Sudaryatn Sudirham nalisis Rangkaian Listrik Jilid ii
3 Terema dan Metda nalisis di Kawasan Fasr Setelah mempelaari bab ini, kita akan memahami aplikasi terema rangkaian dan metda analisis rangkaian di kawasan fasr. mampu melakukan analisis rangkaian di kawasan fasr. memahami bahwa pada rangkaian dengan induktr dan kapasitr terdapat suatu nilai frekuensi yang akan menyebabkan teradinya resnansi. mampu mencari frekuensi resnansi, menentukan faktr kualitas, menentukan lebar pita resnansi. 3.. Terema Rangkaian di Kawasan Fasr 3... Prinsip Prprsinalitas Prinsip prprsinalitas menyatakan bahwa fasr keluaran sebanding dengan fasr masukan, yang secara matematis dapat dinyatakan dengan Y KX (3.) Y adalah fasr keluaran, X adalah fasr masukan, dan K adalah knstanta prprsinalitas. Dalam kawasan fasr, K pada umumnya merupakan bilangan kmpleks. Lihat misalnya penyelesaian b) dari cnth 3.7. 3... Prinsip Superpsisi Kita harus berhati-hati dalam menerapkan prinsip superpsisi di kawasan fasr. Fasr merupakan representasi sinyal sinus dengan frekuensi tertentu. Oleh karena itu prinsip superpsisi hanya berlaku ika seluruh sistem yang kita tinau mempunyai frekuensi sama. Jika memang demikian halnya, maka tanggapan rangkaian yang mengandung beberapa masukan dapat kita cari dengan memandang masing-masing masukan secara terpisah. Tanggapan keseluruhan adalah umlah dari tanggapan terhadap masing-masing masukan. Jika masukan-masukan mempunyai frekuensi yang berbeda, kita tidak dapat serta-merta menerapkan prinsip superpsisi. Kita ingat
bahwa impedansi tergantung dari frekuensi; leh karena itu walaupun nilai-nilai elemen sama, nilai impedansi akan berbeda ika frekuensi berbeda. Jadi ika kita ingin mencari tanggapan rangkaian terhadap masing-masing masukan, kita harus mencari nilai impedansi rangkaian untuk masing-masing masukan. Tanggapan rangkaian dalam bentuk fasr dari masing-masing masukan tidak dapat langsung diumlahkan melainkan harus kita transfrmasikan dulu ke kawasan t, dan barulah hasil di kawasan t untuk masingmasing masukan ini diumlahkan untuk memperleh tanggapan keseluruhan. Secara singkat dikatakan, prinsip superpsisi berlaku di kawasan waktu untuk setiap rangkaian linier, tetapi berlaku di kawasan fasr hanya apabila masukan-masukan mempunyai frekuensi sama. gar lebih elas kita akan melihat tiga kasus berikut. Kasus-: Sebuah rangkaian mengandung dua sumber yang mempunyai frekuensi sama. Rangkaian ini kita pecah menadi dua rangkaian, masing-masing mengandung satu sumber. Masing-masing rangkaian kita transfrmasikan menadi rangkaian fasr dan kemudian kita melakukan analisis di kawasan fasr. Hasil yang kita perleh dari dua kali analisis tersebut tentulah merupakan besaran-besaran fasr. Kedua hasil itu dapat langsung kita umlahkan untuk memperleh hasil ttal, tanpa mentranfrmasikan lebih dulu ke kawasan t. Mengapa? Karena seluruh sistem mempunyai frekuensi sama. Jadi apabila seluruh sistem berfrekuensi sama prinsip superpsisi dapat diterapkan dalam analisis fasr. Kasus-: Sebuah rangkaian mengandung dua sumber yang frekuensinya tidak sama. Kita memisahkan lebih dulu rangkaian tersebut menadi dua rangkaian yang masing-masing mengandung