengan maka akan diperoleh matriks sebagai berikut: 6 35 7 7 3 Dengan menambahkan baris ke dengan kali baris ke 3 dan kemudianmenambahkan baris ke dengan 7 kali baris ke 3 maka akan diperoleh matriks sebagai berikut: 3 Jadi solusi yang diperoleh dari sistem persamaan linear di atas dengan menggunakan Operasi Baris Elementeradalah solusi tunggaldengan dan 3 3 Sistem Persamaan Linear Kompleks Sistem persamaan linear kompleks merupakan sistem persamaan linear dengan koefisien bilangan kompleks Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan bilangan imajiner Menurut Nicholson () sistem persamaan linear kompleks dapat juga diselesaikan dengan menggunakan Operasi Baris Elementer II-6

Contoh 4: Selesaikan sistem persamaan linear kompleks berikut dengan menggunakanoperasi Baris Elementer: ( ) Penyelesaian: ( ) 3 Dari sistem persamaan linear kompleks di atas dapat dibuat ke dalam bentuk persamaan matriks sebagai berikut: 3 Dengan menambahkan baris ke dengan kali baris ke dan kemudianmenambahkan baris ke 3 dengan ( ) kali baris ke maka akan diperoleh matriks sebagai berikut: 3 Dengan mengalikan baris ke dengan maka akan diperoleh matriks sebagai berikut: 4 Dengan menambahkan baris ke dengan ( ) kali baris ke dan kemudian menambahkan baris ke 3 dengan kali baris ke maka akan diperoleh matriks sebagai berikut: 3 Jadi solusi yang diperoleh dari sistem persamaan linear di atas dengan menggunakan Operasi Baris Elementer adalah banyak solusi dengan dimisalkan maka didapat 3 ( ) dan II-7

4 Metode Singular Value Decomposition (SVD) Singular Value Decomposition atau Dekomposisi Nilai Singular yang selanjutnya ditulis dengan SVD adalah suatumetode yangmendekomposisikan suatu matriks menjadi tiga komponen matriks yang mana salah satu dari matriks tersebut entrinya merupakan nilai singular dari matriks Proses dekomposisi ini sering juga disebut dengan faktorisasi Berikut akan diberikan definisi dari nilai singular ℂ Definisi (Ahmad ): Diketahui matriks > ( ) Nilai eigen dari matriks yang mana Akar nilai eigen positif dari singular ( ) dari matriks dan dinyatakan dengan ( ) dengan adalah disebut dengan nilai untuk setiap Berikut ini akan diberikan penjelasan tentang matriks dan adalah matriks uniter berukuran ( )didefinisikan oleh (Kalman ): untuk setiap Basis ortonormal dari dengan Sedangkan untuk setiap akan himpunan { membentuk basis ortonormaluntuk ( }membentuk basis ortonormal untuk adalah matriks yang berukuran yang ditentukan adalah tunggal dan disebut nilai-nilai singular dari matriks Matriks )dan yang semua entri di luar diagonalnya adalah dan elemen-elemen diagonalnya memenuhi Semua dengan dengan mempunyai bentuk: II-8

3 Agar vektor-vektor kolom matriks adalah matriks uniter berukuran membentuk himpunan ortonormal maka vektor-vektor eigen dari tersebut dinormalisasikan yaitu: adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen akan membentuk untuk ( )Sedangkanuntuk setiap ortonormal untuk ortonormal untuk ( Untuk setiap basis ortonormal akan membentuk basis )dan himpunan { }membentuk basis Contoh 5: Diberikansistem persamaan linear riil dengan 3persamaan dan variabel sebagai berikut: 3 3 Selesaikan sistem persamaan linear riil di atas dengan menggunakan metode SVD Penyelesaian: Mengubah sistem persamaan linear ke dalam bentuk persamaan matriks 3 3 Mencari nilai eigen dan vektor eigen a Mengubah matriks menjadi matriks b Mencari nilai-nilai eigen ( 9 )λ 7 9 7 7 7 9 7 7 II-9

( ) Persamaan karakteristik dari 9 7 7 λ λ 5 adalah λ λ 5 Sehingga didapat nilai-nilai eigen dari 77 dan adalah 99 c Mencari vektor-vektor eigen 77 Untuk 77 yaitu: Didapat vektor eigen untuk [8673 99 Untuk Didapat vektor eigen untuk 99 yaitu: [53 3 Mendekomposisikan matriks ] ] menjadi tiga komponen matriks a Menyusun matriks Nilai singular dari matriks adalah 77 437 99 74 Matriks singular yang terbentuk adalah maka b Menyusun matriks maka 437 437 74 74 8673 8673 655 7555 337 (8673) () Selanjutnya untuk adalah: II-

7555 53 53 655 56 (53) () 655 7555 7555 655 Sehingga diperoleh matriks sebagai berikut: c Menyusun matriks maka 437 Selanjutnya untuk 3 43 655 3 35769 8657 7555 437 659 5 adalah: 47 843 7555 3 4545 656 655 74 74 8558 5 Sehingga diperoleh matriks 43 8657 5 sebagai berikut: 843 656 5 matriks tersebut mempunyai ukuran 3 padahal seharusnya berukuran 3 3 Agar berukuran 3 3 maka matriks harus ditambahkan satu kolom lagi yang mana kolom tersebut saling ortonormal dengan vektor kolom lainnya Misalnya diambil sehingga 5657 443 77 43 8657 5 843 656 5 5657 443 77 II-

Sehingga bentuk SVD dari matriks adalah: 43 843 5657 437 655 7555 8657 656 443 74 7555 655 5 5 77 658 658 759 943 3435 3434 7 978 3535 6465 567 567 3 4 Menentukan basis-basis ortonormal untuk ( ) ( a Untuk basis ( ) Basis dari ( )adalah { b Untuk basis ( Basis dari ( ) )adalah { c Untuk basis ( ) } } Basis dari ( ) adalah { d Untuk basis ( Basis dari ( ) ) ( ) dan ( ) 43 843 8657 656 5 5 5657 443 77 655 7555 7555 655 } )adalah { } {} 5 Menentukan solusi dari suatu sistem persamaan linear riil ( ) 43 (3 )(43 8657 5) 8657 5 II-

843 (3 )(843 656 5) 656 5 43 843 64 8657 37385 656 5 5 38 5 53 999 8693 37 38 94 9 perhitungan tersebut diperoleh Berdasarkan (38 94 9) (3 )Karena ( ) berarti ( ) atau ( ) Maka sistem persamaan linear riil di atas tidak konsisten akan tetapi solusi pendekatan terbaiknya dapat dicari yaitu: 64 655 37385 7555 437 7555 74 655 655 7555 49 845 7555 655 98 65 43 66 4 Jadi solusi pendekatan terbaik dari sistem persamaan linear di atas adalah 66 dan 4 II-3

5 Ortogonal dan Basis Ortonormal Sebelum membahas ortogonal dan basis ortonormal terlebih dahulu akan dibahas tentang vektor proyeksi kombinasi linear dan basis Vektor adalah besaran yang mempunyai panjang dan arah Vektor atau titik dapat diidentifikasi sebagai: ( ) Proyeksi dari suatu vektor pada suatu vektor bukan-nol ( ) Suatu vektor dikatakan kombinasi linear dari himpunan vektor { bila terdapat skalar-skalar didefinisikan sebagai: { Himpunan vektor-vektor sedemikian sehingga } } adalah basis dari jika setiap dapat dinyatakan secara unik sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis Selanjutnya akan diberikan definisi ortogonal dan teorema basis ortonormal 5 Ortogonal Sebelum diberikan definisi mengenai ortogonal akan didefinisikan terlebih dahulu mengenai hasil kali dalam kompleks ( Definisi 3(Anton H ): Diketahui vektor ( ) ℂ maka hasil kali dalam vektor dan yang mana adalah konjugat dari adalah ) dan Selanjutnya akan diberikan definisi mengenai ortogonal Definisi 4 (Anton H ):Vektor hanya jika ℂ dikatakan ortogonal jika dan Contoh 6: II-4

Diberikan vektor-vektor sebagai berikut: ( ) ( ) dan Akan ditentukan apakah vektor Penyelesaian: ortogonal terhadap vektor Untuk menentukan apakah vektor ortogonal terhadap vektor maka akan ditunjukkan hasil kali dalam yaitu: ( )() ()( ) ( )() ()( ) Karena maka vektor ortogonal terhadap vektor 5 Basis Ortonormal Berikut akan diberikan teorema mengenai basis ortonormal Teorema (Anton H ):Jika { untuk ruang hasil kali dalam dan { Bukti:Karena dalam bentuk adalah sebarang vektor dalam maka dalam diperoleh Karena { } adalah basis maka vektor selanjutnya akan ditunjukkan bahwa setiap vektor } adalah basis ortonormal untuk dapat dinyatakan Untuk } adalah himpunan ortonormal maka diperoleh dan jika Maka persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi II-5

Contoh 7: Diberikan vektor-vektor sebagai berikut: ( ) dan ( ) Akan ditentukan apakah himpunan vektor { jika dinyatakan vektor Penyelesaian: ( ) } merupakan basis ortonormal Langkah pertama menunjukkan himpunan vektor { }ortonormal ( )( ) ( )( ) ( )( ) Karena dan ortonormal maka himpunan vektor { Langkah kedua menunjukkanhimpunan vektor { } }basis ortonormal ()() ()( ) ()() ()( ) II-6