hanya satu sumber. Setelah dipisahkan, masingmasing rangkaian ditransfrmasikan menadi rangkaian fasr kemudian dilakukan analisis di kawasan fasr. Hal ini dapat dilakukan karena masing-masing rangkaian mempunyai frekuensi sendiri yang sama di seluruh rangkaian. Hasil analisis dari kedua rangkaian ini tentulah berbentuk fasr akan tetapi mereka tidak dapat langsung diumlahkan karena frekuensinya berbeda. Oleh karena itu masing-masing hasil kita transfrmasikan kembali ke kawasan t, dan hasil transfrmasi inilah yang dapat kita umlahkan untuk memperleh hasil ttal. Jadi prinsip superpsisi berlaku di kawasan fasr hanya apabila masukan-masukan mempunyai frekuensi sama. Sudaryatn Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik ()
Kasus-3: Sebuah rangkaian mengandung tiga sumber, dua diantaranya mempunyai frekuensi sama dan sumber yang ke-tiga frekuensinya berbeda. Jika rangkaian ini kita pecah menadi tiga rangkaian yang masing-masing mengandung hanya satu sumber untuk dianalisis di kawasasn fasr, maka hasil fasr untuk dua sumber yang frekuensinya sama dapat kita umlahkan langsung dalam bentuk fasr. kan tetapi kita tidak dapat menumlahkannya dengan hasil analisis rangkaian ke-tiga yang frekuensinya berbeda. Oleh karena itu hasil yang diperleh harus ditransfrmasi ke kawasan t lebih dulu sebelum penumlahan dilakukan. 3..3. Rangkaian Ekivalen Thévenin dan rtn Knsep umum mengenai terema Thévenin dan Nrtn di bidang fasr, sama dengan apa yang kita pelaari untuk rangkaian di kawasan waktu. Perbedaan yang perlu kita perhatikan adalah bahwa sinyal-sinyal dinyatakan dalam fasr dengan impedansi dan admitansi yang berupa bilangan kmpleks. Tegangan ekivalen Thévenin adalah tegangan hubungan terbuka pada terminal beban. rus ekivalen Nrtn adalah arus hubung singkat pada terminal beban. Semua peubah ini dinyatakan dalam fasr. Relasi peubah ini dengan impedansi ekivalen Thévenin, Z T, dan admitansi ekivalen Nrtn, Y, adalah seperti berikut. T ZT ; Y T ; Y (3.) ZT Hubungan (3.) memberikan ketentuan untuk transfrmasi sumber di kawasan fasr. Seperti yang telah kita lihat pada rangkaian di kawasan waktu, transfrmasi sumber dapat menyederhanakan perhitungan-perhitungan dalam analisis rangkaian. CO TOH-3.: Dari rangkaian di samping ini, carilah rangkaian ekivalen Thévenin yang dilihat leh induktr L., 9 L Ω Ω Ω 45 3
Penyelesaian: Jika induktr dilepaskan maka untuk simpul dan berlaku, 9 9 45,995 5,7 45 9,9 39,3 Tegangan Thévenin : T 9 9,9 39.3 ( 5,4,6) 5,6,6 mpedansi Thévenin Z Th, dihitung dengan melihat impedansi dari terminal dengan semua sumber dimatikan. ( ) Z T 9,9,99 Ω 3.. Metda-Metda nalisis Dasar Metda-metda analisis yang telah kita pelaari untuk rangkaian di kawasan waktu, dapat kita terapkan untuk rangkaian di kawasan fasr dengan mengingat bahwa peubah sinyal dinyatakan dalam fasr dan elemen-elemen dinyatakan dalam impedansi atau admitansinya yang pada umumya berupa bilangan kmpleks. 3... Metda Keluaran Satu Satuan Metda ini dapat kita aplikasikan pada rangkaian berbentuk tangga, seperti cnth berikut. F F CO TOH-3.: Carilah Ω 8 6 i x i x pada rangkaian di C samping ini. v x 3 4cst Penyelesaian: 9Ω 3Ω H Untuk bekera di D kawasan fasr, rangkaian ini kita transfrmasikan sehingga berbentuk rangkaian impedansi seperti terlihat pada gambar berikut. Dari sinilah kita mulai bekera. 4 Sudaryatn Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik ()
Ω 9Ω 3Ω C x 4 9Ω 3Ω 3Ω D Misalkan x. C C 3 ; 4 ; 3 3 x 4 ( ) ; v ( 3) 3 3( ) 3 C 3 4 3 9 3 3 4 ( 9) 8 3 v x 4 K x,5 8 8 8 ix,5 cs t 3... Metda Superpsisi Metda superpsisi sangat bermanfaat untuk menganalisis rangkaian yang mengandung lebih dari dua masukan, terutama ika kita ingin mengetahui bagaimana kntribusi dari masing-masing masukan terhadap tanggapan keseluruhan. Sebagaimana telah disebutkan di sub-bab sebelumnya, kita harus berhati-hati dalam menerapkan metda superpsisi di kawasan fasr. Prinsip superpsisi dapat diterapkan langsung di kawasan fasr hanya ika masukan-masukan mempunyai frekuensi sama. Jika tidak, kntribusi dari masingmasing masukan harus kita transfrmasikan ke kawasan waktu lebih dahulu, baru kemudian dapat kita umlahkan. 5
CO TOH-3.3: Carilah i pada rangkaian berikut ini. cs4t _ 9Ω 3H i F 4 3cst Penyelesaian: Rangkaian ini mengandung dua sumber tegangan dan sumber arus yang mempunyai frekuensi berbeda. Oleh karena itu transfrmasi rangkaian ke kawasan fasr untuk masing-masing sumber uga berbeda, seperti terlihat pada gambar berikut. _ 9Ω Ω 6Ω 9Ω 6Ω Ω 3 Dari masing-masing rangkaian fasr ini, kita mencari tanggapan rangkaian di kawasan fasr kemudian ditransfrmasikan ke kawasan t. Hasil di kawasan t inilah yang dapat diumlahkan. Jika sumber arus dimatikan, kita mempunyai rangkaian di kawasan fasr seperti pada gambar sebelah kiri, dengan frekuensi ω 4. Untuk rangkaian ini, aplikasi HTK memberikan 36,9 8 6 8 6 36,9 Jika sumber tegangan dimatikan, kita mempunyai rangkaian seperti pada gambar sebelah kanan, dengan frekuensi ω. Kaidah pembagi arus memberikan : (8 6) /( ) 8 6 3 3 8 6 8 6 8 6 36,9 3 3 73,8 36,9 dan tidak dapat diumlahkan karena fasr ini diperleh dari sumber dengan frekuensinya yang tidak sama. 6 Sudaryatn Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik ()
Oleh karena itu kita harus mengembalikannya ke kawasan waktu sebelum diumlahkan. Dengan cara itu kita perleh i cs(4t 36,9 ) dan i 3cs(t 73,8 ) sehingga i i i cs(4t 36,9 ) 3cs(t 73,8 ) 3..3. Metda Rangkaian Ekivalen Thévenin Cnth berikut ini menunukkan bagaimana metda rangkaian ekivalen Thévenin kita gunakan di kawasan fasr. CO TOH-3.4: Carilah i pada rangkaian berikut ini. sedangkan impedansi Thévenin adalah (yang terlihat dari terminal yang terbuka) adalah Z T ( 6 4) 6 8 8 7 4 6 4 8 4 Rangkaian ekivalen Thévenin serta beban di terminal setelah disambungkan lagi adalah seperti di samping ini: 6Ω T Z T Ω Ω H Penyelesaian : 8cst F 8 Rangkaian ini setelah ditransfrmasi ke kawasan fasr menadi seperti berikut. Fasr tegangan terminal yang terbuka memberikan tegangan 6Ω 4Ω Ω Thévenin. Sesuai kaidah Ω pembagi tegangan, 8 Ω tegangan terminal 4Ω yang terbuka memberikan 9 T ht 8 6 4 H Ω 4Ω Ω i 7