()( ) ()() ()( ) ()() Sehingga ( ) ( ) ( ) Karena ortonormal { maka himpunan vektor } basis 6 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Berikut akan diberikan definisi mengenai nilai eigen dan vektor eigen Definisi 5(Sutojo T ): Diketahui nol adalah matriks di dalam ℂ dinamakan vektor eigen dari jika maka vektor tak adalah kelipatan skalar dari yaitu: untuk suatu skalar Skalar disebut nilai eigen dari dan dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan Setelah mengetahui definisi nilai eigen dan vektor eigen Selanjutnya akan dijelaskan cara menghitung nilai eigen dan vektor eigen a Menghitung nilai eigen Untuk mencari nilai eigen dari matriks yang berukuran menuliskannya kembali sebagai maka kita atau ( I ) dan persamaan di atas akan mempunyai penyelesaian jika I II-7

Persamaan di atas disebut sebagai persamaan karakteristik Mencari nilai eigen berarti menghitung determinan tersebut sehingga diperoleh nilai-nilai b Menghitung vektor eigen Apabila nilai-nilai eigen diketahui kemudian nilai-nilai ini dimasukkan kepersamaan: ( I ) Maka akan diperoleh vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen Selanjutnya akan diberikan contoh mencari nilai-nilai eigen dan vektor eigen Contoh 8: Carilah nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen dari matriks Penyelesaian: 3 Mencari nilai-nilai eigen ( )λ ( ) Persamaan karakteristik dari 3 3 λ 5λ 4 3 adalah λ 5λ 4 Sehingga didapat nilai-nilai eigen dari adalah Mencari vektor-vektor eigen a Untuk Didapat vektor eigen untuk b Untuk 4 Didapat vektor eigen untuk [ 4 Sehingga didapat vektor-vektor eigen dari dan adalah 4 ] [ ] dan 7Matriks Kompleks (Lipschutz S 6) II-8

Sebelum membahas matriks kompleks kita perlu mengetahui terlebih dahulu pengertian matriks Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks Matriks kompleks yaitu matriks dengan entri-entri bilangan kompleks Misalkan A adalah matriks kompleks jika maka adalah bilangan kompleks adalah konjugatnya Konjugat dari matriks kompleks ditulis adalah matriks yang diperoleh dari yang dengan cara menghitung konjugat dari setiap entri Notasi digunakan untuk transpos konjugat Yaitu [Beberapa literatur menggunakan Contoh 9: ( ) sebagai ganti ] Carilah transpos konjugat dari matriks Penyelesaian: 3 Mencari konjugat dari matriks 3 Mencari transpos konjugat dari matriks ( ) Dari hubungan antara matriks kompleks 3 dan transpos konjugatnya akan menghasilkan beberapa jenis matriks kompleks salah satu diantaranya adalah matriks uniter Matriks uniter merupakan matriks kompleks yang barisbaris (kolom-kolom)-nya membentuk suatu himpunan ortonormal yang relatif tehadap hasil kali titik II-9

Definisi 6(Anton H ): Sebuahmatriks dengan entri-entri bilangan kompleks disebut uniter jika Dengan catatan haruslah matriks bujursangkar dan dapat-dibalik Contoh : Tunjukkan adalah matriks uniter Penyelesaian: Mencari matriks Mengalikan matriks Karena maka dengan matriks Jadi merupakan matriks uniter II-

BAB III METODOLOGI PENELITIAN Bab III ini membahas tentang metodologi penelitian yang penulis gunakan 3 Metodologi Penelitian Adapun metodologi penelitian yang penulis gunakan adalah metode studi literatur dengan langkah-langkah sebagai berikut: Diberikan sistem persamaan linear kompleks Mengubah suatu sistem persamaan linear kompleks ke dalam bentuk persamaan matriks 3 Mencari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks dengan cara membentuk matriks baru 4 Mendekomposisikan matriks menjadi tiga komponen matriks a adalah matriks uniter berukuran Basis ortonormal dari didefinisikan oleh Kalman (): b adalah matriks yang berukuran yang semua entri di luar diagonalnya adalah dan elemen-elemen diagonalnya memenuhi Semua yang ditentukan adalah tunggal dan disebut nilai-nilai singular dari matriks Matriks mempunyai bentuk: dengan c adalah matriks uniter berukuran Agar vektor-vektor kolom matriks dari membentuk himpunan ortonormal maka vektor-vektor eigen tersebut dinormalisasikan yaitu: 5 Membentuk basis-basis ortonormal ( ) ( ) ( ) dan ( ) 6 Menentukan solusi dari suatu sistem persamaan linear kompleks