Dari rangkaian ini kita hitung: T 9 ( ) Z T 4 ( ) (7 4) ( ) i cs t 3..4. Metda Reduksi Rangkaian Cnth persalan berikut ini memperlihatkan penggunaan metda reduksi rangkaian. CO TOH-3.5: Carilah i x pada rangkaian berikut: i.cst Penyelesaian : Rangkaian ini mengandung sumber tegangan dan sumber arus yang berfrekuensi sama, yaitu ω. kan tetapi sumber tegangannya dinyatakan dalam sinus sedangkan sumber arusnya dalam csinus. Kita perlu mengubahnya dalam bentuk standar, yaitu bentuk csinus, dengan kesamaan sinx cs(9x) cs(x9) Transfrmasi rangkaian ke kawasan fasr. menadi seperti pada gambar di samping ini. v sint µf H 5Ω Untuk menghitung x kita dapat menggunakan metda superpsisi; akan tetapi di sini kita akan menggunakan transfrmasi sumber. Dalam rangkaian ini sumber tegangan tersambung seri dengan resistr 5 Ω yang diparalel dengan induktr Ω. Sumber ini dapat kita ganti dengan sumber arus ekivalen, yang besarnya adalah i x 9 5Ω x 5Ω Ω 8 Sudaryatn Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik ()
5 5 5 sehingga rangkaian akan menadi seperti di samping ini.perhatikan bahwa dengan transfrmasi. sumber ini kita menghilangkan simpul. rus ( ) ( ),, y yang sekarang mengalir melalui resistr 5Ω, bukanlah arus x yang kita cari; sebab ika y dikalikan 5Ω, kita mendapatkan tegangan simpul, dan bukan tegangan y simpul tempat x 5Ω keluar. 5Ω Sumber dan Ω terhubung paralel, sehingga dapat digantikan leh satu sumber arus saa yaitu, seperti terlihat pada gambar berikut, dengan 5 y.5 (,,),,, Untuk menghitung arus y kita memanfaatkan kaidah pembagi arus. (,,) 5,, y,5 5 5 x 5 3,4 6,6,5,5,7 6,6 i 5 x 5Ω y 5Ω Ω,7 cs(t 6,6). 9
3.3. Metda-Metda nalisis Umum 3.3.. Metda Tegangan Simpul. plikasi metda ini, kita lihat pada cnth berikut ini. CO TOH-3.6: Gunakan metda tegangan simpul untuk menyelesaikan, persalan pada cnth- 3.5. Penyelesaian : Untuk menyelesaikan persalan ini rangkaian fasr dari cnth-3.5 digambar lagi seperti berikut: Simpul referensi kita tentukan seperti terlihat pada gambar tersebut. Simpul,, dan sumber tegangan menadi simpulsuper karena dan keduanya bukan simpul referensi. Persamaan tegangan simpul dapat kita perleh dengan cara yang sama seperti untuk rangkaian di kawasan waktu, akan tetapi di sini kita bekera di kawasan fasr dengan impedansiimpedansi. : 5 5 : 9 Untuk persamaan yang sederhana ini tentu dapat kita selesaikan dengan metda substitusi biasa. Namun di sini kita akan menuliskannya dalam bentuk matriks, dengan memasukkan nilai dan. 5 5 9 5Ω, 9 5Ω Ω Untuk menyederhanakan bilangan, baris pertama dari matriks ini kita kalikan, dan menuliskan fasr dalam bentuk sudutsiku. x Sudaryatn Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik ()
3 Gauss: eliminasi Dari sini kita perleh 6,6 3,4 6 5 ) 3( 3 8,4,6 4 6 3.3.. Metda rus Mesh Penggunaan metda ini di kawasan fasr uga akan kita lihat melalui sebuah cnth. CO TOH-3.7: Tentukanlah arus di semua cabang rangkaian pada persalan cnth 3.6. dengan menggunakan metda arus mesh. Penyelesaian : Rangkaian adalah seperti berikut Persamaan fasr arus mesh dalam bentuk matriks adalah. 5 5 5 3 atau. 5 5 3, 9 5Ω Ω 5Ω 3
Eliminasi Gauss memberikan 5 5 3..5 3 Dari sini kita dapatkan 3 3 9, ; 3,7 6,6 5 5 5 63,4,5 3 5 3,35 6,6 5 5 63,4,3 5,3 53, 3,5 3 5 3.4. Rangkaian Resnansi 3.4.. Resnansi Seri mpedansi dari rangkaian seri RLC adalah: Z RLC seri R ωl R ωl (3.3) ωc ωc Reaktansi dari impedansi ini mengandung bagian induktif (X L ωl) maupun kapasitif (X C /ωc), yang keduanya merupakan fungsi dari frekuensi. agian induktif berbanding lurus dengan frekuensi sementara bagian kapasitifnya berbanding terbalik. Pada suatu nilai frekuensi tertentu, nilai reaktansi ttal menadi nl, yaitu pada saat L atau C ω ω ω ω (3.4) LC Pada saat itulah dikatakan bahwa rangkaian beresnansi, dan ω disebut frekuensi resnansi. Pada waktu teradi resnansi, elas bahwa impedansi rangkaian ini hanyalah R; reaktansi induktif sama dengan reaktansi kapasitif sehingga saling meniadakan. Dalam keadaan beresnansi, arus yang mengalir dalam rangkaian hanya ditentukan leh R; ika tegangan sumber adalah s maka Sudaryatn Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik ()
s / R. Diagran fasr tegangan dan arus terlihat seperti Gb.3.3.. eberapa parameter digunakan untuk menyatapkan resnansi secara lebih detil. Salah satunya adalah faktr kualitas, Q, yang didefinisikan sebagai perbandingan antara reaktansi induktif pada saat resnansi dengan resistansinya. Karena pada saat resnansi X L X C, maka m L ω L Qs R s Re C ( / ω ) L Qs Gb.3.3. Diagram fasr pada saat resnansi. ωl L / C Q (3.5) R ωrc R Jelaslah bahwa, walaupun definisi Q menyebut pada saat resnansi, Q semata-mata tergantung dari parameter rangkaian. Faktr kualitas berbanding terbalik dengan rasi redaman Q /ζ. Parameter lain adalah lebar pita resnansi yang didefinisikan sebagai selang frekuensi dimana impedansi tidak berbeda auh dari nilai impedansi pada saat resnansi. Selang ini biasanya diambil selang frekuensi yang memberikan nilai Z R R dan Z R R. Jika batas frekuensi rendah dan tingginyanya adalah ω dan ω, maka ωl R dan ωl R atau ωc ωc ω LC ωrc dan ωlc ωrc Karena LC /ω menadi ω ω ω Q ω dan RC /ω Q, maka persamaan di atas dan ω ω ω Q ω (3.6) Masing-masing persamaan pada (3.6) mempunyai dua akar. Namun hanya akar yang mempunyai arti fisis yang kita pakai, yaitu yang bernilai psitif. Dengan pengertian itu maka 3
ω ω Q ω ω Q Lebar pita resnansi adalah Q Q dan (3.7) ω W res ω ω (3.8) Q ω dan ω disebut frekuensi cut-ff untuk resnansi. Perubahan reaktansi dan impedansi terhadap frekuensi serta parameterparameter resnansi dielas-kan pada Gb.3.4. X(ω) R R X L ωl ω ω ω Gb.3.4. X L, X C, Z, ω resnansi, ω cut-ff. 3.4.. Resnansi Paralel X L X C X C /ωc ω Z(ω) R R ω ω ω dmitansi rangkaian paralel RLC adalah Y ωc ωc RLC paralel (3.9) R ωl R ωl agian riil dari admitansi disebut knduktansi dan bagian imainernya kita sebut suseptansi. Suseptansi dari rangkaian paralel RLC merupakan fungsi dari frekuensi. Seperti halnya reaktansi pada rangkaian seri RLC, ada satu nilai frekuensi yang membuat suseptansi pada (3.38) menadi nl, yang kita sebut frekuaensi resnansi, ω. Z X L X C ω 4 Sudaryatn Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik ()
5 LC L C ω ω ω ω (3.) Persamaan (3.) ini sama dengan (3.4). Jadi frekuensi resnansi rangkaian paralel RLC sama dengan rangkaian serinya. Sesungguhnya admitansi rangkaian paralel dapat kita perleh dari impedansi ragkaian seri dengan penggantian : L C C L G R ; ; Faktr kualitas : C L R GL G C Q / ω ω (3.) Frekuensi cutff: ω ω ω ω dan Q Q Q Q (3.) Lebar pita resnansi adalah: Q W res ω ω ω (3.3) Frekuensi tengah : ω ω ω (3.4) Jika arus ttal dinyatakan dalam fasr s, maka pada saat resnansi masing-masing adalah : s C s L Q Q (3.5)