BAB IV PEMBAHASAN DAN HASIL Bab IV ini akan membahas tentang penyelesaian sistem persamaan linear kompleks dengan menggunakan metode Singular Value Decomposition (SVD) 4 Penyelesaian SPL Kompleks Menggunakan Metode SVD Berikut ini akan dijelaskan bagaimana metode SVD dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear kompleks Seperti yang telah diketahui bahwa sistem persamaan linear dapat dibentuk ke dalam persamaan matriks yang mana (4) merupakan matriks koefisien yang akan dicari bentuk SVD-nya Langkah-langkah yang dilakukan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear kompleks menggunakan metode SVD adalah sebagai berikut: Langkah Dengan menggunakan metode SVD dari matriks { } dan vektor { merupakan basis ortonormal dari ( ) dan ( } dan vektor { dari ( ) dan ( Langkah ) akan didapatkan vektor } yang masing-masing ) serta vektor { } yang masing-masing basis ortonormal Suatu sistem persamaan linear kompleks akan konsisten jika dan hanya jika berada dalam ( ) Untuk mengetahui bahwa maka akan diuji apakah sama dengan proyeksi ( ) direntang oleh vektor { diberikan oleh persamaan di bawah ini: proy ( ) berada dalam ( ) pada ( ) yang mana } Proyeksi pada ( ) (4)

Berdasarkan pengujian di atas akan diperoleh dua kasus yaitu: Kasus untuk ( ) Pada kasus untuk ( ) maka sistem persamaan linear kompleks konsisten dan mempunyai paling sedikit satu solusi Karena proy maka ( ) sehingga menurut persamaan (4) diperoleh persamaan: Oleh karena maka ( ) (43) dengan membandingkan persamaan (43) dengan persamaan (4) didapatkan (44) yang merupakan solusi dari sistem persamaan linear kompleks pada persamaan (4) Nilai solusi dari sistem persamaan linear kompleks bergantung pada ruang nol dari matriks subkasus yaitu: a Jika ( yaitu ( ) Sehingga ada dua ) {} maka sistem persamaan linear kompleks mempunyai satu solusi yang mana solusinya diberikan oleh persamaan (44) Bukti: Untuk membuktikan ketunggalan dari solusinya akan dibuktikan dengan menggunakan kontradiksi IV-

Misalkan terdapat solusi lain dari persamaan (4) yaitu dan kedua-duanya bernilai benar maka Dengan mengurangkan keduanya akan didapatkan ( Karena atau ( b Jika ( ) ) {} maka berlaku Hal ini berarti dengan kata lain solusinya adalah tunggal ) {} maka sistem persamaan linear kompleks mempunyai banyak solusi Solusinya diberikan oleh: (45) Bukti: Solusi umum dari sistem persamaan linear kompleks dapat dinyatakan dengan {} didapat solusinya ( terdapat titik ( Namun karena pada ) sedemikian sehingga umum untuk kasus ini adalah yang mana ( ) Pada ( ) ) {} maka Jadi solusi atau dinotasikan dengan (46) Dengan demikian untuk setiap titik-titiknya berlaku ( Setiap titik-titik basis karena { ) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor dapat dinyatakan dengan } merupakan basis untuk ( (47) sebelumnya telah diketahui bahwa sehingga ) maka dapat dinyatakan dengan untuk suatu IV-3

Kasus untuk ( ) ( ) maka sistem persamaaan linear kompleks tidak Pada kasus untuk konsisten dalam hal ini solusi yang diperoleh adalah solusi pendekatan terbaik Solusi pendekatan terbaik tersebut adalah vektor di dalam ( ) dan yang mana sehingga adalah vektor yang terdekat dengan Solusi pendekatan terbaik diberikan oleh persamaan (44) yaitu: disebut sebagai solusi pendekatan terbaik artinya jika adalah vektor di ( ) yang terdekat dengan Sehingga vektor ( ( maka ) akan tegak lurus dengan setiap vektor di ( ) yaitu vektor-vektor termasuk vektor yang merentang (48) ( ) dengan adalah vektor yang ortonormal maka berlaku: ) ( ) Hal ini menunjukkan bahwa ( ) adalah tegak lurus dengan setiap vektor di ( ) dan persamaan (48) merupakan solusi pendekatan terbaik Selanjutnya akan diberikan beberapa contoh penyelesaian sistem persamaan linear kompleks yang tidak konsisten dengan menggunakan metode SVD Beberapa contoh sistem persamaan linear kompleks yang diberikan berdasarkan dengan persamaan dan variabel IV-4

> ) Contoh 4: (untuk kasus Diberikan sistem persamaan linear kompleks dengan 6 persamaan dan 5 variabel sebagai berikut: 3 4 5 3 5 5 3 Selesaikan sistem persamaan linear kompleks di atas dengan menggunakan metode SVD Penyelesaian: Mengubah sistem persamaan linear kompleks ke dalam bentuk persamaan matriks 5 3 4 3 5 5 3 Mencari nilai eigen dan vektor eigen a Mengubah matriks 7 menjadi matriks 5 6 5 5 3 5 IV-5

b Mencari nilai-nilai eigen Didapat nilai-nilai eigen dari 35 99 57 adalah 8496 66 767 dan c Mencari vektor-vektor eigen Untuk 3599 3599 yaitu: Didapat vektor eigen untuk [33 Untuk 379 9355 8496 8496 yaitu: Didapat vektor eigen untuk [645 3 Untuk 786 66 96 4 Untuk 59 767 8 [633 5 Untuk 57 57 996 Didapat vektor eigen untuk [3567 446 3 Mendekomposisikan matriks 588 767 yaitu: Didapat vektor eigen untuk 475 57 yaitu: 384 379 ] 8 66 yaitu: Didapat vektor eigen untuk [673 737 846 ] 8333] ] 5333] menjadi tiga komponen matriks a Menyusun matriks Nilai singular dari matriks adalah 3599 59355 66 643 8496 8547 767 878 57 57 IV-6

Matriks singular yang terbentuk adalah sebagai berikut: maka 59355 59355 b 8547 8547 Menyusun matriks maka 643 878 dengan persamaan: 57 57 33 379 9355 379 33 379 9355 379 33 379 9355 379 Selanjutnya untuk 643 878 adalah: 645 786 96 8 846 645 786 96 8 846 IV-7

645 786 96 8 846 Selanjutnya untuk Selanjutnya untuk adalah: 633 57 996 475 633 57 996 475 633 57 996 475 yang terakhir untuk 673 59 8 588 8333 673 59 8 588 8333 673 59 8 588 8333 adalah: adalah: 3567 446 384 737 5333 3567 446 384 737 5333 IV-8

3567 446 384 737 5333 Setelah matriks adalah sebagai berikut: 33 379 9355 379 maka diperoleh maka matriks 673 59 8 588 8333 633 57 996 475 33 379 9355 379 645 786 96 8 846 dengan persamaan: yang terbentuk 3567 446 384 737 5333 59355 84 64 8969 367 66 3 Selanjutnya untuk 8547 dan 645 786 96 8 846 c Menyusun matriks 58 59 55 68 338 487 5 adalah: 5 IV-9

Selanjutnya untuk adalah: 643 577 66 678 966 8376 569 Selanjutnya untuk 5 585 468 697 5 46 95 673 59 8 588 8333 633 57 996 475 5 3567 446 384 737 5333 dan 5 yang terakhir untuk adalah: 57 Setelah matriks adalah: 878 666 4983 46 45 3589 3 adalah sebagai berikut: diperoleh maka matriks yang terbentuk IV-

84 64 8969 367 66 3 58 59 55 68 338 487 diperhatikan matriks uniter 577 66 678 966 8376 569 ℂ 585 468 697 5 46 95 666 4983 46 45 3589 3 agar matriks uniter menjadi matriks persegi berukuran 6 6 harus ditambahkan satu kolom lagi yang mana kolom tersebut saling ortonormal dengan vektor kolom lainnya Misalnya diambil 5 667 667 8333 sehingga 84 64 8969 367 66 3 58 59 55 68 338 487 577 66 678 966 8376 569 Sehingga bentuk SVD dari matriks 585 468 697 5 46 95 adalah: 666 4983 46 45 3589 3 5 667 667 8333 666 58 577 585 59 66 468 4983 5 46 667 697 55 678 966 5 45 667 68 338 8376 46 3589 569 95 3 8333 487 59355 8547 643 878 57 379 33 379 9355 645 786 96 8 846 8 588 8333 59 673 996 475 57 633 3567 5333 384 737 446 84 64 8969 367 66 3 IV-

5 4 Menentukan basis-basis ortonormal untuk ( ) ( a Untuk basis ( ) Basis dari ( ) adalah { ) ( ) dan ( ) } 666 84 58 577 585 64 59 66 468 4983 8969 55 678 697 46 367 68 966 5 45 66 338 8376 46 3589 3 487 569 95 3 b Untuk basis ( ) Basis dari ( ) adalah { c Untuk basis ( ) Basis dari ( ) adalah { 5 } 667 667 8333 } 33 673 633 645 3567 786 59 57 446 379 9355 96 8 996 384 8 588 475 737 379 846 8333 5333 d Untuk basis ( Basis dari ( ) ) adalah { } {} 5 Menentukan solusi dari suatu sistem persamaan linear kompleks proy ( ) IV-

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 37 989 5 778 3375 389 456 5 69 988 657 53 3953 5688 547 37 46 4936 446 747 3935 335 77 378 57 6 43 8 3 Berdasarkan 5399 4769 659 584 49765 34847 perhitungan tersebut proy diperoleh ( ) atau (5399 4769 659 584 49765 34847) (3 4 3 5 5 3) Karena proy ( ) ( ) Maka sistem persamaan berarti linear kompleks di atas tidak konsisten akan tetapi solusi pendekatan terbaiknya dapat dicari yaitu: IV-3

33 673 645 379 786 59 55994 63496 58878 8 9355 96 59355 8547 8 643 588 8333 379 846 633 3567 446 57 9853 57 384 996 878 475 57 737 5333 867 674 786 678 3984 Jadi solusi pendekatan terbaik yang diperoleh dari sistem persamaan linear 867 kompleks di atas adalah 678 dan 3984 Untuk mengetahui bahwa ditunjukkan bahwa ( Untuk ( ) 674 786 merupakan solusi pendekatan terbaik akan ) sebagai berikut: ( ) (9)(84 ) (763 )(64) (34 )(8969) (79)(367 ) (36)(66 ) (4844)(3 ) 5 Untuk ( ) ( ) (9)(58 ) (763 )(59) (34 )(55) (79)(68 ) (36)(338 ) (4844)(487 ) 4 3 Untuk ( ) ( ) (9)(577) (763 )(66 ) IV-4

(34 )(678 ) (79)(966) (36)(8376) (4844)(569) 6 4 Untuk ( ) ( ) (9)(585) (763 )(468 ) (34 )(679 ) (79)(5) (36)( 46) (4844)(95) 5 5 Untuk ( ) ( ) (9)(666) (763 )(4983 ) (34 )(46 ) (79)(45) (36)( 3589) (4844)(3) 5 > ) Contoh 4: (untuk kasus Diberikan sistem persamaan linear kompleks dengan 8 persamaan dan 7 variabel sebagai berikut: 3 7 5 5 3 5 Selesaikan sistem persamaan linear kompleks di atas dengan menggunakan metode SVD IV-5

Penyelesaian: Mengubah sistem persamaan linear kompleks ke dalam bentuk persamaan matriks 3 7 5 5 3 5 Mencari nilai eigen dan vektor eigen a Mengubah matriks 4 3 menjadi matriks 6 b Mencari nilai-nilai eigen Didapat nilai-nilai eigen dari 89 45 dan 5 54 adalah 665 36483 7866 96 c Mencari vektor-vektor eigen Untuk 89 Didapat vektor eigen untuk 89 yaitu: [797 36 53 757 36 5685 9 ] IV-6

Untuk 54 54 yaitu: Didapat vektor eigen untuk [76 3 Untuk 4758 473 74 357 4] 468 36483 36483 yaitu: Didapat vektor eigen untuk [894 464 44 4 Untuk 7866 5 Untuk 6574 96 6 Untuk 798 45 7 Untuk 364 77 776 667 4386] 45 yaitu: 643 34 6 36 446] 787 665 Didapat vektor eigen untuk [63 65 44 ] 96 yaitu: Didapat vektor eigen untuk [55 698 57 76 99 76 84] Didapat vektor eigen untuk [3838 335 7866 yaitu: Didapat vektor eigen untuk [49 588 665 yaitu: 354 8 447 8377] 3 Mendekomposisikan matriks menjadi tiga komponen matriks a Menyusun matriks Nilai singular dari matriks adalah 89 8676 36483 9 54 894 7866 6693 96 7 45 856 665 539 IV-7

Matriks singular yang terbentuk adalah 6693 8676 894 9 8676 894 9 6693 sehingga didapat matriks b Menyusun matriks maka 7 adalah sebagai berikut: 7 856 856 539 539 dengan persamaan: 797 36 9 797 36 53 757 36 5685 9 797 36 53 757 36 5685 9 IV-8

Selanjutnya untuk 76 468 4 76 468 4758 473 74 357 4 Selanjutnya untuk adalah: adalah: 894 464 44 894 464 44 588 335 698 44 Selanjutnya untuk 76 468 4758 473 74 357 4 894 464 44 588 335 698 44 adalah: 49 6574 57 76 49 6574 84 99 76 84 49 6574 57 76 99 76 84 IV-9

Selanjutnya untuk adalah: 3838 798 364 77 3838 798 4386 776 667 4386 3838 798 364 77 776 667 4386 Selanjutnya untuk adalah: 55 787 643 34 55 787 446 6 36 446 55 787 643 34 6 36 446 yang terakhir untuk adalah: 63 65 354 8 63 65 8377 447 8377 63 65 354 8 447 8377 IV-

Setelah matriks dan diperoleh maka matriks yang terbentuk adalah sebagai berikut: 797 36 53 757 36 5685 9 76 468 4758 473 74 357 4 c Menyusun matriks maka 894 464 44 588 335 698 44 49 6574 57 76 99 76 84 dengan persamaan: 3838 798 364 77 776 667 4386 55 787 643 34 6 36 446 63 65 354 8 447 8377 8676 356 856 894 347 97 75 3698 59 Selanjutnya untuk 894 797 36 53 757 36 5685 9 76 468 4758 473 74 357 4 adalah: IV-

466 694 455 435 459 48 494 543 Selanjutnya untuk 9 664 44 65 398 64 777 376 55 Selanjutnya untuk 6693 978 4395 6579 477 3 3699 44 576 adalah: 894 464 44 588 335 698 44 49 6574 57 76 99 76 84 adalah: IV-

Selanjutnya untuk 7 679 5485 5 4488 74 3735 547 49 Selanjutnya untuk 856 3363 74 49 39 3647 75 683 33 yang terakhir untuk adalah: 3838 798 364 77 776 667 4386 55 787 643 34 6 36 446 adalah: adalah: IV-3

539 48 4573 44 8 484 395 364 4589 Setelah matriks terbentuk adalah sebagai berikut: 356 856 894 347 97 75 3698 59 466 694 455 435 459 48 494 543 664 44 65 398 64 777 376 55 diperhatikan matriks uniter ℂ dan 978 4395 6579 477 3 3699 44 576 63 65 354 8 447 8377 diperoleh maka matriks 679 5485 5 4488 74 3735 547 49 3363 74 49 39 3647 75 683 33 agar matriks uniter yang 48 4573 44 8 484 395 364 4589 menjadi matriks persegi berukuran 8 8 harus ditambahkan satu kolom lagi yang mana kolom tersebut saling ortonormal dengan vektor kolom lainnya Misalnya diambil 577 5 5 69 346 577 sehingga didapat matriks adalah sebagai berikut: IV-4

356 466 856 694 894 455 435 347 459 97 75 48 3698 494 59 543 664 44 65 398 64 777 376 55 978 4395 6579 477 3 3699 44 576 Sehingga bentuk SVD dari matriks 356 466 856 694 894 455 435 347 459 97 75 48 3698 494 59 543 8676 797 76 894 49 3838 55 63 894 36 468 464 6574 798 787 65 664 44 65 398 64 777 376 55 adalah: 978 4395 6579 477 3 3699 44 576 9 6693 53 4758 44 57 364 643 354 679 5485 5 4488 74 3735 547 49 679 5485 5 4488 74 3735 547 49 7 3363 74 49 39 3647 75 683 33 3363 74 49 39 3647 75 683 33 856 36 74 335 99 776 6 447 757 473 588 76 77 34 8 Basis dari ( ) adalah { 577 5 5 69 346 577 48 4573 44 8 484 395 364 4589 539 5685 357 698 76 667 36 4 Menentukan basis-basis ortonormal untuk ( ) ( a Untuk basis ( ) 48 4573 44 8 484 395 364 4589 577 5 5 69 346 577 9 4 44 84 4386 446 8377 ) ( ) dan ( ) } IV-5

679 664 978 3363 48 356 466 856 694 44 4395 5485 74 4573 894 455 65 6579 5 49 44 347 435 398 477 4488 39 8 97 459 64 3 74 3647 484 75 48 777 3699 3735 75 395 3698 494 376 44 547 683 364 59 543 55 576 49 33 4589 b Untuk basis ( Basis dari ( ) 577 5 5 69 } 346 577 ) adalah { c Untuk basis ( ) Basis dari ( ) adalah { 797 76 894 36 468 464 53 4758 44 757 473 588 36 74 335 5685 357 698 9 4 44 d Untuk basis ( Basis dari ( ) } 49 3838 6574 798 57 364 76 77 99 776 76 667 84 4386 55 787 643 34 6 36 446 63 65 354 8 447 8377 ) adalah { } {} 5 Menentukan solusi dari suatu sistem persamaan linear kompleks proy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) IV-6

673 384 583 635 7346 399 8437 93 748 899 3 895 384 7456 84 6489 7767 3886 4 447 6756 7 339 65 3456 7693 4533 669 486 35 43 53 3 734 363 74 455 835 87 688 753 3 3357 49 85 3938 768 84 97 78 763 7377 498 5 356 8344 3397 546 7996 467 8634 5388 39 4545 Berdasarkan perhitungan tersebut diperoleh proy ( ) atau (3397 546 7996 467 8634 5388 39 4545 ) (3 7 5 5 3 5 ) Karena proy ( ) ( ) Maka sistem persamaan berarti linear kompleks di atas tidak konsisten akan tetapi solusi pendekatan terbaiknya dapat dicari yaitu: IV-7

797 36 9346 53 5647 757 8676 36 894 5685 9 43936 6693 883 539 53 33 3346 3344 3443 8494 83 76 468 4758 979 473 9 74 357 4 894 464 44 588 335 698 44 49 3838 55 6574 787 798 57 364 493 797 643 76 7 77 856 34 99 776 6 76 667 36 4386 84 446 63 65 354 8 447 8377 Jadi solusi pendekatan terbaik dari sistem persamaan linear kompleks di atas adalah 53 8494 dan 33 83 Untuk mengetahui bahwa ditunjukkan bahwa ( Untuk ( ) ) ( 3346 3344 3443 merupakan solusi pendekatan terbaik akan sebagai berikut: ) (3794 )(356) (4536 )( 856) (49 )(894) (5675)(347 ) (766)(97 ) (558)( 75 ) (667 )(3698) (4876 )(59) 3 IV-8

Untuk ( ) ( ) (3794 )(466) (4536 )( 694) (49 )(455) (5675)(435 ) (766)(459 ) (558)( 48 ) (667 )(494) (4876 )(543) 59 3 Untuk ( ) ( ) (3794 )(664) (4536 )( 44) (49 )(65) (5675)(398 ) (766)(64 ) (558)( 777 ) (667 )(376) (4876 )(55) 49 4 Untuk ( ) ( ) (3794 )(978) (4536 )( 4395) (49 )(6579) (5675)(477 ) (766)(3 ) (558)( 3699 ) (667 )(44) (4876 )(576) 5 5 Untuk ( ) ( ) (3794 )(679) (4536 )( 5485) (49 )(5) (5675)( 4488 ) (766)(74 ) (558)(3735 ) (667 )(547) (4876 )(49) 7 IV-9

6 Untuk ( ) ( ) (3794 )(3363) (4536 )( 74) (49 )(49) (5675)(39 ) (766)(3647 ) (558)(75 ) (667 )(683) (4876 )(33) 6 7 Untuk ( ) ( ) (3794 )(48) (4536 )( 4573) (49 )(44) (5675)(8 ) (766)(448 ) (558)( 395 ) (667 )(364) (4876 )(4589) Berdasarkan dua contoh penyelesaian sistem persamaan linear kompleks yang tidak konsisten di atas dapat disimpulkan bahwa solusi pendekatan terbaik yang diperoleh dari dua contoh tersebut merupakan solusi pendekatan terbaik yang memiliki tingkat kesalahan yang relatif kecil karena solusi pendekatan terbaik yang diperoleh dari dua contoh tersebut memiliki hasil kali ( ) yang mendekati nol IV-3

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5 Kesimpulan Berdasarkan pembahasan pada bab IV diperoleh hasil penelitian yaitu metode Singular Value Decomposition (SVD) dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear kompleks Berdasarkan contoh yang diberikan merupakan sistem persamaan linear kompleks yang tidak konsisten dan dengan menggunakan langkah-langkah SVD dalam penyelesaian sistem persamaan linear kompleks solusi yang diperoleh adalah solusi pendekatan terbaik yaitu: a Contoh 4 dengan 6 persamaan dan 5 variabel diperoleh solusi pendekatan terbaiknya adalah 867 674 786 678 dan 3984 b Contoh 4 dengan 8 persamaan dan 7 variabel diperoleh solusi pendekatan terbaiknya adalah 53 33 3346 3344 3443 8494 dan 83 5 Saran Tugas akhir ini penulis menggunakan metode Singular Value Decomposition (SVD) untuk menyelesaikan sistem persamaan linear kompleks diharapkan bagi pembaca yang berminat dapat mencoba menggunakan metode lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linear kompleks

DAFTAR PUSTAKA Anton Howard Elementary Linear Algebra Eighth Edition John Wiley New York Ahmad Irdam Haidir dan Lucia Ratnasari Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Menggunakan Analisis SVD Jurnal Matematika Vol 3;4-45 Churchill Ruel V dan James Ward Brown Complex Variables and Applications Fifth Edition McGraw-Hill Singapore 99 Kalman Dan A Singularly Valuable Decomposition : The SVD of a Matrix The AmericanUniversity Washington DC (Diakses Tanggal 8 Februari ) Leon Steven J Aljabar Linear dan Aplikasinya Edisi Kelima Erlangga Jakarta Lipschutz Seymour dan Marc Lars Lipson Aljabar Linear Schaum s Edisi Ketiga Erlangga Jakarta 6 Nicholson W Keith Elementary Linear Algebra First Edition McGraw-Hill Singapore Sutojo T dkk Teori dan Aplikasi Aljabar Linear dan Matriks Andi Yogyakarta