Sal-Sal. Hitunglah tegangan keluaran v pada rangkaian-rangkaian berikut ini. a).,5kω cst,5h.6kω,6kω µf v b). cst µf,3kω,kω v c). Ω Ω 5Ω Ω d). 5Ω 3Ω 3Ω 5 e). 5Ω 3Ω 3Ω 3Ω 5 f). 5Ω 4 3Ω 3Ω 3Ω 5 6 Sudaryatn Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik ()
. Hitunglah tegangan pada resistr 6 Ω pada rangkaian a) dan tegangan pada resistr Ω pada rangkaian b) berikut ini. a) b) 3. Carilah rangkaian ekivalen Thévenin di terminal - untuk menentukan impedansi yang harus dipasang pada terminal ini agar teradi transfer daya maksimum dari sumber ke beban. a). b). 3H 6Ω 5cst Ω cst mh,5µf cs 6 t Ω µf cs 4 t 5µF 3Ω 5cst kω sint Ω cs 4 t 4. Rangkaian di bawah ini adalah rangkaian T. Carilah hubungan antara dan in ika frekuensi perasi adalah 4 Hz.,H in 4Ω,5µF 4Ω 7
5. Tegangan di terminal masukan pada rangkaian berikut ini adalah v s sinωt. Tegangan keluaran dapat dinyatakan sebagai v β sin(ωt φ). erapakah β dan φ ika ωrc. v s C C R R v 6. Tentukan nilai R pada rangkaian di bawah ini sehingga pada frekuensi khz teradi perbedaan fasa 8 antara v dan v s.,µf,µf,µf v s R R R v 7. Tegangan di terminal masukan pada rangkaian berikut ini adalah v s sinωt. agaimanakah bentuk tegangan keluaran v? agaimanakah ika ω, ω, dan ω /RC? R v s C C R/ v Rangkaian Resnansi 8. Suatu rangkaian RLC seri dengan R Ω, L,5 mh, dan C nf. erapakah frekuensi resnansi rang-kaian ini? erapa faktr kualitasnya? erapa lebar pita resnansinya? erapakah nilai impedansi pada batas frekuensi (cutff frequency) atas dan bawahnya? erapa nilai ke-dua batas frekuensi tersebut? 9. Pada suatu rangkaian RLC seri L,5 mh, dan C nf. mpedansi rangkaian ini pada batas frekuensi atasnya adalah Z Ω. erapakah frekuensi resnansi rang-kaian ini? erapa faktr kualitasnya? erapa lebar pita resnansinya? erapa nilai ke-dua batas frekuensi tersebut? 8 Sudaryatn Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik ()
. Sebuah rangkaian resnansi seri RLC dirancang untuk beresnansi pada 5 Mrad/s, dengan lebar pita resnansi 8 Mrad/s. mpedansi pada waktu resnansi adalah 4 Ω. Tentukan faktr kualitasnya, nilai L dan C, batas frekuensi atas dan bawah.. Sebuah rangkaian resnansi paralel RLC beresnansi pada krad/s dan lebar pita resnansinya 5 krad/s. Dalam keadaan resnansi, impedansinya bernilai 8 kω. Tentukan L, C, faktr kualitas, batas frekuensi atas dan bawah.. Sebuah kapasitr variabel diparalel dengan resistr Ω. Rangkaian paralel ini kemudian diserikan dengan induktr mh. Dengan frekuensi 5 rad/s, pada nilai kapasitr berapakah impedansi rangkaian ini menadi resistif? erapakah impedansi tersebut? 3 Sebuah resistr 5 Ω dihubungkan seri dengan induktr mh. Rangkaian seri ini diparalel dengan kapasitr µf. Pada frekuensi berapakah impedansi ttalnya menadi resistif. erapakah nilainya? 4. Sebuah induktr mh mempunyai resistansi internal Ω. erapakah nilai kapasitr yang harus diserikan dengan induktr tersebut agar teradi resnansi pada frekuensi krad/s? Hitung faktr kualitas rangkaian ini. 9
Sudaryatn Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik ()